TRABAJO COLABORATIVO 1 ECUACIONES DIFERENCIALES
Presentado a: YENIFER ELIZABETH ALINDO
UNIVERSIDAD UNIVERSI DAD NACIONAL ABIERTA ABIERTA Y A DISTANCIA !UNAD"
Se#t$e%&re de '(1)
INTRODUCCION
En este trabajo se revisarán los capítulos capítulos ubicados en la unidad 1, que servirá de apoyo para el desarrollo, con el propósito fundamental de que nosotros los estudiantes tengamos conocimientos sólidos en las temáticas
De esta unidad y sus aplicaciones permitiendo transitar de manera muy dinámica por áreas más avanzadas y demás se busca que el estudiante implemente las nuevas tecnologías como las T!, "erramienta que facilita al profesional nuevas modalidades innovadoras las cuales se "acen necesarias en el campo laboral#
Desarro**o:
Parte individual. in dividual. Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales Indique el orden de la ecuación y establezca si es lineal o no. Por YULDER PEÑA.
( y −1 ) dx +6 xdy = 0 2
Orden= es la mayor derivada qe a!arece en la ecaci"n. La mayor derivada es orden uno ya que no se derivan más veces y de grado uno ya que no hay exponentes en las derivadas.
( y −1 ) dx +6 xdy = 0 2
Ecaciones di#erenciales lineales: Es lineal si cumple con las dos condiciones siguientes ! La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado " #ada coe$ciente depende solo de la variable independiente.
( y −1 ) dx +6 xdy = 0 2
• • •
%o tenemos derivadas parciales Es de primer orden todos sus elementos Pero la variable & está siendo multiplicada por la variable independiente lo que hace que sea lineal.
( y −1 ) dx +6 xdy = 0 2
Temática: ecaciones di#erenciales de !rimer orden #. 'esolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante Por YULDER PEÑA.
6 xydx + 4 y + 9 x
2
dy =0
SeaM ( x , y )=6 xy ; N ( x , y )= 4 y + 9 x
2
∂ M ( x , y )= 6 x ∂y ∂ N ( x , y )=18 x ∂x
ya que
∂ ∂ M ≠ la ecuacion no esexacta entonces buscamos el factor integrante . ∂y ∂x
d μ 6 x −18 x μ = dx 4 y + 9 x 2
−12 x μ 2 4 y + 9 x d μ 18 x −6 x 12 x 2 μ= μ = μ = dy y 6 xy 6 xy Inμ =2 Iny μ= y
2
(e integra
y
2
( 6 xy ) =6 x y
∫ x y
6
3
3
2
3
dx =3 x y + hy
9 x
2
'
2
y +h y − y
'
h y =4 y h = y 3 x
2
2
( 4 y + 9 x )− 4 y +9 x y 2
3
2
2
3
4
3
4
y + y =c factorintegrante
$ %esolver la siguiente ecuación diferencial "allando el factor integrante&
(
6 xydx + 4 y + 9 x
2
) dy = 0
M ( x , y )=6 xy N ( x , y )= 4 y + 9 x
2
∂ M =6 x ∂y ∂ N = 18 x ∂x ∂ N ∂ M − ∂x ∂ y 18 x −6 x 12 x 2 = = = 6 xy 6 xy y M ( x , y ) Entonces
∫ 2 ydy 2 ln y ln y μ ( y )=e =e =e = y 2 2
6 x y
3
dx + ( 4 y + 9 x y ) dy =0 3
2
2
∂ M =18 x y 2 ∂y ∂ N = 18 x y 2 ∂x ∂ f =6 x y 3 ∂x f ( x , y ) =6 y
3
∫ xdx =3 x y + g ( y ) 2
3
∂ f = 4 y 3 + 9 x 2 y 2 ∂y ∂ f = 9 x 2 y 2+ g ' ( y ) ∂y g ( y ) =4 y '
g ( y )= y
3
4
f ( x , y ) =3 x y + y 2
3 x
2
3
3
4
4
y + y =c
' %esuelva la ecuación diferencial
( y + yx ) dx − x 2
2
dy =0
M ( x , y )= y + yx 2
M ( tx,ty ) =t y + ( ty ) ( tx )=t ( y + yx ) 2
N ( x , y )=− x
2
2
2
2
N ( tx,ty )=−t x =t (− x ) 2
2
2
2
(i y =ux dy =udx + xdu
( u x + x u ) dx − x 2
2
2
2
dy =0
( u2 x2 +ux 2 ) dx − x 2 ( udx + xdu )= 0 2
2
3
u x dx − x du=0 dx du − 2 =0 x u
−∫ −u du =ln|c| ∫ dx x 2
−1
ln| x|+ u
= ln|c|
| |+ x =ln|c|
ln x
y
||
x c = ln y x
! %esuelva el siguiente ejercicio de valor inicial
( x + 2 y ) dx − xy =0 2
2
dy
y (−1 )=1
( x + 2 y ) dx − xydy =0 2
2
M ( x , y )= x + 2 y 2
2
N ( x , y )=− xy M ( tx,ty ) =2 t y + t x =t ( x + 2 y ) 2
2
2
2
2
2
2
N ( tx,ty )=−( ty ) ( tx )=t (− xy ) 2
(i y =ux
dy =udx + xdu x (¿ ¿ 2 + 2 u x ) dx −ux 2 ( udx + xdu )=0 2
2
¿
x
2
( 1 + u ) dx −u x 2
3
du= 0
dx u du =0 − x 1 +u2 u du = 0 −∫ ∫ dx x 1 +u 2
| |− 1 ln|1+u |= ln|c|
ln x
2
2
1 2 2
ln| x|− ln|1+ u |
= ln|c|
ln
| | x
√ 1 +u 2
x
√ 1 + u
2
x
=c 1
=c 2
2
1 +u
2
=c
2
x =c 2 y 1+ 2 x x 2
2
x + y 2 x
2
4
=c
2
2
x = c ( x + y )
!uando
y (−1 )=1
1=c (1 + 1 )
c =1 / 2 2 x
4
= x 2+ y 2
( y + xy ) dx − x 2
). 'esuelva la ecuación diferencial
2
dy =0
( y 2 + xy ) dx − x 2 dy =0
x
2
( − ( ) )+ dy x dx
2
x y ( x ) + y ( x ) =0
((
d ( x ) 2 + ( x ) + x2 ( x ) + x 2 ( x )=0 dx
((
d ( x ) + ( x )2 =0 dx
− x 2 x
2
x − x
))
)
2
d ( x ) ( x ) = dx x
d ( x ) dx 1 = 2 ( x ) x
d ( x ) dx
∫ ( x )
2
∫ x1 dx
dx =
−1 = log ( x ) + c 1 ( x )
( x )=
−1 log ( x ) + c 1
)
− x log ( x ) + c 1
y ( x )=
Te%+t$,a: e,-a,$ones d$.eren,$a*es de #r$%er orden P-nto A A/ Res-e*0a *a s$-$ente e,-a,$2n d$.eren,$a* #or e* %3todo de 0ar$a&*es se#ara&*es: − y
−2 x − y
− y
−2 x − y
e +e
e +e
=e x y
x
dy dx
e =e y
dy dx
)actorizamos − y
e
( 1 + e− )= e x y dy 2
dx
−2
1+ e x e
=
y dy y e dx
En esta se separan los diferenciales e integramos −2
1+ e x e
y dx = y dy ! e
∫
∫ e− dx +∫ e− x
x
−e −
−3 x
e
3
3 x
−2
1+e x e
∫
− y
dx = y e
∫ ey dy
dx =
y
y
dy!u = y ; d =e dy
− y e− y +∫ e− y dy !−e− x − 3 e− x =− y e− y −e− y 3
− x
−3 x
e +3 e
=e− y ( y + 1)
JUAN PABLO VILLAMIL: Introducción a las ecuaciones diferenciales ndique el orden de la ecuación diferencial y establezca si la ecuación es lineal o no lineal, $
x
2
sin x − ( cos x ) y =( sin x )
( sin x ) dy + ( cos x ) y = x
2
dx
dy dx
sin x
a1 ( x )=sin x a0 ( x )=cos x g ( x ) = x sin x 2
*a ecuación es de la forma a1 ( x )
dy + a ( x ) y = g ( x ) dx 0
entonces es una ecuación diferencial lineal ordinaria de primer orden# '
y
dy + ( sin x ) y 3= e x + 1 dx
a1 ( x )= y a0 ( x )=sin x
, coeficiente dependiente de y#
g ( x ) = e + 1 x
y
el t+rmino
3
está elevado a una potencia distinta de 1, por lo tanto la ecuación
es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de primer orden# 2
d y dy + + y = cos ( x + y ) 2 d x dx
!
a2 ( x )=1 a1 ( x )=1 a0 ( x )=1 g ( x ) =cos ( x + y )
!omo el t+rmino
, función dependiente de x y de y # cos ( x + y )
depende de x y de y , es una ecuación
diferencial no lineal ordinaria de segundo orden#
2
√ ( )
d r dr 1 = + du d u2
D
( ) | ( )| 2
2
2
d r dr = 1+ 2 du du
( ) ( ) 2
2
d r dr =1 + 2 du du
( r ' ' )2=1 + ( r ' )2
2
2
En la ecuación los t+rminos
'
r y
r
' '
tienen potencias distintas de 1, entonces
es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden# cuaciones diferenciales de !ri"er orden D %esuelva la siguiente ecuación diferencial por el m+todo de variables separables& dy − y −2 x − y e +e =e x y dx − y − x
e
− y
e
+ e−3 x − y = y
dy dx
( e− x+ e− x ) = y dy 3
dx
− x
−3 x
e +e
=e y y
dy dx
( e− x +e− x ) dx =e y y dy 3
∫ ( e− + e− ) dx =∫ e y dy x
3 x
y
u= y
du =du y
d = e y =e
y
∫ e− dx +∫ e− x
1 3
3 x
y
∫e
dx =e y −
−e− x − e −3 x =e y y −e y + "
y
dy
(
)
1 −e− x 1+ e− x = e y ( y −1 ) + " 2
3
E Determine si la ecuación dada es eacta# (i lo es, resu+lvala#
(
x
(
x
)
( 1− ln x ) dy = 1 +ln x + y dx
)
( 1− ln x ) dy − 1 +ln x + y dx = 0
(
1 + ln x +
)
y dx + ( ln x −1 ) dy = 0 x
M ( x , y )=1 + ln x +
y x
N ( x , y )= ln x −1 ∂ M 1 ∂ N = = ∂ y x ∂ x ∂ f y =1 + ln x + ∂x x
∫
∫ ln x dx + y ∫ x1 dx
f ( x , y ) = dx +
ntegrando por partes f ( x , y ) = x + x ( ln x −1 ) + y ln x + g ( y )
como x > 0 ∂ f = ln x − 1 ∂y
∂ f = ln x + g ' ( y ) ∂y Entonces, g ( y ) =−1 '
g ( y )=− y f ( x , y ) = x + x ( ln x −1 ) + y ln x − y x ln x + y ( ln x −1 )=c
Parte grupal Pro#le"as de a!licación !onsidere un gran tanque que contiene 1---lts de agua, dentro del cual una solución salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de .lt/min# *a solución dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye "acia el eterior del tanque a una velocidad de .lt/min# (i la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 10g/lt# Determine cuándo será de 0g/lt la concentración de sal en el tanque#
*a ecuación diferencial que modela dic"a situación es la siguiente& '
x ( t )= e c e − s
x ( t ) + ( e −c e ) t
(i x ( t ) denota la cantidad de sal en el tanque al tiempo
t , entonces la razón
con la que cambia dx = ( ra#$n deentrada dela sal)−( ra#$n desalidade lasal) dt dx = % e − %s dt
)( )
&g %e = 6 ¿ 1 =6 &g / min ¿ min
(
!omo la solución se bombea sacándola del tanque con la misma rapidez con que entra, la cantidad de sal en el tanque de salmuera en cualquier tiempo t en constante, igual a 1---lt# 2or consiguiente la concentración de sal en el tanque y tambi+n, la concentración de salida# "oncentraci$n=
x ( t ) 1000
&g /¿
Entonces,
(
%s =
x ( t ) &g 1000 ¿
)(
6
¿ = 6 x ( t ) &g / min
min
)
1000
Entonces la ecuación lineal es, dx 6 x = 6− dt 1000 nicialmente, el tanque no tiene sal, es sólo agua, entonces x ( 0 )=0 &g
dx 6 x =6 ; x ( 0 )=0 + dt 1000 El factor integrante es 6 6 6 dt t ∫ 1000 ∫ dt 1000 1000 e =e =e
Entonces, d [e
6 1000
t
x
dt
]=
6
6e
x ( t )=1000 + c e
1000
t
−6 t 1000
!uando x ( 0 )=0 c =−1000
x ( t )=1000 ( 1 −e
−6 t 1000
)
!omo a"ora, tenemos un valor para la concentración, donde "ay 0g por cada litro# Entonces por cada 1--- lts "ay 3-- 0g de sal# 500=1000 ( 1−e
1−e
e
−6 t 1000
=0.5
−6 t 1000
= 0.5
−6 1000
t =ln 0.5
−6 t
1000
)
t =
−1000 ln 0.5 6
t =115.5245 s
t =1.9254 min
Un !aracaidista de "asa $%% &' (inclu)endo su e*ui!o+ se de,a caer de un a-ión *ue -uela a una altura de .%%%"/ ) cae #a,o la influencia de la 'ra-edad ) de la resistencia del aire0 1u!on'a"os *ue la resistencia del aire es !ro!orcional a la -elocidad del !aracaidista en cada instante/ con constante de !ro!orcionalidad 2%N0s3" con el !araca4das a#ierto0 1i el !araca4das se a#re a los $%s del lan5a"iento/ 6allar el instante a!ro7i"ado en el *ue el !aracaidista lle'a al !iso0 8Cu9l es su -elocidad en ese instante (Considere la 'ra-edad co"o ' ; $% "3s .+0 Ba,o ciertas circunstancias un cuer!o de "asa " *ue cae/ se encuentra con una resistencia del aire !ro!orcional a su -elocidad instant9nea/ -0 1i en este caso la dirección !ositi-a se orienta 6acia a#a,o/ la fuer5a neta *ue act
= . ; "' ? &-/ donde el !eso = $ ; "' del cuer!o es la fuer5a *ue act
ma= ' neta
m
d = mg− & dt
En forma de ecuación lineal es,
d & & + =g , ( ( t )= dt m m %esolviendo esta ecuación lineal tenemos como factor integrante
∫ & m dt m& ∫ dt m& t e =e =e
6ultiplicando la anterior ecuación diferencial por el factor integrante, tenemos
[ ] & t m
&
t d e =g e m dt
e
& t m
=g
∫e
& t m
dt
& u= t m y
Donde
& du = dt , entonces m
−&
t mg ( t )= +c e m &
$plicando los valores o condiciones iniciales
7 considerando a
0 =0
, donde el paracaidista parte del reposo# 7
posición inicial o de referencia
( 0 ) =0 −&
(0 ) mg 0= +c e m &
mg =−c e 0 &
c=
−mg &
Entonces, −&
t mg ( t )= ( 1− e m ) &
Teniendo en cuenta que,
( 0 ) = 0
x 0=0
, entonces,
x ( 0 )= x 0
como
( t )=
dx dt
Entonces − &
t dx mg = ( 1−e m ) dt &
−&
t mg dx = ( 1−e m )dt &
mg x ( t )= &
∫ ( 1 −e
[
−& t m
) dt
−&
t mg m x ( t )= t + e m + c & &
x ( 0 )= x 0=0
Entonces
[
−&
−mg 0 m e m ( 0) c= ( )+ &
]
&
]
2
−m g c= 2
&
[
−&
t mg m m x ( t )= t + e m − & & &
[
−&
]
t mg m x ( t )= t + ( e m −1 ) & &
]
(i consideramos a la gravedad como
g=
10 m
x
2
proporcionalidad cuando el paracaídas est+ cerrado
y
& =30 N .
s m
la constante de
( t )=
100 3
( 1 −e− t ) 0.3
7
x ( t )=
x ( t )=
100 3
[
t +
10 3
( e− t −1 ) 0.3
]
100 1000 −0.3 t t + ( e −1) 3 9
$"ora, las 1-s, se abre el paracaídas
( 10 ) ) 31.6738 x ( 10 ) ) 227.7541
!uando el paracaídas se "a abierto, se toma como instante paracaídas se abre y
& =90 N . s / m
x 0=227.7541 0 =31.6738 Entonces, −&
t mg ( t )= +c e m &
−&
( 0) mg 31.6738= +c e m &
31.6738=
100
c =20.5627
9
+c
t =0 aquel en el que el
− & t
mg ( t )= + 20.5627 e m &
[
mg 227.7541= &
227.7541=
100 9
( 0 )+
−& (0 )
10
em
9
+c
]
1000 100 c + 81 9
c =227.7541−
1000 81
=215.4084
Entonces,
c =19.3868
x ( t )=
x ( t )=
[
100 10 −0.9 t t + e + 19.3868 9 9 100 9
t +
1000 −0.9 t
e
81
]
+ 215.4089
!omo la altura es de 8--- m, pero el paracaidista recorrió 889#93:1 m, entonces,
x ( t )=2000 −227.7541 x ( t )=1772.2459 100 9
t +
!omo el 100 9
1000 −0.9 t 81
lim
=1556.837
e
−0.9 t
e
t!*
t =1556.837
=0
, para valores mayores que 1-s prácticamente, entonces
t =140.1153 s De aquí se deduce que el paracaidista tarda
t =10 s + 140.1153 s
t =150.1153 s t =2.5019 min en llegar al suelo desde que se arrojó del avión# (u velocidad al llegar al suelo es de aproimadamente, −0.9 t
lim e
=0
t!*
( 150.1153) =
100 100 + 20.5627 e−0.9( 150.1153 )= 9 9
( 150.1153) =11.11 m / s
CONCLU1ION1
El trabajo colaborativo realizado en este documento es una ecelente "erramienta lo cual nos permite comprender los análisis de las ecuaciones diferenciales, lineales "omog+neas con coeficientes constantes y diferenciales lineales no "omog+neas, ecuación diferencial por el m+todo de variación de parámetros, ecuaciones diferenciales por el m+todo de coeficientes indeterminados, soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial y sus aplicaciones los cuales se ven reflejadas en ejemplos de nuestro diario vivir#
Referencias Bibliográficas
#ampos* +.* #hiralt* #. ,"-!!. Ecuaciones diferenciales. )epartamento de /atemáticas 0niversidad 1aume I. #astellón de la Plana Publicacions de la 0niversitat 1aume I. Leer páginas !-2 I(+% 3456526738634446- 'ecuperado de http99:::.etnassoft.com9biblioteca9fundamentos6matematicos6de6la6 ingenieria9
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