LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES EN LA INGENIERÍA
INDICE: -Generalidades. Pg (1-4)
-Etapas de resolui!n del pro"le#a ient$%io. Pg (5) Pg (5) .
Formulación matemática del problema científico.
.
Solución de las ecuaciones.
.
nterpretación científica de la solución.
-Apliaiones de euaiones euaiones di%ereniales de pri#er orden & si#ples si#ples de orden superior. Pg (!-"#) Pg (!-"#) $plicaciones a la mecánica% 1.1 ntroducción ntroducción.. 1.&'as lees del moimiento de *e+ton. &.$plicaciones a los circuitos el,ctricos% &.1ntroducción. &.& &.& 'a le le de irc irco off ff.. ".$plicaciones a flu/o de calor en estado estacionario. 4.$plicaciones a problemas combinados de crecimiento decrecimiento. 5.0l cable colgante. .'a defle2ión de igas.
1.
-Apliaiones de euaiones di%ereniales lineales.
Pg ("1-5#)
1. 3oimiento ibratorio de sistemas mecánicos% mecánicos% 1.1 0l resorte ibrante (moimiento (moimiento armónico simple). simple). 1.&0l resorte ibrante con amortiguamiento (moimiento amortiguado). 1."0l resorte con fueras e2ternas. 1.4'a resonancia mecánica.
Las Ecuaciones Diferenciales Diferenciales y sus Aplicaciones en en la Ingeniería
LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y SU APLICACIÓN APLICACIÓN A LA INGENIERÍA
GENERALIDADES' El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas básicas del cálculo cálculo integr integral al fue crucial crucial para para el avance avance que sufriero sufrieron n las matemáti matemáticas, cas, y más impo import rtant antee fue, fue, si cabe, cabe, la rela relació ción n que encon encontr trar aron on entre entre el cálcul cálculo o inte integr gral al y el diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. na de las aplicaciones de este descubrimiento fue la f!sica f!sica aplicada, d!cese, la la "ngenier!a. El maestro de Newton, "saac #arrow, conoc!a ya la e$istencia de la relación entre la tangente en un punto a una curva curva %derivada& y el área de una región limitada de una curva %"ntegral 'efinida&, pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la importancia de esa relación. La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto se vió que tambi(n serv!a para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio de la variación de una función. 'esde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una f *% x& , en forma forma de diferencial de una función de una dy x&, su derivada función y ) f % x
dx =
sola variable, es tambi(n una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas como el +eorema undamental del -álculo "ntegral, que nos muestra la vinculación entre la derivada de una función y la integral de dica función / si F(x) es la función integral que debe ser integrable en el intervalo [a,x] para cada x de [a,b], siendo c tal que a ≤ c ≤ b x *% x& en cada cada punt punto o x del si a ≤ x ≤ b , e$iste entonces F *% F x f % & = tenemos que
∫
% &d c
1
Las Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones en la Ingeniería
intervalo abierto (a,b), en el que f es continua, y para tal x tenemos
F *% x& = f % x&
quedando demostrado la relación entre "ntegral y 'erivada.
0
La 'erivada de la "ntegral de una función es la propia función2
F *% x& = f % x& La "ntegral de la 'erivada de una función es la propia función2 x
f % x& = ∫ f *% x&dx a
-on lo antes mencionado, a lo que se une La 3egla de #arrow %que no es más que la aplicación del teorema fundamental&, es posible conseguir la función primitiva de la función derivada
dy f mediante la integración de dica función, que es lo que dx = *% x&
necesitamos para poder resolver las ecuaciones diferenciales, pero antes debemos definirlas. 4ay una gran variedad de problemas en los cuales se desea conocer un elemento variable a partir de su coeficiente de variación, o dico de otra forma, queremos conocer cómo var!a dico elemento en función de una o varias variables. En definitiva, lo que se pretende es determinar una función desconocida mediante datos relacionados por una ecuación que contiene, por lo menos, una de las derivadas de la función desconocida. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales y su estudio por parte de Newton, Leibniz y los #ernouilli para resolver algunas de las ecuaciones diferenciales sencillas que se presentaron en geometr!a y mecánica, llevaron al conocimiento sobre la resolución de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales/ se conoce mediante la práctica que es dif!cil obtener teor!as matemáticas de gran generalidad para la resolución de estas ecuaciones diferenciales, salvo para algunos tipos, como las ecuaciones lineales, muy e$tendidas para problemas de tipo cient!fico.
'efinimos2 -Ecuación diferencial %E.'.& a una ecuación que relaciona una función %o variable
dependiente&, su variable o variables %variables independientes&, y sus derivadas. 5i la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria %E.'.6&/ y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes, se llama ecuación en derivadas
parcialales %E.'.7.&.
6tro tipo de ecuaciones son las ecuaciones diferenciales de retraso (o retardo) que están caracterizadas por la presencia de un desplazamiento en el argumento o variable %$$8&.
5e llama orden de la ecuación diferencial al orden de la derivada o derivada parcial más alta que aparece en la ecuación. 5e dice que una ecuación diferencial %de orden n& está e$presada en forma implícita cuando tiene la forma
F % x, y, y*,...., y%n& & = 8 , siendo F una función F 2 Ω ⊂ !n+0 → ! n"#
siendo 9 un subcon:unto %generalmente abierto& de !
5e dice que una ecuación diferencial %de orden n& está e$presada en forma explícita cuando tenemos y
(n)
$ f(x,y,y%,&.,y(n') ) con
+
f 2 D ⊂ !n 1 → ! n"
en el subcon:unto D %generalmente abierto& de !
5e
dice
que
d n y an % x&
dx n
una
ecuación
n−1
d y + an−1 % x& = g % x &
dxn−1
siendo la función definida
.
diferencial
es
lineal
si
tiene
la
forma
dy + ... + a1 % x&
dx
+ a8 % x& y
y se llama lineal homogénea
si
además g(x) $ .
5e dice que una función y
$ *(x) definida en un intervalo I es solución de una
diferencial en el intervalo si, sustituida en dica ecuación, la reduce a una identidad. na E. '. se dice resoluble %o integrable& por cuadraturas si su solució n
es expresable
mediante integrales. En general, la solución de la ecuación diferencial de orden
n dependerá de n parámetros.
7ero incluso de esta forma pueden no obtenerse todas las soluciones de una E. '. 7or e:emplo, cuando tenemos una familia uniparam(trica de soluciones de una E. '., una sencilla interpretación geom(trica nos muestra que tambi(n la envolvente de la familia de curvas %si e$iste& es solución de la E. '.
5e define como problema
de valor inicial y problemas de valor frontera a
aquellos en que la ecuación diferencial se resuelve su:eta a unas condiciones dadas que la función desconocida debe satisfacer.
Problema de valor inicial + Es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial su:eta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en
un
alor de la variable independiente. +ales condiciones se llaman condiciones iniciales. Problemas de valor frontera: Es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial su:eta a condiciones sobre la función desconocida, especificadas en dos o
más valores de
la variable independiente. +ales condiciones se llaman condiciones de frontera.
La función primitiva resultante, o función solución de una ecuación diferencial, puede tener por las condiciones iniciales o de frontera diversos valores, diferenciándose una solución de otra en el parámetro, defini(ndose este con:unto de soluciones fa-ilia
de
soluciones de un par-ero %en el caso de e$istir sólo un parámetro& o fa-ilia de soluciones de dos o -s par-eros %en el caso de e$istir más de un parámetro&
E(APAS DE RESOLUCI)N DEL PRO*LE+A CIEN(ÍFICO' 1) FORM!"#$%& M"'M'$#" *! PRO+!M" #$&',F$#O: Las leyes cient!ficas, que por supuesto están basadas en e$perimentos u observaciones, se traducen en ecuaciones matemáticas. En cada caso las ecuaciones diferenciales representan una simplificación idealizada del problema f!sico con el que nos encontramos, llamándose esta idealización /odelo /ae-ico. -ada modelo es una apro$imación a la realidad del problema f!sico, su apro$imación y uso del modelo sólo depende de los criterios impuestos a cada problema para su resolución. 5i la intuición o la evidencia del e$perimento coinciden con los resultados obtenidos por medio del modelo podremos determinar cuan ;til es ese modelo.
-) O!#$%& * !" #"#$O& : Las ecuaciones formuladas en la etapa anterior necesitan ser resueltas, su:etas a condiciones obtenidas del problema para determinar la incógnita o incógnitas involucradas. Los procedimientos usados pueden producir una solución e$acta o, en casos donde soluciones e$actas no se pueden obtener, soluciones apro$imadas. recuentemente para elaborar los cálculos num(ricos se recurre al uso de la informática. El proceso de obtener soluciones a menudo conduce a preguntas de naturaleza puramente matemática que propician y propiciaron el avance de las susodicas matemáticas.
/) $&'RPR'"#$%& #$&',F$#" * !" O!#$%& : -on el uso de las soluciones conocidas, el matemático o f!sico puede ser capaz de interpretar lo que está sucediendo desde el punto de vista aplicado. 7uede acer interpretaciones gráficas y tablas para poder comparar la teor!a con lo obtenido de los e$perimentos. 7uede, incluso, basar una investigación posterior en las interpretaciones de e$perimentos previos. 7or supuesto que, si encuentra que los e$perimentos u observaciones no están de acuerdo con la teor!a, debe revisar el modelo matemático y su formulación matemática asta que se consiga un resultado cuyo margen de error lo marque la persona o personas encargadas de los e$perimentos. -ada una de estas etapas es importante en la solución final de un problema aplicado.
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRI+ER ORDEN Y SI+PLES DE ORDEN SUPERIOR' +ipos de aplicaciones2 1.
.
1. Aplicaciones a la mecánica:
1.1 ntroducción:
La f!sica trata de la investigación de las leyes que gobiernan el comportamiento del universo f!sico. 7or universo f!sico entendemos la totalidad de ob:etos a nuestro alrededor, no sólo las cosas que observamos sino tambien las que no observamos, tales como los átomos y mol(culas. El estudio del movimiento de los ob:etos en nuestro universo es una rama de la mecánica llamada
din-ica formulada mediante las leyes del movimiento de
Newton. 7ara los ob:etos que se mueven muy rápido, cerca de la velocidad de la luz, no podemos usar las leyes de Newton. En su lugar debemos usar una versión revisada de estas leyes, desarrolladas por Einstein y conocidas como -ecnica
relaiisa, o -ecnica de la
relaiidad . 7ara ob:etos de dimensiones atómicas las leyes de Newton tampoco son válidas. 'e eco, para obtener descripciones precisas del movimiento de ob:etos de dimensiones atómicas, necesitamos establecer un con:unto de leyes denominadas -ecnica
cunica. La mecánica cuántica y la relativista son muy complicadas, no siendo ob:eto de estudio en este traba:o.
1.0 !as le"es del movimiento de #e$ton. Las tres leyes del movimiento primero desarrolladas por Newton son2
.0n cuerpo en reposo iende a per-anecer en reposo, -ienras 1ue un cuerpo en -oi-ieno iende a persisir en -oi-ieno en una línea reca con elocidad consane a -enos 1ue fuer2as exernas ac3en sobre 4l. #.La asa de ariaci5n del -o-enu- de un cuerpo en funci5n del ie-po es proporcional a la fuer2a nea 1ue ac3a sobre el cuerpo eniendo la -is-a direcci5n de la fuer2a, (enendi4ndose por -o-enu- de un ob6eo al produco de su -asa - -uliplicado por su elocidad ). 7. A cada acci5n exise una reacci5n igual y opuesa. La segunda ley nos proporciona una relación importante, conoci(ndose como la
ley de
8e9on. La tasa de cambio o variación en el momentum en el tiempo es as! d %-& :d . 5i por F entendemos a la fuerza neta que act;a sobre el cuerpo, por la segunda ley tenemos2
d d
%-&
; F siendo ; el s!mbolo que indica proporcionalidad. "ntroduciendo la constante
de proporcionalidad B, obtenemos2
d
%-& )
d d 5i - es una constante, =
-a F = <
o -a $
donde el valor de < depende de las unidades que deseemos usar.
7ara el sise-a =>? ( o sise-a =ení-ero, >ra-o, ?egundo), < $ siendo la ley F $ -a. En la simbolog!a del cálculo podemos escribir las leyes de Newton en formas diferentes, al notar que la aceleración
a puede e$presarse como la primera derivada de la velocidad #
#
%esto es, d:d), o como la segunda derivada de de un desplazamiento s %esto es, d s:d ).
F = -
d
d 0 s =- 0 d d
na vez conocido el problema f!sico podemos aplicar estos conocimientos para obtener las formulaciones matemáticas de varios problemas de la mecánica clásica que involucran los conceptos anteriores, y la solución e interpretación de tales problemas.
0emplo aclaratorio: na masa de
- gramos cae verticalmente acia aba:o, ba:o la influencia de la gravedad,
partiendo del reposo, siendo despreciable la resistencia del aire. Camos a establecer la ecuación diferencial y las condiciones asociadas que describen el movimiento y a solventarla. 'iagrama de fuerzas2
y
7 <
t)8
$
mg 7i
t
+ierra
For-ulaci5n -ae-ica+ 5ea A en la figura la posición de la masa
- en el tiempo $ , y sea @i la posición de - en
cualquier tiempo posterior . En cualquier problema de f!sica que involucre cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales necesariamente requieren un conocimiento de dirección, es conveniente establecer un sistema de coordenadas, :unto con la asignación de direcciones positivas y negativas. En este e:emplo observamos que la variación se realiza respecto del e:e x.
La velocidad instantánea en @ es $ dx:d. La aceleración instantánea en @ es a $ d:d o
a $ d # x:d #. La fuerza que act;a es el peso, siendo su magnitud @$ -g. 7or la ley de Newton tenemos2
-
d d
= -g
d d = g
o
7uesto que la masa cae desde el reposo, vemos que $ cuando $ , o en otras palabras
() $ . Nuestra formulación matemática es el problema de valor inicial ()
d% & d
= g
() $
-
d0x
= -g
0
d x d 0 = g
o
d 0
En tal caso tenemos una ecuación de segundo orden en las variables x y dos condiciones para determinar x. na de ellas es puede obtenerse al notar que x
, y necesitamos
$ o dx:d ) 8 en ) . La segunda
$ en $ %puesto que escogimos el origen de nuestro
sistema de coordenadas en A). La formulación matemática es2
d 0x = g
x$
en
dx
y
d 0
$8
=8
d
-uando establezcamos ecuaciones diferenciales para describir alg;n fenómeno o ley, siempre las acompaDaremos de suficientes condiciones necesarias para la determinación de las constantes arbitrarias en la solución general.
?oluci5n+ Empezando con
d d %separación de variables& obtenemos por integración $ g " c. = g
7uesto que $ cuando
$ , c $ , ó $ g , esto es,
dx d
= g .
6tra integración produce de la anterior ecuación
1
x = g + c0 . 7uesto que x$ en $ , 0
1
c# $ . 7or tanto x = g
0
0 . 7odr!amos aber llegado al mismo resultado al e mpezar con
0
-
d0x d
= -g
d 0x
o
0
d
= g .
0
El signo más indica que el ob:eto se está moviendo en la dirección positiva, esto es, acia aba:o. 5e deber!a tener en cuenta que si ubi(ramos tomado la dirección positiva acia arriba la ecuación diferencial ubiera sido
-(d:d) $ ' -g , esto es, d
0
= − g o
d
d x d
= − g
0
Esto conducir!a a resultados equivalentes a los obtenidos. 7ara otros problemas similares la forma de actuar es la misma.
0. Aplicaciones a los circuitos eléctricos: %.1 ntroducción.
E y u na resisencia !& es directamente proporcional a la fe-.
I E o I E de donde, E $ I! donde ! es una constante de
proporcionalidad llamada el
coeficiene de resisencia o simplemente, resisencia . La
ecuación anterior es conocida ba:o el nombre de la ley de CB-.
-ircuitos más complicados, pero para mucos casos más prácticos, son circuitos que contienen otros elementos distintos a resistencias. 'os elementos importantes son
inducores y condensadores. n inductor se opone a cambios en corriente. +iene un efecto de inercia en electricidad de la misma manera que una masa tiene un efecto de inercia en mecánica. n condensador es un elemento que almacena energ!a. En f!sica ablamos de una ca!da de volta:e a trav(s de un elemento. En la práctica podemos determinar esta ca!da de volta:e, o como se llama com;nmente,
caída de poencial o diferencia de poencial, por medio de un instrumento llamado volt!metro. E$perimentalmente las siguientes leyes se cumplen2 1. La caída de ola6e a ra4s de una resisencia es proporcional a la corriene 1ue pasa a
ra4s de la resisencia. 5i E ! , es la ca!da de volta:e a trav(s de una resistencia e I es la corriente, entonces E ! I o
E ! ) I! donde ! es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiene de resisencia o simplemente resisencia . #. La caída de ola6e a ra4s de un inducor es proporcional a la asa de ie-po insannea de ca-bio de la corriene. 5i E L es la ca!da de volta:e a trav(s del inductor, entonces
E Lα
dI d
o
I E L = Ld donde L d
es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de inductancia o simplemente inductancia.
7. La caída de ola6e a ra4s de un condensador es proporcional a la carga el4crica insannea en el condensador. 5i E c es la ca!da de volta:e a trav(s del condensador y la carga instantánea, entonces F = Ec donde emos tomado := como la constante de proporcionalidad, E c -
5 = se conoce como el coeficiene de capaciancia o simplemente capaciancia.
%.% !a le" de &irchhoff.
El enunciado es uno de los de la ley de ircBBoff 2
La su-a algebraica de odas las caídas de ola6e alrededor de un circuio el4crico es cero. G6tra manera de enunciar esto es decir que el volta:e suministrado % fe-& es igual a la suma de las ca!das de volta:e.H 5e acostumbra indicar los diferentes elementos de un circuito como se ilustra2
Ienerador o bater!a 3esistencia "nductor -ondensador "nterruptor -omo un e:emplo, considere un circuito el(ctrico consistente en una fuente de volta:e E %bater!a o generador&, una resistencia !, y un inductor L, conectados en serie como se muestra en la figura2
K
E
I 3
L
7uesto que, por la ley de ircBBoff , la fe- suministrada % E & es igual a la ca!da de volta:e a trav(s del inductor % L
dI d
& más la ca!da de volta:e a trav(s de la resistencia % !I &, tenemos
como la ecuación diferencial requerida para el circuito2
L
dI + !I = E d
-omo otro e:emplo, suponga que nos dan un circuito el(ctrico consistente en una bater!a o generador de E en serie con una resistencia de ! y un condensador de = .
E
I 3
C
= E =
d
=
cual es una ecuación diferencial para la carga instantánea.
0emplo aclaratorio:
n generador con una fe- se conecta en serie con una resistencia y un inductor. 5i el interruptor se cierra en tiempo $ , establezca una ecuación diferencial para la corriente y determine la corriente en tiempo .
For-ulaci5n -ae-ica+ Llamando a I la corriente o intensidad de corriente que fluye seg;n el primer circuito
E = !I + L
descrito, tenemos, por la ley de ircBBoff ,
dI d
7uesto que el interruptor se cierra en $ , debemos tener I$ en $ .
?oluci5n+ E = !I + L
dI d es una ecuación de primer orden lineal
La ecuación diferencial anterior
!
e$acta/ buscando un factor integrante obtenemos µ % & = e
. Kultiplicado por este factor
0
!
la
ecuación, !
da
!
!
!
Ee 0 = !Ie 0 + Le 0
dI , d
es
decir
Ee 0 =
%
0 !
d Ie d
&
integrando
!
Ie 0 =
Ee 0
+c
18 7uesto que I$ en $ , podemos con estas condiciones obtener la constante c.
Cro -4odo. La ecuación
E = !I + L
dI d
puede tambi(n resolverse por separación de
variables. Los problemas de este tipo se resuelven todos de la misma forma.
'. Aplicaciones a flu(o de calor en estado estacionario.
-onsidere una pieza de material de longitud indefinida acotada por dos planos paralelos A y , seg;n la figura, suponiendo que el material es uniforme en todas sus propiedades, por e:emplo, calor espec!fico, densidad, etc.
@8-
75ºC
188-
90ºC
<
#
-onsiderando que los planos A y se mantienen a @8 - y 188-, respectivamente, todo punto en la región entre A y alcanza cierta temperatura que no cambia posteriormente.
= entre A y estarán a M@-,y en el plano E a 8-.
-uando la temperatura en cada punto de un cuerpo no var!a con el tiempo decimos que prevalecen las
condiciones de esado esacionario o que tenemos un flu6o de calor en
esado esacionario. -omo otro e:emplo se considera un tubo de material uniforme, cuyo corte transversal aparece en la figura.
O8A8-
40ºC
5e supone que la parte e$terior se mantiene a O8- y la interna a ?8-. 4abrá una superficie %l!nea punteada& en la cual cada punto estará a A8-. 5in embargo, (sta no está en la mitad entre las superficies interna y e$terna.
L!neas paralelas a A y en un plano perpendicular a A %figura de la pared& se llaman
iso4r-icas.
líneas
La curva punteada del tubo es una curva iso4r-ica. Los planos correspondientes de la pared y los cilindros se llaman superficies
iso4r-icas.
En el caso general, las curvas isot(rmicas no serán l!neas o c!rculos, como en los e:emplos, pero pueden ser una familia de curvas como se muestra en la siguiente figura %curvas punteadas&.
Las trayectorias ortogonales de la familia se llaman líneas de flu6o.
-onsidere pequeDas porciones de dos superficies isot(rmicas contiguas separadas por una distancia Pn.
An
51
S2
? es y la correspondiente a ? # es #. Llamando a la diferencia de temperatura ' #$ G . E$perimentalmente se encuentra que la cantidad de calor que fluye de ? a ? # por unidad de area y por unidad de tiempo es apro$imadamente proporcional a G:Gn. La apro$imación llega a ser más precisa a medida que Gn ( y desde luego G & se ace más pequeDo. En el -onsiderando que la temperatura correspondiente a la superficie
caso l!mite, a medida que Pn€ %variación de
, P+QPn€ d:dn lo cual se llama el gradiene de
en la dirección normal a la superficie o curva isot(rmica&. 5i 1 es la
cantidad de flu:o de calor por unidad de área y unidad de tiempo, tomamos como nuestra ley f!sica2
1α
d dn
1=<
ó
d d
5i deseamos considerar a como una cantidad vectorial %teniendo dirección y magnitud&, el razonamiento es el siguiente. -onsidere como positiva la dirección de ? a ? #. 5i positiva, entonces fluye de
d:dn es
aumenta y, por tanto, debemos tener # R .
? a ? # %de mayor a menor temperatura&/ esto es, el flu:o de calor está en la
dirección negativa. 'e modo similar, si
d:dn es negativa, disminuye, # S , y el flu:o es de ? # a ? / esto es,
el flu:o de calor está en la dirección positiva. La dirección del flu:o de calor puede tenerse en cuenta mediante un signo menos en
1=<
d d
esto es, cantidad de calor por unidad de tiempo que fluye a trav(s de un área A,
está dada por
1 %cantidad vectorial& ) −
d dn
La anterior constante de proporcionalidad
%proviene de la teor!a de campos&.
< depende del material usado y se
llama
conduciidad 4r-ica. 0emplo aclaratorio: n tubo largo de acero, de conductividad t(rmica
<, tiene un radio interior ri y un radio
e$terior re. La superficie interna se mantiene a i y la superficie e$terior se mantiene a
e.
%a& 'efinir la temperatura como una función de la distancia r del e:e com;n de los cilindros conc(ntricos. %b& Encuentre la temperatura en r. %c& T-uánto calor se pierde por minuto en una parte del tubo de L de largoU
For-ulaci5n -ae-ica+ Es claro que las superficies isot(rmicas son cilindros conc(ntricos con los cilindros dados. El área de tal superficie con radio
riHrHre y longitud L es #rL. La distancia dn en este
caso es dr.
1 = −< %0π rL rL&
d dr
.En esta ecuación, 1 es una
constante. Las condiciones iniciales son2 < , L, e en re y i en ri.
?oluci5n+ Ecuación diferencial de variables separadas, integrando se obtiene2 <#L$1Lnr"c sando las condiciones iniciales obtendremos el valor de c.
6tras ideas sobre transmisión de calor2 En el caso de conducción de calor, el calor fluye de lugares de más alta temperatura a lugares de más ba:a ba:a temperatura. !sicamente, cuando un e$tremo de una barra barra aumenta de temperatura, el movimiento aleatorio de las mol(culas en este e$tremo se aumenta con un incremento resultante en velocidad y n;mero de colisiones entre mol(culas. mol(culas. Las mol(culas con más alta velocidad tienden a moverse acia el otro e$tremo de la barra, dando lugar a colisiones adicionales y a un consecuente incremento incremento gradual en temperatura en el resto resto de la barra. 7odemos considerar una conducción de calor como una difusi5n de mol(culas. +al +al difusi5n, sin embargo, no está limitada a la conducción conducc ión de calor. ). Aplicaciones a pro*lemas pro*lemas com*inados de crecimiento " decrecimiento. decrecimiento.
La ecuación diferencial
dy nos dice que la variación con el tiempo de una cantidad y = ay d es proporcional a y. 5i la constante de proporcionalidad a es positiva siendo y positivo, entonces dy:d es positivo e y aumenta. En este caso ablamos de que y crece, y el problema es de crecimiento. 7or otro lado, si
a es negativo siendo y positivo, entonces dy:d es
negativo e y decrece.
dy identificada como una ecuación de variables separadas = ay d a está dada por la función e$ponencial y $ ce , resolviendo mediante integración,
defini(ndose la ecuación diferencial
dy como la ley de creci-ieno exponencial si = ay d a J y la ley de decreci-ieno exponencial si a H8.
0emplo aclaratorio: 5e calienta agua a la temperatura del punto de ebullición de e. El agua se agita y se guarda en un cuarto el cual está a una temperatura constante de
c. 'espu(s de i la temperatura
del agua es f . %a& Encuentre Encuentre la temperatur temperaturaa del agua despu(s despu(s de f
siendo fJi.
%b& T-uándo la la temperatura temperatura del del agua será será de iU 5iendo eJfJiJc
For-ulaci5n -ae-ica+ La diferencia de temperatura entre el agua y el cuarto es e'c$G . La variación en es
d:d. +omando como base en la e$periencia, uno espera que la temperatura cambie más G) es grande y más lentamente cuando % G G & es pequeDo. rápidamente cuando % G) 'esarrollemos un e$perimento en el cual tomamos temperaturas en varios intervalos de tiempo, siendo G el cambio en temperatura y G el tiempo para producir este cambio. +omando +omando a G pequeDo esperamos que G Q G será muy cercano a d:d. 5i acemos una gráfica representando G Q G y G , podr!amos podr!amos producir un gráfico similar al de esta figura.
Los puntos marcados están determinados por el e$perimento. 7uesto que el gráfico es, apro$imadamente, una l!nea recta, asumimos que d:d es proporcional a G, esto es2
d d
= a%∆ &
cuando
d d
donde
a es una constante de proporcionalidad. <ora d:d es negativo
(G) es positivo, y as! escribiremos a $ 'B donde B J . La ecuación
es
= −B%∆ & . Esta ecuación se conoce en f!sica como la ley de enfria-ieno de 8e9on y
es de importancia en mucos problemas de temperatura. 3ealmente, es sólo una apro$i apro$imac mación ión a la situaci situación ón f!sic f!sica. a. Las condici condiciones ones que acompaDa acompaDan n esta esta ecuaci ecuación ón se obtienen de las condiciones iniciales dispuestas en el enunciado del e:emplo.
?oluci5n+ 3esolviendo la ecuación por separación de variables tenemos2
d
∫ ∆F
'B
= −∫ Bd
€
ce
ln (G)$ 'B " c
€ G$
de la cual teniendo las condiciones
iniciales podemos calcular las constantes B y c, pudiendo dar contestación al problema planteado.
0emplo aclaratorio: 7or m(todos e$perimentales similares a los indicados en el problema anterior de temperatura obtenemos la siguiente ley2 Ley de desint desintegr egraci ación ón radioa radioacti ctiva2 va2 La
elocidad de desinegraci5n de una susancia
radioacia es proporcional, en cual1uier insane, a la canidad de susancia 1ue es presene.
$
7(rdida de part!culas
1u
t
dx:d e$istirá en todo el dominio.
estamos construyendo una abstracción matemática de una situación f!sica. Las ideas presentadas aqu! ocurren frecuentemente en f!sica debido al tamaDo finito, aun de la part!cula más pequeDa, en otras palabras, debido a la teor!a atómica.
For-ulaci5n -ae-ica+ 5ea A la cantidad de elemento radiactivo presente despu(s de
aDos. Entonces dA:d %la
cual e$iste seg;n la abstracción matemática anterior& representa la tasa o velocidad de desintegración del compuesto. 'e acuerdo con la ley
dA d
constante de proporcionalidad. 7uesto que A
α A ó
dA d
= α A , donde ; es una
J y decreciente, entonces dA:dH y la cantidad del dA = −
A $ A en ) 8, A $ A en $
?oluci5n+ 5eparando las variables, tenemos al integrar2
dA = −
€
c
€ ln A $ '< "
€
A = e − < +c
1
aniln €
"ntroduciendo las condiciones iniciales en la función solución de la ecuación diferencial podremos calcular las constantes < y c.
@. El ca*le colgante.
-onsidere un cable o una cuerda que cuelga de dos puntos A y %seg;n la figura&, no necesariamente al mismo nivel. 5uponiendo que el cable es fle$ible de modo que debido a su carga %la cual puede ser debida a su propio peso, o a fuerzas e$ternas actuantes, o a una combinación de (stas& toma la forma como en la figura. 5iendo = la posición más ba:a del cable, escogiendo los e:es x e y como en la figura, donde el e:e y pasa por =. y
B A P
(x,y)
C
x
T
M (x)
PØ (x,y)
Q -onsidere aquella parte del cable entre el punto más ba:o y cualquier punto @ en el cable H
con coordenadas (x,C y). Esta parte estará en equilibrio debido a la tensión figura siguiente&, la fuerza orizontal N en del cable denotada por
en @ %seg;n la
= , y la carga vertical total en el segmento =@
M(x), la cual asumimos que act;a en alg;n punto , no
necesariamente en el centro del arco
=@. 7ara el equilibrio, la suma algebraica de las
fuerzas en la dirección x %u orizontal& debe ser igual a cero, y la suma algebraica de fuerzas en el e:e y %o vertical& debe ser igual a cero. 6tra forma de indicar lo mismo es que la suma de fuerzas acia la dereca debe ser igual a la suma de las fuerzas acia la izquierda, y la suma de fuerzas acia arriba debe ser igual a la suma de fuerzas acia aba:o. 'escomponemos la tensión
en dos componentes %l!neas punteadas en la figura&, la
componente orizontal con magnitud
cosO, y la componente vertical con magnitud
senO. Las fuerzas en la dirección x son N acia la izquierda y que las fuerzas en la dirección y son
cosO acia la dereca, mientras
M acia aba:o y senO acia arriba. 'e donde,
aciendo equilibrio de acciones o fuerzas en las direcciones de los e:es tenemos2
senO ) M,
cosO $ N
'ividiendo, y usando el eco de que la tangente )
dy:dx ) pendiente en @, tenemos
dy
M = dx N
En esta ecuación, N es una constante, puesto que es la tensión en el punto más ba:o, pero M puede depender de x. 'erivando esta ;ltima ecuación con respecto a x, tenemos2
d 0 y 1 dM = dx 0 N dx
<ora
dM:dx representa el incremento en M por unidad de incremento en x/ esto es, la
carga por unidad de distancia en la dirección orizontal. La ecuación diferencial anterior es fundamental.
0emplo aclaratorio:
n cable fle$ible de poco peso %despreciable& soporta un puente uniforme. 'etermine la forma del cable. %Este es el problema de determinar la forma del cable en
un
puene colgane, el cual es de gran uso en la construcción de puentes&. y
x
For-ulaci5n -ae-ica+ La ecuación
1 dM 0 d y se cumple aqu! y nos resta determinar dM:dx, la carga por 0 = dx N dx
unidad de incremento en la dirección orizontal. En este caso
dM:dx es una constante,
llamada el peso por unidad de longitud del puente. Llamando a esta constante M , que
tenemos
0
d y M dx 0 = N
'enotando por b la distancia del punto más ba:o del cable desde el puente, tenemos y $ donde x $ ,
dy dx
b
= 8 donde x $ , la segunda condición debido a que el punto donde x $
es un punto m!nimo.
y aciendo uso de las condiciones dadas,
"ntegrando dos veces la ecuación d y M =0 dx 0 N + b , siendo esta la ecuación de una parábola. Mx encontramos que y = 0 0 N
A. !a deflexión de vigas. -onsidere una viga orizontal A seg;n la figura. 5e supone que la viga es uniforme en su sección transversal y de material omog(neo. El e:e de simetr!a se encuentra en el plano medio indica por la zona sombreada.
A
-uando está sometida a fuerzas, las cuales suponemos que están en un plano que contiene el e:e de simetr!a, la viga, debido a su elasticidad, puede distorsionarse en su forma como se muestra en la siguiente figura.
A
Estas fuerzas pueden ser debidas al peso de la viga, a cargas aplicadas e$ternamente, o a una combinación de ambas. El e:e de simetr!a distorsionado resultante, situado en el plano medio distorsionado de la segunda figura, se llama la cura esta curva es de importancia en la teor!a de elasticidad. 4ay mucas maneras de apoyar vigas.
elsica. La determinación de
Pigas en oladi2o2 una viga en la cual el e$tremo A está r!gidamente fi:o, mientras que el e$tremo está libre, para moverse.
Piga si-ple-ene apoyada2 la viga está apoyada en los dos e$tremos A y . 4ay más formas y más condiciones para la defle$ión que serán aplicadas a cada tipo de problema.
=arga unifor-e-ene disribuida sobre toda la viga. =arga ariable sobre toda la viga o sólo en una parte de ella. -arga punual o concenrada. -onsidere la viga orizontal C de la figura siguiente. -olocando el e:e de simetr!a %l!nea punteada& en el e:e Q tomado como positivo a la dereca y con origen en . Esco:a el e:e
R
como positivo acia aba:o. F
F7
F#
/(x)
A
Q
x$
x$L
x
R F
A
F# F7
Q
y
x$
x$L
x R
'ebido a la acción de las fuerzas e$ternas F y F # %y si es apreciable el peso de la viga& el e:e de simetr!a se distorsiona en la curva elástica que se muestra punteada en la figura de aba:o donde emos tomado la viga como fi:a en . El desplazamiento y de la curva elástica desde el e:e Q se llama la
deflexi5n o flecBa de la viga en la posición x.
determinamos la ecuación de la curva elástica, se conocerá la defle$ión de la viga. 7ara poder formular la ecuación debemos saber2
si
5ea /(x) el
-o-eno flecor en una sección transversal vertical de la viga en x. Este
momento flector se define como la suma algebraica de los momentos de esas fuerzas que act;an sobre un lado de x, los momentos se toman sobre una l!nea orizontal en la sección transversal en x.
arriba producen momentos negaios y fuerzas Bacia aba6o producen momentos posiios, asumiendo por supuesto que el e:e y se toma acia aba:o como se mencionó antes. No importa cuál lado de x se tome puesto que los momentos flectores calculados desde cualquier lado son iguales. El momento flector en x está simplemente relacionado con el radio de curvatura de la curva elástica en x, siendo la relación2
EI
yVV
[1 + % yV&
= / % x& 0
]32 'onde E es el módulo de elasticidad de Woung y depende del material usado en el diseDo de la viga, e I es el momento de inercia de la sección transversal de la viga en x con respecto a una l!nea orizontal que pasa por el centro de gravedad de esta sección transversal. El producto EI se llama la rigide2 y se considerará como una constante. 5i asumimos que la viga se dobla sólo levemente, lo cual es válido para mucos propósitos prácticos, la pendiente
yS de la curva elástica es tan pequeDa que su cuadrado es
despreciable comparado con 1, y la ecuación se puede remplazar por la buena apro$imación2
EIyVV = / % x& 0emplo aclaratorio: na viga orizontal, simplemente apoyada, de longitud L se dobla ba:o su propio peso, el cual es 9 por unidad de longitud. Encuentre la ecuación de su curva elástica.
For-ulaci5n -ae-ica+ En la figura se muestra la curva elástica de la viga %l!nea punteada& relativa a un con:unto de e:es coordenados con origen en
y direcciones positivas indicadas/ puesto que la viga
está simplemente soportada en y en , cada uno de estos soportes lleva la mitad del peso de la viga, o sea 9L:#.
9L:#
9L:#
A B
x$
P
wx
w(L-x)
x
Q
x=L
L-x
R
El momento flector /(x) es la suma algebraica de los momentos de estas fuerzas actuando a un lado del punto @.
Escogiendo el lado dereco de @, actuar!an dos fuerzas2 1. La fuerza acia aba:o 9 (L ' x), a una distancia %L $&Q0 de @, produciendo un momento positivo. 0. La fuerza acia arriba 9L:#, a una distancia L'x de @, produciendo un momento negativo. En este caso el momento flector es2
9L 9x 0 / % x& = 9% L − x& L L x & % & − − % − x = 0
0
0
−
9Lx 0
-on el valor de /(x), la ecuación fundamental es2
EIy VV =
9x 0
0
−
9Lx 0
'os condiciones son necesarias para determinar y. Estas son, y ) 8
en x $ , y en x $
puesto que la viga no tiene deformación en los e$tremos o apoyos.
?oluci5n+ EIy VV "ntegrando dos veces =
9x
se obtiene EIy =
0
9x?
−
9Lx >
9Lx −
0
0
0?
10
+
c1 x + c0
L,
7uesto que y $ cuando x $ , tenemos c# $ . 'e donde EIy =
9x ? 0?
7uesto que y $ cuando x $ L,
c ) 9L7 Q0? y tenemos, finalmente2
−
9Lx 10
>
+ c1 x
y =
9 ?
>
>
% x − 0 Lx + L x& 0? EI
-omo la ecuación requerida de la curva elástica. Es de inter(s práctico usar la solución ? > > 9 % x − 0 Lx + L para allar la má$ima defle$ión. 'e la simetr!a o por el final y = x& 0? EI cálculo, el má$imo ocurre en x $ L:#, de donde la fleca má$ima será2 ?
yma$ =
@9L
>O? EI
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES'
+ipos de aplicaciones2 1. Kovimiento vibratorio de sistemas mecánicos2 1.1 El resorte vibrante %movimiento armónico simple&. 1.0 El resorte vibrante con amortiguamiento %movimiento amortiguado&. 1.> El resorte con fuerzas e$ternas. 1.? La resonancia mecánica.
1. +ovimiento vi*ratorio de sistemas mecánicos:
El sistema más simple disponible para estudiar el movimiento vibratorio consiste en un resorte de peso despreciable Gfigura%a&H suspendido verticalmente de un soporte fi:o. 5uponga que un peso M se cuelga del resorte Gfigura%b&H.
-uando el peso está en reposo describimos su posición como la posici5n de e1uilibrio. 5i el peso se desplaza e:erciendo una fuerza vertical y acia aba:o y se de:a de e:ercer cuando tiene una cierta distancia respeto de la posición de equilibrio, estará ba:o un movimiento vibratorio alrededor de la posición de equilibrio Gfigura%c&H.Fueremos averiguar
el
movimiento que realiza el cuerpo en su desplazamiento respecto de la posición de equilibrio. 7ara conseguir este propósito, tendremos que conocer las fuerzas que act;an sobre el peso durante su movimiento. 7or la e$periencia vemos que ay una fuerza que
ace regresar o restaurar un peso desplazado a su posición de equilibrio. Esta fuerza se llama la fuer2a resauradora. La ley que gobierna esta fuerza es un caso especial de la ley generalizada de 4ooBe. Nos referiremos a este caso especial como la ley de Noo
La fuer2a e6ercida por un resore, endiene a resaurar el peso M a la posici5n de e1uilibrio, es proporcional a la disancia de M a la posici5n de e1uilibrio. %Xla fuerza es proporcional al alargamientoY&. 'enotamos la magnitud de la fuerza restauradora por Z f T, y sea x la posición de
M medida
desde la posición de equilibrio. 5e supone la dirección positiva acia aba:o, de modo que x es positivo cuando M está por deba:o de la posición de equilibrio y negativo cuando M est( por encima de esta posición. 'e acuerdo a la ley de 4ooBe,
f α x
o
f = <
donde < J es una constante de proporcionalidad, que depende de
la
x
dureza del resorte y se llama consane del resore o -5dulo de elasicidad del resore. 7ara determinar la dirección de la fuerza, observamos que cuando x acia arriba y por tanto es negativa. -uando x
J la fuerza está dirigida
H la fuerza está dirigida acia aba:o y es
por tanto positiva. Esto se puede satisfacer, sólo si la fuerza está dada tanto en magnitud como dirección por
f $ ' < x -uando el peso M se coloca en el resorte, se estira una distancia s como se ve en la anterior figura en la posición %b&, seg;n la ley de 4ooBe, la tensión + en el resorte es proporcional al elongamiento, y as! $
$
, en el resorte en este tiempo es, de acuerdo a la ley de 4ooBe,
# $ <(s " x) 5igue que la fuerza neta en la dirección positiva está dada por2
M'# $M'
M d x 0
= −
g d 0
0emplo aclaratorio2 n peso @ estira un resorte x unidades de longitud. 5i el peso se alla x# unidades de longitud por deba:o de la posición de equilibrio y se suelta2 %a& Establecer la ecuación diferencial y condiciones asociadas que describan el movimiento. %b& Encontrar la posición del peso como una función del tiempo. %c& 'eterminar la posición, velocidad y aceleración del peso tiempo despu(s de aberse soltado.
For-ulaci5n -ae-ica+ 7or la ley de 4ooBe2
f = < x1 y
<=
f = @ 0 x es por tanto @ d = −
7uesto que inicialmente % tenemos x $ x# en
@
La ecuación diferencial que describe el movimiento
x1
$ & el peso está x# por deba:o de la posición de equilibrio,
$ .
+ambi(n, puesto que el peso se suelta %esto es, tiene velocidad cero& en ) 8,
dx d = 8 en $ .
con las condiciones 0 x @ d = −
x $ x# en $ ,
g d 0
dx d = 8 en $
?oluci5n+ 7or el teorema de e$istencia y unicidad, para ecuaciones lineales, sacamos la función au$iliar que nos permite llegar a la general. La ecuación au$iliar sale de
x @ d 0 = −
llamando a
D d =
g d 0 d 0 x tenemos
d
, x = e
-
y a
E =
d
+ Ex = 8 y D0 = -0e- .
0
0 + Ex = 8 la anterior tendremos2 de donde sacamos d 0 - 5ustituyendo en % D + E &e = 8 x d 0
que
0
%- + E &e =8
-
para la cual
-# " E $ y tiene ra!ces - $V Ei. 'e donde la
ecuación diferencial tiene la solución de la forma2
x = c1e Ei + c0 e− Ei
'e otra forma podemos calcular la solución general de esta ecuación aciendo a x%$ en 0 + Ex = 8 d d dx d Ex 8 + = + Ex = 8 , , la ecuación x%% " Ex$ tendremos que para
x d 0
d dx
+ Ex = 8 separado variables e integrando tendremos
, d
dx d
d"Exdx$
entonces
1
1
0
0
0 + Ex0 =c
de donde c#
$ #c despe:ando = ± c 2 Ex
dx
integrando en la anterior
∫ c Ex 2
como x%$
! " acsen## $$ = ± E + c0 c % 1& x
2
= ±∫ d con lo cual
x = c1 %± E + c0 & = c1 senc0 cos E ± c1 cos c0 senE x " sen t 2 + cos t
2
que se puede escribir como 2
siendo A y constantes.
-omo la ecuación x
" sen t 2 + cos t3 y la ecuación
,son las dos
x−= Ei c e Ei + c e 1 0
ecuaciones generales, debe aber una correlación entre ambas de tal forma que2 Ei
<− Ei sen Et + # cos Et ≡ c e
e
+c
1
# = c1
si consideramos que en
0
diferenciando
+ c0
Ei
< sen Et + # cos Et ≡ c e
en
ambos
€
$
− Ei
]
< = i[c1 − c0
'e la condición
x $ x#
1
en
Ei
ecuación
−c
para
0
con los valores obtenidos antes de A
]
c−%cosEt + isen Et& + c %cosEt − isen Et& ≡ c e Ei + c Ei e 0
= 1 tendremos
la
1
y , # = c1 + c0 , < = i[c1 − c0 ] ,tendremos2
1
de
[c e
0
E%< & ≡ Ei[c1 − c0 ] con lo que
± Ei
E%< cos Et − # sen Et & ≡ Ei
e 1
lados
− Ei
+ce
e
$
$ ,
con lo cual
e Ei = cosEt + isen Et .
0
encontramos
A, as! que sustituyendo en
x $ A cos E " sen E y derivando respecto de e introduciendo la condición dx = 8 d en $ podemos encontrar el valor de y con lo cual la x para las condiciones dadas. 7ara calcular la velocidad y aceleración solo abrá que derivar una vez para la velocidad y dos para la aceleración, respecto del tiempo, en la ecuación de la posición2
x $ A sen E " cos E dx d
= % &
d 0x d
= a% &
0
En el gráfico de la figura siguiente se obtiene dando valores a la función
posición,
x $ A sen E " cos E, se ve que el peso empieza en x $ A donde $ , luego pasa por la posición de equilibrio en x
$ a la posición x $'A y luego regresa de nuevo a la posición
de equilibrio, la pasa y vuelve a x
$ A. Este ciclo se repite una y otra vez. !sicamente el
gráfico describe el movimiento periódico acia arriba y aba:o del resorte, el cual se llama
-oi-ieno ar-5nico si-ple. En general, cualquier movimiento descrito por la ecuación
d 0x d
0
= −ax ,
donde a J es una constante, será movimiento armónico simple. !sicamente esta ecuación nos dice que la aceleración es directamente proporcional al desplazamiento pero en dirección opuesta %indicado por el signo menos&. Llamamos al desplazamiento má$imo del peso de su posición de equilibrio %esto es, x $ 8&
a-pliud. El tiempo para un ciclo completo se llama periodo. 'el gráfico vemos que el per!odo es
π ?
= / otra forma de ver que el per!odo es π ,sin el gráfico, es determinando cuándo el ?
peso está en un e$tremo de su trayectoria %esto es, ya sea el punto más alto, o más ba:o&. -uando tomamos el punto más ba:o dado por x
$ A cos E , esto ocurrirá cuando cos E $
, esto es, E ) 8, 0 [, ? [, A[, . . o ) U :W, # :W, 7 :W, . . .la primera vez que x $ -ax es cuando ) 8, la segunda cuando ) :W, la tercera cuando ) # :W, etc. La diferencia entre tiempos sucesivos es
:W, la cual es el per!odo. El n;mero de ciclos por
segundos se llama frecuencia. 7er!odo % & ) N;mero unidades de tiempo por ciclo ) :
W
1
=
?
recuencia % f & ) N;mero de ciclos por unidad de tiempo )
π
π
? En general si es el per!odo, la frecuencia f es dada por
5i aora de la solución general
f =
1
x $ A cos E " sen E damos las condiciones iniciales2
dx d ≠ 8
x ≠ 8
en
$.
'espe:ando las constantes A y obtenemos una ecuación de la forma2
x $ a cos E " b sen E llamando a E $ X tendremos x $ a cos X " b sen X esta ecuación la podemos poner de la forma2
a cos ω + bsen ω = ' 2 2 sen %ω + φ & 2 2 '
obtenida de
=
' 2 2
) ! b # +% senω & # '2 2 % -+
2 2 sen%ω + φ & ' =
% senω cos φ + cos ω senφ & =
"* $, = a cosω + bsenω &$ ,.
" ! a $ + %cos ω &# $ '2 2 #% &
El ángulo Y a menudo se llama el ngulo de fase.
5i un movimiento se puede describir de la forma2
x = Asen%ω + φ &
entonces
f =
1
=
ω
=
0π
ω
0π
obteniendo la relación X $ #f
la cual a menudo es ;til.
El movimiento armónico simple se da en mucos otros casos además de las vibraciones de resortes, como en el movimiento del p(ndulo de un relo:, el balanceo de un barco o un avión, etc.
1.0 El resorte vi*rante con amortiguamiento movimiento amortiguado. Los resortes considerados en el apartado anterior son modelos idealizados fuera de los casos reales, puesto que las oscilaciones no disminu!an, como uno esperar!a por e$periencia, sino por el contrario, se manten!an constantes en el tiempo. En la práctica, fuerzas de fricción y otras %tales como la resistencia del aire& act;an para decrecer la amplitud de las oscilaciones y finalmente traer el sistema al reposo. na manera para obtener una me:or apro$imación a la realidad, es suponiendo una fuerza a-origuadora. La ley e$acta para esta fuerza no se conoce, puesto que depende de mucas variables, pero se a encontrado mediante la e$perimentación, que para velocidades pequeDas, la magnitud de la fuerza amortiguadora es apro$imadamente proporcional a la velocidad instantánea del peso en el resorte. La magnitud por tanto está dada por2
/x β / donde Z es la constante de proporcionalidad llamada la consane de a-origua-ieno. La fuerza amortiguadora se opone al movimiento, de modo, que cuando el peso va ba:ando la fuerza amortiguadora act;a acia arriba, mientras que act;a acia aba:o cuando el peso va subiendo.
'Z dx:d .
-uando se tienen en cuenta las fuerzas restauradoras ya consideradas, seg;n la ley de Newton, la ecuación diferencial del movimiento es2
M d x 0
g d 0
= −β
dx d
−
o
M d x + β dx +
g d 0
d
0emplo aclaratorio2 n peso
M estira un resorte x unidades de longitud. 5i el peso se alla x# unidades de
longitud por deba:o de la posición de equilibrio y se suelta2 %a& Establecer la ecuación diferencial y condiciones asociadas que describan el movimiento. %b& Encontrar la posición del peso como una función del tiempo.
For-ulaci5n -ae-ica+ +eniendo en cuenta la fuerza amortiguadora
dx M d 0 + β +
La ecuación del movimiento será
Las condiciones iniciales son2 x $ x# en
$ ,
dx en $ d = 8
?oluci5n+ 7or el teorema de e$istencia y unicidad para ecuaciones lineales sacamos la función au$iliar que nos permite llegar a la general.
dx 0 + β +
0
%- + -F + E &e
-
0
% D + DF + E &e
= 8 para la cual %-0 + -F + E & =8
-
= 8 de
y tiene ra!ces
2 4E 1 1
-=
'e donde la ecuación diferencial tiene la solución de la forma2
0
x−=- c e e 0
-1
+c
1
2 4E 1 1 - =
donde
0
1
'e otra forma
0
0
- = −a ± bi si F 0 − ? E H
siendo la e$presión
2 4E - = 1 1
0
x = c e %−a+bi& + c e %−a−bi & = e−a [c ebi + c e −bi
]
1
0
1
0
x = [c ebi + c e bi ] cuya solución general debe ser como la ecuación −
1
0
$ = < sen bt + # cos bt 3 son las dos ecuaciones generales. 'ebe aber una correlación entre ambas, de tal forma que2 bi
<−bisen bt + # cos bt ≡ c e + c
si consideramos que en
e
1
# = c1
+ c0
0
tendremos
e±bi =1
bi
≡ c1e
[
≡ bi c ebi − c
−bi
e ] 1
< = i[c1 − c0
para
$
≡ bi[c 1
con los valores obtenidos antes de A y
,
# = c1 + c0
,
] ,
c−%cosbt + isen bt& + c %cosbt − isen bt& ≡ c ebi − c bi e 1
0
− c ] con lo que
b%< &
0
1
−bi
+ c0 e
diferenciando en ambos lados de la ecuación < sen bt + # cos bt
€ b%< cos bt − # sen bt &
tendremos
$
0
< = i[c1 − c0 ] ,
con
lo
cual
0
ebi = cosbt + isen bt . 'e la condición
x $ x#
en $ , encontramos A, as! que sustituyendo en y derivando respecto de e introduciendo la condición dx = 8 en
$ = < sen bt + # cos bt
d
$ podemos encontrar el valor de y con lo cual la x para las condiciones dadas. 7or analog!a de las ecuaciones2 bi
< sen bt + # cos bt ≡ c e + c 1
0
e
−bi
?8
< sen bt + # cos bt ≡ e
−a
[c e 1
bi
+ce
−bi
]
0
tendremos que la segunda ecuación se convierte
en
x = e−a [c ebi + c e−bi donde su
]
1
0
ecuación solución será2
x = e
−a
[ Acos b + senb ]
?1
'eterminando las constantes A y
su:etas a las condiciones citadas anteriormente,
encontramos la ecuación de la posición en función del tiempo, que determina una gráfica de este tipo2
5i acemos uso de la identidad a cos ω + bsen ω = y de la ecuación
[ Acos b + senb ]
x = e
−a
' 2
2
sen %ω + φ &
se puede escribir2
2 / 2 x = e−a c [ sen%ω + φ &]
El gráfico de la figura está entre los gráficos de l!neas punteadas puesto que el seno var!a entre 1 y J 1. El punto @ representa un m!nimo relativo, mientras que el punto
está
sobre la curva punteada. La diferencia constante en tiempos entre má$imos %o m!nimos& sucesivos se llama cuasi per!odo, aunque se puede referenciar (ste como el per!odo. El ad:etivo cuasi se usa, puesto que los valores funcionales no se repiten como lo ar!an si realmente ubiera periodicidad. El movimiento descrito en este e:emplo se llama
-oi-ieno oscilaorio a-origuado o
-oi-ieno a-origuado. 5e deber!a notar que
2 / c
x = e
−a
2
[ sen%ω + φ &] tiene la forma
x = α % &[ sen%ω + φ &]
El cuasi per!odo está dado por2
0π
= ω
7or analog!a con el caso no amortiguado, ;() se llama la
a-pliud, o más e$actamente la
a-pliud ie-po ariane. 5e ve que la amplitud decrece con el tiempo, estando as! de acuerdo con lo e$perimentado. n eco destacado es que la frecuencia
con
amortiguamiento es menor que aquella sin amortiguamiento, esto es posible ya que se esperar!a oposición al movimiento para incrementar el tiempo para un ciclo completo. La frecuencia sin amortiguamiento, esto es, con Z
$ , a menudo se llama la frecuencia
naural. Esta es de gran importancia en cone$ión con el fenómeno de resonancia a ser discutido posteriormente. La fuerza amortiguadora puede ser demasiado grande comparada con la fuerza restauradora para permitir el movimiento oscilatorio.
1.> El resorte con fueras externas. En los casos anteriores vimos el problema de un resorte donde solo se consideraron las fuerzas restauradora y amortiguadora. -onsideramos aora casos donde pueden actuar otras fuerzas e$ternas que var!an con el tiempo. +ales fuerzas pueden ocurrir, por e:emplo, cuando el soporte que sostiene el resorte se mueve arriba y aba:o en una manera especificada tal como en movimiento periódico, o cuando al peso se le da un pequeDo empu:e cada vez que alcanza la posición más ba:a. 5i denotamos la fuerza e$terna por F(), la ecuación diferencial para el movimiento es2
dx Md0 = −β −
la
;ltima
ecuación
dx M d 0 + β +
escribirse2
dx d0 + + cx = F % & b x d a 0 d
%donde a $ M:g, b$ Z, c $ < &, a menudo llamada la ecuación de ibraciones for2adas.
0emplo aclaratorio2 n peso
M estira un resorte x unidades de longitud. 5i el peso se alla x# unidades de
longitud por deba:o de la posición de equilibrio y se suelta actuando sobre (l una fuerza e$terna periódica, dada por la ecuación F % & = Acos 2 %a& Establecer la ecuación diferencial y condiciones asociadas que describan el movimiento. %b& Encontrar la posición del peso como una función del tiempo.
For-ulaci5n -ae-ica+ La ecuación diferencial es2
a
d0x d
+b
0
dx
+ cx = A cos
d
las condiciones iniciales son2 x $ x# en
$ ,
dx en $ d = 8
?oluci5n+ Estudiando la primera parte de la ecuación diferencial 8=a
d0x d
0
+b
dx
+ cx
d
escribi(ndola en función de
D =
d d
0
-
%aD + bD + c&e
=8
o
, x = e
, 0
-
D0 = -0e- se ver!a como
%aD + bD + c & x =8
donde en está ultima ecuación
ser!an constantes no todas iguales a cero de tal forma que usando la definición de dependencia lineal2
a,b,c,
n con:unto de funciones y (x), y# (x),&, yn (x) denotadas como y , y#,&, yn , se dice que son lineal-ene dependienes en un intervalo si e$iste un con:unto de n constantes, no todas cero, tales que en el intervalo
α 1 y1 + α 0 y0 + ... + α n yn
en caso contrario se dice que el
≡8 con:unto es lineal-ene independiene. La dependencia o independencia se averigua mediante el \ronsBiano. +eorema2 5i y , y# son linealmente dependientes en un intervalo, y si sus derivadas y% ,
y% #
e$isten en el intervalo, entonces el \ronsBiano de y , y# dado por
M % y1 , y0 & = det y1 , y0 , y*1 , y*0 = y1 y*0 − y0 y*1 es id(nticamente cero %esto es, M$ ) en el intervalo. Este teorema puede enunciarse en t(rminos de independencia lineal como sigue2 5i el \ronsBiano de y , y# no es id(nticamente cero %esto es,
M ) en un intervalo,
entonces y , y# son linealmente independientes en el intervalo. Esto es cierto puesto que si y ,
y# fueran linealmente dependientes en el intervalo su
\ronsBiano ser!a id(nticamente cero en el intervalo seg;n el teorema anterior. Esta contradicción muestra que las funciones no son linealmente independientes, esto es, son linealmente dependientes en el intervalo. -on lo cual, si
M = y1 y*0 − y0 y*1 ≠8
tenemos
α 1 = 8 α 0 = 8 . 3etomando la ecuación
0
%aD + bD + c& x =8
y por el teorema de e$istenciaunicidad para
n $ #, tomando como soluciones de la ecuación a %ax1**+bx1*+cx1 & = 8 y
%ax0**+bx0*+cx0 & = 8
multiplicando a la primera ecuación por x#, a la segunda por x , restando las dos tendremos
a% x1 x0**− x0 x1**&+ b% x1 x0*− x0 x1*& = 8 7uesto que el \ronsBiano está dado por
M = x1 x*0 − x0 x*1
y ya que
dM
=
d
d
% x 1x*0 − x0x*1 & = x 1x**0− x 0x**1 se convierte en d
a d + bM = 8 M d
3esolviendo, esta ecuación diferencial de variables separadas
dM
∫ =a
−b
d € integrando € lM =
−b
= e M
a
a
+c€ M
b d c +
1
b
b
= e −∫ ad ce = ce −∫ a d 1
1
relación importante conocida como la idenidad de Abel , dada por
M = ce−d −
7uesto que la función e$ponencial en M = ce
b
∫ a d nunca es cero, vemos que el \ronsBiano
M debe ser id4nica-ene cero en el intervalo dado, en cuyo caso c $ , o nunca cero en el intervalo, en cuyo caso c . No puede aber nada intermedio. -on todo lo anteriormente dico, tendremos el siguiente teorema2 0
+eorema2 5ea x ,x# dos soluciones de la ecuación diferencial %aD + bD + c& x = 8 donde a , b,c son funciones continuas de x en alg;n intervalo. Entonces el \ronsBiano de x ,x# está dado por la idenidad de Abel.
M = det x , x , x* , x *
1
0
1
0
= ce−d
y
M es ya sea id(nticamente cero en el intervalo o nunca
cero en el intervalo. sando este teorema, podemos probar aora el siguiente teorema para el caso de que sean soluciones de la ecuación
0
%aD + bD + c & x = 8
+eorema2 5ean x ,x# soluciones de la ecuación diferencial intervalo. Entonces
x ,x#
0
%aD + bD + c & x =8
%a& x ,x# son linealmente dependientes si y sólo si M$ 8 en el intervalo.
en alg;n
%b& x ,x# son linealmente independientes si y sólo si M en el intervalo. 'e los dos +eoremas anteriores podemos obtener el siguiente teorema ;til2 0
+eorema2 5ea x una solución a la ecuación diferencial %aD + bD + c& x = 8 . Entonces
una solución linealmente independiente está dada por M = det x , x , x* , x * 0
x
dividendo en los dos termino
por
3
d x0 % & ce =
−
b
1
∫ ad 3
0
%
x0
1
&
x0
d x
1
0
=∫ e
+ < 1
−d
= ce −
∫ ad d 3
c x0
x
1
3
b
1
1
∫
− b d
integrando y tomando la constante de integración 3
e a c $ , < $ x = 0 x1 ∫ x0 d 1
6tros teoremas importante nos dicen2 0
5i x ,x# son soluciones linealmente independientes de la ecuación %aD + bD + c& x = 8 , entonces x = c x + c x es una solución de la ecuación para cualesquiera constantes c , c . 1 1 0 0 1 0 5i x ,x# son soluciones linealmente independientes
solución particular de %aD0 + bD + c & x = F % & entonces
de
0
%aD + bD + c& x =8
x = c x 1 1
de la ecuación diferencial
0
%aD + bD + c & x = F % &
+ c x + x 0
0
y x p es una
es una solución p
para cualesquiera constantes c ,c# .
'e estos dos ;ltimos teoremas se puede desprender2 5e a definido la soluci5n solución que involucra
general de una ecuación diferencial de orden n como aquella
n constantes arbitrarias. +odas las soluciones que no se pod!an
obtener de esta solución general por
ninguna selección de estas constantes se denominan
soluciones singulares. En la mayor!a de los problemas de naturaleza práctica la solución general es la que proporciona la solución significativa despu(s de determinar las constantes de las condiciones dadas. 5i surgen soluciones singulares, estas tienen XgeneralmenteY poco o ning;n significado práctico. 'e estos teoremas vemos que no emos encontrado la solución que involucra dos constantes arbitrarias %el mismo n;mero como el orden de la ecuación diferencial&, la cual emos llamado la soluci5n general, sino en realidad odas
las
oras soluciones que de e$istir son soluciones particulares, esto es, casos especiales de la solución general obtenidos por la selección apropiada de las constantes.
estos
+eoremas garantizan que no aya soluciones singulares. Esta propiedad de no tener soluciones singulares es peculiar de las ecuaciones diferenciales
lineales, pero no de todas las ecuaciones diferenciales no lineales.
-omo
F % & = Acos
contiene una función de los t(rminos cos con lo que podemos
utilizar el m(todo de los coeficientes indeterminados para determinar la solución particular. Ensayando
como
solución
particular
x p = c1 sen
0
%aD + bD + c & x = F % &
x p = c1 sen + c0 cos 5ustituyendo en la ecuación
0
de
0
x** p = − c 1 sen − c0 cos
x* p = c1 cos − c0 sen
ax**+b* x*+cx = F % &
+ c 0 cos
calculamos el valor de las constantes
c1, c0 y por tanto la solución particular. La solución complementaria se obtiene de la misma forma que en el apartado anterior 1.0 con lo que ser!a
x c =
e
− a
[ A cos + sen
] con lo que la solución general será de la forma2
x = xc + x = e−a [ A cos + sen ]+ c sen p +c 1
cos 0
sando las condiciones iniciales podr!amos determinar el gráfico siguiente2
1.? !a resonancia mecánica. -uando la frecuencia de una fuerza e$terna periódica aplicada a un sistema mecánico está relacionada de una manera sencilla con la frecuencia natural del sistema, puede ocurrir el fenómeno de la resonancia mecánica, la cual eleva las oscilaciones tales que el sistema puede desplomarse o colapsarse. na compaD!a de soldados marcando en fila a trav(s de un puente puede de esta manera acer que el puente colapse. En una manera análoga, puede ser posible que una nota musical de una frecuencia caracter!stica propia estalle un cristal. 'ebido a los grandes daDos que pueden ocurrir, la resonancia mecánica es en general algo que necesita ser evitado, especialmente por el ingeniero al diseDar estructuras o mecanismos vibrantes. La resonancia mecánica puede tambi(n servir para propósitos ;tiles. 7or e:emplo, si un automóvil se quedara atascado en la nieve %o barro&, puede, al XmecerloY, ser puesto a vibrar con su frecuencia natural. Entonces, al aplicarle una fuerza con esta misma frecuencia, la resonancia mecánica resultante puede ser algunas veces suficiente para liberarlo.
0emplo aclaratorio2 n peso @ estira un resorte x unidades de longitud. 5i el peso se alla x# unidades de longitud por deba:o de la posición de equilibrio y se suelta aplicándole una fuerza dada por F % & = Acos . 'escribir el movimiento que resulta si se supone que inicialmente el peso está en la posición de equilibrio (x $ ) y que su velocidad inicial es cero.
For-ulaci5n -ae-ica+ La ecuación diferencial que describe el movimiento es por tanto
@ d 0 x g d = −
e$terna
7uesto que inicialmente % tenemos x $ x# en
$ & el peso está x# por deba:o de la posición de equilibrio,
$.
+ambi(n, puesto que el peso se suelta %esto es, tiene velocidad cero& en ) 8,
dx d = 8 en $ . ?oluci5n+ -omo
F % & = Acos
contiene una función de los t(rminos
cos, con lo que podemos
utilizar el m(todo de los coeficientes indeterminados para determinar la solución particular. Ensayando
@
como
solución
particular
0
% D + < & x = F % & g
x p = c1 sen
+ c 0 cos
0
de
0
x** p = − c 1 sen − c0 cos
x p = c1 sen + c0 cos
x* p = c1 cos − c0 sen
5ustituyendo en la ecuación
@ x**+ x = F % & calculamos el valor de las constantes c , c y 1
g por tanto la solución particular.
0
@ d 0 x La solución complementaria de = −
apartado anterior 1.1 con lo que ser!a general será de la forma2
xc = Acos + sen
con lo que la solución
x = xc + x p = A cos + sen + c1 sen + c0 cos sando las condiciones iniciales, podemos observar una solución será cuando A $ $ de donde podemos sacar que2
x = c1 sen + c0 cos podr!amos determinar el gráfico siguiente2
El gráfico de la ecuación
x = c1 sen + c0 cos
está entre los gráficos de x
$ y x $ '
@8
