UNIDAD 4 Ecuaciones

UNIDAD 4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4.1.- DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. En matemáti matemáticas cas y álgebra álgebra lineal, un sistema sistema de ecuacio ecuaciones nes lineales lineales,, también también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada cada ecua ecuació ción n es de prime primerr grad grado), o), defin definida idas s sobre sobre un cuerp cuerpo o o un anill anillo o conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables !", !# y !$ %ue satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de se&ales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la apro!imación de problemas no lineales de análisis numérico.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como

'onde

son las incógnitas y los nmeros

del sistema sobre el cuerpo

son los coeficientes

. Es posible reescribir el sistema

separando con coeficientes con notación matricial

i representamos cada matri* con una nica letra obtenemos

'onde + es una matri* m por n, ! es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de auss-ordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del %ue provengan los coeficientes.

4.2.- CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Los sistemas de ecuaciones se ueden c!asi"ica# se$%n e! n%me#o de so!uciones &ue ueden #esenta#. /ueden presentar los siguientes casos

1.

istema incompatible  si no tiene nin$una so!uci'n.

2.

istema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre istema compatible determinado cuando tiene un nmero finito de

o

soluciones. o

istema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Teniendo as( !a c!asi"icaci'n)

abemos %ue una ecuación lineal o de primer grado es a%uella %ue involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a

 uno, %ue no se escribe). on llamadas lineales por%ue se pueden representar  como rectas en el sistema cartesiano. e pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales

a) Ecuaciones lineales propiamente tales En este tipo de ecuación el denominador de todas las e!presiones algebraicas es igual a " y no se presentan como fracción, aun%ue el resultado sí puede serlo.

/ara proceder a la resolución se debe Eliminar paréntesis. 'ejar todos los términos %ue contengan a 0!0 en un miembro y los nmeros en el otro. 1uego despejar 0!0 reduciendo términos semejantes.

Ejemplo 2! 3 #(4! 3 5) 6 $! 7 "#(#! 7 "4) 2! 3 "#! 7 "8 6 $! 7 #2! 7 "9# 2! 3 "#! 3 $! 3 #2! 6 "9# 3 "8  3$5! 6 ":#

b) Ecuaciones fraccionarias En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las e!presiones algebraicas es diferente de " (es una fracción). /ara proceder a la resolución se debe 1levar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo comn mltiplo de los denominadores (m.c.m.) Ejemplo

c) Ecuaciones literales /ueden ser lineales o fraccionarias. i son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factori*a por 0!0 para despejarla. Ejemplo

4.* INTE+,+ETACIÓN EOMT+ICA DE LAS SOLUCIONES. ;ada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. 1uego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. 1as soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los casos son 6Un punto nico. istema compatible determinado. 1os tres planos se cortan en /.

6Una recta. on soluciones todos los puntos representativos de la recta comn. istema compatible indeterminado con un grado de libertad. 1os planos se cortan en r.

6Un plano. 1os planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad. 6ue los planos sean paralelos