Interpolacion en Ingenieria

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Civil (IC - 343)

Mg. Ing. Rick Delgadillo Ayala |

Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga Escuela de Formación Profesional de Ingeniería Civil

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Civil (IC-343)

Interpolación y Aproximación de Funciones Mg. Ing. Rick Milton Delgadillo Ayala e-mail: [email protected]

Ayacucho – Perú 2017 Escuela de Formación

Universidad Nacional de

1



Definición Un polinomio de grado n es una expresión de la forma: P ( x) x) = an xn + an-1 xn-1 + ... +a + a1 x + a0 Donde an <> 0 Teorema (teorema de aproximación de Weierstrass) Suponga que f que f está está definida y es continua en [a [ a, b]. Para e > 0 existe un polinomio P definido en [a, b], con la propiedad de que f |f ( x) x) – P P ( x)| x)| < e, para toda x toda x en [a [a, b] Escuela de Formación


2



Desarrollo en series de Taylor Sea f Sea f ( x) x) = e x Desarrollando en serie de Taylor alrededor de x de x = 0 P 0( x x) = 1

P 1( x x) = 1 + x

P 3( x) x) = 1 + x + x + x2/2 + x + x3/6

P 2( x x) = 1 + x + x2/2 P 4( x) x) = 1 + x + x + x2/2 + x + x3/6 + x + x4/24

P 5( x) x) = 1 + x + x + x2/2 + x + x3/6 + x + x4/24 + x + x5/120

Escuela de Formación


3



Valores de e x Valores de las aproximaciones de e x con polinomios de Taylor x

p0(x)

p1(x)

p2(x)

p3(x)

p4(x)

p5(x)

exp(x)

-2.0

1.00000 -1.00000

1.00000 -0.33333

0.33333 0.06667 0.13534

- 1. 5

1 .0 00 00 - 0. 50 00 0

0 .6 25 00

0 .0 62 50

0 .2 73 44 0. 21 01 6 0. 22 31 3

- 1. 0

1 .0 00 00

0 .0 00 00

0 .5 00 00

0 .3 33 33

0 .3 75 00 0 .3 66 67 0 .3 67 88

- 0. 5

1 .0 00 00

0 .5 00 00

0 .6 25 00

0 .6 04 17

0 .6 06 77 0 .6 06 51 0 .6 06 53

0 .0

1 .0 00 00

1 .0 00 00

1 .0 00 00

1 .0 00 00

1 .0 00 00 1 .0 00 00 1 .0 00 00

0 .5

1 .0 00 00

1 .5 00 00

1 .6 25 00

1 .6 45 83

1 .6 48 44 1 .6 48 70 1 .6 48 72

1 .0

1 .0 00 00

2 .0 00 00

2 .5 00 00

2 .6 66 67

2 .7 08 33 2 .7 16 67 2 .7 18 28

1 .5

1 .0 00 00

2 .5 00 00

3 .6 25 00

4 .1 87 50

4 .3 98 44 4 .4 61 72 4 .4 81 69

2 .0

1 .0 00 00

3 .0 00 00

5 .0 00 00

6 .3 33 33

7 .0 00 00 7 .2 66 67 7 .3 89 06



4



Expansión de Taylor para 1/ x P n  x  

n

f k  1

k 0

k !



n

 x  1    1k x  1k k

k 0

n

0

1

2

3

4

5

6

7

Pn(3)

1

-1

3

-5

11

-21

43

-85



5



Interpolación polinomial de Newton Revisaremos algunos casos: lineal, de segundo grado y de tercer grado.



6



Interpolación lineal Utilizando triángulos semejantes f 1  x   f  x0  x  x0



f  x1   f  x0  x1  x0

f ( x)

Reordenando f ( x1) f 1  x   f  x0  

f  x1   f  x0  x1  x0

 x  x0 

f 1( x) f ( x0) x0


x

x1


7



Ejemplo Estimar ln 2 mediante interpolación lineal si ln1 = 0 y ln 6 = 1.791759 y ln 4 = 1.386294

f 1 2  ln 1 

1.791759 0

f 1 2   ln 1 

6 1

1.386294 0 4 1

f 1  x   f  x0  

2  1  0.3583519

f  x1   f  x0  x1  x0

Valor real ln 2 = 0.6931472

2  1  0.4620981

Error relativo porcentual = 33.3%

2.5

f ( x) = ln x

2

1.5

Valor verdadero 1

f 1( x)

0.5

0

Estimaciones lineales -0.5

-1 0


 x  x0 

1

2

3

4

5

6

7

8


8



Interpolación cuadrática Polinomio cuadrático f 2( x) = b0 + b1( x – x0) + b2( x – x0)( x – x1)

(1)

simplificado f 2( x) = b0 + b1 x – b1 x0 + b2 x2 + b2 x0 x1 – b2 xx0 – b2 xx1 Podemos escribirlo como f 2( x) = a0 + a1 x + a2 x2 Donde a0 = b0 – b1 x0 + b2 x0 x1, a1 = b1 – b2 x0 – b2 x1, a2=b2 Podemos evaluar b0, b1 y b2 sustituyendo x0, x1 y x2 en la ecuación (1), se obtiene b0 = f ( x0) f  x2   f  x1  b1 

f  x1   f  x0  x1  x0


b2 

x2  x1



f  x1   f  x0  x1  x0

x2  x0 Universidad Nacional de

9

Mg. Ing. Rick Delgadillo Ayala | 10


ejemplo 2 Calculemos ln 2 con ln 4 y ln 6, los punto que se conocen son: x0 = 1

f ( x0) = 0

x1 = 4

f ( x0) = 1.386294

x0 = 6

f ( x0) = 1.791759

Aplicando las ecs. anteriores

f ( x) = ln x 2.5

2

Valor verdadero 1.5

b0 = 0 1

b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981 b2 = ((1.791759 – 1.386294)

0.5

/(6 – 4) – 0.4620981)/(6 – 1) = – 0.0518731

0

Estimación cuadrática -0.5

Estimación lineal

El polinomio es

-1

f 2( x) = 0.4620981( x – 1) – 0.0518731( x – 1)( x – 4)

0

1

2

3

4

5

Valor real ln 2 = 0.6931472 f 2(2) = 0.5658444 Escuela de Formación

Error relativo porcentual = 18.4% Universidad Nacional de

6

7

8



Forma general Polinomio general f n( x) = b0 + b1( x – x0) +...+ bn( x – x0)( x – x1)... ( x – xn 1) –

Los coeficientes se calculan con b0 = f ( x0) b1 = f [ x1, x0] b2 = f [ x2, x1, x0]

bn = f [, xn, xn 1, ..., x1, x0] –

Donde los paréntesis cuadrados se denominan diferencias divididas finitas . La n-ésima diferencia dividida finita es: f  xn , xn 1 ,..., x1 , x0  

f  xn , xn 1 ,..., x1   f  xn1 , xn 2 ,..., x0  xn  x0

Se conoce como polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas . Escuela de Formación




ejemplo 3 Calculemos ln 2 con ln 0, ln 4, ln 5 y ln 6, los punto que se conocen son: x0 = 1

f ( x0) = 0

x1 = 4

f ( x1) = 1.386294

x2 = 6

f ( x3) = 1.791759

x3 = 5

f ( x2) = 1.609438

primeras diferencias f [ x1, x0] = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4602981 f [ x2, x1] = (1.791759 – 1.386294)/(6 – 4) = 0.2027326 f [ x3, x2] = (1.609438 – 1.791759)/(5 – 6) = 0.1823216 Segundas diferencias f [ x2, x1, x0] = (0.2027326 – 0.4602981)/(6 – 1) = – 0.05187311 f [ x3, x2, x1] = (0.1823216 – 0.2027326)/(5 – 4) = – 0.02041100 tercera diferencia f [ x3, x2, x1 , x0] = ( – 0.02041100 – ( – 0.05187311))/(5 – 1) = 0.007865529 Polinomio

f 3( x) = 0 + 0.4602981( x – 1) – 0.05187311( x – 1) ( x – 4) + 0.007865529( x – 1) ( x – 4) ( x – 6)

Valor calculado con el polinomio Escuela de Formación

f 3(2) = 0.6287686 Universidad Nacional de



Ejemplo 3 (cont.) f 3( x) 2.5

2

Valor verdadero 1.5 1

f ( x) = ln x

0.5

0

-0.5

Estimación cúbica -1 0


1

2

3

4

5

6

7

8




Estimación del error Para estimar el error requerimos de un datos más ( xn+1). La siguiente fórmula puede utilizarse para estimar el error.

Rn = f [, xn+1, xn, ..., x1, x0]( x – x0) ( x – x1)... ( x – xn)





Interpolación y polinomio de Lagrange Se trata de encontrar un polinomio de grado n que pase por los puntos ( x0, f ( x0)), ( x1, f ( x1)), ... ( xn, f ( xn)), se construye un cociente Ln ,k ( xk ) con la propiedad de que Ln ,k ( xi) = 0 cuando i  k y Ln ,k ( xk ) = 1 Se requiere entonces que el numerador contenga

( x – x0) ( x – x1)... ( x – xk 1)( x – xk +1)... ( x – xn) –

El denominador debe coincidir con el numerador cuando x = xk . n  x  x0  x  x1   x  xk 1  x  xk 1   x  xn   x  xi   Ln ,k  x    xk  x0  xk  x1   xk  xk 1  xk  xk 1   xk  xn   i  0  xk  xi  i  k





N-ésimo polinomio interpolante de Lagrange

Teorema

Si x0, x1, x2, ... xn, son n+1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces existe un polinomio de grado a lo más n, con la propiedad de que f ( xk ) = P ( xk ) para cada k = 0, 1, 2, ...n Este polinomio está dado por P  x   f  x0  Ln, 0  x     f  xn  Ln ,n  x  

donde

n

 f  x

k

 Ln,k x 

k  0

n  x  x0  x  x1  x  xk 1  x  xk 1   x  xn   x  xi   Ln,k  x    xk  x0  xk  x1  xk  xk 1  xk  xk 1  xk  xn  i 0  xk  xi  i  k





Aproximación a 1/x con interpolantes de Lagrange Usaremos x0 = 2, x1 = 2.5 y x 2 = 4, para obtener un polinomio de grado 2 para 1/x. f(x0) = 0.5, f(x 1)= 0.4 y f(x 2) = 0.25. Los polinomios de Lagrange son:

 x  2.5 x  4 L  x     x  6.5 x  10 n,0 2  0.52  4  x  2 x  4  4 x  24 x  32  L  x   n,1 2.5  22.5  4 3  x  2 x  2.5  x  4.5 x  5  L  x   n,2 4  24  2.5 3 P ( x) = 0.5*(( x – 6.5) x+10)+0.4*(( – 4 x+24) x – 32)/3+ 0.25*(( x + 4.5) x+5)/3 P ( x) = (0.05 x – 0.425) x + 1.15 = 0.05 x2 – 0.425 x + 1.15 Escuela de Formación




Aproximación a 1/x con interpolantes de Lagrange P ( x) = (0.05 x – 0.425) x + 1.15 f (3) = P (3) = 0.325





El error en la interpolación de Lagrange El error en la interpolación de Lagrange puede calcularse con

f  x0   P  x  


f n 1   x 

n  1!

 x  x0  x  x1 ... x  xn 




Algoritmo en Matlab function fi = Lagran_(x, f, xi) fi=zeros(size(xi)); np1=length(f); for i=1:np1 z=ones(size(xi)); for j=1:np1 if i~=j, z = z.*(xi - x(j))/(x(i)-x(j));end end fi=fi+z*f(i); end return Escuela de Formación




Calculo de coeficientes de P 2( x) %Calcula el polinomio interpolante de Lagrange de grado 2 function [a,b,c] = Lagrange(x0,x1,x2,fx0,fx1,fx2) t0 = (x0 - x1)*(x0 - x2); t1 = (x1 - x0)*(x1 - x2); t2 = (x2 - x0)*(x2 - x1); a = fx0/t0 +fx1/t1 +fx2/t2; b = -fx0*(x1 + x2)/t0 - fx1*(x0 + x2)/t1 fx2*(x0 + x1)/t2; c = fx0*x1*x2/t0 + fx1*x0*x2/t1 + fx2*x0*x1/t2; Escuela de Formación




Interpolación Inversa Tabla de valores de f ( x) = 1/ x. x

1

2

3

4

5

6

7

f ( x)

1 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667 0.1429

Se desea conocer el valor de x tal que f ( x) = 0.3. El problema se resuelve definiendo un polinomio de interpolación de grado 2 con los puntos (2, 0.5), (3, 0.3333) y (4, 0.25) y resolviendo la ecuación: f ( x) = 0.3 = 1.08333 – 0.375 x + 0.041667 x2

Lo que da x = 5.704158 y x = 3.295842, el valor real es 3.333. Escuela de Formación




Trazadores (Splines) Dados n +1 puntos podemos construir un polinomio de grado n para interpolar valores dentro del intervalo. También se pueden usar líneas rectas entre cada par de puntos para hacer interpolación lineal entre ellos o polinomios cuadráticos o cúbicos. Tales interpoladores se llaman trazadores lineales, cuadráticos y cúbicos, respectivamente. La ventaja de los trazadores es que no presentan el efecto de oscilación de los polinomios de alto grado.





f ( x )

x f ( x )

f ( x )

f ( x )





Trazadores lineales Para los trazadores lineales se definen rectas entre cada intervalo para calcular los valores intermedios. f ( x) = f ( x0) + m0( x – x0)

x0 <= x <= x1

f ( x) = f ( x1) + m1( x – x0)

x1 <= x <= x2

f ( x) = f ( x0) + mn 1 ( x – x0)

xn

–

1

–

<= x <= xn

Los valores de mi se calculan con: mi 


f  xi 1   f  xi  xi 1  xi Universidad Nacional de



ejemplo x

f (x)

3.0

2.5

4.5

1.0

7.0

2.5

9.0

0.5

2

0 2


4

6

8


10



Trazadores cuadráticos El polinomio en cada intervalo es de la forma: f i( x) = ai x2 + bi x + ci Para encontrar los ai , bi , ci se deben cumplir las siguientes condiciones: 1. Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores, 2n – 2 ecuaciones. 2 ai 1 xi 

1 



ai xi2 1 



bi 1 xi 

bi xi

1 



1 



ci

ci



1 



f ( xi 1 ) 

f ( xi 1 ) 

2. La primera y última función debe pasar por los extremos, 2 ecuaciones. a1 x02



b1 x0

an xn2



bn xn



c1





cn

f ( x0 )



f ( xn )

3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales, n – 1 ecuaciones. O sea: 2ai 1 xi 1 + bi 1 = 2ai xi 1 + bi –

–

–

–

4. Suponer derivada 0 en el primer punto. a1 = 0 Escuela de Formación




ejemplo x

f (x)

3.0

2.5

4.5

1.0

7.0

2.5

9.0

0.5


Encontrar f (5)




La condición 1 genera las siguientes ecuaciones: 20.25a1 + 4.5b1 + c1 = 1.0

20.25a2 + 4.5b2 + c2 = 1.0 49a2 + 7b2 + c2 = 2.5 49a3 + 7b3 + c3 = 2.5 La condición 2 da las siguientes ecuaciones 9a1 + 3b1 + c1 = 2.5 81a3 + 9b3 + c3 = 0.5 La condición 3 genera:

9a1 + b1 = 9a2 + b2 14a2 + b2 = 14a3 + b3 Escuela de Formación




El sistema resultante es: 4.5 0  0  0 3  0 1   0

1

0

0

0

0

20.25

4.5

1

0

49

7

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

9

1 0

0

14

1

0

0  b1 

1    1  0 0 0 c1     0 0 0 a2  2.5     49 7 1 b2  2.5     2.5 0 0 0 c2     81 9 1  a3  0.5 0 0 0  b3   0       14  1 0  c3   0  0

0

La solución es: a1 = 0

b1 = – 1

c1 = 5.5

a2 = 0.64

b2 = – 6.67

c2 = 18.46

a3 = – 1.6

b3 = – 24.6

c3 = 91.3

f(5) = 0.64(5)2 – 6.67(5) +18.46 = 1.11 Escuela de Formación




yi = ppval (pp, xi) - Evalúa polinomio a trozos pp en los puntos xi. Si pp.d es un escalar mayor que 1, o un arreglo, entonces el valor regresado yi será un arreglo que es d1, d1, ..., dk, length (xi). pp = spline (x, y) yi = spline (x, y, xi) Regresa los interpolantes cúbicos de y en los puntos x. Si se llama con dos argumentos, regresa los trozos polinomicos pp que ueden ser evaluados con ppval. Si se llama con tres parámetros, evalúa el los puntos xi.





Splines cúbicos Aplicando las condiciones de continuidad del spline S y de las derivadas primera S ' y segunda S '', es posible encontrar la expresión analítica del spline. S i  x  

z i 6hi

 xi 1  x 3 

z i 1 6hi

 x  xi 3

 yi 1 z i 1hi   yi z i hi   x  xi      xi 1  x     6  6   hi  hi Donde hi = xi+1 – xi y z 0, z 1, … ,z n son incognitas.





Aplicando las condiciones de continuidad se llega a hi 1 z i 1  2hi  hi 1  z i  hi z i 1 

6

hi 1

 yi 1  yi  

La ecuación anterior, genera un sistema de n – 1 ecuaciones lineales con n+1 incógnitas.  u1 h1 0   h1 u2 h2 0 h u 2 3  0 0  0 0 0  0 0 0 

0

0

0

0



0







un 2

0


h2

 v1      0  z 2   v2  0          0         v  h2 z n 3    n 3  un 1  z n 2   vn 2 

6

hi 1

 yi  yi 1 

donde

0  z 1 

ui  2hi  hi 1   bi 

6

hi

hi21 ui 1

 yi 1  yi 

vi  bi  bi 1 

hi 1vi 1


ui 1



Los valores del spline S se calculan eficientemente con

S i  x   yi   x  xi C i   x  xi  Bi   x  xi  Ai  Donde Ai  Bi 

1 6hi

z i 2

C i  


 z i 1  z i 

hi 6

z i 1 

hi 3

z i 

1

hi

 yi 1  yi 




Los coeficientes de los polinomios se pueden calcular con: c1 = yi – xi D c2 = D – xi E c3 = E – xi A c4 = A Para obtener: f i ( x) = c1 + c2 x + c3 x2 + c4 x3

Donde

A  B 

 z i

1



z i 

6hi

z i 2

C  

hi 6

z i

1



hi 3

z i

1 

hi

 yi

1



yi 

D  C  xi B  Axi2 E  B  2 xi A Escuela de Formación




Código en MatLab los trazadores cúbicos para un

%encuentra conjunto de puntos x,y % x - vector con los n valores de x % y - vector con los n valores de y % w - matriz de n-1 por 4 con los coeficientes de los polinomios cúbicos function w = spline3(x,y) [dummy n] = size(x); for i = 1:n-1 h(i) = x(i+1)-x(i); b(i) = 6*(y(i+1)-y(i))/h(i); end u(2) = 2*(h(1)+h(2)); v(2) = b(2)-b(1); for i = 3:n-1 u(i) = 2*(h(i)+h(i-1))-h(i-1)^2/u(i-1); v(i) = b(i)-b(i-1)-h(i-1)*v(i-1)/u(i-1); end Escuela de Formación


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