Descripción: Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma ?´´ + ?1(?)?´ + ?2(?)? = ?(?) y para que ésta sea una ecuación homogénea con coe...
introduccion a las ecuaciones diferencialesDescripción completa
Descripción: aplicacion de las ecuaciones diferenciales al modelamiento del vaciado, drenado de un tanque, recipiente.
ECUACIONES DIFERENCIALES
ecuaciones diferencialesDescripción completa
UNIDAD 2 DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN RESOLVER PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Fase 3
PRESENTADO A: Licenciado RAMIRO PEÑA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ECUACIONES DIFERENCIALES 100412A_471 INGENIERÍA INDUSTRIAL BUCARAMANGA 2018
Pregunta 1 1.
Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma ´´ + () ´ + () = () y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. () = 0. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas, Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial 4 ´´ + 4 ´ + 5 = 0 son: A. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución es = − ⁄ ( + ) B. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución es = − ( + ) C. Soluciones iguales y reales cuya solución es = √ + √ D. Soluciones distintas y reales cuya solución es = √ + √
Tenemos la ED 4 ´´ + 4 ´ + 5 = 0 la cual cumple con las condiciones para la forma ´´ + () ´ + () = (), se deduce que la presente ecuación también es homogénea con coeficientes constantes ya que cumple las 2 suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes: en este caso sus coediciones son números constantes estos son 4, 4, 5, respectivamente 2. () = 0, en este caso también salta a la vista esta situación al ver que la ecuación Diferencial tiene como igualdad el cero 4 ´´ + 4 ´ + 5 = 0. Ahora bien, la clave para dar solución es la ecuación característica que se puede asignar a la ecuación diferencial según la estructura de la misma. Recordando que la ecuación diferencial tiene la siguiente forma: ´´ + () ´ + () = () Y esta es similar a la ecuación cuadrática es de la forma
−±√ − . = −±√ que por su parte supone su resultado en las raíces:
√ 4 = , 2a
+√ 4 = 2a
Por lo tanto, aplicamos este concepto para validar su resultado √ 4 = 2∗4 4 4 4(4∗5) = 8 4 √ 1680 1 680 = 8 4 √ 64 64 = 8 Por propiedades de los exponentes 4 √ 1 1√ 64 64 = 8 Por propiedades de los números imaginarios 4 √ 64 64 = 8
√ 6 4 = 8 asi que =
4 8 8
Buscamos factorizar 4 8 Lo reescribimos como 1 ∗ 4 + 2 ∗ 4 Factorizamos el termino común -4
Buscamos factorizar 4 + 8 Lo reescribimos como 1 ∗ 4 + 2 ∗ 4 Factorizamos el termino común 4
= 4(1 + 2) Volvemos a problema
= 4(1 + 2) 8 1(1+2) = 2
=
1+2 2 1 2 = + 2 2 =
1 = + 2 Reagrupando para mejor visibilidad 1 = 2 1 = + 2 Entonces las raíces de m están dadas por 1 = ± 2 Siendo estas raíces complejas conjugadas Por ende, para esta parte ya podemos descartar las opciones C Y D Continuamos
Entonces reemplazamos
=
−
+
−
sin
Para caso del problema, llamamos t en vez de x asi que se vería de la forma
= − + − sin Que es lo mismo que tener
= −( ( + )) Respuesta correcta la opción A. 4. Una ecuación diferencial no homogénea de orden superior es de la forma:
() + − () + ⋯ () + () = () , cuya solución general se escribe como la suma de las soluciones de una ecuación homogénea y una particular. = + se determina haciendo () = 0 para convertir la ecuación a una homogénea con coeficientes constantes. Esta es la llamada solución asociada y se encuentra una solución particular de la ecuación no homogénea. Esta es la llamada solución particular . Dicha solución depende de la forma de la función g(). De acuerdo con lo mencionado anteriormente una solución particular n2 es: de la ecuación diferencial no homogénea ´´ + 4 = sen2 A. = ( )2 B. = ( )2 C. = ( )2 D. = ( )2 Como la pregunta se centra en la solución particular, no hará falta realizar la solución asociada Entonces para hallar la solución particular nos fijamos en el tipo de función que esta al lado derecho, en este caso sen2 y proponenos una solución en la que pondremos una constante constante por el seno t y otra constante por el cos t (siempre se debe colocar seno y coseno cuando tenemos una función trigonométrica de la forma seno o coseno según el caso) y luego derivamos dos veces ya que es una ecuación de segundo orden Proponemos pues
= 2 2 + cos 2 Ya que es una función del tipo seno, (usamos coeficientes indeterminados)
Ahora lo que hacemos es sustituir esta solución particular en nuestra ecuación y para esto necesitamos saber la segunda y primera derivada Calculamos la primera derivada
Ahora comparamos coeficientes del lado izquierdo y derecho -4A=1 por que el coeficiente del lado derecho de recho es 1 4B=0 por que en el lado derecho no aparece ningún cos
Resolvemos el sistema de ecuaciones A=-1/4 B=0 Ahora sustituyo estos valores en la solución particular que empezamos = 2 2 + tcos 2 1 = 2 2 + 0 ∗ cos 2 4 1 = 2 4 Esto es igual a decir
