INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL MATERIA: ECUACIONES DIFERENCIALES CATEDRATICO: CARLOS DEL ÁNGEL BAUTISTA PRESENTA: SEIRI BEATRIZ GUERRERO CASTRO HERNANDEZ RODRÍGUEZ EDWIN DARIO CARRERA: ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES CERRO AZUL, VER. UNIDAD 5 1
Unidad 5.- Introducción a las series de Fourier 5.1 Teoría preliminar Una sinusoide es una señal de la forma (2 + )
El número A > 0 es la amplitud, v > 0 es la frecuencia medida en ciclos por segundo o Hercios (Hz), - π < φ 6 π (fase inicial), ω = 2πv es la frecuencia en ⁄ , (que se llama a veces frecuencia angular). El periodo es el tiempo que necesita la sinusoide para comp letar un ciclo completo, es decir, el periodo es T = 1⁄ segundos. (2( + 1⁄ ) + ) = (2 + 2 + ) = (2 + ) En general, una función f: R C se dice que es periódica con periodo T si ( + ) = () para todo ∈ . En tal caso cualquier múltiplo entero de T es también un periodo f, esto es, ( + ) = () Para todo ∈ , ∈ .
Por convenio, una función constante se considera periódica con cualquier periodo. Salvo este caso, cuando se dice que una función es periódica de periodo T, se sobreentiende que T es el numero positivo, más pequeño que verifica la igualdad ( + ) = () para todo ∈ . En la representación gráfica de la señal () = (2 + ) se interpreta () como la amplitud de señal en el instante t. La amplitud A representa la máxima altura que alcanza dicha gráfica, esto es, el máximo absoluto de la función f (el mínimo absoluto es – A). A). La frecuencia es el número de veces (ciclos) que se repite la gráfica en un segundo. s egundo. El periodo es el tiempo necesario para que la gráfica complete un solo ciclo.
5.2
Series de Fourier
La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de periodo T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo T. Algunas funciones periódicas de f (t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada “Serie trigonométrica de Fourier” () = 1 2 0 + ∑[ ∞ =1 cos(0) + (0)]
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Donde 0 = 2π/T y 0, y son los coeficientes de Fourier que toman los valores: 0 = 2 ∫ () /2 −/2 = 2 ∫ () /2 −/2 (0) = 1, 2, 3, …
= 2 ∫ () /2 −/2 (0)
= 1, 2, 3, …
Se dice que las funciones del conjunto { (t)} son ortogonales en el intervalo a
Forma compleja de serie de Fourier Es posible obtener una forma alternativa usando las l as fórmulas de Euler: (0) = 1 2 ( 0 + −0) (0) = 1 2 ( 0 − −0)
Sustituyendo () = 1 2 0 + ∑[ ∞ =1 1 2 ( 0 + −0) + 1 2 ( 0 − −0)]
Y usando el hecho de que 1/i = -i: () = 1 2 0 + ∑[ ∞ =1 1 2 ( − ) 0 + 1 2 ( + ) −0 ]
Y definiendo, 0 ≡ 1 2 0 ≡ 1 2 ( − ) − ≡ 1 2 ( + ) −0
Queda: () = ∑ 0
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∞ =−∞
A esta se le llama forma compleja de la serie de Fourier y su coeficiente se puede obtener de lo siguiente: = 1 ∫ () 0 −0�
Convergencia de una serie de Fourier Existe un teorema que a continuación se mencionara, que especifica las condiciones suficientes de convergencia de una serie de Fourier en un punto.
Teorema condiciones de convergencia Sean f y f´ continuas en tramos en el intervalo (-p, p) esto es, sean continuas excepto con un numero finito de puntos en el intervalo y con discontinuidades solo finitas en esos puntos. Entonces la seria de Fourier de f en el intervalo converge hacia f(x) en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad la serie de Fourier converge hacia el promedio f(x+)+f(x−) 2 en donde f(x+) y f(x ) representan el límite de f en x, desde la derecha y la izquierda, respectivamente. Extensión periódica Las funciones de conjunto básico tiene un periodo común de 2p, por eso se dice que el lado derecho de la ecuación se le denomina periodo. Y con esto podemos decir que una serie de Fourier no solo representa a la función en el intervalo (-p, p), sino que también de la extensión periódica de f fuera en el intervalo. Aplicando el teorema a la extensión periódica f, o desde el principio suponer, que la función dada es periódica con un periodo de 2p. Y cuando f es continúa por tramos y converge hacia el primero [f(p−)+f(p+)] 2 en esos extremos y hasta el valor extendido periódicamente periódicamente a 3p, 5p, 7p, etc.
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5.3
Las series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo
Series de Fourier en cosenos Una serie de Fourier en cosenos no es más que extraer una función definida en intervalos con una función par. La función lo es, si () = (−). Ahora que () es una función par en [−, ] y se extienda () a todo el intervalo [−∞, ∞], originando que () de periodo 2π de tal manera que la serie de Fourier de la función () sea: 0 = 1 ∫ () − = 0 = 1 ∫ [ () cos ] − = 0
La serie de Fourier, solo tiene términos en senos, es decir, será de la forma () = 1 + 2 2 + 3 3 + ⋯
Series de Fourier en senos Esto es extender el comportamiento de una función definida en medio de intervalos como una función impar. Esta lo es si (−) = − () = 1 ∫ [ () ] = 0 −
La serie de Fourier correspondiente solo tiene el términos independiente y términos en coseno, es decir, será de la forma () = 0 + 1 cos + 2 cos 2 + ⋯
Series de Fourier en medio intervalo Definiendo la función f en –π < x < 0 como () = ( + ) como se muestra en la gráfica 3. En la definición de serie de Fourier, de funciones pares o impares, im pares, solo se utiliza la mitad del intervalo, es decir de 0 < x < π, por lo tanto en la práctica no hay necesidad de reflejar la función haciéndola par o impar, se define la función en la mitad del intervalo a partir del origen. Esto se conoce como desarrollo en mitad m itad del intervalo.
La función () es alternada: es decir ( + ) = − (), las cuales son un caso corriente en electrotecnia. En este caso la serie de Fourier correspondiente solo tiene términos de senos y cosenos impares, ya que los pares se anulan, en efecto = 1 ∫ [ () cos 2 ] − = 1 {∫ [ () cos 2 ] 0 − + ∫ [ () cos 2 ] 0 }
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