Fundamentos Fundamentos de la Mecánica de los Medios
5.1Ecuación generalizada de esfuerzo de Hooke Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Isaac Newto Newton, n, y contrib contribuye uyente nte prolí prolíco co de la ar!uit ar!uitect ectura" ura" Esta Esta ley comp comprrende ende nume numerrosas osas disc discip ipli lina nas, s, sien siendo do util utili# i#ad ada a en in$e in$eni nier ería ía y construcci%n, así como en en la ciencia de los materiales" materiales" &nte el temor de !ue al$uien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo public% en forma de un famoso famoso ana$rama, ana$rama, ceiiinosssttuv , re'elando su contenido un par de a(os más tarde" El ana$rama si$nica Ut tensio sic vis )*como la e+tensi%n, así la fuer#a* En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, ori$inalmente formulada para casos del estiramiento lon$itudinal, establece !ue el alar$amiento unitario !ue e+perimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuer#a aplicada -
.iendoEl alar$amiento, /a lon$itud ori$inal,
-
M%dulo de 0oun$, /a secci%n trans'ersal de la pie#a estirada" /a ley se aplica a materiales elásticos 1asta un límite denominado límite elástico"
Ley de Hooke para los resortes: /a forma más com2n de representar matemáticamente la /ey de Hooke es mediante la ecuaci%n del muelle o resorte, donde se relaciona la fuer#a e3ercida en el resorte con la elon$aci%n o alar$amiento producido-
4onde se llama constante elástica del resorte y 'ariaci%n !ue e+perimenta su lon$itud"
es su elon$aci%n o
/a ener$ía de deformaci%n o ener$ía potencial elástica asociada al estiramiento del resorte 'iene dada por la si$uiente ecuaci%n-
Unidad
Página
POTEN!"L EL#$T!O
!N%E&$!'N (E L" LE) (E HOO*E. +'(,LO (E )O,N-. OE!!ENTE (E PO!$$ON
PL"NTE"+!ENTO (EL P&O/LE+" EL#$T!O L!NE"L
E,"!ONE$ (E -O/!E&NO
ON(!!ONE$ (E ONTO&NO
Es importante notar !ue la antes denida depende de la lon$itud del muelle y de su constituci%n" 4eniremos a1ora una constante intrínseca del resorte independiente de la lon$itud de este y estableceremos así la ley diferencial constituti'a de un muelle" Multiplicando por la lon$itud total, y
llamando al producto
o
/lamaremos a la distancia + de uno de coordenadas, a la lon$itud
intrínseca, se tiene-
tensi%n en una secci%n del muelle situada una sus e+tremos !ue tomamos como ori$en de constante de un pe!ue(o tro#o de muelle de a la misma distancia y al alar$amiento de
ese pe!ue(o tro#o en 'irtud de la aplicaci%n de la fuer#a del muelle completo-
" 5or la ley
6omando el límite-
7ue por el principio de superposici%n resulta-
7ue es la ecuaci%n diferencial del muelle" .i se inte$ra para todo , se obtiene como ecuaci%n de onda unidimensional !ue describe los fen%menos ondulatorios )8er- Muelle elástico" /a 'elocidad de propa$aci%n de las 'ibraciones en un resorte se calcula como-
Unidad
Página
Ley de Hooke en sólidos el0sticos: En la mecánica de s%lidos deformables elásticos la distribuci%n de tensiones es muc1o más complicada !ue en un resorte o una barra estirada s%lo se$2n su e3e" /a deformaci%n en el caso más $eneral necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras !ue los esfuer#os internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones" Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke $enerali#adas o ecuaciones de /am9:Hooke, !ue son las ecuaciones constituti'as !ue caracteri#an el comportamiento de un s%lido elástico lineal" Estas ecuaciones tienen la forma $eneral-
“Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas, se involucran sólo en la recta del diagrama de esfuero ! deformación"#
4e tal forma !ue la deformaci%n es una cantidad adimensional, el m%dulo se e+presa en las mismas unidades !ue el esfuer#o )unidades " El má+imo 'alor del esfuer#o para el !ue puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material" En este caso, los materiales d2ctiles !ue poseen un punto de cedencia denido; en ciertos materiales no puede denirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya !ue es difícil determinar con precisi%n el 'alor del esfuer#o para el !ue la similitud entre y de3e de ser lineal" &l utili#ar la ley de Hooke en 'alores mayores !ue el límite de proporcionalidad no conducirá a nin$2n error si$nicati'o" En resistencia de materiales se in'olucra en las propiedades físicas de materiales, como resistencia, ductibilidad y resistencia de corrosi%n; !ue pueden afectarse debido a la aleaci%n, el tratamiento t9rmico y el proceso de manufactura"
Unidad
Página
5."plicaciones a pro2le3as de elasticidad lineal
& partir del modulo de 0oun$ y el coeciente de 5oisson se puede obtener la relaci%n 6ension:deformacion en un punto sometido a un estado tensional arbitrario, encontrando la llamada ley de Hooke generalizada , pues e+tiende al continuo la relaci%n elástica de los resortes" 5ara obtener dic1a relaci%n partimos primero de la si$uiente obser'aci%n- el estado tensional más comple3o !ue puede e3ercerse sobre un diferencial de 'olumen es un estado tria+ial de tracci%n
Estudiando a continuaci%n un estado de tracci%n
Finalmente, considerando el tercer estado de tensi%n posible se obtiene !ue la tensi%n y deformaci%n sean
5or el principio de superposici%n, la deformaci%n debida a un estado tensional ) ) ) ) ) ) es la suma o en forma de matri#-
/a primera conclusi%n !ue se obtiene de lo anterior es !ue, en un material elástico is%tropo, las bases principales de tensi%n y deformaci%n coinciden" .obre todo, esta e+presi%n indica la relaci%n más $eneral posible entre tensi%n y deformaci%n de un material de estas características cuando estas dos cantidades se e+presan en componentes de la base principal" 5ara 1allar la e+presi%n intrínseca, 'álida para cual!uier sistema de coordenadas,
Unidad
Página
no necesariamente cartesiano reformulamos la anterior e+presi%n de la si$uiente manera-
Unidad
Página
Esta 2ltima e+presi%n depende solo de operadores intrínsecos, pues en nin$2n lu$ar se 1ace referencia a componentes o sistemas de coordenadas, así !ue se puede formular de manera completamente $eneral la si$uiente ley de Hooke generalizada -
5ara la resoluci%n de problemas resulta 2til reco$er la e+presi%n en componentes cartesianas" 4enimos para ello el modulo de cortante o y escribimoscizalla
)
En estas e+presiones se puede leer un resultado adicional importante- en los materiales elásticos is%tropos las tensiones normales solo producen deformaciones lon$itudinales )en las tres direcciones debido al efecto 5oisson y las tensiones cortantes solo produce deformaciones an$ulares )cada tensi%n cortante produce una deformaci%n an$ular desacoplada del resto"
Unidad
Página
5.4Ecuación de Naier6auc7y
$!+ET&8" (EL TEN$O& (E TEN$!ONE$ (E ",H)
5.9Ecuación de Naier6$tokes /as ecuaciones de Naier6$tokes reciben su nombre de Claude:/ouis Na'ier y =eor$e =abriel .tokes" .e trata de un con3unto de ecuaciones en deri'adas parciales no lineales !ue describen el mo'imiento de un >uido" Estas ecuaciones $obiernan la atm%sfera terrestre, las corrientes oceánicas y el >u3o alrededor de 'e1ículos o proyectiles y, en $eneral, cual!uier fen%meno en el !ue se in'olucren >uidos newtonianos"
Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conser'aci%n de la mecánica y la termodinámica a un 'olumen >uido" Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones" 5ara lle$ar a su formulaci%n diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente a!uella en la !ue los esfuer#os tan$enciales $uardan una relaci%n lineal con el $radiente de 'elocidad )ley de 'iscosidad de Newton, obteniendo de esta manera la formulaci%n diferencial !ue $eneralmente es más 2til para la resoluci%n de los problemas !ue se plantean en la mecánica de >uidos" Como ya se 1a dic1o, las ecuaciones de Na'ier:.tokes son un con3unto de ecuaciones en deri'adas parciales no lineales" No se dispone de una soluci%n $eneral para este con3unto de ecuaciones, y sal'o ciertos tipos de >u3o y situaciones muy concretas no es posible 1allar una soluci%n analítica;
por lo !ue en muc1as ocasiones es preciso recurrir al análisis num9rico para determinar una soluci%n apro+imada" & la rama de la mecánica de >uidos !ue se ocupa de la obtenci%n de estas soluciones mediante m9todos num9ricos se la denomina dinámica de >uidos computacional En particular, para un >uido newtoniano, e is%tropo )las propiedades del >uido no cambian con la direcci%n, el con3unto de leyes anteriores se concreta en las ecuaciones de Na'ier:
.tokes, !ue se obtienen directamente de las ecuaciones de continuidad y del mo'imiento" /a ecuaci%n de continuidad será directamente la e+presi%n de la ley de conser'aci%n de la masa" /a ecuaci%n del mo'imiento, se obtiene de anali#ar la naturale#a de las fuer#as !ue act2an sobre el >uido por unidad de 'olumen" Estas fuer#as son las !ue e3erce el propio >uido más las fuer#as e+teriores !ue puedan e+istir" En la deducci%n de las ecuaciones se plantea el e!uilibrio de fuer#as sobre un 'olumen de control" /as fuer#as !ue se e3ercen sobre el contorno de este 'olumen de control, por parte del propio >uido o de un contorno material, son unas tensiones sobre la supercie del mismo !ue se pueden representar con un tensor de tensiones , de manera !ue los elementos de la dia$onal de este tensor son las fuer#as normales por unidad de supercie en el contorno del 'olumen y el resto de componentes serían las componentes tan$enciales de dic1as fuer#as" 5or e!uilibrio de momentos se demuestra !ue el tensor de tensiones es sim9trico" El resto de fuer#as e+teriores las a$rupamos ba3o el t9rmino b )fuer#as por unidad de masa, aun!ue en $eneral s%lo consideraremos la $ra'edad y la fuer#a de Coriolis debido a la rotaci%n de la tierra" &plicando directamente la ley de conser'aci%n de la cantidad de mo'imiento con las consideraciones anteriores sobre el 'olumen de control, y utili#ando el teorema de =auss o de la di'er$encia en la supercie cerrada !ue es su contorno, se obtiene-
El tensor de tensiones se puede descomponer a su 'e#, para el caso de >uido incompresible, en la suma de dos" El primero representa su parte is%tropa, !ue es una matri# dia$onal de componentes i$uales, mientras !ue el resto se podría llamar tensor de tensiones 'iscosas , es decirdonde representa la matri# identidad y por)
es un escalar !ue 'iene dado
es la tra#a )suma de los elementos de la dia$onal del tensor de tensiones, !ue para un >uido en mo'imiento se conoce por presi%n dinámica" 5ara el caso de >uidos compresibles )e+cepto en el caso de $ases monoat%micos esto no es e+actamente cierto ya !ue 1abría !ue considerar la in>uencia de una 'iscosidad adicional debida a la dilataci%n 'olum9trica del >uido" .tokes formul% la 1ip%tesis de !ue esta in>uencia se podría despreciar siempre; en este caso, de las dos ecuaciones anteriores se desprende !ue la tra#a de es i$ual a cero" El tensor de tensiones 'iscosas representa la parte no is%tropa del tensor de tensiones" .us elementos de la dia$onal son las tensiones 'iscosas normales, mientras !ue
el resto son las tensiones 'iscosas tan$enciales, por lo !ue la 1ip%tesis de .tokes implica !ue la suma de las tensiones 'iscosas normales es cero" ?n >uido newtoniano es a!uel !ue cumple la ley de Newton, se$2n la cual la tensi%n tan$encial entre dos capas de >uido en mo'imiento es proporcional a la 'elocidad relati'a entre dic1as capas" Matemáticamente esto se traduce en !ue el tensor de tensiones totales es proporcional a la parte sim9trica del tensor 'elocidad de deformaci%n, y se escribe como4onde es la parte sim9trica del tensor 'elocidad de deformaci%n !ue, en componentes, responde a la e+presi%n)
,
donde sería la componente de la 'elocidad en la direcci%n del espacio dada por " es el coeciente de 'iscosidad dinámica !ue relaciona el tensor de tensiones con el tensor 'elocidad de deformaci%n .ustituyendo la ley de Newton, y teni9ndola en cuenta a su 'e# en la e+presi%n de la presi%n se obtiene !ue)
Esta e+presi%n, 3untamente con la ecuaci%n del mo'imiento y al$unas operaciones matemáticas nos permite obtener la ecuaci%n del mo'imiento para un >uido is%tropo, newtoniano, !ue, 3untamente con la ecuaci%n de continuidad, teniendo en cuenta !ue la densidad del >uido es precisamente la masa por unidad de 'olumen, constituyen las ecuaciones de Na'ier: .tokes )
5.5"plicaciones a pro2le3as de 3ec0nica de uidos L,!(O$ !NO+P&E$!/LE$
L,!(O$ ON %!$O$!("( %OL,+;T&!" N,L" <L,!(O$ (E $TO*E$=
L,!(O$ PE&ETO$
H!(&O$T#T!"
