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e l i h ´ C SEMANA 1: LOGICA e d 1. Logica o ´gica d a La l´ ogica le proporciona a las matem´aticas ogica aticas un lenguaje claro y un m´ etodo etodo preciso para d demostrar demostrar teoremas teoremas a partir de axiomas. axiomas. Por ejemplo: ejemplo: i s r axiomas de Euclides, Eucli des, definiciones, nociones primarias de geometr´ geometr´ıa cl´asica asica e + v l´ ogica ogica i = n teoremas teorema s de la geometr geomet r´ıa euclidi eu clidiana ana U Un ejemplo de noci´on on primaria es la de punto. Un ejemplo de axioma es el que dice que por un punto ubicado fuera de una recta L pasa una y s´olo olo una recta paralela a L. Sin la l´ogica ogica los axiomas ser´ ser´ıan un mont´ on de verdades aceptadas, pero nada m´as. on a s. a La c l´ ogica, sin embargo, les da sentido y permite concluir nueva verdades (teoremas) que antes no ogica, i conoc´ conoc´ıamos. Un ejemplo de teorema: la suma de los ´angulos interiores de cualquier tri´angulo angulo t siempre es de 180 ◦. a ´ Al ser la l´ogica ogica el punto de partida de las matem´aticas, aticas, en ella se deben introducir introducir nociones m primarias tales como proposici´on, on, valor de verdad, conectivo l´ogico. ogico. e t 1.1. 1.1. Proposi Proposicio ciones nes y valor valor de de verdad verdad a Definici´ on on 1.1 (Proposici´ on on l´ ogica). ogica). Una proposici´ on debe interpretarse como un enun M ciado que siempre toma uno de los valores de verdad posibles: verdadero ( V ) V ) o falso ( F ). F ). a ı Por ejemplo, ejemplo, en el contexto contexto de la aritm´ aritm´etica, etica, “2+1=5” corresponde corresponde efectivamen efectivamente te a ´ una r proposici´on. on. M´as as a´ un, su valor de verdad es F . un, F . e T´ıpicamente notaremos a las proposiciones con letras min´usculas: usculas: p,q,r, p,q,r, etc. i n e Algunos ejemplos: g n “Estoy estudiando estudia ndo ingenier ingeni er´´ıa”. I e “1≥ 0” 0”.. d “Est´a lloviendo en Valdivia”. o t n 1.2. 1.2. Cone Conect ctiv ivos os l´ ogicos ogicos e Los conectivos l´ogicos ogicos sirven para construir nuevas proposiciones a partir de proposiciones m ya conocidas. El valor de verdad de la nueva proposici´on on depender´a del valor de verdad a de las proposiciones proposiciones que la forman. forman. Esta dependencia dependencia se explicita explicita a trav´ trav´es es de una tabla t de r verdad. a p e 1 D Ingen In gen ie ierr´ıa Mat Matem´ em´at atic ica a
FACULTAD DE CIENCIAS ´ F´ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´ o n al Algebra on 08-1
Ah´ı enco encontrar ntrar´´as as las gu gu´´ıas de ejerci ejercicios cios y pr prob oble lema mas, s, ad adem em´´as a s de in info form rmac aci´ i´ on on acerca de cu´al al ser´a la din´amica amica del curso.
Usa estas notas al margen margen para consultar sultar de manera manera m´ as as r´ apida apida el materia terial. l. Haz Haz tamtambi´ en en tus propias anotaciones.
e l i h Definici´ on on 1.2 (Negaci´ on). on). La proposici´ on p se lee “no p” y es aquella cuyo valor C de verdad es siempre distinto al de p. Por ejemplo, la negaci´ on de “mi hermano ya cumpli´ o e quince a˜ nos” es “mi hermano a´ un no cumple quince a˜ nos”. nos”. Esto se explicita a trav´ trav´es es de la d siguiente tabla de verdad. d p p a V F d i F V s r Definici´ on o n 1.3 (O l´ ogico ogico o disyunci´ on). on). La proposici´ on p on p ∨ q se lee“ p o q”. Decimos que e p ∨ q es verdad, verdad, o que “se tiene p ∨ q”, cuando al menos una de las dos proposiciones, o bien p v o bien q bien q , es verdadera. Por ejemplo, la proposici´ on “ma˜ “manana ˜ llover´ a o ma˜ nana no llover´ a”es i verdadera. En otras palabras, tal como se aprecia en la siguiente tabla de verdad, si alguien n afirma que se tiene p ∨ q lo que nos est´ a diciendo es que nunca son simult´ aneamente falsas. U p q p∨ q V V V a V F V c F V V i F F F t a ´ Definici´ on o n 1.4 (Y l´ ogico ogico o conjunci´ on). on). La proposici´ on p ∧ q se lee “ p y q ”. Tal como m se aprecia en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p ∧ q, lo que nos e est´ a diciendo es que ambas proposiciones son verdaderas. t a p q p∧ q V V V M V F F F V F a ı ´ F F F r e Definici´ on 1.5 (Implicancia). Todos on odos estaremos estaremos de acuerd acuerdo o en conside considera rarr verdad verdadera era i la proposici´ on “si el se˜ nor K est´ a en California entonces el se˜ nor K est´ a en Estados Unidos”. n ¿Por ¿P or qu´ qu´e? e? e Porque a uno no le importa d´ onde est´ a el se˜ nor K: podr podr´ ´ıa estar en Texas o en China. g Lo unico u ´nico importante es que, si efectiva efectivamente mente “est´ a en Californa”, entonces podemos concluir, n I con esa sola informaci´ on, que “est´ “est´ a en Estados Unidos”. La proposici´ on p ⇒ q se lee “ p implica q ” o “si p entonces q”. Para estudiar su valor de e verdad nos debemos concentrar en el caso de que la hip´ otesis p sea verdadera. verdade ra. Ah´ Ah´ı tene t enemos mos d que determinar si basta con esa informaci´ on para para concluir concluir que q es verdadera. En resumen: si alguien afirma que se tiene p ⇒ q, debemos concluir que si p es verdad entonces o necesariamente q ser´ a verdad. verdad. Todo esto se explicita a trav´ es es de la siguiente tabla. t abla. t n p q p⇒ q e V V V V F F m F V V a t F F V r a p e 2 D
e l i h C Definici´ on 1.6 (Equivalencia). Decimos que la proposici´ on on p es equivalente con la proposici´ on q (o que “ p si y s´ olo si q ”), y escribimos p ⇐⇒ q, cuando basta con conocer e el valor valor de verdad verdad de una para para saber saber el valor valor de verdad verdad de la otra otra ya que ´este este siempre siempre es d el mismo. Por ejemplo “el paralel´ ogramo dibujado en la pared tiene todos sus ´ angulos iguales” es equi d valente con la proposici´ on “las diagonales del paralel´ ogramo dibujado en la pared miden a lo mismo”. O bien ambas son verdaderas o bien ambas son falsas. d i s ⇐ ⇒ p q p q r V V V e V F F v F V F i F F V n U 1.3. Tautolog auto log´ ´ıas Definici´ on on 1.7 (Tautolog´ (Tautol og´ıa). ıa) . Una tautolog´ tau tolog´ıa ıa es e s una un a proposici´ proposic i´ on que, sin importar el valor a de verdad de las proposiciones que las constituyen, es siempre verdadera. c i t Tres ejemplos bastante razonables: a ´ Ejemplos: m e p ∨ p t p ⇒ p ∨ q a ( p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (q ⇐⇒ p) M Demostraremos, desarrollando una tabla de verdad, que la primera primera proposici´on on es tautolog tautolo g a ´ıa. ı ´ p p p∨ p r e V F V i F V V n e Todas las tautolog´ tautolog´ıas son equivalentes equivalentes entre s´ı y se pueden reemplazar por p or la proposici´ on on V . V . Por ejemplo ( p ( p ∨ p) p) ⇐⇒ V . V . Esto es an´alogo alogo a lo que hacemos cuando reemplazamos g el n t´ermi er mino no (x − x) por el s´ımbolo 0. I e Definici´ on on 1.8 (Contradicci´ on). on). As´ı como existen existe n las tautolog´ıas ıas existen las contradic d ciones. Son proposiciones siempre falsas. o Por ejemplo, p ∧ p. p. Son todas equivalentes a la proposici´on on F . F . t Vamos a listar una serie de tautolog tautolog´´ıas de la forma A ⇐⇒ B . El uso que se les dar´a n es el siguiente. Cada vez que en una cierta proposici´on on aparezca la expresi´on on A, puede e reemplazarse reemplazarse por B . Y viceversa. El lector debe demostrar la condici´on on de tautolog tautolo g´ıa de algunas de ellas usando tablas de verdad, como ejercicio. m a t r Proposici´ on on 1.1 (Tautol (Tautolog og´ ´ıas importantes) imp ortantes).. a p e 3 D
e l i h C ( p ∧ p) p) ⇐⇒ F ( p ∧ V ) V ) ⇐⇒ p ( p ∧ F ) F ) ⇐⇒ F 1. ( p ∨ p) p) ⇐⇒ V ( p ∨ V ) V ) ⇐⇒ V ( p ∨ F ) F ) ⇐⇒ p e d 2. Caracterizaci´ Caracterizaci´ on de la implicancia. ( p ⇒ q) ⇐⇒ ( p ∨ q) d 3. Leyes Leyes de De Morgan. Morgan. a d i a ( p ∧ q) ⇐⇒ ( p ∨ q) s b ( p ∨ q) ⇐⇒ ( p ∧ q) r e 4. Doble Doble negaci´ negaci´ on. p ⇐⇒ p v i 5. Conmutatividad. n U 5.1. ( p ∨ q ) ⇐⇒ (q ∨ p) p) 5.2. ( p ∧ q ) ⇐⇒ (q ∧ p) p) a 6. Asociatividad. Asociatividad. c i t a ´ 6.1. ( p ∨ (q ∨ r)) ⇐⇒ (( p ∨ q) ∨ r) 6.2. ( p ∧ (q ∧ r)) ⇐⇒ (( p ∧ q) ∧ r) m e 7. Distributividad. Distributividad. t a 7.1. ( p ∧ (q ∨ r)) ⇐⇒ (( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)) M 7.2. ( p ∨ (q ∧ r)) ⇐⇒ (( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)) a 7.3. ((q ((q ∨ r) ∧ p) p) ⇐⇒ ((q ((q ∧ p) p) ∨ (r ∧ p)) p)) ı ´ r 7.4. ((q ((q ∧ r) ∨ p) p) ⇐⇒ ((q ((q ∨ p) p) ∧ (r ∨ p)) p)) e i n e g n 1.3.1. Cuatro tautolog´ tautolog´ıas muy importantes I Estas cuatro tautolog´ tautolog´ıas se prueban usando tablas de verdad . Son particularmente ´utiles utiles e para demostrar teoremas. Cada una de ellas da lugar a una t´ ecnica ecnica de demostraci demostraci´´on: on: equivalencia dividida en d dos partes, transitividad transit ividad,, contrarrec contrarre c´ıproca, ıpro ca, reducci´on al absurdo. En las partes que siguen ilus o t traremos traremo s el uso de estas e stas t´ecnicas. ecnicas . Ver´as as este s´ımbolo ımbo lo ⋆cada vez que lo hagamos. n e m Proposici´ on on 1.2. a t r 1. Equivale Equivalencia ncia dividida dividida en dos partes. partes. ( p ⇐⇒ q) ⇐⇒ ( p ⇒ q ∧ q ⇒ p) p) a p e 4 D
e l i h C 2. Transitividad. ransitividad. (( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ ( p ⇒ r) e d 3. Contrar Con trarrec rec´ ´ıproca. ıproca. ( p ⇒ q) ⇐⇒ (q ⇒ p) p) d 4. Reducci Reducci´ ´ on al absurdo. ( p ⇒ q) ⇐⇒ ( p ∧ q ) a d i s 1.3.2. 1.3.2. Verific Verificaci aci´ ´ on on simb´ olica olica y exploratoria r e Cuando queremos verificar de manera simb´olica olica que cierta proposici´on on es tautolog tautolo g´ıa evita v remos usar tablas de verdad y s´olo olo nos permitiremos usar (como conocidas) las tautolog´ tautolog ´ıas i b´asicas asicas que aparecen en las secciones anteriores. Demostremos de manera simb´olica entonces n que: U ( p ⇐⇒ q) ⇐⇒ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q) En efecto: efecto: ( p ⇐⇒ q ) ⇐⇒ ( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p) p) a ⇐⇒ ( p ∨ q) ∧ (q ∨ p) p) c i ⇐⇒ [( p ∨ q) ∧ q] ∨ [( p ∨ q) ∧ p] p] t ⇐⇒ [( p ∧ q) ∨ (q ∧ q)] ∨ [( p ∧ p) p) ∨ (q ∧ p)] p)] a ´ ⇐⇒ [( p ∧ q) ∨ F ] F ] ∨ [F ∨ (q ∧ p)] p)] ⇐⇒ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ q) m e En las demostraciones demostraciones exploratorias exploratorias se acepta acepta “explorar” “explorar”la la tabla de verdad verdad deshechando deshechando t los a casos ”f´aciles”. aciles”. Demostremos, exploratoriamente, que la siguiente proposici´on on es tautolo taut ologg´ıa. M [( p ⇒ q ) ∧ (r ⇒ q)] ⇒ ( p ⇒ r ) Vamos a asumir que tanto ( p ( p ⇒ q ) como (r (r ⇒ q) son verdaderas. Es decir, nos ocupamos a ı s´olo olo del caso en que la hip´otesis otesis es verdadera. Lo que debemos hacer es concluir ´ que r ( p ⇒ r) es verdadera. e Caso 1. p es falsa. Este caso es f´acil: acil: obviamente se tiene que ( p ( p ⇒ r) es verdadera. i n Caso 2. p es verdadera. Como asumimos que ( p ( p ⇒ q ) es verdadera, se tiene que tener e q falsa. g Como (r (r ⇒ q) se asume verdadera y como q es falsa, r tiene que ser falsa. Por lo tanto, n como r es falsa, se tiene que ( p ( p ⇒ r) es verdadera. I e 1.4. 1.4. Funci unci´ ´ on proposicional y cuantificadores on d Definici´ on on 1.9 (Funci´ on on proposicional). Una funci´ on proposicional p es una expresi´ on o descrita descrita en funci´ funci´ on de alg´ un par´ ametro x que satisface satisface lo siguiente: siguiente: cada cada vez que x se t reemplaza por una u na cadena de s´ımbolos, ımbolos , p(x) se transforma en una proposici´ on. n e m a Ejemplos: t r a p e 5 D
e l i h C p( p(x) = “x es un juga jugado dorr de f´ utbol” utbol” es una funci´ funci´ on on proposic proposiciona ional. l. Notar Notar que e Marcelo Salas) es verdadera mientras que p(Nicol´ as as Massu Massu) es falsa. p( p(Marcelo d q(x) = “x “x − 5 ≤ 0”, 0”, tambi´en en es una funci´on on proposicional. proposicional. q (2) es verdadera, pero d q(6) es falsa. a d i s r Observaci´ on: on: En adelante, usaremos p(x) de dos formas distintas: e v Para referirnos a la funci´on on proposicional misma y mostrar que x es la variable que i reemplazamos por cadenas de s´ımbolos para obtener proposiciones prop osiciones l´ogicas. n Para referirnos, cuando x es algo en particular, a la proposici´on on que se forma de haber U hecho el reemplazo en la funci´on on proposicional. 1.4.1. 1.4.1. Cuantificado Cuantificadorr universal universal a c Definici´ on on 1.10 (Cuantifica (Cuantificador dor universal) universal).. La proposici´ on (∀x) p( p(x), que se lee “para i todo x p(x)”, es verdadera siempre y cuando p(x) sea verdadera para cualquier cadena t de s´ımbolos ımbolos que se reemplace en x. a ´ m e Veamos un ejemplo: t a Ejemplo: M Usando el ejemplo anterior, p(x) = “x es un jugador de f´ utbol”, utbol”, ¿ser´a verdadera (∀x) p( p(x). a ı ´ Claramente, como vimos que p(Nicol´as reas Massu Massu) es falsa, no es cierto que al r e emplazar x por cualquier cualquier cadena cadena de s´ımbolos ımbolos lo resultant resultantee sea una proposici´ proposic i i´on on verdadera. n e Luego (∀x) p( p(x) es falsa. g n I A continuaci´on on veamos ejemplos de proposiciones construidas usando el cuantificador uni e versal y c´omo omo se verifica la veracidad de dichas proposiciones. d Ejemplo: o t n (∀x)( p( p(x) ∨ p( p(x)) es verdadera. verdadera. Verifiqu Verifiquemos emos que es verdadera, verdadera, por pasos. e Sea x arbitrario (este (este es el modo en que se consid considera era el “ ∀x”). m p.d.q (por demostrar que): p(x) ∨ p( p(x) es verdadera. a t En efecto: r Caso 1. p(x) es verdadera. Como V ∨ p( p(x) es verdadera, se concluye. a p e 6 D
e l i h C Caso 2. p(x) es falsa. En este caso p(x) es verdadera. Como (F ( F ∨ V ) V ) ⇐⇒ V , V , se e concluye. d (∀x)[ p( p(x) ⇒ ( p( p(x) ∨ q(x))] es verdadera. verdader a. Demostr´ D emostr´emoslo. emoslo. d Sea x arbitrario a Hip´ otesis: otesis: p(x) es verdadera. d i p.d.q: p(x) ∨ q (x) es verdadera. s r En efecto: como p(x) es verdadera, usamos que V ∨ q (x) es verdadera para concluir. e v i [(∀x) p( p(x) ∨ (∀x)q(x)] ⇒ [(∀x)( p( p(x) ∨ q (x)] es verdadera. n Hip´ otesis: otesis: (∀x) p( p(x) ∨ (∀x)q(x) es verdadera U p.d.q: (∀x)( p( p(x) ∨ q (x)) es verdadera En efecto: sea x arbitrario. Caso 1. p(x) es verdadera. En este caso ( p ( p((x) ∨ q(x)) es verdadera. verdadera. a c Caso 2. p(x) es falsa. En este caso, por hip´otesis, otesis, q(x) tiene que ser verdadera. verdadera . i t Se deduce que ( p ( p((x) ∨ q(x)) es verdadera. verdadera. a ´ m 1.4.2. 1.4.2. Cuantificado Cuantificadorr existencial existencial e t Definici´ on 1.11 (Cuantificador existencial). La proposici´ on on (∃x) p( p(x), que se lee “exis“exi s a te x, tal que p(x)”, es verdadera cuando se puede encontrar por lo menos una cadena de s´ımbolos ımbo los que hace p(x) verdadero. M a ı ´ r Ejemplo: e i n Retomando el ejemplo anterior, con p(x) = “x es un jugador de f´utbol”. utbol”. ¿Se tendr´ a e que (∃x) p( p(x)?. g ıas ı n as Tenemos que hay al menos un x que hace a p(x) verdadera, por ejemplo x = Mat´ I Fern´ andez andez cumple claramente que p(Mat´ ıas ıas Fern´ andez andez) es verdadera. e As´ı, (∃x) p( p(x) es verdadera. d o t 1.4. 1.4.3. 3. Rela Relaci ci´ ´ on entre cuantificadores on n A continuaci´on on veremos la relaci´on on que existe entre los dos cuantificadores antes definidos. e Dicha relaci´ on on se debe a la negaci´on. on. m Resulta que (∃x) p( p(x) es falsa si y s´olo o lo si p(x) no es verdadera para ninguna cadena a de s´ımbol mb olos os x, es decir, si y s´olo olo si (∀x) p( p(x) es verdadera. As´ı, ı, hemos hallado hall ado la t r a p e 7 D
e l i h C Proposici´ on on 1.3 (Negaci´ on del cuantificador existencial). La siguiente proposici´ on on es e una un a taut ta utolog´ olog´ıa ıa d (∃x) p( p(x) ⇐⇒ (∀x) p( p(x). d a 1.4.4. 1.4.4. Existe Existenci ncia a y unicida unicidad d d i Hay un cuantificador m´as as que se utiliza con frecuencia: s r Definici´ on 1.12 (Existencia y unicidad). La proposici´ on on (∃!x) p( p(x), que se lee “existe e un ´ unico x tal que p(x)”, es verdadera cuando hay exactamen ex actamente te una un a cadena de d e s´ımbolos ımbolos hace v i verdadero p(x). n U Un ejemplo: Ejemplo: a Nuevamente, considerando nuestra funci´on on proposicional p(x) = “x es un jugador c de i f´ utbol”. utbol”. ¿Cu´al al ser´ a el valor de verdad de ( ∃!x) p( p(x)? t Marcelo Salas y x = Mat´ ıas ıas Fern´ Fern´ andez andez hacen ´ Podemos notar que tanto x = Marcelo que a p( p(x) sea verdadera. m Es decir, si bien existe un x que hace a p(x) verdadera, no es unico. u ´ nico. e As´ı, (∃!x) p( p(x) es falsa. t a Observaci´ on: on: Notemos que ∃! no es un cuantificador nuevo, en el sentido de que puede ser definido en funci´on on de los dos cuantificadores anteriores. Es decir la siguiente proposici´on es M verdadera. a (∃!x) p( p(x) ⇐⇒ [(∃x) p( p(x)] ∧ [(∀x)(∀y )(( p( p(x) ∧ p( p(y )) ⇒ (x = y ))] ´ ı r e i Ejemplo importante: Equivalencia dividida en dos partes n e Veremos ahora una t´ ecnica ecnica de demostra d emostraci´ ci´on on que se basa en una de las la s tautolog´ıas ıas impor g tantes que vimos antes. Supongamos que queremos demostrar que n I (∀x)( p( p(x)∧ q(x))⇐ ⇒ [(∀x) p( p(x) ∧(∀x)q(x)] e d es verdadera. o Lo q que ue haremos ha remos es usar us ar la Tautolog Tautolo g´ıa 1, t n ( p ⇐⇒ q ) ⇐⇒ (( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p p)) )).. e ´ En donde el rol de p y q est´ a descrito arriba. Esta nos permite dividir la demostraci´on on en m dos partes, ya que en lugar de verificar que ( p ( p ⇐⇒ q) es verdadera, podemos verificar a que ( p ( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p) p) es verdadera. t Esto, a su vez lo hacemos verificando que ( p ( p ⇒ q) es verdadera y luego que (q ( q ⇒ r p) tambi´ tamb i´en en lo es. es . a p e 8 D 1
2
Existencia
p
Unicidad
q
e l i h C ⇒) e Hip´ otesis: otesis: (∀x)( p( p(x) ∧ q(x)) es verdadera. d p.d.q: (∀x) p( p(x) ∧ (∀x)q(x) es verdadera. d En efecto: Sea x arbitrario. arbitrario. Por hip´otesis otesis se tiene tanto p(x) como q(x) son verdaderas. a En particular particular p(x) lo es. Es decir, probamos que ( ∀x) p( p(x) es verdadera. An´alogamente alogamente d se tiene que tambi´en en (∀x)q(x) es verdadera. i ⇐) s r Hip´ otesis: otesis: (∀x) p( p(x) ∧ (∀x)q(x) es verdadera. e p.d.q: (∀x)( p( p(x) ∧ q (x)) es verdadera. verdadera. v i En efecto: Sea x arbitrario. arbitrario. Como por hip´otesis otesis (∀x) p( p(x)) es verdadera verdadera se tiene que n p( p(x ) es verdadera. verdadera. Como por hip´otesis otesis (∀x)q (x) es verdadera se tiene q(x ) tam t ambi bi´´en en lo es. U Observaci´ on: on: Convenciones en el desarrollo de un argumento En la demostraci´on anterior la expresi´ expresi´ on on “... es verdadera verdadera ...” aparece aparece una gran cantidad cantidad de veces. Por ejemplo en a c i Hip´ otesis: otesis: (∀x)( p( p(x) ∧ q(x)) es verdadera. t a ´ p.d.q: (∀x) p( p(x) ∧ (∀x)q(x) es verdadera. m e Esto no siempre es necesario pues se subentiende que al decir que la hip´otesis es p estamos t asumiendo que p es verdadera. a Del mismo modo, si declaramos que queremos demostrar q se subentiende que deseamos demostrar que q es verdadera. Tambi´ en en es posible que despu´ es es de un razonamiento lleguemos a la conclusi´on on que M r es verdadera. verdadera. Esto suele indicarse con expresiones expresiones del tipo “se tiene r” o “y entonces r”. a ı Tomando estas convenciones la ´ultima ultima parte del desarrollo desarrollo anterior anterior queda como sigue. ´ r e i Hip´ otesis: otesis: (∀x) p( p(x) ∧ (∀x)q(x) n p.d.q: (∀x)( p( p(x) ∧ q (x)) e g En efecto: Sea x arbitrario. arbitrario. Como por hip´otesis otesis (∀x) p( p(x), se tiene tiene p(x ). Como por n hip´ otesis otesis (∀x)q (x), se tiene q (x ). I e d o t n e m a t r a p e 9 D 0
0
0
0
0
0
e l i h C e d d a d i s Gu´ıa Basica a ´sica r e Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: v i 1. “25-11”no “25-11” no corresponde corresponde a una proposici´ on on l´ogica. ogica. n 2. “¿Podr´as as venir ma˜ nana?” nana?” es una proposici´ proposici´on on l´ogica. ogica. U 3. “x − 11” corresponde corresponde a una proposici´ on on l´ ogica, ogica, si se reemplaza x por un n´umero. umero. a 4. “25 − 11 ≤ 0” corresponde corresponde a una proposici´on on l´ogica. ogica. c i t 5. El valor de verdad de la proposici´on on p¯ es siempre distinto al de p. a ´ 6. Existen proposiciones l´ogicas ogicas p tales que p¯ tiene el mismo valor de verdad que el de m p. p. e t 7. Si p es falsa, entonces la proposici´on on p ∨ q es siempre siempre falsa. a 8. La proposici´ proposici´ on on p ∨ q es verdadera cuando p y q no son simult´aneamente aneamente falsas. M 9. La proposici´ proposici´ on on p ∨ q es verdadera cuando al menos una de las proposiciones p ´o q es a verdadera. ı ´ r 10. La proposici´ proposici´ on on p ∧ q es falsa s´olo olo si p y q son falsas. e i 11. Existe una proposici´on on l´ogica ogica p tal que p ∧ q es siempre verdadera, sin importar n el valor de verdad de q. e g 12. Basta que p sea falsa, para que la proposici´on on p ∧ q sea siempre falsa. n I 13. Si una proposici´on on compuesta es taut ta utol olog´ og´ıa , ıa , sin importar el valor de verdad de las proposiciones que la constituyen, es verdadera. e d 14. Dada una proposici´on on compuesta p, si existe una asignaci´on on de valores de verdad para las proposiciones que la constituyen que la haga verdadera, entonces p es una taut ta utol olog´ og´ ıa . ıa . o t 15. Una tautolog tautolo g´ıa cualquiera cualqu iera q, es siempre equivalente a la proposici´on on p ⇒ p. p. n e 16. El valor de verdad de la proposici´on on p ∨ p¯ es siempre el mismo, sin importar el valor de verdad de p. m a 17. Existe un valor de verdad para p, tal que la proposici´on on p ∨ p¯ es falsa. t r 18. El valor de verdad de la proposici´on on ( p ∧ q¯) ∨ ( p ⇒ q ) puede ser falso. a p e 10 D Ingen In gen ie ierr´ıa Mat Matem´ em´ati atica ca
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e l i h C 19. La negaci´ negaci´ on on de la proposici´on on p ∨ q¯ es p¯ ∨ q. e 20. La negaci´ negaci´ on on de la proposici´on on p ∨ q¯ es p¯ ∧ q. d 21. La negaci´ negaci´ on on de la proposici´on on p ∨ q es p¯ ∨ q¯. d a 22. La proposici´ proposici´ on on ( p ∨ q) ∨ r es equivalente a la proposici´on on ( p ∨ r) ∨ (q ∨ r). d i s 23. La proposici´ proposici´ on on ( p ∨ q) ∨ r siempre tiene el mismo valor de verdad que la proposici´ on r (r ∨ q) ∨ p. p. e 24. La proposici´ proposici´ on on ( p ∨ q) ∨ r siempre tiene el mismo valor de verdad que la proposici´ on v i ( p ∨ r) ∧ (q ∨ r). n 25. La proposici´ proposici´ on on ( p ∧ q) ∨ p es verdadera s´olo olo cuando cuando q es verdadera. U 26. La proposici´ proposici´ on on ( p ∧ q) ∨ p es verdadera si p es verdadera. a 27. Si la proposici´on on ( p ∧ q) ∨ p es falsa, necesariamente q es falsa. c i ⇒ 28. La proposici´ proposici´ on on p F es siempre falsa. t a ´ 29. La proposici´ proposici´ on on p ⇒ p¯ es siempre siempre falsa. m 30. La proposici´ proposici´ on on p ⇒ q es siempre verdadera si el valor de verdad de p es falso. e t 31. Si la proposici´ proposici´ on on p ⇒ q es verdadera y p tambi´en en lo es, necesariamente necesar iamente q es verdadera. a 32. Si la proposici´on on p ⇒ (q ⇒ r) es verdadera y p tambi´en en lo es, necesariamente necesar iamente M r es verdadera. a ı 33. Si la proposici´on on ( p ( p ⇒ q) ⇒ r es falsa y p es verdadera, necesariamente q es verdadera. ´ r e 34. La proposici´ proposici´ on on p ⇔ V tiene siempre el mismo valor de verdad que p. i n 35. La proposici´ proposici´ on on p ⇔ F es equivalent equivalentee a la proposici´ proposici´ on on p¯ ∨ F . F . e g 36. La proposici´ proposici´ on on ( p ⇔ q ) ⇒ ( p ⇒ q) es una tautolog tautolo g´ıa. n I 37. ⇒ ∧ ⇒ ⇒ Si la proposici´on on ((r ((r p) p) ( p q )) es verdadera, la proposici´on on r q tambi ta mbi´´en en lo es. e d 38. La proposici´ proposici´ on on ((¯ q ⇒ p) p¯) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (¯r ⇒ p) p¯) es una tautolog tautolo g´ıa. o 39. La proposici´ proposici´ on on ( p ⇒ q ) ⇔ ( p¯ ⇒ q¯) es tautolo taut ologg´ıa. t n 40. La negaci´ negaci´ on on de la proposici´on on p ⇒ q es ( p ∧ q¯). e 41. La negaci´ negaci´ on on de la proposici´on on p ⇒ q¯ es p¯ ⇒ q . m a 42. La proposici´ on on cuantificada (∀x) p( p(x) es verdadera si p(x) es verdadera para cualquier t elemento por el que se reemplace x. r a p e 11 D
e l i h C 43. Si la proposici´on on (∀x) p( p(x) es verdadera, verdadera, entonces entonces la proposici´on on (∃x) p( p(x) es tambi´ ta mbi´en en e verdadera. d 44. Si q (x) es una funci´on on proposicional y x es tal que q (x ) es verdadera, entonces la proposici´on on cuantificada ( ∃x)q(x) es verdadera. d a 45. Es siempre cierto que si la proposici´ on on ( ∃x) p( p(x) es verdadera, entonces la proposici´on d (∃!x) p( p(x) es verdadera. i s 46. Si p(x) es una funci´on on proposicional y x es tal que p(x ) es falsa, entonces la propo r e sici´ on on cuantificada ( ∀x) p( p(x) es falsa. v 47. Si las proposiciones (∀x) p( p(x) y (∀x)q(x) son verdaderas, verdaderas, entonces entonces la proposici´ proposic i i´on on (∀x)( p( p(x) ∧ q (x)) es verdadera. verdadera. n 48. Si la proposici´on on (∀x)( p( p(x) ∨ q (x)) es verdadera, entonces la proposici´on (∀x) p( p(x U )∨ (∀x)q (x) es verdadera. 49. Si la proposici´ proposici´ on on (∀x) p( )∨ p(x) ∨ (∀x)q (x) es verdadera, entonces la proposici´on (∀x)( p( p(x a q(x)) es verdadera. c i 50. La negaci´on on de la proposici´on on (∃!) p( p(x) es ((∀x) p( p(x)) ∨ ((∃x)(∃y)(x )(x = y ⇒ ( p( p(x t )∨ a ´ p( p(y ))). m e t a M a ı ´ r e i n e g n I e d o t n e m a t r a p e 12 D 0
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e l i h C e d d a d i s r e Gu´ Gu´ıa de Ejercic Eje rcicio ioss v i n 1. Demuestre usando tablas de verdad que las siguientes si guientes proposiciones vistas en la tutor´ tutor´ıa, U son tautolo taut ologg´ıas: ıas : (a) ( p ∨ p) p) ⇔ V . V . a (b) ( p ⇒ q ) ⇔ ( p ∨ q). c i (c) ( p ∨ q) ⇔ ( p ∧ q). t (d) ((q ((q ∨ r) ∧ p) p) ⇔ (q ∧ p) p) ∨ (r ∧ p). p). a ´ m 2. Escriba las siguientes proposiciones l´ogicas, ogicas, de manera equivalente, s´olo olo usando los conec e tivos l´ ogicos ogicos de implicancia (⇒) y negaci´on o n (¯): t a (a) p ∨ q (b) p ∧ (q ∨ r) M (c) (( p ∧ q) ⇒ r) ⇔ (r ∧ q ) a ı (d) ( p ∧ q) ∧ ( p ∨ r ) ´ r e 3. Se define el conectivo l´ogico | ⇔ ∨ | ogico p q p q . Escriba usando s´olo olo el conectivo , proposiciones i equivalentes a las siguientes: n e (a) p g (b) p ∨ q n (c) p ∧ q I (d) p ⇒ q e d 4. Sean p,q,r proposiciones l´ogicas. ogicas. Demostrar usando tablas de verdad que las siguientes proposicio propo siciones nes son tautolog tautolo g´ıas: o t (a) p ⇒ ( p ∨ q) n (b) ( p ⇔ q ) ⇔ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ q ) e (c) [( p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r)] ⇒ ( p ⇔ r) m (d) ( p ⇔ q ) ⇔ ( p ⇔ q ) a t (e) [ p p ∧ q ⇒ p] p] ⇒ ( p ⇒ q ) r a p e 13 D Ingen In gen ie ierr´ıa Mat Matem´ em´ati atica ca
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e l i h C 5. Sean p,q,r proposiciones l´ogicas. ogicas. Demostrar sin usar tablas de verdad que las siguientes e proposicio propo siciones nes son tautolog tautolo g´ıas: d (a) [( p ⇒ q) ∧ (r ∨ q) ∧ r] ⇒ p d (b) [ p p ∧ ( p ⇒ q )] ⇒ q a (c) [( p ∧ q) ⇒ p] p] ⇒ ( p ⇒ q) d i (d) ( p ∧ q ⇒ r) ⇔ ( p ∧ r ⇒ q) s r (e) ( p ∧ q) ⇔ [( p ∨ q ) ∧ ( p ⇔ q)] e v 6. En cada caso, con la informaci´ informaci´ on on entregada, determine el valor valor de verdad de de la proposici´ on on i r: n (a) r ⇒ q es falsa. U (b) q ⇒ r es falsa. (c) p ⇒ (q ∨ r) es falsa. a (d) r ⇔ q es verdadera y ( p ( p ∧ q ) ⇒ s es falsa c i (e) (r ⇒ p) p) ⇒ ( p ∧ q) es verdadera y q es verdadera. t a ´ 7. Sean p(x), q (x) funciones funciones proposicionales proposicionales.. Determinar Determinar la negaci´ negaci´ on de las siguientes proon posiciones cuantificadas: m e (a) (∃x)(∀y )( p( p(x) ∧ q (y )) t (b) (∀x)(∀y )( p( p(x) ⇒ q (y )) a (c) (∃!x) p( p(x) M (d) (∀x)[q )[q(x) ⇒ (∃y ) p( p(y )] a (e) (∃x)(∃y )( p( p(x) ⇔ q (y )) ı ´ r e i n e g n I e d o t n e m a t r a p e 14 D
e l i h C e d d a d i s r e Gu´ Gu´ıa de Problem Prob lemas as v i La presente gu´ gu´ıa le permitir´a tener una idea bastante precisa del tipo de problemas que n debe ser capaz de resolver en una evaluaci´on on y el tiempo promedio que deber´ deber´ıa demorar en resolverlos. En total deber´ deber´ıa poder p oder resolverla en 3 horas. Le recomendamos que trabaje U en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido, que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una hora a escribir con detalles las soluciones. a c P1. Sean p,q,r proposiciones. Probar sin usar tablas de verdad que la proposici´on on pre i sentada en cada item es una tautolog´ tautolog´ıa. Trate de aprovechar aprovechar la forma que tiene cada t proposici´on, on, usualmente el hecho de que sea una implicancia. a ´ (a) (20 min.) ( p ( p ∨ q ⇔ p ∧ r) ⇒ ((q ((q ⇒ p) p) ∧ ( p ⇒ r)). )). m e (b) (20 min.) ( p ( p ⇒ q) ∧ (r ⇒ q ) ⇒ ( p ⇒ r). t (c) (20 min.) ( p ( p ⇒ q) ⇒ [(q [(q ∧ r) ⇒ ( p ∧ r)]. )]. a (d) (20 min.) [( p [( p ⇒ q) ∧ (r ∨ q) ∧ r] ⇒ p. M P2. En esta parte, dada una hip´otesis otesis (una proposici´on on que se sabe es verdadera), deber´a a estudiar el valor de verdad de otra proposici´on. on. ı ´ r ⇔ (a) (20 min.) Sean p,q,r proposiciones. Averiguar si la equivalencia p ∨ (q ∧ r) e ( p ∨ r) ∧ q puede ser verdadera sin que lo sea la implicancia p ⇒ q . Es decir, i use la informaci´ informaci´ on on de la hip´otesis otesis para sacar conclusiones de los valores de verdad n de e las proposiciones involucradas. g (b) (25 min.) Determine el valor de verdad de las proposiciones p,q,r y s si se sabe n que la siguiente siguiente proposici´ proposicion ´on es verdadera. I [s ⇒ (r ∨ r)] ⇒ [( p ⇒ q) ∧ s ∧ r ]. e d (c) (25 min.) Sean p,q,r,s proposiciones que satisfacen que la siguiente proposici´on on es verdadera: o t (q es verdadera) ∧ [( p ∧ q) no es equivalente con (r ( r ⇔ s)]. n Demuestre que el valor de verdad de la proposici´on: e [( p ∧ r) ∨ (q ⇒ s)] ⇒ [ p p ∨ (r ∧ s)] m a es verdadero para todas las combinaciones de valores veritativos que cumplen t la r hip´ otesis. otesis. a p e 15 D Ingen In gen ie ierr´ıa Mat Matem´ em´ati atica ca
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e l i h C P3. Sean las proposiciones proposiciones r y s siguientes: e r : (∀x)( p( p(x) ⇒ q ) d s : ((∀x) p( p(x)) ⇒ q d ˜ es la diferencia entre ambas. Piense en qu´ q u´e dice d ice cada una en t´ erminos erminos intuitivos y cu c u A¡l a d (a) (10 min.) Niegue ambas proposiciones, r y s. i s (b) (20 min.) De las dos implicancias, (r (r ⇒ s) y (s ⇒ r) determine la que corresponde r a una tautolog tautolo g´ıa. Justifique Ju stifique su elecci´ e lecci´on. on. e v i n U a c i t a ´ m e t a M a ı ´ r e i n e g n I e d o t n e m a t r a p e 16 D
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e l i h C SEMANA 2: CONJUNTOS e d 2. Conj Conjun unto toss d a 2.1. 2.1. Intr Introdu oducci cci´ ´ on on d i s La teor´ıa ıa de conjuntos gira en torno a la l a funci´on proposicional x ∈ A. Los valores que hacen r verdadera la funci´on on proposicional proposicional x ∈ A son aquellos aquellos elementos que forman el conjunto e A. v La funci´ on on proposicional“x proposicional“x ∈ A” se lee lee ”x ”x pertenece a A”. Su negaci´on, on, que se denota x ∈ / i A, se lee “x “x no pertenece a A”. n U Ejemplo: Si queremos que el conjunto A sea el de los n´umeros umeros primos menores que 10 entonces a tendr tend r´ıam ıamos os que q ue defini d efinirlo rlo formal for malmente mente as´ı: ı: c i (∀x)[(x )[(x ∈ A) ⇐⇒ (x = 2 ∨ x = 3 ∨ x = 5 ∨ x = 7)]. 7)]. t a ´ Los conjuntos finitos son f´aciles aciles de definir. De hecho, acabamos de mostrar c´omo se define m el conjunto que se se denota por extensi´on A = {2, 3, 5, 7}. e t La axiom´atica atica de la teor´ıa ıa de conjuntos co njuntos (que aqu´ı no se estudiar e studiar´´a) a) permite asumir la existencia de un conjunto infinito muy importante: el de los naturales = {0, 1, 2, 3, . . .}. a M 2.1.1. 2.1.1. Algunos Algunos ejem ejemplo ploss de conjunt conjuntos os a ı ´ En matem´aticas aticas se construyen nuevos conjuntos a partir de conjuntos ya conocidos. Supon r gamos que ya conocemos el conjunto A. Podemos Podemos introducir, introducir, B = {x ∈ A| p( en p(x)}. Lo que e i ∈ el fondo estamos definiendo es la funci´on on proposicional x B as´ı: n e (∀x)[(x )[(x ∈ B ) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ p( p(x))] g Por ejemplo, el conjunto de m´ultiplos ultiplos de 7 es el conjunto {x ∈ |( ) ∈ }. n I e Otros ejemplos de conjuntos, con los cuales el lector ya debe estar familiarizado: d o Ejemplos: t n 1. Los reales . e 2. Los enteros enteros . m a 0 ∧ x = )}. 3. Los racionales racionales = {x ∈ | (∃ p)( p)(∃q )( p ∈ ∧ q ∈ ∧ q = t r 4. Los irracionales irracionales = {x ∈ | x ∈ / }. a p e 17 D Ingen In gen ie ierr´ıa Mat Matem´ em´at atic ica a
Ah´ı encontrar enco ntrar´´as as las gu´ gu´ıas de ejercicios ejercicios y prob proble lema mas, s, adem adem´´as a s de info inform rmac aci´ i´ on on acerca de cu´al al ser´a la din´amica amica del curso.
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Usa estas notas al margen margen para consultar sultar de manera manera m´ as as r´ apida apida el materia terial. l. Haz Haz tamtambi´ en en tus propias anotaciones.
