1.- Marco Teórico En ingeniería, ciencias naturales y sociales hay muchos problemas de interés que, cuando se plantean, exigen la determinación de una función la cual debe ve rificar una ecuación que involucra derivadas de la función desconocida. Dichas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Tal vez el ejemplo más conocido es la ley de Newton:
Ecuación diferencial:
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que re laciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial. Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas.
Orden de una ecuación diferencial:
El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación.
Ecuación Diferencial lineal:
Una ecuación diferencial ordinaria de orden es lineal si se puede escribir de la forma
donde los coeficientes
para
son funciones reales, con
Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal.
.
2.- Definición Ecuación diferencial: Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que re laciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con re specto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial. Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas.
Ejemplo:
3.- Clasificación Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Ecuación diferencial ordinaria En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es la que contiene una función desconocida de una variable independiente y relaciona con sus derivadas:
Una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables). Una o más de sus derivadas respecto de tal variable.
Si y es una función desconocida: de x siendo
la enésima derivada de y, entonces una ecuación de la forma
(1) es llamada una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n. Para funciones vectoriales, , la ecuación (1) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m. Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma
es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma
es llamada una ecuación diferencial explícita. Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma. Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y
siendo, tanto ai(x) como r(x) funciones continuas de x. La función r(x) e s llamada el término fuente (traducido del inglés source term); si r (x)=0 la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no homogénea.
Ecuación en derivadas parciales En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función matemática u de varias variables independientes x, y, z, t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. Se las conoce también como ecuaciones diferenciales parciales. Participaron en su estudio los D'alambert, Fourier, matemáticos de la época napoleónica. Una ecuación en derivadas parciales (EDP) para la función
es una función lineal de
tiene la siguiente forma:
y sus derivadas si: y
Si es una función lineal de y sus derivadas, entonces la EDP es lineal. Ejemplos comunes de EDPs son la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Laplace. Una ecuación en derivadas parciales simple puede ser:
donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:
donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es
que tiene la siguiente solución
Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con c onstantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de tal forma que se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función puede determinarse si se especifica sobre la línea .
4.- Conceptos Orden de una Ecuación El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de más alto orden que aparece en la ecuación. El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en de rivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo, d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex dx2 dx
es una ecuación diferencial de segundo orden.
Grado de una Ecuación Diferencial Se denomina grado de una ecuación al mayor exponente al que se encuentran e levadas las incógnitas. Por ejemplo
Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se e ncuentra elevada al cubo en el mayor de los casos. Las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, pueden resolverse por el método de los r adicales cuando n < 5 (ya que en e sos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de la ecuación es soluble). La solución de la ecuación de seg undo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto g rado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta de Jacobi. El grado de una ecuación es e l número máximo de épocas cualquier variable o las variables se multiplican juntas en cualquier solo término. El grado de una ecuación se utiliza para ayudar a decidir a cómo solucionar una ecuación, o a independientemente de si una ecuación tiene una solución.
5.- Métodos Numéricos de Solución Una ecuación diferencial no necesita tener una solución, y aun si la tiene, no siempre podemos expresarla en forma explícita o implícita; en muchos casos te ndremos que contentarnos con una aproximación. Analizaremos los siguientes métodos para obtener la solución de ecuaciones diferenciales:
Campos Direccionales
Método de Euler
Métodos de Runge-Kutta
Campos Direccionales Elementos lineales: Examinemos la ecuación diferencial de primer orden dy/dx = y. Esta ecuación
significa que las pendientes de las tangentes a la gráfica de una solución están determinadas por la función f(x, y) = y. Cuando f(x, y) se mantiene constante -esto es, cuando y = c , donde c es cualquier constante real- estamos obligando a que la pendiente de las tangentes a las curvas de solución tenga el mismo valor constante a lo largo de una línea horizontal; por ejemplo, para y = 2 podemos trazar una serie de segmentos lineales cortos o elementos lineales (cada uno de pendiente 2) con su punto medio en la línea. Como vemos en la figura 9.2, las curvas de solución cruzan esta recta horizontal en cada punto tangente a los elementos lineales.
Isóclinas y campos de direcciones: La ecuación y = c representa una familia a un parámetro de
líneas horizontales. En general, cualquier miembro de la familia f(x, y) = c se llama isóclina, que literalmente significa curva a lo largo de la cual la inclinación de las tangentes es igual. Cuando se hace variar el parámetro c, obtenemos un conjunto de isóclinas en que los elementos lineales se construyen adecuadamente. La totalidad de esos elementos lineales se llama de diversos modos: campo de direcciones, campo direccional, campo de pendientes o campo de e lementos lineales de la ecuación diferencial dy/dx =f(x, y). Según apreciamos en la figura 9.3a), el campo de direc ciones recuerda las “líneas de flujo” de la familia de curvas de solución de la ecuación diferencial y’ = y. Si deseamos una solución que pase por el punto (0, l), debemos formar una curva, como se indica en gris en la figura 9.3b), que pase por este punto de modo que at raviese las isóclinas con las inclinaciones adecuadas.
Método De Euler Método de Euler Una de las técnicas más sencillas para aproximar soluciones del problema de valor inicial Y’ =.m Y>, Axo> = YO
se llama método de Euler o método de las tangentes. Aplica el hecho que la de rivada de una función y(x), evaluada en un punto xo, es la pendiente de la tangente a la gráfica dey(x) en este punto. Como el problema de valor inicial establece el valor de la derivada de la solución en (xo,yo), la pendiente de la tangente ala c urva de solución en este punto es f(xo, yo). Si recorremos una distancia corta por la línea tangente obtenemos una aproximación a un punto cercano de la curva de solución. A continuación se repite el proceso e n el punto nuevo. Para formalizar este procedimiento se emplea la linealización Jqx) = Y’(&>(X - xo) + Yo (1)
de y(x) en x = XO. La gráfica de esta linealización es una recta tangente a la gráfica dey = y(x) en el punto (~0, VO). Ahora se define h como un incr emento positivo sobre el eje x (Fig. 9. ll). Remplazamos x con XI= xg + h en (1) y llegamos a
en donde yo’ = y’(xo) = f(xo, yo) y yl = Ll(x). El punto (XI, ~1) sobre la tangente es una aproximación
al punto (XIY( en la curva de solución; esto es, L(xl) = y(xl), o yl =y(xl) es una aproximación lineal
local de y(x) en XI. La exactitud de la aproximación depende del tamaño h del incremento. Por lo general se escoge una magnitud de paso “razonablemente pequeña”. Si a continuación repetimos
el proceso, identificando al nuevo punto de partida (~1, y1) c omo (~0, yo) de la descripción anterior, obtenemos la aproximación
O sea:
en donde yo’ = y’(xo) = f(xo, yo) y yl = Ll(x). El punto (XI, ~1) sobre la tangente es una aproximación
al punto (XIY( en la curva de solución; esto es, L(xl) = y(xl), o yl =y(xl) es una aproximación lineal local de y(x) en XI. La exactitud de la aproximación depende del tamaño h del incremento. Por lo general se escoge una magnitud de paso “razonablemente pequeña”. Si a continuación repetimos
el proceso, identificando al nuevo punto de partida (~1, y1) c omo (~0, yo) de la descripción anterior, obtenemos la aproximación
La consecuencia general es que:
en donde = xg + nh. Para ilustrar el mdtodo de Euler usaremos e l esquema de iteración de la ecuación (2) e n una ecuación diferencial cuya solución explícita es conocida; de esta manera podremos comparar los valores estimados (aproximados) yn con los valores correctos (exactos) y ( ).
Métodos De Runge-Kutta Es probable que uno de los procedimientos más difundidos y a la vez mas exactos para obtener soluciones aproximadas al problema de valor inicial y’ = f(x, y), y(xo) = yo sea el método de RungeKutta de cuarto orden. Como indica el nombre, hay métodos de Runge-Kutta de distintos órdenes, los cuales se deducen a partir del desarrollo de y(x,, + h) en serie de Taylor con residuo:
en donde c es un número entre xn y x,, + h. Cuando k = 1 y el residuo y”(c) es pequefio, se obtiene
la fórmula acostumbrada de iteración
En otras palabras, el método básico de Euler es un procedimiento de Runge-Kutta de primer orden.
Procedimiento de Runge-Kutta de segundo orden: Consiste en hallar las constantes
tales que la fórmula:
en la cual:
coincide con un polinomio de Taylor de segundo grado. Se puede demostrar que esto es posible siempre y cuando las constantes cumplan con:
Este es un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas y tiene una cantidad infinita de soluciones. Obsérvese que cuando
, las condiciones (1) vienen a ser las
de la fórmula de Euler mejorada. Como la fó rmula coincide con un polinomio de Taylor de segundo grado, el error local de truncamiento para este metodo es 0(h3) y el error global de truncamiento es 0(h2).
Nótese que la suma
en la ecuación (1) es un promedio ponderado de K1 y 4 porque
a+b=1. Los números k1 y 4 son múltiplos de aproximaciones a la pendiente de la curva de solución y(x) en dos puntos distintos en el intervalo de
Fórmula de Runge-Kutta de cuarto orden: El procedimiento de Runge-Kutta de cuarto orden
consiste en determinar las constantes adecuadas para que la formula:
en que