Trabajo Colaborativo Ecuaciones Diferenciales 7

1.

Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma  ´´ +  ( ) ´ +  ( ) = () y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes s e deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. ( ) = 0. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas, Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial 4 ´´ + 4 ´ + 5 = 0  son: A. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución es

 )

B. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución es

 )

−⁄  (    +

= 

 =  − (   +

  +  √    =  √     +  √   Soluciones distintas y reales cuya solución es  =  √  

C. Soluciones iguales y reales cuya solución es D. Solución

Al solucionar la ecuación diferencial

4 ´´ + 4 ´ + 5 = 0 se obtiene

, =

 4 ±  16 16  4(4)(5)  4 ± √  ±  √ 64 64 1 = =   ±  2(4) 8 2 1 1  =  + ,   =     2 2

Con esto, las soluciones son complejas y conjugadas, por lo que la solución de la ecuación diferencial es de la forma 

 =  − [ + ] Pero si la variable independiente es el tiempo, la respuesta es



− =  [ + ]

Por lo tanto la opción correcta es la A.