ECUACIONES DIFERENCIALES FASE 1: VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES 100412A_36
JONATHAN CADEMA M. – CÓD. 1023885560 EDWARD JOSÉ GÓMEZ ANGARITA – CÓD. 12496318 JOHAN ANDRES PASCUAS CAMPOS –CÓD.1117542796 ANA VICTORIA MARTÍNEZ ARRIETA – CÓD. 1081928213
GRUPO: 100412_310
FRANCISCO FERNÁNDEZ TUTOR.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) 2017
INTRODUCCION Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas o diferenciales de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial. Pueden existir tipos de ecuaciones u órdenes:
Primer orden. Segundo orden u orden superior
Pero para este trabajo se desarrollaran las de primer orden correspondiente a la unidad 1, del curso.
PRIMERA ACTIVIDAD INDIVIDUAL. A continuación, se presentan un contexto generalizando la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general y/o particular. ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y justifique la respuesta. 1. Una función y = f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación la reducen a una identidad. De acuerdo a la ecuación diferencial: cuál cuál de las siguientes funciones es una solución:
= ,
= = = =
− a. − b. c. d. Para el desarrollo de esta ecuación escojo el enunciado C. que al darle solución a esta función es la que nos da la respuesta. respuesta. Derivadas
=
=. . 2 . 2 . . . 2 . . .. .
ya
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad de la siguiente manera: A. Clasificación por Tipo: Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de na o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP). B. Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación. C. Clasificación según la Linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y’,…,
y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y’,…, y(n)) = 0. Por lo tanto, la variable dependiente “y” y todas sus derivadas y’, y’’,…, y(n) son de primer grado. Y los coeficientes a0, a1,…, an dependen solo de la variable
x. 2. De acuerdo al texto, una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y /o lineal corresponde a.
a. b.
= (Ecuación elevado al exponente – No lineal.)
=
=
=
c. dependiente – No lineal) d.
(Es lineal)
(Coeficiente, hay una variable
(Función Lineal)
ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES
ℎ
Las ecuaciones diferenciales de la forma: = ( ) ( ), se pueden resolver a través de la técnica llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir:
∫ ℎ1 = ∫
3. De acuerdo a la información, la solución solución general de la ecuación diferencial se puede indicar como:
( 2 – 2) = 0
Solución.
Se rescribe con la formula
Entonces
2 – 2 = 0
ℎ ∗= ∗= ℎ = 1 , = 2
ℎ = ∫ () ∫ 1 =∫ 2 Ahora se integra cada lado ∫ 2 ∫ ( )
Se aplica ley de sustitución
∫()∗´=∫, = = Entonces
= 2, =2 ∫ 21 = = 12 ∫ 1 } ∫ 1 =ln Entonces 1 = lnln 2 2 Se le agrega la constante. = A continuación se integra el otro lado.
Se aplica la ley de integración
Se le adiciona la constante
∫ 1 =
∫ 1 = ln ln
Ahora tenemos los dos lados integrados = lnln = 12 lnln 2 1
Se despeja y: para ello se aplica la siguiente propiedad logarítmica.
Entonces.
=log 1 lnln 2 1= ln ((−)−)+ = √ 2 √ 2 ln = ln √ √ 2
Cuando los logaritmos tienen la misma base se hace lo siguiente.
log ( () = log ()→ )→ = Entonces la solución final sería:
= = =
→ , , →
4. Cuando en una ecuación diferencial de la forma , se dice que la ecuación es exacta, , sucede que en caso contrario la ecuación diferencial no es exacta y es posible convertirla en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado llamado factor integrante, el cual se calcula ca lcula si está en función de y a través de la fórmula:
, , =0
=
,
= ∫−
Por lo tanto, el factor integrante de la ecuación diferencial di ferencial , viene dado por:
4 1=0
Solución M
2 4 1=0 N
El criterio de exactitud nos dice que: My=Nx My=Nx
2
Ahora hallamos las derivadas parciales respecto a x, y.
2 4 1=0 =2 =12 2 ≠ 12
Entonces vemos que no se cumple la igualdad, esto quiere decir que la ecuación no es exacta. Procedemos a aplicar la formula dada:
= ∫− = 12 2 = 10 = 5 2 2 Ahora se reemplaza en la formula.
∫ ∫ → ∫ = → → Entonces el factor integrante de la ecuación es
= Comprobamos nuevamente con el criterio de exactitud, anteponiendo el factor integrante en cada expresión.
2 4 1=0 2 4 1=0 Ahora volvemos a verificar con el criterio de exactitud.
2 4 1=0 =12 =12 My = Nx Responda las preguntas 5 y 6 con base a la siguiente información: Hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver utilizando directamente la separación de variables, pero pueden ser transformadas en separables por medio de sustituciones adecuadas, como es el caso de las Ecuaciones Diferenciales Homogéneas que son de la forma , que por homogeneidad quedan del
, , , , , , , =0
=
mismo grado y que se pueden expresar como una función que sólo , por lo depende del conciente , o de la forma , donde tanto
=
=
5. Según la información, la solución de la ecuación diferencial corresponde a: homogénea:
= = C. = + + D. =
A. B.
=
=
DESARROLLO:
=
= = , ambas son homogéneas de tercer grado Simplificando tenemos que:
Hace la sustitución
=
= = =, = ∗ ,
Se obtiene:
∗ = Reduce términos semejantes:
∗ = 1 Igualando a cero:
1 = 0
Se multiplica por
, queda expresado de la forma: 1=0,
Multiplicando por (-1) y factorizando el signo resulta:
1 =0
Se divide por
para hacer separación de variables y resulta: − =0,
Integrando se tiene:
=0 ln = , Aplicando propiedades de los logaritmos:
ln = 2 + = ,, =
= , la solución general es: = 6. Al resolver la ecuación diferencial homogénea: =0 la solución general viene dada como: =sin A. =sin| || B. = C. =
Como
D.
=||
DESARROLLO:
=0 dx=xdy = Reacomodando términos y dividiendo por se tiene que: = Se divide la ecuación por : = 1 Hacemos cambio de variable:
= ; =,
= ,
Luego:
=1 , Es decir:
=1 Separando variables:
1 = 1 Integrando se tiene:
11 =
Despejando
Arctan =ln|| , =tanln|| Como = ,
La solución general es:
=|| ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas. 7. Es posible encontrar ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver a través de la técnica llamada variables separables y se expresan de la forma M( x )dx N( y )dy 0 , en donde todos los términos en x se pueden asociar con dx y todos los términos en y con con dy , cuyo despeje se puede expresar como:
= el problema de valor inicial que tiene como solución general y solución particular, respectivamente a: Ahora
tenemos
0, 0 =1, = √ + 2. = + 1.
16 =
= √ + 4. = + 3.
La respuesta correcta es la B si 1 y 3 son correctas. Desarrollo del Ejercicio
16 =0 Pasamos el “xy” a restar y el “dx” a multiplicar
16= = Separamos las variables
= 16 Resultado de la integración de la variable y
= ln ln Para esta integración se necesita hacer una sustitución donde;
16 = 16 , = 2 = 2 La sustitución de la integral nos queda así;
12 = 12 ln = ln ln−
Integrales resueltas
ln = ln ln− Aplicación de uler “” en ambos lados de la ecuación para eliminar logaritmos naturales “ln” + = Propiedades de los exponentes;
= = − Despejamos “y”
− = = 16 16− Solución general
= √ 16 0 = 1, donde y = 1 y x = 0, entonces → 1= → 1= → 114 = → = 4 1 = 0 4 √ 1616 0 16
Ahora
Entonces
= √ + →
Solución particular
8. Una ecuación diferencial de la forma exacta cuando:
M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 ,
es
M N , es decir, sus derivadas parciales son y x
iguales. De las siguientes ecuaciones diferenciales, cuáles de ellas exactas: 1.
xdx 1) ( 4xy 2 2y 2 xdx
“No”
son
1)dy 0
2. xy 2 y )dx ( x 2 y x )dy 0 3. 4.
4y 2 x 3 2
3x y
2y )dx ( 2x 4 y 2x )dy 0
2
y )dx ( 2x 3 y x )dy 0
La respuesta correcta es A 1 y 2 “NO” son exactas
Desarrollo del Ejercicio 1.
21 1 4 1=0 Despejamos “y” y la ecuación es = 1
2 4 1=1 , No es exacta por esta ecuación esta de la forma , , , ≠ =0 2. = 2 ,, 2 1 → = 2 ,, 2 1 → ≠
No es exacta porqué sus derivadas parciales no son iguales 9. Una ecuación diferencial de la forma
M ( x, y )dx N ( x, y )dy
0 que
no es
M N se puede convertir en una ecuación y x exacta multiplicándola por un factor apropiado ( x, y ) , llamado
exacta, es decir,
factor integrante, el cual se calcula si está en función de y a través de la fórmula: ( y ) e
Nx My M
dy
.
El factor integrante y la solución general de la ecuación diferencial 3xydx 3x 2 dy 0 , viene dado por: A.
(
y)
1
y3
B. ( y ) y 3 Corrección, sería: C.
y
cx
D. y c x SOLUCION
33 =0 =3 = 3 =3 =6 63 9 3 = 3 = 3 = = ∫− 3 =3 =3
= = − = 1 Respuesta: La opción A es la correcta.
ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones: Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. 10.
Cuando se plantea la ecuación diferencial ( x 3)
posible asegurar que la solución particular generada para
dy dx
3 y , es
y(4) 2
es
y 2( x 3) 3 , PORQUE al resolverla la solución general de la ecuación
diferencial viene dada por
y C ( x 3) 3
Respuesta: la afirmación es falsa y la justificación es verdadera.
Justificación: Reescribimos la ecuación diferencial:
3 3=0
La anterior ecuación diferencial se puede expresar de la forma:
3′3=0
Ahora hacemos una sustitución, decimos que
′3=0
=3, entonces:
La anterior es una ecuación de Cauchy-Euler, se soluciona haciendo la siguiente sustitución:
=
Y
′=−
Reemplazamos las anteriores en la ecuación diferencial y procedemos a calcular las raíces:
− 3 = 0 3 = 0 [ 3] = 0 [ 3] = 0 =3
Solución general:
=
Reemplazamos x1 y m y obtenemos la solución general de la ecuación diferencial:
= 3
Ahora aplicamos la condición y (4)=2 para calcular el valor de C1:
2 = 4 3 2 = 7 2 = 343
= 3432
Entonces la solución particular cuando y (4)=2 es:
= 3
---------------------------------------------------------------------------Primera actividad Grupal. Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema: Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de mezclas. En ellos, generalmente se presenta la siguiente situación:
Un depósito contiene 500 lt de líquido en el que se disuelven 20 gr de sal: Una salmuera que contiene 5 gr/lt se bombea al depósito con una intensidad de 8 lt/min, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de 10 lt/min. Encuentre el número de gramos de sal y la concentración de sal, que hay en el depósito en un instante cualquiera. --------------------------------------------------------------------------------DESARROLLO: DATOS:
=500 =20
= 5 = 8 = 10 La ecuación deferencial asociada a los problemas de mezclas es:
= Sustituimos: 10 =40 500 ´ =∫, para Es una ecuación diferencial lineal de forma: ´ para resolverla debe determinarce un factor integrante µ= ∫ + µ = | +| µ = |+| µ=500 Se multiplica la ecuación diferencial por µ =500 500 10500 =40500 Despejamos
= 40500 10500 500 Ya que la diferencial de la cantidad x de sal es = sustituyendo , sustituyendo
dada por la ecuación anterior:
10500 40500 = 500 Multiplicando por 500 y reordenando los términos de la ecuación:
50010 10500 500 = 40500 Puesto que:
50010 10500 500 = ⌊500⌋ 10500 500 = 40500 Sustituimos en la ecuación 50010 ⌊500⌋ =40500
Integrando:
⌊500⌋ =40500 Ambas son integrales inmediatas:
⌊500⌋ =500 40500==500 Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación:
500=500 Para determinar el valor de la constante de integración k, se utiliza la condición inicial para el tiempo t = 0 min, la cantidad de sal en el tanque es x = 20 gr. Sustituyendo estos valores en la ecuación
=500
500
500 20 = 500 Despejando K =50020500 = 500 500 20500 20500 =480 500 500 Este valor de k se sustituye en la ecuación: 500=500 500=500 480 500 500 Multiplicado por 500− 500 = 500 480500
La anterior ecuación representa la ley de variación de la cantidad de sal en el tanque en función del tiempo. Para determinar la ley de variación de la concentración de sal en el tanque en cualquier instante t, se debe recordar que la concentración en cualquier instante t se obtiene como el cociente entre la cantidad de sal en cualquier instante t y el volumen en cualquier instante t.
= Dónde:
= =500 y = Sustituyendo las ecuaciones = 500 480+ =500 en la ecuación = 500 500 480 500 500 = =480 500 500 La ecuación anterior representa la ley de variación de la concentración de sal en el tanque en cualquier instante t ---------------------------------------------------------------------------Segunda Actividad Grupal Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación y solución planteada: En una cafetería se sirve una bebida caliente que se encuentra inicialmente a una temperatura de 90°C, y se enfría hasta 75°C
mientras se expone a la temperatura ambiente durante 4 minutos. Si la temperatura ambiente está en 20°C, determinar en qué momento la bebida estará a una temperatura de consumo de 55°C. Según la Ley de enfriamiento de Newton, la ecuación ecuac ión viene dada como:
=
Entonces ya sabemos que Ta = 20°C, t = 0 al tiempo cero, y la temperatura en ese momento es 90°C, entonces tenemos una condición inicial,
dT = kT dt kT 20 T0 = 90 Esto es una ecuación diferencial con variables separables dT = kdt T 20 Se integran ambos lados ∫ T dT20 = ∫kdt Ahora se encuentra un logaritmo natural
ln |T 20| = kt C
Se usa la ley de propiedades de los logaritmos y la ley de exponentes Entonces
= x y = m+ T 20 =
Podemos considera que C = c1 entonces
T t = C120 90 = C120 90=C120 9020=C1 C1=70 Entonces ahora tenemos que…
T t = 70 20
Bien, sigamos leyendo el ejercicio. Nos dice que pasan 4 minutos y desciende hasta 75, entonces T (4) = 75 entonces
75= 70 20 7520 = 70 55 = 70 Se aplica el logaritmo natural 5570= ln ln lna,, entonces, Usando propiedades de los logaritmos ln = x lna 5570 = 4 ln Ahora = 14 5570= 0,0603 Entonces T t = 70−, 20
Finalmente usando ´esta ´ultima ecuación, podemos hallar ha llar lo que nos pide, en que momento la bebida estará a una temperatura de 55◦C entonces hacemos, T (t) = 55
Se despeja t.
55= 70−, 20 3570 = ln −, 3570= 0,0603 0,01603 3570 = = ,,
