Modelo de crecimiento de Solow: Ecuación fundamental de Solow: En la versión más simple del modelo (sin gasto del gobierno, economía cerrada, tasa de crecimiento poblacional constante, tasa de depreciación constante, entre otras). Se obtiene la ecuación diferencial: k = sf (k) – (n+ δ)k
Donde el capital per cápita (relación capital – trabao), depende del nivel de producción, defini definido do por la funció función n f(!), f(!), multip multiplica licado do por la propen propensió sión n margin marginal al al a"orro a"orro,, con la sumatoria sumatoria de las tasas de crecimiento crecimiento poblacional poblacional con la tasa de depreciación depreciación del capital. #a notación ! corresponde d!$dt. Suponiendo %ue la producción de los bienes se "ace mediante la combinación de traba&o #, capital físico ', tecnología , se puede afirmar %ue la función de producción se encontrará e*presada de la siguiente forma: + -(#, ') demás, se tienen algunos supuestos adicionales de buen comportamiento de la función de producción neoclásica son: . 1. 3.
/omog0nea de grado uno. 2óncava. 2ondiciones de 4nada:
limL →∞
∂ F ∂ F lim K →∞ ∂ L ∂ K 0 85
lim L → 0
∂ F ∂ F ∂ L limK →0 ∂ K ∞
La función de producción neoclásica más conocida que cumple estos supuestos es la función Cobb – Douglas definida de la forma: F ( L, L, K ) AL – α K α 5 0 α
!l con"ertir la función en t#rminos per cápita, con"ierte la ecuación ecuación fundamental de $olo% en: &
(n δ )k k sAk α – (n
La cual es una ecuación diferencial de 'ernoulli Desde una primera perspecti"a, se desea e*aminar el "alor del capital de estado esta+cionario -, "alor donde la cur"a de a.orro / la cur"a de depreciación son iguales $in embargo, la solución de la ecuación diferencial permite conocer cuál es el "alor del capital en cualquier instante del tiempo antes de llegar a un estado estacionario, teniendo presente que:
lim k ( t ) k &
4.
MODELO: MODELO DE CRECIMIENTO ECONOMICO DE SOLOW
l modelo de crecimiento económico de $olo% intenta pre"er la tendencia del pro+ducto potencial en el largo pla1o, anali1ándolo mediante la relación entre la acumula+ción de capital, el a.orro, la fuer1a de traba2o / el crecimiento 3ara su me2or comprensión, se definen las "ariables con las cuales se traba2ará: 4iempo ("ariable continua): t 3roducto total: !cumulación de capital: 7n"ersión: 3ropensión marginal a.orro:
5uer1a de traba2o: L 3roducto per Q 6 L cápita:
Q
Capital per cápita: !.orro:
K I
K L
6
S
al s
4odas las "ariables definidas son funciones del tiempo t , aunque ello será omitido en la notación, por ra1ones de simplicidad SUPUESTOS BASICOS Y DESARROLLO DEL MODELO:
l modelo de $olo% básico, apela a "arias .ipótesis simplificadoras $upone: La e*istencia de un equilibrio dinámico, o sea no e*iste desequilibrio / ni desempleo l punto de partida es la función de producción Q definida por () Q = F ( K , L ) , en la cual K / L son las "ariables antes definidas $e traba2ará con las "ariables in+"olucradas en t#rminos per cápita La población / la fuer1a de traba2o son iguales, con "ariación e*ponencial dada por
n t
, () L= L ( t ) L o e en la que n es una constante 9ótese que L ( t ) n L ( t ) , por lo que n L 6 L representa la tasa de crecimiento referida a la fuer1a de traba2o (relación constante en+tre tasa de crecimiento / fuer1a de traba2o) $e la supone independiente de otras "a+riables del modelo, / determinada por factores biológicos / otros factores e*ógenos La función de producción Q tiene rendimientos constantes a escala sto significa que la función de producción global es .omog#nea de grado uno, es decir: Q F ( K , L ) L F ( K 6 L , ) L= f ( k ) (<) !s; resultará q f ( k ) , Donde la función f deberá ser una función creciente de la "ariable k pero su creci+ miento =menos que proporcional a k = >ás precisamente, "alores crecientes de k deben producir "alores crecientes de q , pero a una tasa decreciente La econom;a es cerrada al comercio con otros pa;ses, / no e*iste sector p?blico !s;, en condiciones de equilibrio, la in"ersión interna I será igual al a.orro nacional S : (6) I=S 76
Utilización de un modelo de crecimiento económico para la enseñanza de ecuaciones diferenciales
La tasa de cambio del stoc de capital es igual a la in"ersión neta de la depreciación Con un stoc de capital @ , supone que la depreciación es una proporción fi2a de @ , igual a d @ , siendo d el coeficiente de proporcionalidad de esa depreciación @ 7 + d@ (A) l a.orro es una proporción fi2a del producto nacional, esto es 7 $ s B , por lo cual @ s B +d @ () De ( ) se obtiene la relación entre las "ariables en t#rminos per cápita: @6L sq+d () E $e .ará la suposición simplificadora de que no .a/ progreso tecnológico, o sea 0 Con las suposiciones efectuadas, reali1ando las operaciones adecuadas, se obtiene: s f ( ) +( n F d ) sta es la ecuación fundamental de la acumulación de capital s una ecuación diferencial de primer orden en la incógnita , con dos parámetros ( s , n ), cu/a función solución ( t ) describe la tra/ectoria temporal del capital per cápita (o ra1ón capital 6 traba2o) l tipo de ecuación que finalmente resulte dependerá de la función de producción global que se utilice La parte del a.orro per cápita utili1ado para equipar a los nue"os traba2adores que ingresan a la fuer1a laboral se denomina ampliación del capital l a.orro neto per cápita se llama profundi1ación del capital De tal modo en la ecuación fundamental es 3rofundi1ación del capital !.orro + !mpliación del capital+Depreciación n estado estacionario o de equilibrio estable , es decir cuando se llega a una si+tuación de equilibrio en el largo pla1o de la econom;a, el capital per cápita alcan1a un "alor de equilibrio / permanece in"ariable en ese ni"el Como consecuencia, el produc+to per cápita tambi#n alcan1a un estado estacionario (considerando el progreso tecnoló+gico nulo) !s;, en estado estacionario tanto como q alcan1an un ni"el permanente 3ara alcan1ar el estado estacionario, el a.orro per cápita debe ser e*actamente igual a la ampliación del capital, es decir que el crecimiento de capital per cápita es nulo so significa que ( t ) 0 , / para ello deberá ocurrir: s f ( k ) ( n + d ) k .
(8)
!?n cuando el estado estacionario significa un "alor in"ariable para q / , esto no significa que el crecimiento sea nulo, sino que .a/ un crecimiento positi"o del producto a la tasa n n efecto, si la fuer1a laboral está creciendo a la tasa n , como el coeficiente capital 6 traba2o es constante, la tasa de crecimiento del capital ( @ 6 @ ) resulta igual a la tasa de crecimiento de la fuer1a laboral ( L 6 L ) !s;, tanto L como @ crecen a la tasa n, / el producto crece a la misma tasa n Las gráficas de 5igura permiten interpretar esos conceptos n la primera se repre+sentan la función q (producción per cápita), la función s q (a.orro per cápita), / la fun+ción lineal ( nF d ) , suma de la ampliación de capital / la depreciación, del segundo miembro de ( G ) La segunda gráfica o cur"a de fase, representa la relación entre /
$iendo el a.orro per cápita s q proporcional a q , donde el factor constante s está entre 0 / , la gráfica de s q tiene la misma forma que la gráfica de q / se encuentra por deba2o de #sta l punto E de intersección de la misma con la recta, corresponde al "alor de equilibrio k e , que será el determinado por la condición ( G ) sto caracteri1a al estado estacionario, es decir con el capital per cápita k e / el producto per cápita q e, el a.orro per cápita compensa e*actamente la ampliación del capital / la depreciación Cuando la econom;a está operando a la i1quierda del punto E , la acumulación de capital per cápita crece, o sea k 0 ! la derec.a del punto E ocurre lo contrario, /a que el a.orro per cápita no es suficiente para producir una ampliación del capital, k 0 , / en consecuencia k decrece ste análisis del modelo lle"a a la conclusión de que cada "e1 que la econom;a se aparta del estado estacionario, .a/ fuer1as que la empu2an .acia el equilibrio del estado estacionario sta particularidad del modelo de $olo% es sumamente importante / muestra no sólo que el estado estacionario es un punto en el cual q / k son in"ariables, sino tambi#n que la econom;a naturalmente tiende .acia el punto de equilibrio n re+sumen, seg?n sea la relación entre los "alores ( 0 ) / e se presentarán tres casos:
#as tres situaciones anteriores son representadas gráficamente en la -igura 1. 9;: Hn sistema dinámico en el cual las "ariables tienden por naturale1a .acia un estado de equilibrio se conoce como un sistema estable, por lo que el modelo de crecimiento de $olo% describe un proceso dinámico estable
Modelo con interés compuesto: Planteamiento del modelo y sus variales: 0l "alor 3(t) que se obtiene en el instante t al in"ertir un principal 3o que se capitali1a ba2o un r#gimen compuesto continuo de un tipo de inter#s fi2o r I la e"olución temporal del tipo de inter#s r(t) que, partiendo de un "alor inicial r regresa a largo pla1o a un "alor o tipo medio a la "elocidad α.
!demás de le ecuación
, se .a incluido una condición inicial
, que brinda información de la función incógnita *(t) en el instante inicial del problema ! la formulación del sistema edo 2unto con la condición inicial se les denomina como su problema de "alor inicial (p"i)
$e resuel"e el sistema a tra"#s del m#todo de J$eparación de Kariables ba2o los siguientes pasos: ) Denotar a la función incógnita *(t) por la "ariable * : *(t) ⇒ * De este modo la edo tiene dos "ariables, la "ariable independiente t / la "ariable dependiente o función incógnita: *
) $eparar en cada miembro las "ariables definidas en el 3aso usando operaciones algebraicas <) 7ntegrar cada miembro de la edo en la e*presión obtenida en el 3aso < l "alor de J* de la edo resultante se debe integrar respecto al inter"alo M*o,*N / la "ariable Jt se debe integrar sobre el inter"alo Mto,tN O) Despe2ar el "alor de *, que representa la solución del problema de "alor inicial dado en la c 3ara su aplicación se asumirá que el parámetro a P 0 , /a que, como se obser"ará ello se requiere en la aplicación del m#todo de $eparación de Kariables !demás, tambi#n asumiremos que *(t) P Qb 6 a para todo "alor de t Como se puede "er a continuación:
A)
Rbs#r"ese que si a S 0 , el p"i dado en la c se simplifica al dado en la c O cu/a solución es inmediata, /a que, se trata de buscar una función con deri"ada constante e igual a b , que satisfaga la ci *(t0 ) *0 .
* (t) b *(t0 ) *0
, *0,b ∈ 7T ⇒ *(t) *0 b(t − t0 )
Ecuación 4. Solución del pv.i. dado en la Ec.1 asumiendo
a 0 .
3or lo tanto de forma resumida podemos compactar la solución del p"i dado en () en la forma que se e*presa en la cA
* (t)
a *(t) b
*(t0 )
*0
, *0
b
*
,b ∈ 7T ⇒ *(t)
0
e a
a≠ *0 b(t t0 ) si 0
si a 0
Ecuación 5. Solución del pv.i. dado en la Ec.1.
Rbs#r"ese que dentro del conte*to a ≠ 0 , se cumple que a *(t) b ≠ 0 para todo "alor de t ("#ase c) / por ello los t#rminos a* b y a*0 b que aparecen en los 3asos < / A en la c<, respecti"amente, son no nulos, lo cual legitima el c álculo algebraico realizado. ≠
a(t−t )
a *(t) b * :(t) (a * 0 b) e
0
≠
0
0
≠0 ≠
porque * − 0
b
a
Ecuación 6. Legitimación de la aplicación del Método de Separación de Variales en la Ec.!.
Com!ortamiento asint"ti#o de la solu#i"n: Hna cuestión de inter#s no solo matemático, sino tambi#n en las aplicaciones es conocer el comportamiento a largo pla1o (cuando t → ∞ ) de la solución del p"i dado en la c l estudio puede .acerse directamente a tra"#s de la e*presión e*pl;cita de la solución dada en la cA sin más que tomar l;mites La discusión de este estudio se presenta en la c $e obser"a que si el parámetro a es cero como la solución es polinómica *(t) *0 b(t − t0 ) , nunca .abrá estabilidad dado que su el l;mite es infinito en función del signo del coeficiente b , si b 0 el l;mite "ale ∞ /, si b 0 el l;mite "ale −∞ ) sal"o si tambi#n el parámetro b 0 , en cu/o caso la solución del p"i dado en la c ser;a *(t) *0 lo cual constitu/e un caso tri"ial, al tratarse de una solución constante $i a no es nulo, el "alor del l;mite depende del comportamiento en el infinito de la función e*ponencial , ea(t− t 0 ) , que aparece entonces en la e*presión de la solución sta función solo tiene l;mite finito (/ es a 0 / de aqu; se reali1a fácilmente el estudio que se cero) cuando t → ∞ si indica en la c
cu!ciones en di"erenci! simult#ne!s line!les: Modelo discreto de ajuste de recios de E!ans:
n este modelo se toman las funciones oferta / demanda de la forma R(*) a*+ b
D(*) c* F dI en donde aI c U 0 / bI d 0 n este caso, el Vprecio base= por deba2o del cual la empresa no puede fabricar ninguna unidad del producto es ba, / el Vprecio tope= a partir del cual ningun consumidor adquiere el producto es dc, con lo que el con2unto de precios factibles es NbaI dc !demás, el ?nico precio de equilibrio es peq
stas funciones cumplen la segunda le/ de la oferta / la demanda, /a que R(*) es estric+ tamente creciente / D(*) es estrictamente decreciente en el con2unto de precios factibles, / además son positi"as La e"olución de los precios "iene dada por la D WnF &(D (Wn) + R (Wn)) F WnI en donde ! < =. plicando los valores anteriores se obtiene
WnF peq ( + r) F r & WnI en donde r :
(a F c) X !s pues
f(*) (D (*) & R (*)) F * p eq (+r) F r * ste modelo satisface la primera le/ de la oferta / la demanda, /a que si D(*) U R(*) entonces & (D (*) + R (*)) U 0 / por lo tanto f(*) U *I análogamente se prueba la otra condicion !demás, el precio de equilibrio p eq es el ?nico punto 2 o de la D, pero no está asegurado que sea siempre atractor De .ec.o, como f Y(peq) r, si ZrZ U entonces peq es repulsor local / no se cumplir a la tercera le/ de la oferta / la demanda $e puede deducir / comprobar entonces que la solución de la ecuación con condición inicial p0 "iene dada por $n peq F (p0 peq) r nI 3or lo tanto, p eq si / solo si r N I M 9o obstante, como I aI c U 0 se tiene que r X siempreI as pues, para que el precio de equilibrio sea un atractor cu/a región de atracción sean todos los precios factibles solo .a/ que e*igir r U +, o lo que es lo mismo que: (a F c) X :
Como casos particulares, $i (a F c) X , entonces r U 0 / la solución $ n tiende al precio de equilibrio de forma monótona $i (a F c) , entonces r 0 / la solución $ n llega directamente al precio de equilibrio en t t $i X (a F c) X , entonces X r X 0 / la solución $ n tiende al precio de equilibrio de forma oscilatoria n este caso, el modelo recibe el nombre de modelo de la telara[a
Modelo de la "elara#a:
Existen factores que alteran el equilibrio en un modelo de oferta y demanda, a lo largo del empo lo que conguraría un modelo dinámico. Debemos considerar que la empresa no toma sus decisiones de producción para el período t, sino para el período siguiente t!"#. $sí que las funciones de oferta se encuentran con el atraso de un período en el empo por lo que la candad ofrecida en función del empo se expresa de la siguiente forma% demandada se expresará a tra'(s de la función%
. &a candad
.
)e forma el siguiente sistema dinámico de ecuaciones que incluye las funciones de oferta desfasada y demanda no desfasada, donde el precio * 'acía el mercado, incluyendo ecuaciones en diferencias, lineales con coecientes constantes y no +omog(neas.
)ustuyendo las dos lmas ecuaciones en la primera se +alla la expresión de la trayectoria temporal del precio%
Expresándolo en función del empo posterior se obene la expresión%
Despe-ando el 'alor de *t
esol'iendo%
*o es el precio inicial y la expresión
representa la integral parcular considerada como precio
de equilibrio intertemporal. El equilibrio estacionario se expresa como la siguiente expresión%
/onsideraciones%
obteni(ndose
El signo del mulplicador *o0p# dependerá del inicio de la trayectoria temporal, si comienza encima o por deba-o del equilibrio temporal, mientras que su magnitud indica si es por arriba o deba-o del mismo.
&a expresión
será de signo nega'o, con 'alores mayores igual o menores que 0",
dependiendo de que el 'alor de
sea menor, igual o mayor que . *or ser nega'a, la
base de su potencia de trayectoria temporal será oscilatoria, presentando los casos siguientes% o
Explosi'a% )i
o
1niform% )i
o
$morguada% )i
la base de su potencia es menor que 0" 2 la base de la potencia es igual a 0". 2 base de la potencia es mayor que 0".
$+ora se procederá a analizar lo que sucede en caso de romperse el equilibrio estáco% )uponiendo que se presente el caso de
