Universidad Rafael Landívar Facultad de Ingeniería Ecuaciones Diferenciales Ing. William Mejía
APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERÍA MECÁNICA
Xavier Portocarrero arn! "#"$%"& 'uatemala "# de noviem(re de $#")
Aplicación de las E.D. *corde a lo +lanteado +or el Ingeniero Mec,nico Industrial -ose Feli+e astillo L+e/0 las ecuaciones diferenciales se a+lican en una gran cantidad de maneras en la ingeniería. Enfocadas al ,rea de ingeniería mec,nica0 algunas a+licaciones 1ue se les da a las ecuaciones diferenciales son2 *n,lisis de cuer+os en e1uili(rio *n,lisis de cuer+os en movimiento uniforme 3 acelerado M*4 5Movimiento *rmnico 4ím+le6 Resonancia 4istemas mec,nicos 5masa7resorte0 cadena7carga0 etc.6 *n,lisis de estructuras Lu(ricacin Mec,nica de fluidos Dise8o de m,1uinas En la ma3oría de estos temas0 las ecuaciones diferenciales se utili/an generalmente +ara determinar velocidades0 aceleraciones0 momentos0 esfuer/os0 deformaciones0 etc. • • • • • • • • •
En su e9+eriencia +ersonal0 el Ing. astillo considera 1ue el ,rea en el 1ue m,s se a+lican las ecuaciones diferenciales es en la mec,nica de fluidos 3 en el Dise8o de m,1uinas 5siendo !ste :ltimo el tema en 1ue m,s ;a em+leado dic;as ecuaciones60 3a 1ue la ma3oría de las ,reas en 1ue a+lican dic;as ecuaciones 5si no es 1ue todas6 est,n contenidas en este. *l momento de dise8ar una m,1uina0 ;a3 1ue tomar en cuenta no solo su com+ortamiento< sino tam(i!n los materiales de los cuales est, ;ec;a0 las características del lugar en 1ue se encontrar, u(icada dic;a m,1uina0 las fuer/as 1ue act:an en cada +arte de la m,1uina 3 su efecto so(re ella. a(e mencionar 1ue la ma3or a+licacin 1ue se le da a las ecuaciones diferenciales en el ,rea de ingeniería es en las le3es de ne=ton< 3a 1ue cada una +uede deducirse a trav!s de las ecuaciones diferenciales. Ejemplo (Mecánica de Fluidos)
4ea un reci+iente cilíndrico +arcialmente lleno de agua 3 a(ierto a la atmsfera. Dic;o reci+iente gira a una velocidad angular de "# rad>s 3 est, montado en un ascensor. En condiciones de re+oso0 la altura del nivel del lí1uido es de &# cm. ?uedando un es+acio li(re entre el nivel del lí1uido 3 la su+erficie del vaso de "# cm0 el radio del cilindro es de @ cm. 4a(iendo 1ue cuando el ascensor se +one en marc;a0 tanto en sentido ascendente como descendente0 la aceleracin del mismo es de " m>s $ 3 su deceleracin +ara cual1uier sentido de la marc;a es de #0% m>s $.
Determine la ecuación que rige la posición del nivel del líquido en función del radio.
4ALUIBC Ecuacion a utili/ar2 1
2
dP = ρr ω dr − ρ aθ dθ− ρg r
( ) 1+
a z g
dz
Puesto 1ue no ;a3 aceleracin angular la ecuacin +asa a ser de la siguiente forma2 2
dP = ρr ω dr − ρg
( ) 1+
a z g
dz
De(ido a 1ue las su+erficies son de +resin constante la ecuacin 1uedaría así2 0 = ρr ω
2
( ) ( ) ( ) ∫ ( )
dr − ρg
2
ρr ω dr = ρg
2
r ω dr = g r
∫r ω 0
1+
1+
a z g
1+
a z
dr = g z0
g
dz
dz
g
dz
z
2
a z
1+
a z g
dz
/# es la altura del lí1uido cuando r#
2
2
r ω 2
| ( )| r
=g
1+
2
2
2
=g
z
g
0
r ω
z
a z
z0
( )( 1+
a z
z − z0 )
g
Des+ejando +ara /0 la ecuacin resultante es2 2
2
r ω z = + z 0 2 ( g + a z )
Para determinar /# se igualan los vol:menes del lí1uido en re+oso 3 en movimiento2 R
π R z inicial=∫ 2 πrzdr 2
0
(
R
2
)
2
r ω π R z inicial=∫ 2 πr + z 0 dr + g a 2 ( z ) 0 2
R
3
2
πr ω π R z inicial =∫ + 2 πr z0 dr g a + 0 ( z ) 2
4
2
4
2
|
R
πr ω 2 π R z inicial= + π r z 0 4 ( g + a z ) 0 2
πR ω 2 π R z inicial= + π R z 0 4 ( g + a z ) 2
2
2
R ω z inicial= + z 0 4 ( g + a z ) 2
2
R ω z 0= z inicial− 4 ( g + a z )
La ecuacin de la +osicin del nivel del lí1uido en funcin del radio es2 2
2
2
2
r ω R ω z = z inicial+ − 2 ( g + a z ) 4 ( g + a z )
Donde2 •
•
ω =10 g= 9.8
rad s
2
m 2
s
•
•
z inicial=30 cm R=radio del cilindro ( 6 cm )
El valor de a z de+ende de si el elevador asciende o desciende 3 de si acelera o desacelera< +or lo 1ue dic;o valor estaría dado de la siguiente forma2 4entido ascendente •
m
o
o
•
*celeracin a z=1 s Desaceleracin
2
a z=−0.7
m s
2
4entido descendente o
o
*celeracin
a z= 0.7
Desaceleracin
m 2
s
a z=−1
m 2
s
Conclsiones Las ecuaciones diferenciales tienen un sinfín de a+licaciones en todos los cam+os< es+ecialmente en la Ingeniería. Las ecuaciones diferenciales +ermiten modelar0 descri(ir 3 +redecir el com+ortamiento de cual1uier cuer+o 3>o fenmeno< inde+endientemente del estado 3 am(iente en 1ue se encuentren. La ma3oría de le3es 3 ecuaciones físicas 3 mec,nicas se deducen a trav!s de ecuaciones diferenciales.
!i"lio#$a%&a Ing. -ose Feli+e astillo astillo. Licenciado en Ingeniería Mec,nica Industrial Magister en Cegocios 3 *dministracin 5M*6 ergad,0 -. 5$##@6 Mec,nica de fluidos. Universidad Polit!cnica de atalu8a Ediciones UP2 'ranada.
