INDICE UNIDAD 2:
Ecuaciones lineales de orden superior
2.1 Teoría preliminar , 2.1.1 Definición de ED de orden n, 2.1.2 Problemas de valor inicial, 2.1.3 Teorema de existencia y unicidad de solución única, 2.1.4 EDL homogéneas, 2.1.4.1 Principio de superposición, 2.1.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano., 2.1.6 Solución generales de las EDL homogéneas., 2.2 Solución de EDL homogéneas de coeficientes constantes., 2.2.1 Ecuación característica para EDL de segundo orden (raíces reales y distintas, raíces reales e iguales, raíces complejas c omplejas conjugadas)., 2.3 Solución de las EDL no homogéneas., 2.3.1 Método por coeficientes determinados. , 2.4 Aplicaciones.,
INTRODUCCIÓN En este capítulo se estudian las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Desde que se comenzaron a estudiar las ecuaciones diferenciales ha resultado evidente que es difícil obtener resultados muy generales que permitan obtener las soluciones de un tipo determinado de ecuación. Una excepción a esta carencia de una teoría general para resolver ecuaciones diferenciales se presenta en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales y en particular de las que tienen coeficientes constantes. En una ecuación diferencial lineal de orden n homogénea, el conjunto de soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión n, por lo que basta encontrar n soluciones linealmente independientes para obtener la solución general. El conjunto de soluciones de cualquier ecuación diferencial lineal de orden n completa tiene estructura de espacio afín, que tiene como espacio vectorial asociado el conjunto de soluciones de la ecuación homogénea asociada. En consecuencia, si se conoce la solución general de la ecuación homogénea asociada, para tener la solución general de la ecuación completa es suficiente encontrar un punto de ese espacio afín, es decir, una solución particular de esta ecuación. Pero incluso en este caso, a veces, resulta difícil encontrar n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea. Solamente en el caso más sencillo, en el que los coeficientes de la ecuación son constantes, existe un método general que permite calcular las soluciones en función de los coeficientes de la ecuación. Si los coeficientes de la ecuación diferencial son funciones analíticas se pueden obtener soluciones en forma de series de potencias, y resolver de esta forma muchas ecuaciones particulares, como las ecuaciones de Legendre y Bessel, que tienen una importancia especial por sus múltiples aplicaciones en problemas relativos a vibraciones de membranas, flujos de calor y propagación de corrientes eléctricas
UNIDAD 2:
Ecuaciones lineales de orden superior 2.1 Teoría preliminar 2.1.1 Definición de ED de orden n Una ecuación diferencial lineal de orden n tiene la forma:
Si las funciones son todas constantes (o cero) entonces se dice que la ecuación es de coeficientes constantes. Una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n tiene la forma:
Es decir, una ecuación diferencial lineal es homogénea si la función g(x) es cero. En caso contrario, se dice que es no homogénea o inhomogénea. De las ecuaciones diferenciales de orden superior, la más importante es la ecuación de segundo orden:
2.1.2 Problemas de valor inicial De la misma forma como se planteó el problema de valor inicial para una ecuación diferencial de primer orden, se puede plantear el problema de valor inicial para una ecuación de orden superior:
Donde y0, y ´0,… y 0(n-1) son constantes arbitrarias. Al resolver el problema de valor inicial, se busca una solución particular en algún intervalo “I” que contenga al punto X0 y que se cumpla en dicho punto con los valores especificados de ”y ” y sus derivadas. Para la ecuación de segundo orden, el problema de valor inicial se simplifica a:
2.1.3 Teorema de existencia y unicidad de solución única Al igual que en el caso de las ecuaciones diferenciales de primer orden, este teorema establece las condiciones necesarias para que un problema de valor inicial tenga solución (existencia) y que esa solución sea la única que existe (unicidad). Sea an (X), an-1 (X),…, a1 (X), a0 (X) y g(x) continuas en un intervalo I y sea an (x) ≠ 0 para todo x en este intervalo. Si x=x0 es cualquier punto de este intervalo, entonces existe una solución y(x) del problema de valor inicial en el intervalo, y esa solución es única.
2.1.4 EDL homogéneas 2.1.4.1 Principio de superposición El principio de superposición se enuncia a partir de los siguientes tres postulados: ƒ Una ecuación diferencial lineal homogénea de orden sup erior siempre tiene la solución trivial y = 0. ƒ Si y1 (x) es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea, entonces cualquier múltiplo constante de ella, y = c1 y1 (x) también es una solución. ƒ Sean y1 (x), y2 (x),…, yk (x) diferentes soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n en un intervalo I. Entonces, la combinación lineal de esa s soluciones donde las constantes C1, C2 , …, CK son constantes arbitrarias, es también una solución de la ecuación diferencial. Se llama conjunto fundamental de soluciones en un intervalo I a cualquier conjunto y1, y2,…, yn de n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n.
2.1.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano. Definición: Se dice que un conjunto de funciones f 1 (x), f 2 (x) , …, f n (x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes C 1, C 2 , …, cn , no todas cero, tales que la combinación lineal de las funciones
sea igual a cero para todo x en el intervalo. Si un conjunto de funciones no es linealmente dependiente, se dice que el linealmente independiente. El siguiente teorema permite determinar si un conjunto dado de funciones es o no linealmente dependiente:
2.1.6 Solución generales de las EDL homogéneas.
2.2 Solución de EDL homogéneas de coeficientes constantes. Las ecuaciones lineales homogéneas, donde los coeficientes y b son constantes. Este tipo de ecuación se resuelve ya sea por separación de variables o con ayuda de un factor de integración, pero hay otro método de solución, uno en el que solo se utiliza algebra. Al observar bien podemos ver que al despejar de la ecuación se obtiene , donde k es una constante. Ahora el nuevo método de una solución: si se sustituye y en se obtiene o bien como nunca es cero para valores reales de x, la última ecuación se satisface solo cuando m es una solución o raíz de la ecuación polinomio de primer grado para este único valor de m es una solución de la ED. En esta sección se verá que el procedimiento que se vio anteriormente genera soluciones exponenciales para ED lineales homogéneas de orden superior: donde los coeficientes:
ECUACION AUXILIAR se empieza por considerar el caso especial de la ecuación de segundo orden:
donde a,b y c son constantes. Si se intenta encontrar una solución de la forma entonces después de sustituir y por lo que al sustituir quedara:
CASO 1: "RAÍCES REALES Y DISTINTAS" Bajo la suposición de que la ecuación tienes dos raíces desiguales
y
, se definen
dos soluciones y . Se ve que estas funciones son linealmente independientes en y por consiguiente forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solución general de la ED en este intervalo es:
CASO 2: “RAÍCES REALES REPETIDAS" Cuando , necesariamente exponencial,
.
se
obtiene
sólo
una
solución
De la fórmula cuadrática se encuentra que puesto que la única forma en que se tiene es tener .Una segunda solución de la ecuación es:
CASO 3:"RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS" Si y son compleja entonces se puede escribir y donde son reales. De manera formal, no hay diferencia entre este caso y el caso I y, por con siguiente:
Sin embargo, en la práctica se prefiere trabajar con funciones reales en lugar de exponenciales complejas. Para este fin se usa la fórmula de Euler:
donde es cualquier número real. Se deduce de esta fórmula que
donde se utilizó
Observe que si primero se suma y luego se restan las dos ecuaciones en se obtiene, respectivamente:
Como constantes y dos soluciones:
Pero y
, las elecciones
es una solución para alguna elección de las y dan, a su vez,
Por consiguiente la solución general es:
2.2.1 Ecuación característica para EDL de segundo orden (raíces reales y distintas, raíces reales e iguales, raíces complejas conjugadas). Se desea encontrar la solución a la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes :
donde a , b y c son constantes y a≠0. Para definir un punto de partida para el análisis de esta ecuación, considérese primero la ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden con coeficientes constantes:
e(b/a)x
e mx
Esta ecuación tiene solución general y= C , es decir y=C donde m=−A/ B es constante. Por comparación, esto sugiere intentar una solución de prueba mx y=e para la ecuación de segundo orden. Sustituyendo esta solución de prueba en la ecuación de segundo orden:
Este polinomio se conoce como ecuación característica. Aun cuando se debería obtener siempre sustituyendo la solución de prueba en la ecuación diferencial, se puede observar que la potencia de m en cada término de la ecuación característica corresponde con el orden de la derivada de cada término de la ecuación diferencial, se suele deducir la ecuación característica directamente de la ecuación diferencial. Las raíces de este polinomio son los valores de m que satisfacen la ecuación característica, generalmente identificados como m 1 y m2. Las raíces se obtienen por factorización (cuando es posible) o aplicando la fórmula general para la ecuación cuadrática. La solución general de la ecuación diferencial dependerá entonces del tipo de estas raíces, de acuerdo con los casos siguientes: CASO 1: Raíces reales diferentes. Si las raíces son dos números reales diferentes, la solución general está expresada en términos de funciones exponenciales de la siguiente forma:
CASO 2: Raíces reales repetidas. Si las dos raíces son iguales, es decir, m 1=m2=m , entonces la solución general tiene la siguiente forma:
CASO 3: Raíces complejas conjugadas. Si las dos raíces son de la forma , , entonces puede aplicarse la fórmula de Euler para escribir la solución en la forma:
2.3 Solución de las EDL no homogéneas. La forma general de una ecuación diferencial lineal de orden superior no homogénea de coeficientes constantes es:
donde an ≠ 0 . La solución de esta ecuación está formada por dos partes, una solución complementaria y una solución particular (también llamada integral particular) y= yc + yp donde yc es la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada:
La solución particular no debe tener constantes arbitrarias, y puede obtenerse por el método de coeficientes indeterminados o por el método de variación de parámetros.
2.3.1 Método por coeficientes determinados.
1.P(D) puede ser factorizado en operadores diferenciales de orden menor, tratándolo como si fuera un polinomio ordinario.
2. Los factores de P(D) pueden conmutarse. Un operador diferencial anulador es aquél polinomio P (D) que puede reducir una cierta función a cero. La siguiente tabla muestra los operadores anuladores más comunes y las funciones que pueden anular:
Aplicación del método de coeficientes indeterminados: 1. Resolver la ecuación diferencial homogénea asociada para encontrar la solución complementaria Yc. 2. Buscar operadores diferenciales que anulen a las funciones que constituyen g(x), observando que cuando un operador dado pueda anular a más de un término de g(x) no es necesario repetirlo. 3. De cada operador diferencial se genera una ecuación característica y se determinan sus raíces. 4. Con las raíces obtenidas en el paso anterior, escribir la forma de la solución particular yp, empleando A, B, C, etcétera, como constantes arbitrarias. Si alguna de las raíces para la solución particular ya había aparecido también en la solución complementaria, dichas raíces se tomarán en cuenta para la multiplicidad. 5. Ya que la solución particular no debe tener constantes arbitrarias, hay que determinar los valores de las constantes A, B, C, etcétera. Para esto, se sustituye la solución particular en la ecuación diferencial y se genera una ecuación algebraica con los coeficientes de cada clase de términos semejantes. El número de ecuaciones obtenidas debe ser el mismo que el número de constantes buscadas.
1.3.2 Método de variación de parámetros La solución general de la ecuación diferencial de segundo orden lineal no homogéneo de coeficientes constantes:
Es y = yc + yp donde yc se obtiene a partir de la ecuación diferencial homogénea asociada:
2.4 Aplicaciones. Movimiento oscilatorio armónico Vibraciones armónicas simples no amortiguadas Se considera un bloque de masa m sujeto al extremo de un resorte y se denota por y(t) el desplazamiento del bloque en función del tiempo. Se considera el desplazamiento hacia abajo como positivo y hacia arriba negativo. En el punto de equilibrio el peso del bloque se compensa con la fuerza de elasticidad del resorte. Se supone que esta fuerza elástica es proporcional al desplazamiento, es decir, igual a –k⋅y(t), siendo k > 0 una constante, que cuantifica la rigidez del resorte. El movimiento de este sistema, siempre que no se rebasen los límites de elasticidad del resorte, viene dado por la ecuación:
Vibraciones amortiguadas El modelo libre no amortiguado no es realista pues no se conoce ningún resorte que no pare nunca. Existe siempre la resistencia del medio. Se puede suponer que existe resistencia debido a que el medio es viscoso, o bien que existe un dispositivo amortiguador. Esta fuerza se considera proporcional a la velocidad del movimiento y’, y si b es la constante de amortiguación se tiene que la ecuación del movimiento amortiguado viene dada por:
Vibraciones forzadas En este caso actúan fuerzas exteriores al sistema. Así, por ejemplo, se puede suponer que el punto inferior del resorte efectúa movimientos verticales según una función de t. Esto puede ocurrir cuando, por ejemplo, el resorte y el bloque se desplazan por un camino de relieve irregular. En este caso, más general, la ecuación diferencial que describe el movimiento es una ecuación lineal no homogénea de coeficientes constantes:
donde g(t) es una fuerza externa que actúa sobre la masa del resorte. Para calcular sus soluciones, en primer lugar, hay que resolver la ecuación homogénea y luego hallar una solución particular de la completa. Cuando la función g que representa la fuerza exterior es periódica se puede originar una situación especial que se analiza a continuación, si se supone que la fuerza externa g es una función seno o coseno con la misma frecuencia que las soluciones de la ecuación homogénea asociada. (MOLEROSALVADOR, 2010)
Referencias MOLEROSALVADOR, M., 2010. ECUACIONES DIFERENCIALES. [En línea] Available at: http://www2.caminos.upm.es/departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis %20matematico/Temas/C10_Lineales_Orden_Superior.pdf [Último acceso: 17 07 2014].
