ct 11 : Reconocimiento Unidad 3 NTRODUCCION A LA UNIDAD: ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES
ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES En este tema se trata únicamente de efectuar un breve repaso de las series de potencias. Se expondrán los conceptos y propiedades, sin realizar las demostraciones. Se suponen conocidas las series numéricas y también los conceptos fundamentales relativos a las series de potencias.
una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde N es el índice final de la serie. Las series Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .
Las series convergen o divergen. divergen. En cálculo, una serie diverge si infinito;converge infinito;converge si
para algún
no existe o si tiende a
.
Algunos tipos de series •
Una geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante. Ejemplo (con constante 2):
En general, para las series geométricas
•
|z | < 1. sólo si z La armónica es la serie
•
La serie armónica es divergente. Una alternada (O Serie telescópica) telescópica) es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:
Sumas conocidas
Criterios de convergencia Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente). Condición del resto
Si una serie
es convergente, entonces
.
El recíproco no es cierto. El contra recíproco es:
Si
entonces
es divergente.
Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero. Demostración: Por Hipótesis: S k = a1 + a2 + ... + ak para todo s ? ?
Sabemos que S k ? 1 = a1 + a2 + ... + ak ? 1 y que
para todo s ? ?
Por lo tanto teniendo en cuenta que S k ? S k ? 1 = ak entonces Queda demostrada la proposición. Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente
Sea una serie
, tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe
con
, el Criterio de D'Alembert establece que:
•
si l < 1, la serie converge. si l > 1, entonces la serie diverge.
•
si l = 1, no es posible decir nada sobre el comportamiento de la serie.
•
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.
Criterio de Cauchy (raíz enésima)
Sea una serie
, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe , siendo
Entonces, si: • •
•
l < 1, la serie es convergente. l > 1 entonces la serie es divergente. l =1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.
Criterio de Raabe
En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.
Sea una serie
, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
, siendo
Por tanto, si l > 1, entonces la serie es convergente y si l < 1, la serie es divergente Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz. Criterio de la integral de Cauchy Si f ( x) es una función positiva y monótona creciente definida en el intervalo [1, ?) tal que f (n) = an para todon, entonces
converge si y sólo si
es finita.
Criterio de Leibniz
Una serie de la forma condiciones: a)
(con
) se llama alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes
para n par y n impar
b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que:
Si esto se cumple la serie
es condicionalmente convergente de lo contrario la serie diverge.
Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de para series positivas.
antes de aplicar este criterio, usando los criterios
Serie geométrica
Dada la serie • •
puede afirmarse que:
Si |r|<1 la Serie Converge Si |r|>=1 la Serie Diverge
Criterios de convergencia comparativos Son aplicables en caso de disponer de otra seríe la seríe geometrica. Entonces: Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss )
Si
•
Si
converge
•
Si
diverge
converge diverge
tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para
Criterio de comparación por paso al límite del cociente
Entonces:
•
Si l = 0 y
converge
•
Si
•
En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).
y
diverge
converge diverge
Tipos de convergencia Convergencia absoluta
Una serie alternada an converge absolutamente si
es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una serie convergente. Las series se utilizan en el análisis complejo y el análisis funcional, donde es relevante si una serie converge. Aqui faltan otras.
No olvides revisar el modulo para profundizar en la temática. Continuar
La serie armónica es: Decreciente Convergente Creciente Divergente
Su respuesta :
Divergente Correcto. !Felicitaciones! na serie alternada an converge absolutamente si
A. Es una serie convergente. B. Es una serie divergente. C. Es una Serie hipergeométrica D. Es una serie infinita
A B D C
Su respuesta :
A CORRECTO Una serie es A. Una suma de los términos de una progresiòn B. Una suma de los términos de una sucesiòn
C. Un grupo de terminos de una progresiòn D. Un grupo de terminos de una sucesiòn
C B D A
Su respuesta :
B CORRECTO lasificar una serie es determinar A. si converge a un número real o imaginario B. si diverge a un número real o imaginario C. si converge a un número real o si diverge D. si es diferenciable o integrable
B A C D
C CORRECTO ONTENIDOS DE LA UNIDAD: ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES
CONTENIDO: ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES UNIDAD 3 - ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES. SERIES DE POTENCIAS FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde N es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito. Completamos este material didáctico con la tercera unidad cuyo objetivo final nos dará las técnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales lineales con coeficientes variables, utilizando para ello las series. Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular. Realicemos un paseo en el contenido de la unidad. Analiza el siguiente link: CONTENIDO UNIDAD 3 FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS Una de las principales aplicaciones de las series en el curso de ecuaciones diferenciales es:
Encontrar funciones especiales. La resolución de ecuaciones diferenciales. Encontrar el primer y último término de una sucesión. Hallar cuando crece y cuando decrece una función.
Su respuesta :
La resolución de ecuaciones diferenciales. Correcto. !Felicitaciones!
abrás observado que los polinomios aproximaban más a la función cuando más términos tengan. Cabe entonces la siguiente pregunta: Si los polinomios contuvieran una infinidad de términos, ¿serían idénticos a la función en todo su dominio? Dicho de otra manera, ¿podríamos representar a una función mediante una serie infinita de potencias de x o de (x-a)?
A. La respuesta es afirmativa para ciertas funciones B. La respuesta es afirmativa C. La respuesta es negativa D. No se puede representar
A B C D
Su respuesta :
A CORRECTO
A D B C
u respuesta :
D CORRECT
Si {a } es una sucesión infinita, entonces a(1)+a(2)+a(3)+...+a +... se llamaserie infinita, o simplemente serie. Los números a(1), a(2), a(3), ... se llaman A. coeficientes de la serie B. variables de la serie C. términos de la serie D. soluciones de la serie
B D C
A
Su respuesta :
C CORRECTO PLICACIONES DE LA UNIDAD:ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES
APLICACIONES ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES Muchas funciones especiales se originan como soluciones a Ecuaciones diferenciales o a integrales de funciones elementales. Por lo tanto, las tablas de integrales por lo general incluyen una descripción de funciones especiales, y tablas de funciones especiales mas integrales importantes; por lo menos, la representación integral de las funciones especiales. la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (ar , a+r )
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r , a+r ) y la suma es igual a f ( x), entonces la función f ( x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f ( x), se suele utilizar una estimación del resto del toerema de taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin. Esta representación tiene tres ventajas importantes: •
La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
•
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
•
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x. La aplicación de mayor utilidad para abarcar en el curso es la solución de Ecuaciones diferenciales mediante series de potencias.
No olvides profundizar la temática conla ayuda delmodulo en línea. Para resolver esta pregunta consulta en Google o en el material entregado lo referente a aplicaciones de Bessel o consulta en wikipedia .org ( ver Electromagnetismo). La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmoltz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (? = n) y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden
semientero (? = n + 1 / 2) La Ecuación de Bessel genera una aplicación en:
Conducción del calor en cualquier o bjeto Modos de vibración mecánica rectangular Ondas electromagnéticas en guías de onda cilindríca Ondas electromagnéticas en guías de onda plana
Ondas electromagnéticas en guías de onda cilindríca Correcto. !Felicitaciones! Una función especial es una función matemática particular, que por su importancia en el campo del análisis matemático, análisis funcional, la física y otras aplicaciones, posee nombres y designaciones más o menos establecidos. No existe una definición general de las mismas, pero la lista de funciones matemáticas contiene funciones que son generalmente aceptadas como especiales. En particular, las funciones elementales son también consideradas funciones especiales. De acuerdo al material didáctico se puede decir: A. Muchas funciones especiales se originan como soluciones a ecuaciones diferenciales o integrales de funciones elementales B. Muchas funciones especiales se originan como soluciones de funciones elementales
C. Muchas funciones especiales son soluciones elementales D. Muchas funciones especiales se originan como soluciones derivables de funciones elementales
A D C B
A CORRECTO
