MATERIA:
MATEMATICAS V TEMA:
ECUACIONES DIFERENCIALES Y APLICACIÓN DE LAS MATEMATICAS A LA INGENIERIA INDUSTRIAL PRESENTA:
Profesor: FECHA:
INTRODUCCIÓN Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquéllas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquéllas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: es una ecuación diferencial ordinaria, donde
variable dependiente, respecto a .
La expresión
la variable independiente,
es la es la derivada de
con
es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
Orden de la ecuación El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina ecuación.
orden de la
Grado de la ecuación Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinomica de no ser así se considera que no tiene grado.
Ecuación diferencial lineal Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir: 1
Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente. Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Ejemplos: es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como
, con k un número real cualquiera.
soluciones
es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene
como soluciones
, con a y b reales.
es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene
Ejemplos. Definición y tipos Una ecuación diferencial ordinaria es una función implícita ( y = y( x)). F ( x; y; y0; y00 : : : ; y;n ) = 0
Ejemplo y0 = y2 + x
Es una edo. Sin embargo uxx + uyy = 2u ¡ u2 Es una ecuación diferencial en derivadas parciales, un tipo de ecuaciones que no se tratara en este curso. Hay un abismo de dificultad entre las edps y las edos, de modo que a veces se siguen estrategias como esta uxx ¡ uyy = 0 u( x; y) = A( x) B( y)
Se tiene dos edos en x y otras dos en y, conduciendo la solución de una edp a la de varias edos (método de separacion de variables). Las ecuaciones diferenciales son extraordinariamente importantes para la fisica. Orden de una ed es el grado más alto de las derivadas presentes. Solución es una función tal que al sustituirla en la ecuación la convierte en una identidad. 1 Ecuaciones diferenciales de orden 1 Notación y00 + yy0 = 2 x; y = y ( x) y00 + yy0 = 2t ; y = y (t ) x¨ + xx˙ = 2t ; x = x (t )
La ultima notación es la más habitual en mecánica, donde la función x (t ) suele ser una Trayectoria. Objetivo hallar todas las soluciones o una en particular (cuando se da el valor inicial: problema de valores iníciales)
Usos: Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía. En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:
Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:
Donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.
Solución de una ecuación diferencial Tipos de soluciones Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones: 1.
Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de
acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y( x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa. 2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P( X 0,Y 0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P( X 0,Y 0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico. 3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.
Resolución de algunas ecuaciones •
Ecuación diferencial de primer orden
•
Ecuación diferencial lineal
•
Ecuación diferencial exacta
•
Ecuación de Jacobi
•
Ecuación de Clairaut
Y también se llaman ecuaciones de estado diferencial que como las ecuaciones lineales de dos variables, éstas son tangentes.
MATEMATICAS APLICADAS A LA INGENIERÍA INDUSTRIAL
¿Cuáles son las ciencias básicas para la ingeniería industrial? Las ciencias fundamentales que se ocupan de la metodología son ciencias matemáticas, a saber matemáticas, estadística, e informática. La caracterización del sistema emplea así modelos y métodos matemáticos, estadísticos, y de computación, y da un aumento directo a las herramientas de la ingeniería industrial tales como optimización, procesos estocásticos, y simulación. Los cursos de la especialidad de la ingeniería industrial por lo tanto utilizan estas " ciencias básicas " y las herramientas del IE para entender los elementos tradicionales de la producción como análisis económico, plantación de la producción, diseños de recursos, manejo de materiales, procesos y sistemas de fabricación, Análisis de puestos de trabajo, y así sucesivamente. ¿Utilizan las mismas matemáticas todos los ingenieros? Todos los ingenieros, incluyendo Ingenieros Industriales, toman matemáticas con cálculo y ecuaciones diferenciales. La ingeniería industrial es diferente ya que está basada en matemáticas de" variable discreta", mientras que el resto de la ingeniería se basa en matemáticas de " variable continua". Así los Ingenieros Industriales acentúan el uso del álgebra lineal y de las ecuaciones diferenciales, en comparación con el uso de las ecuaciones diferenciales que son de uso frecuente en otras ingenierías. Este énfasis llega a ser evidente en la optimización de los sistemas de producción en los que estamos estructurando las órdenes, la programación de tratamientos por lotes,
determinando el número de unidades de material manejables, adaptando las disposiciones de la fábrica, encontrando secuencias de movimientos, etc. Los ingenieros industriales se ocupan casi exclusivamente de los sistemas de componentes discretos. Así que los Ingenieros industriales tienen una diversa cultura matemática.
DERRAME DE FLUIDOS Si tuviésemos un depósito conteniendo a un líquido que escapa por un orificio del depósito (no existe flujo de entrada); entonces: Puesto que la altura de carga varía con el tiempo, sabemos que , es decir el flujo no es estacionario. Esto significa que la ecuación de energía debe corregirse introduciendo un término de aceleración, que complica mucho la solución. En tanto la altura de la carga no varíe demasiado rápido no se producirá un apreciable error el suponer el flujo estacionario y, por consiguiente, despreciar el termino de carga de aceleración. Sean V(t) y h(t) el volumen de agua en el deposito y la altura del liquido por encima del orificio, en un instante t después de empezado el proceso: Por Torricelli sabemos que:
Pero la diferencial del volumen también se puede expresar de la siguiente manera: dV = A(h)*d(h) Entonces quedaría:
Tendríamos una relación entre la altura y el tiempo.
Ecuaciones diferenciales parciales En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una funciónu de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.
Notación y ejemplos En las ecuaciones en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es:
Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como (notación matemática) (notación física)
Solución general y solución completa Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas. Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en el ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.
Existencia y unicidad Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el teorema de Picard-Lindelöf, el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales está lejos de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, que afirma que para una EDP que es analítica en la función incógnita y sus derivadas tiene una única solución analítica. Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, existen ejemplos de EDP de primer orden cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden (aunque sin ser analíticas) pero que no tienen solución.1 Incluso si la solución de una EDP existe y es única, ésta puede tener propiedades indeseables. Un ejemplo de comportamiento patológico es la secuencia de problemas de Cauchy dependientes del parámetro n para la ecuación de Laplace:
concondiciones inciales
Donde n es un entero. La derivada de u con respecto a y se aproxima a 0 uniformemente en x a medida que n se incrementa, pero la solución es:
Esta solución se aproxima a infinito si nx no es un entero múltiplo de π para cualquier valor de y . El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina mal propuesto o no bien definido , puesto que la solución no depende continuamente de los datos del problema. Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones físicas.
Clasificación de las EDP de segundo orden Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos:
Ecuación
Nombre
Tipo
Laplace
Elíptica
Onda
Hiperbólica
Difusión
Parabólicas
Helmholtz Elíptica
Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:
se dice que es elíptica si la matriz mayor a 0.
tiene un determinante
se dice que es parabólica si la matriz igual a 0.
tiene un determinante
se dice que es hiperbólica si la matriz menor a 0.
tiene un determinante
EDP de orden superior Si bien las EDP de segundo orden rigen una inmensa cantidad de fenómenos físicos, otra cantidad no tan grande es regida por EDP de órdenes superiores, como ejemplos podemos citar:
Flexión mecánica de una placa elástica:
Vibración flexional de una viga:
Ecuación de Korteweg-de Vries, que tiene soluciones de tipo solitón,
En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras
ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.
Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser:
donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:
donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es
que tiene la siguiente solución
Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de esta forma se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función f(y) puede determinarse si u se especifica sobre la línea x = 0.
Notación y ejemplos En las ecuaciones en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es:
Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como (notación matemática) (notación física) Solución general y solución completa Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas. Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en el ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico. Existencia y unicidad Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el teorema de Picard-Lindelöf, el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales está lejos de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, que afirma que para una EDP que es analítica en la función incógnita y sus derivadas tiene una única solución analítica. Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, existen ejemplos de EDP de primer orden cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden (aunque sin ser analíticas) pero que no tienen solución (Lewy, 1957). Incluso si la solución de una EDP existe y es única, ésta puede tener propiedades indeseables. Un ejemplo de comportamiento patológico es la secuencia de problemas de Cauchy dependientes del parámetro n para la ecuación de Laplace:
con condiciones inciales
Donde n es un entero. La derivada de u con respecto a y se aproxima a 0 uniformemente en x a medida que n se incrementa, pero la solución es:
Esta solución se aproxima a infinito si nx no es un entero múltiplo de π para cualquier valor de y. El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina mal propuesto o no bien definido, puesto que la solución no depende continuamente de los datos del problema. Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones físicas.
Clasificación de las EDP de segundo orden Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos: Ecuación
Nombre
Laplace
Tipo
Elíptica
Onda Hiperbólica Difusión
Parabólicas
Helmholtz
Elíptica
Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:
·
se dice que es elíptica si la matriz tiene un determinante mayor a 0.
·
se dice que es parabólica si la matriz tiene un determinante igual a 0.
·
se dice que es hiperbólica si la matriz tiene un determinante menor a 0.
