Pr esent an l af orma magener al : 2
P( x) = ax
+ bx+ c= 0 PorFormul a( Baskar a)
Est aecuaci ónes: Com mp pat i bl ei ndet er mi nadosi : a= 0 ∧b= 0 ∧c=0
2 La ecuac i ón: ax +bx+c =0, se puede r esol v e r por l a f or mul a de Bas kar a donde:
x=
I nc o mp mpat i bl es i : a= 0 ∧b= 0 ∧c≠ 0
Com mp pat i bl edet er mi nadosi : a≠0 ∧
Re s ol v e r : Sol uci ón: a x2 + b x + c = 0 ↓
↓
2x
x2 − 2x − 15 15 = 0 − 5 = 0 ⇒ x1 = 5 x + 3 = 0 ⇒ x2 = −3 x C.s. : { −3,5}
x=
2
↓
+ 7x + 1 = 0
−7 ± 72 − 4[2][1] 2[2]
−7 + 41 , −7 − 41 4 4
C.s. :
∆ = Dela Di scr i mi nant e( ) Se l l ama ma asía l a cant i dad sub r adi cal expr esadapor .
∆ = ..............
Nottita Alr esol v ere xpr esi onesdel af or ma: [ x − 3] 3]2 = 0 Podemos ver [ x − 3][ x − 3] = 0
2a
2x2 + 7x + 1 = 0
{ b,c} ⊂ ℜ
Sol uci ón de una ecuaci ón de Segundo grado: La ecuaci ón:ax2 + bx+ c=0,sepuede r e sol v e rpor : Fact or i zaci ón: Re s ol v e r :
− b ± b2 − 4ac
En l a ecuaci ón:
E555 555 ! E555 555 ! CERO CERO
CERO CERO
x1 = 3 x2 = 3
2
+bx+c=0 ax
Solucio ucio ! { 3} ⇒ Sol
E55555!
RAICES MULTIPLES
3 es una r aí z de mul t i pl i ci dad 2
Secumpl e:
"
x1
>0 Po se er aí c e sr e al e s y di f e r e nt e s
x2
=0
"
x1
x2
Sumader aí ces : Posee r aí ces r eal es e i gual es x 1+ x 2=
S#e*): C.S.
Ra"ces S#$%&#cas ' O('esas
x1
x2
se es(&e*e
x1
x2 b
0
2 ax + bx+c =
x1 ⋅ x 2 =
x1
2
1 x2
ax
$x
se es(&e*e
x1 x 2 a
0
Ec'ac#)*e E'#+ale*
1
c
2
bx c *x (
0-
a $
a
c a
Di f e r e nc i ar aí c es : x1 − x 2 =
Δ
a
r e l ac i óndel e g endr e :
0
s# ()see* l $#s$as &a"c se c'$(le
b
Pr o duc t oder aí c e s :
x1-x2
Ra"ces Rec"(&)cas ) I*+e&sas
−
2
2
( x x x x2 1+ x 2) − ( 1− x 2) = 4 1.
Nottita
b *
x1
x2
Si l as r aí ces y s i mé t r i c as : x1 + x2 = 0 ⇒ b = 0 x1
"
<0
conj ugadas
Pose e
r aí ces
compl ej as
son
x2
1. alla& c'a*as e las s#'#e*es ex(&es#)*es s)* +e&ae&as, &es(ec) e la ec'ac#*: ax2+ bx+ c= 0
∆=0 I. S# e*)*ces la ec'ac#* For maci ón deunaecuaci ón cuadrát i ca (&ese*a 2 &a"ces &eales e #'ales II. a ec'ac#*, es #*ee&$#*aa s#: x2
x1
Dada unaec uaci ón der aí ce s ecuaci ónaf ormar sese r á: 2
x
y
a= 0∧ b= 0∨ c= 0
l a
III. #e*e &a"ces s#$%&#cas s# se c'$(le x 1+ x 2= 0
x x+ x x2 = 0 −( 1+ x 2) 1
la &elac#*: x x2 1+ x 2 = x 1.
Dosecuaci onescuadr át i cas:
I. S#:
,
e*)*ces
se
b+ c= 0
Ax2 +Bx+C=0
+eca&a 'e:
Mx2 +Nx+P=0
a 2 4
b 3 e 0
c 1
Son EQUI VALENTES sies t as pr e sent an l as mi smas sol uci ones o el mi s mo conj unt osol uci ónent oncessecumpl e: 2. U* +al)& e 8x9 'e sa#sace a la A M
=
B N
=
ec'ac#*:
C
x
P
+ bx2 + c= 0
x=
±
− b±
2
b
− 4ac
2 a
2
2
x 1
2
14
, es: 1
2 b
5
c
4 e
3. Calc'la& 8*9 s# la s'$a e &a"ces es ;.
* 2 x Dondel asr aí cess on:
x
a
Las ecuaci ones bi cuadr at i cas son de l a s i g ui e nt ef o r ma: 4
2
3
ECUACI ONES BI CUADRADAS
= ax P( x)
3
a 2 10
2
*
2
4 x *
b < e 14
2
* 1 0 c 4
4. alla& 8$9 s# el (&)'c) e &a"ces es < e* la ec'ac#*: $x
2
2
$ 7 x $
7$ 0
a 10 11
b 12 e 1<
c 13
5. alla& 8$9 s# '*a &a"= e la ec'ac#* es 2.
x a 10 1<
2
>x
$ 0
b 12 e 1;
c 14
2
b
x
2
c
x
2
x
2
e
x
+ 10
+ 10
x −13 =0
x + 13= 0
−10
+ 10
x −13=0
x + 12=0
2 <. Calc'la& 8a9 ? 8b9 s# esas s)* &a"ces 2x a > b c a 2 b 3 c 4 5 5 e < 0 e 7. Dee&$#*a& la $e*)& &a"= e la s#'#e*e ec'ac#* $*#ca e 11. I*#ca& el +al)& e +e&a e las se'*) &a): s#'#e*es (&)()s#c#)*es: 2 a 3 x 2a 7 x a 24 0 x1 x2
I.@ S#
5 a 5
b
1
12x
e
s# se sabe
3
'e @< es '*a &a"= e la ec'ac#* + ( a + 3 ) x + a + 2=0
II.@
b 5 e 0
. c 1
a
2
−10
x + 13 =0
? x
2
s)* &a"ces e la x 1 0
ec'ac#* , e*)*ces las &a"ces s)* c)$(leas. x1 x2 III.@
S#
? x
2
s)* &a"ces e la x 2 0
ec'ac#*
, e*)*ces el x1
ec'ac#* es:
x
0
x2
S#
>. las &a"ces e la ec'ac#* e se'*)
± 2 √ 3−5 - #cAa
45
7 12
x2
e*)*ces: x1
2
&a) s)*:
7x
, x1
;. calc'le el +al)& e
a 2 4
2
ec'ac#*
a−1
x
s)* &a"ces e la
c 4
4
?
+al)& e
x2
x1 x2
es 2.
a ! c !
b !
2
3x
2
x2
8
9
?
7x
2
0
8 ,
x1
M =1 + 2 + 3 + 4 + … +( k + 1)
e !!
x1
12. Sea*
calc'le el +al)& e:
3 x2
3
9
&a"ces
Aalla&
e:
89
s#:
a ;5 100 x1
%c#$a ec'ac#*:
x
2
x + 27 x − 27= 0
x
,
a 72> c @1000 @72> x1 x2
b 1000
F
e ;12
7x 1
$
0
S# x
2
las
, s#e*) 8$9 ?
5
$
3
4
*
*
b > e 5 &a"ces
3
*
4
$
a 7 11
c 12 e
la
ec'ac#*:
&a"ces a 1 1 2x1 2x2
1
m
2
5
9 s)* las &a"ces e: 1 1 2 x1 x 2 x 10 5x 17. , calc'la&: a 0,25 b 0,5 0,5 c 2 e 2
{ }
- es: 1 4 c
1<. S#e*): 8*9 &a"ces, &e'=ca:
9 ? 8
1
e
2
15. s#
la
2
x − 8=0 -
+8
m;
e
1
b 1 2
x −1 =0 -
x2
1 4
a
+
1
x1 1
1 2
13. alla& el (&)'c) e las &a"ces e la
14. S# 8
&a"ces
5x 1 2 x
c
e 4
2
2
F
3
x
s)*
, el +al)& e: b ;
x2
3x
<
c 110 e 13<
S#: ec'ac#*:
< a <
b ><
.
a$#e* x2
c)$)
al
'e:
3 5
, e*c)*&a& el +al)& e es el c)*'*) s)l'c#* 2
e la ec'ac#*
3 x
x + k =0 ,
−5
8*9: a 1 4
b 2 e 5
c 3
1;. E* 2x
la 2
* 1 x
ec'ac#*:
* 1
1>. Daas las ec'ac#)*es: 2
11x 30
2
β
α
0 e &a"ces 8
x
9?8 9
11x 10 0
e &a"ces 8$9 ? 8*9 1 1 1 β 3$ 3*
1
α Calc'la&: a 0 3 20. as
b 1 e 4
&a"ces
e
2 3
5
22. S# 8
ec'ac#* x1
x2
2
>
0 - a G
I*#ca& el +al)& e +e&a e: a 0 I.@ S#: , e*)*ces ex#se '*a H*#ca s)l'c#*. a 0 II.@ S#: , #e*e &a"ces *) &eales. a 0 III.@ S#: , #e*e )s &a"ces #s#*as ? &eales. a ! b ! c !! e !!
x
se'*) &a) s)*:
2 3
x2
x1
c 2 la
2
0
. alla& el +al)& ()s##+) e 8*9 (a&a 'e las &a"ces #6e&a* e* 819. a 10 b 11 c 1 ; e 12
x
x
2
9 ? 8
3x 1 0 , calc'la&:
e x2
x1
5
-
9 s)* &a"ces e:
a 12 21
x2
x1
x1
x1
x2
x2
b 1; e 17
c 20
, e*c)*&a& la ec'ac#* 2 5x 2x 3 0 e se'*) &a): 23. a ec'ac#*: #e*e 2 x 10x 13 0 x1 x2 a )s &a"ces 8 9 ? 8 9, calc'la&: 2 x 10x 13 0 B 1 x1 1 x 2 b 2
10x 13 0
x
2
10x 13
x
2
10x 12 0
x c
0
e
; 3
3 ;
a 3
b e 2
24. S# las s#'#e*es ec'ac#)*es: 2
2$ 1 x
2x
21. a ec'ac#*:
c ;
2
4* 2 0
5x <
0
S)* e'#+ale*es, e*)*ces la ec'ac#* e se'*) &a) 'e #e*e c)$) &a"ces a 8$9 ? 8*9 es: x
2
x
2
3x
4
a 1
2
x 2 0
x
2
5x 10
x
2
11x 2;
0
0
2>. S# x
2
x1
c'?as &a"ces s)* calc'la& el +al)& e c'$(la: 1 1 x1 x2
x2
8 9 ? 8 9, 8*9 al 'e se
2
10x $ 0
0
- e*a 2 &a"ces #'ales:
5x 1 0
ec'ac#*: +al)& *'$%&#c) e: B 4x1 x1 4
, calc'la& el
4x 2 x 2
b <1 e 44
4 c <>
30. S# 8 9 es '*a &a"= e la ec'ac#*:
2<. Daa la ec'ac#*. - s# la s'$a e l)s c'a&a)s e s's &a"ces es 40. alla& 8$9 30 a 100 b 30 c 70 70 e 31. 2$ 27. alle 8 9 (a&a 'e la ec'ac#*: $ 3
2
γ c 15
x
2$x
$ 7
s)* las &a"ces e la 2x
a 2> 51
5 12
b 14 e 17
?
*x 3* >
25. Daa la ec'ac#*:
2
24x
x2
x1
e
$ 1 x
2
S)* #'ales, calc'la& 8$9. > a 12 ? > b 12 ? c 1< > < ? 1< ? > e 24 ?
c
a 13 1<
c
2
$x
b x
b
< 0
2
3
e 2;. S# las &a"ces e la ec'ac#*:
0
a
5x
3
x
2
γ 5 ; γ 1
x 1 , calc'la&: 5 b
a 5
c 3
3
s#e*):
e 1
x 1 y x2 las &a"ces e la 2
ec'ac#*
5 x
x + 11=0 .
− 23
E=
alla&:
[
3 x 1 + 1 2 x 1−9
][
171
a
3 x 2+ 1 2 x 2−9
]
x1
34. S# 8 2
3x
7x
2 0
, calc'le 'se el +al)&
175
b
23
33
F
173
c
9 es '*a &a"= e la ec'ac#*:
2x1 1 2
x1
x1
e: a 1,5
35
b 2
c 1 0,5
170
0,5
23
e
33
5
$ * 32. alla& el +al)& ec'ac#)*es: $ 3 x
$ 3 x
2
2
s#
35. Dee&$#*e el $a?)& +al)& 'e as'$e 8$9 (a&a 'e '*a e las &a"ces e la ec'ac#*: las 2 10x 11x 3 0
* < x ( 0
Sea a$b#%* &a"= e la ec'ac#*:
2
7x $ 0
17 25
c 13
a 17
b 51
c
51 25
2
x1-x 2
3x
2
* < x 4( 0
S)* e'#+ale*es a 11 b 12 14 e 15
33. S#: e
e
e 3x
2
15x
4
es el c)*'*) s)l'c#*3<. a ec'ac#*: la ec'ac#*: x1 -x 2 * 4 x * 2 0 ()& &a"ces a , calc'la&: e $)) 3 3 B x x 1 2 1 x1 x2 3 x1x2
'e: +al)& e 8*9K a 1 b 2 4 e 5
, C'Jl es el c 3
a 102 c 104 105
0 , #e*e
b 103 e 10;
37. S#: 8$9 ? 8*9, s)* las &a"ces e la 2
x
ec'ac#*: 2
$
2
*
, es:
bx c
0
, el +al)& e:
2
b
2
4c
a
b 2
b
2
b
2c
e
41. Res)l+e&: x
2
5x
2
x
0
3;. Sea la ec'ac#*: x1 x2 De &a"ces +al)& e:
? F
1
1
2 x1
2 x2
3 2
b 1 2
c 7 2
42. S#: la
e
3x
5x
2
$x 20
0
3>. as &a"ces e: s)* *H$e&)s ()s##+)s ? #e&e*es e* 3 '*#aes, calc'la& el +al)& e: 4 &1 &2 2$ &1 -&2 , &a"ces. 25 a 20
b 20
2
2 $ 1 x
2
>ab
2
3a
a 5 3
c
x
3
3b
5x
2 *
0
1 2
2 c
3
2
>a b 1>2
Calc'la&: ; a 4 44. a ec'ac#*:
c 11
s)* &a"ces e la
2
4x 7 4
Dee&$#*a& el +al)& e 8*9 e $a*e&a 'e 8x9 ()see #*6*#as s)l'c#)*es.
b
$ 1 0
b 7 e 1 x2
F
3 x 1
;
, ee&$#*e 8$9 (a&a 'e se +e'e:
e 30
2x 1 *
x 3x 4
β
x1 las 43. S#e*) ? 30 ec'ac#*:
s#e*)
3
es el c)*'*) s)l'c#* e ec'ac#*:
40. E* la ec'ac#*:
a 3
x 1
S#e*) 8 9 ? 8 9 s's s)l'c#)*es. β E α β α I*#'e L es $e*)& 'e 1M< 1M< 5M< a b c 5M< e 4 a-b
2
5 2
a
3
2
α , ee&$#*a& el
1 2
e
2
c
2c
1
2b c
b 4c
x1 x1
0
4
x2 x2
10 b e 1
c 4
x
2
4 * 1 x <4
0
$-*
#e*e &a"ces s#$%&#cas ? &ec"(&)cas.
#e*e c)$) c)*'*) s)l'c#* *-*D * D-* N
2
, calc'le
4 b 1< < e
10
2 1
2 1
a
;
a
G
b 3
c
2 1
4
c
2 1
2 1 2
45. alle el +al)& e 8$9 sab#e*) 'e e '*a &a"= excee a la )&a e* 4 '*#aes. 4;. alla& el +al)& e 8$O*9 s# las 2 x $ 5 x $ 0 ec'ac#)*es s)* e'#+ale*es:
2
5
a
<
b
( 2n) x2− ( m − 2) x+ 3= 0 . . . ( I )
c
10 x2− mx+ 15= 0 . . . ( I I )
7
3
e
4<. alla& la ec'ac#* e se'*) &a) c'?as &a"ces sea*: 5
?1
5
x1 x1 x2
7
x2
2
x1 x2
x2
3
-
b 2 e <
x2 x1
x1
3
x2
4>. S#: ec'ac#*:
2
x
2 0
ec'ac#*: . Da& c)$) &es('esa el c)e6c#e*e e*e&) el %&$#*) l#*eal: 232 1>0 200 a b c 2>2 2;4 e $ *
47. alla& 8 c'a&J#ca
1024x
2
9, *
$
&a"ces
2
3 0
x
e
la
- calc'la&: s)* &a"ces e la
x
s)*
2x
x1 - x 2 D)*e:
c ;
7
x1
?2
2
x2 x1
a 7 4
s# 10
1 x2
. 1 3
1 3
a
b 1 2
c
e la bx c
ec'ac#* 0 e &a"ces
0 -
1 2
3 2
50. E* ec'ac#* 2 ax
la
; x *
1 x1
B
c'$(le 'e:
c'a&J#ca x1-x 2 se
x1 x2
x2 x1
1 2
1
2
a
2
b
1
e I*#'e la &elac#* 'e ex#se e*&e51. Dee&$#*a& 8$9 ? 8*9 ales 'e las a- b- c (a&a 'e se c'$(la esa ec'ac#)*es: c)*#c#*. 2 5$ 52 x $ 4 x 4 0 I 2 2 b 4ac c 2b 2 a b 2* 1 x 5*x 20 0 II 2 2 2 c 4bc a b c e*a* el $#s$) c)*'*) s)l'c#*: c a > ? 7 b 11 ? 7 c 7 ? ; 10 ? > e 12 ? ;
