UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FIGMMG EAP INGIENERIA CIVIL
CURSO: ANALISIS MATEMATICO IV CICLO: IV ACTIVIDAD N° 2 FLEXIÓN EN VIGAS
INTEGRANTES
CÓDIGO
León Adrián Raúl Castro Pinedo Miguel Floreano Soto Cristhian López Quispe Anthony Montoya Ramón Jhenaro Alessandro Quispe Carpio Joseph
15160314
Cabañas Cabañas
2016 – II
15160287 15160290
Índice Introducción ..................................................................................pág. 2 Definición ......................................................................................pág. 3 Materiales .....................................................................................pág. 7 Experimento ..................................................................................pág. 9 Imágenes del Proceso ..................................................................pág. 12 Conclusiones ................................................................................pág. 17 Recomendaciones ........................................................................pág. 17
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I.
Introducción:
¿Qué es una Ecuación Diferencial? Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En las matemáticas aplicadas, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en muchas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la economía, y la biología. En las matemáticas puras, las ecuaciones diferenciales se estudian desde perspectivas diferentes, la mayoría concernientes al conjunto de las soluciones de las funciones que satisfacen la ecuación. Solo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden resolver mediante fórmulas explícitas; sin embargo, se pueden determinar algunas propiedades de las soluciones de una cierta ecuación diferencial sin hallar su forma exacta. Si la solución exacta no puede hallarse, esta puede obtenerse numéricamente, mediante una aproximación usando computadoras. La teoría de sistemas dinámicos hace énfasis en el análisis cualitativo de los sistemas descriptos por ecuaciones diferenciales, mientras que muchos métodos numéricos han sido desarrollados para determinar soluciones con cierto grado de exactitud.
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II.
Definición:
Momento de Inercia Es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. Matemáticamente se representa por la ecuación
= Módulo de Elasticidad o Modulo de Young El módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. Este comportamiento fue observado y estudiado por el científico inglés del siglo XIX Thomas Young, aunque el concepto fue desarrollado en 1727 por Leonhard Euler, y los primeros experimentos que utilizaron el concepto de módulo de Young en su forma actual fueron hechos por el científico italiano Giordano Riccati en 1782, 25 años antes del trabajo de Young.1 El término módulo es el diminutivo del término latino modus que significa “medida".
Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo denominado límite elástico, y es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud. Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que, al igual que el límite elástico, puede encontrarse empíricamente mediante ensayo de t racción del material. Además de este módulo de elasticidad longitudinal, puede definirse el módulo de elasticidad transversal de un material. 3
Matemáticamente se representa mediante la ecuación
= ∆
. = . ∆
Donde
: : :∆:
Fuerza aplicada para ejercer la elasticidad de un cuerpo
Área de la sección transversal de la viga Longitud de la viga Variación de la viga
La unidad del Módulo de Elasticidad de Young es
O en otras palabras el Pascal
kgs. m
OBS: Cabe resaltar que esta fórmula solo es para barras con material lineal (ISOTROPICOS). Si el material fuera no lineal, se procedería de manera exacta
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Deflexión y pandeo de vigas Consideremos una viga de longitud L situada en posición horizontal y cuyos extremos están fijos. La deformación que sufre dicha viga puede modelizarse mediante el siguiente problema de contorno:
( )
{ ′ () =(02)=0 . ( ) () =0 ∈ [0,]
Donde representa el desplazamiento o deflexión de la viga respecto de la horizontal en el punto , E es el módulo de elasticidad de Young, denota el momento de inercia y es el peso por unidad de longitud de la viga. Las condiciones de contorno establecen que los extremos de l a viga permanecen fijos.
Nos percatamos que la ecuación diferencial de segundo orden se puede resolver por doble integración, para facilitar cálculos haremos el siguiente artificio
= 2
Donde es una constante, debida a que los términos que se consideran también son constantes en toda la viga Entonces
′ () =. ( )
′ ()=′()=2 3 + ′ () =() = 6 12++ () = 6 12++
Para calcular el valor de las constantes condición para la ecuación
y
usamos los datos iniciales de
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Si
Si
(0) =0 0 0 (0) = 6 12+0+ =0 → =0 () =0 . ()= 6 12++ =0 ⋀ =0 = 12 () = 6 12+ 12 + (0)
Reemplazando estos valores en la ecuación general
Operando y reemplazando el valor que se le dio a
() = 24 ( 2+)
Con esta ecuación pasaremos a trabajar en el experimento siguiente.
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III. Materiales: Balanza
Bolsas con Arena
Madera
Pabilo 7
Silicona
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IV.
Experimento:
Para el siguiente experimento consideramos como viga a una barra de silicona gruesa (a comparación de la normal). Calculamos los datos necesarios para proceder con el experimento:
Las medidas de la silicona en unidades del sistema internacional (S. I.)
Longitud : 27 cm = 0.27 m = 27 x 10-2 m Área de la Sección Transversal:
Como es una silicona, la sección trasversal que presenta es un círculo y por ende el área de esta es fácil calcularla, solo basta con conocer su radio. o
Radio de la Sección Transversal: r = 0.55 cm = 0.0055 m = 5.5 x 10-3 m
− A=π . r ( ) A=π . 5 ×10 m − A=9.5033177×10 m
o
Peso de la Barra : 24 g = 0.024 kg
Calculamos su Momento de Inercia
Para secciones conocidas, el cálculo del Momento de Inercia está definido por formulas halladas mediante el proceso de la integral en la ecuación anteriormente mencionada. Como es un círculo en este caso, la fórmula es
π. r I= 4 − I= π . (5.5 x4 10 )− I=7.186884069×10 m
Calculamos su Módulo de Elasticidad
El Módulo de Elasticidad para este caso se calculara de manera práctica con la formula anteriormente mencionada, la cual es
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= ..∆
Como sabemos un solo calculo mediante una formula genera demasiado error por lo cual se hará varias medidas. Se colgara a la barra por el extremo superior añadiéndole peso en su extremo inferior progresivamente y anotando la variación de la longitud en cada caso. Adjuntamos tabla de valores W del Sistema
W añadido
W total del Sistema
Longitud de Barra
Var. De la Long. Barra
Módulo de Young
0.035
2.508
2.541
0.27
0.004
1.77E+07
0.035
3.469
3.502
0.27
0.009
1.08E+07
0.035
4.012
4.045
0.27
0.0105
1.07E+07
0.035
4.512
4.545
0.27
0.012
1.05E+07
Ahora promediamos los valores obtenidos de los diferentes casos
Ep = 1.77+1.08+1.4 07+1.05 Ep =1.24×10
Parte Analítica:
Con los valores necesarios pasamos a calcular la deflexión en la viga con la ecuación anteriormente calculada
Donde
y(x)= 24EIw (x 2xL+Lx)
L=0. 2 7 m W=0. 0 24 kg − m IE=1.=7.1286884069×10 4×10 Pa 24 −) (x 0.54x + (0.27)x) y(x) = 24(1.24×10)(70..1086884069×10 xx=0.0135 m Reemplazamos en la ecuación
Y para este experimento, la variable será el valor de la mitad de la barra, o sea Entonces evaluando el resultado será
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y(0.0135) =1.8263×10− m
Parte Experimental
El valor de la deflexión en este experimento se calculó de la siguiente manera, se colocó la silicona apoyada en dos soportes de madera como se aprecia en la figura, sin ningún tipo de empotramiento. Por obvias razones la barra por acción de la gravedad tendera a “hundirse”. La deflexión será medida con regla graduada y se comparara con el valor estimado calculado previamente.
En laboratorio se calculó este valor, el cual fue de 0.011 m
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V.
Imágenes del Proceso
Llenado de las bolsas de arena que sirvieron como W Añadido para el cálculo del módulo de Young
Se calcula el peso de cada bolsa
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Se calcula el peso de la barra junto con los demás implementos para el sistema que se formará
Se establece el sistema para el cálculo del módulo de elasticidad
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Se hace los pesajes respectivos colgados de la barra
Cabe resaltar que con el pesaje de una o dos no se lograba notar una clara variación de longitud de la barra
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Se mide la variación de la barra
Se añade los datos y se calcula el módulo. Posteriormente se midió la deflexión de la barra
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Finalmente la foto del equipo N°1 junto con el profesor del curso
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VI.
Conclusiones
El valor obtenido mediante las ecuaciones difiere bastante del obtenido experimentalmente, debido a que las formulas con la cual se trabajó cumplen para vigas de tamaño mucho mayor en comparación a una simple barra.
Al momento de calcular la deflexión, la distancia de la barra con respecto a la base en la cual está apoyada es bastante corta, casi ni se nota apreciar si hay una ligera distancia.
El uso de las ecuaciones diferenciales es bastante practico para predecir medidas, como se mencionó que la formula usada es para vigas de mayor tamaño, tal vez la variación que se aprecia en esos momentos es de milímetros, cosa que se vio en este experimento.
VII.
Recomendaciones
El material con el cual se trabajo sirve de manera correcta, lo único malo fue al momento de medir las variaciones de longitud, las cuales eran demasiada pequeña.
Se debe buscar un mejor material que será añadido al sistema, pues adicionarle arena en bolsas parece que no fue suficiente.
Si se usara una barra de silicona como en nuestro caso, se recomienda tener un máximo de tres, puesto que una será para el sistema y la otra para cálculo de medidas. La tercera solo es de precaución.
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