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I-SERIES……………………………………………………………………………2 1,1 Definición Definici ón …………………………………………………………….2 1.2 Tipos de series 1.2 Propiedades de series………………………… series………………………………………… ……………………………… ………………...4 ...4 1.3Teoremas de series………………………………………………………………5 1.4Criterios de convergencia II-SUCESIONES……………………………………………………………………….6 2.1 Definición…………………………………………………………………………..6 2.2 Propiedades de scesiones……………………………………………………, .! 2.3 Teoremas de scesiones……………………………………………………….." 2.4 Criterios de convergencia III- CRITERIOS DE CONVERGENCIA………………………………………….…11 IV-APLICACIONES EN LA VIDA DIARIA…………………………………...…...13
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SERIES DEFINICION
TIPOS DE SERIES 1 .SERIES FINITAS
#erie finita es na serie $e contiene n n%mero finito de t&rminos o en otras pa'a(ras, contiene predefinido e' primer ) e' %'timo t&rmino. *n e+emp'o de serie finita podra ser de 'a forma-
PROPIEDADES DE LA SERIES FINITAS
1. /a sma o resta de dos series finitas es e$iva'ente a 'a sma de 'as series por separado.
2. *na constante si es com%n a todos 'os t&rminos de 'a serie pede ser e0c'ida de 'a sma de 'os t&rminos de 'a serie.
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demás de estas propiedades, e0isten a'gnos teoremas importantes $e peden res'tar m) %ti'es a' tratar con 'as cestiones $e invo'cran e' concepto de serie. *no de 'os teoremas más importantes de 'as series dice $e /a sma de n t&rminos de 'a serie es iga' a n n 1 2. Demostra!"# $e% teorema #ea 'a sma de 'a serie se representada como #. scri(iendo #, na ve a 'a inversa ) na ve de forma reg'ar, o(tenemos # 7 1 2 3 4… n # 7 n n 8 1 n 8 2…. 1 9ora, smando estas dos ecaciones o(tenemos, 2# 7 n 1 n 1 n 1…. n 1 Como # contiene n t&rminos, por 'o tanto, 2# tam(i&n de(e contener n t&rminos. Por tanto, 2# 7 n n 1 9ora, dividiendo cada 'ado por 2, o(tenemos # 7 n n 1 2, 'o ca' demestra e' teorema.
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2. SERIES INFINITAS ' n%mero de t&rminos es i'imitado. Cada no de 'os t&rminos se'e o(tenerse a partir de na determinada reg'a o form'a, por a'g%n a'goritmo :(servación- ' tener infinitos t&rminos, esta noción se'e e0presarse como serie infinita ,pero a diferencia de 'as smas finitas , 'as series infinitas re$ieren de 9erramientas de' aná'isis matemático para ser de(idamente comprendidas ) manip'adas +emp'o-
1 •
1,
1
,
2
1 •
2
4
,
3
1
,
1
8
,
4
1
,
1 5
1
, …,
n
1
,
16
, ….., 1 2n
#eries monótonas son a$e''as $e mantienen na misma tendencia 9as e' ;nfinito +emp'o-
Crecientesa1 <'t= a2 <'t= a3 <'t=……<'t= an va amentando t&rmino a t&rmino 4
+emp'o -
Decrecientea1
SERIE GEO&ETRICA ' s a$e''a serie c)o t&rmino de formación es-
donde: a es una constante, r es la base
+emp'o -
es geom&trica, pes cada t&rmino scesivo se o(tiene a' m'tip'icar e' anterior por
Cr!ter!os (ara %a ser!e' #i >r> <'t= 1 'a serie converge, entonces se ap'ica 'a sigiente fórm'a para determinar e' va'or de 'a convergencia.
#i >r>
SERIE AR&ONICA s a$e''a serie c)o t&rmino de formación es-
#iempre diverge
#erie ps a$e''a serie c)o t&rmino de formación es-
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#i p
PROPIEDADES DE SERIES #i 'as series 7?an ) @7?(n convergen a 'as smas indicadas ) c es na constante, entonces 'as series ?an (n 7 @ ) ?can tam(ien convergen, como smas. 1.8 ?can7 c?an 2.8 ?an (n7?an?(n 3.8 ?an 8(n7?an8?(n
Teorema $e %a Co#)er*e#!a
#i 'a serie iga' a cero.
es convergente, entonces e' 'imite en e' infinito es
Cr!ter!o $e %a $!)er*e#!a' #i e' 'imite no e0iste o distinto de cero, entonces 'a serie es divergente. ste criterio esta (asado en e' teorema de 'a convergencia. #i e' 'imite ''egara a dar cero e' criterio no es conc')ente pesto $e e' teorema dice $e 'as series convergente siempre dan cero mas no 'o contrario. Aa) a'gnas series divergentes $e s 'imite en e' infinito es iga' a cero, como es e' caso de 'as serie armónica.
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#erie Te'escópica o desp'ega('es a$e''a serie c)o t&rmino de formación se pede representar por de 'a sigiente manera-
De na ecación comp'e+a en e' denominador se ''eva a dos más senci''as, por varios m&todos#i es n po'inomio por e' proceso de fracción simp'e, si na fnción 'ogartmica por ss propiedades.
#ma parcia' Para 'a serie ?an 'a n8esima sma parcia' viene dada por#n7 a1a2a3 ………an #i 'a scesión de parcia'es B #n converge a #, se dirá $e 'a ?an converge. Donde # es 'a sma de 'a serie. #i B #n diverge 'a serie tam(i&n 'o 9ará.
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Criterios de Comparación Comparación Directa /a comparación directa es t&rmino a t&rmino ) se ap'ican 'os sigientes criterios-
EanE(n 1.8 #i ?( converge, entonces ?a tam(i&n converge 2.8 #i ?a diverge, entonces ?( tam(i&n diverge
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Comparación en e' 'mite
Donde ?( es convergente o divergente. Criterios para 'a toma de decisónsi ' 7 para ( convergente entonces a tam(i&n converge. '7∞ '7 F
para ( divergente entonces a tam(i&n diverge.
es na constante Gpara ( convergente o divergente, entonces a será
convergente o divergente.
Criterio de 'a raón o cociente-
#i ' H1 o I diverge #i ' J 1 converge #i '71 no conc')e
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SUCESIONES
DEFINICION' s n con+nto de t&rminos $e 9an de ser smados. /os t&rminos peden ser n%meros, varia('es, fnciones, o cantidades más comp'e+as .na serie pede ser finita o con 'imite de t&rminos
E+E&PLOS' •
/a scesión 1,12 ,13,…,1n ,… 1
Tiene como tiene t&rmino
n
, ) 'a scesión 81,1,81,1,…, 81
n ,…,
tiene como termino genera' 1n . Determine e' t&rmino $e contina en 'a scesión-
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4,
!,
1,
13,
0
K716, L,
1, 02
2
2, 02
22, 44, 2
02
Como se sa(e 'as scesiones peden tener ca'$ier reg'a para 9a''ar e' en&simo t&rmino $e se desea encontrar para por e+emp'o en este caso •
•
Determine e' t&rmino $e contina en 'a scesión2>4 , 3>12 , 5>3 , !>53 ...
">L1 @ ">" C 11>"" D 11>11 11>121 Aa''ar 'a sma de cifras de' t&rmino $e sige en 'a scesión1= 5= 1" = 4" = 11, ...
PROPIEDADES DE SUCESIONES
Consideremos dos scesiones convergentes B#n n constante ,entonces -
)
B#Mnn 1 ) N ,na
i ii iii iv v
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La s,es!"# $e F!o#a! ' Presenta diversas reg'aridades nm&ricas. Para $e res'te más senci''o 'as 9emos ennciado en casos partic'ares an$e se cmp'en en genera' ) 9emos ca'c'ado 'os primeros catorce t&rminos de esta scesión, para $e s verificación sea inmediatat1 t2 1
1
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
t 10
t 11
t 12
t 13
t 14
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
#i smas 'os catro primeros t&rminos ) aOades 1, da como res'tado e' se0to 11231 7 L ) si smas 'os cinco primeros t&rminos ) aOades 1, da como res'tado e' s&ptimo 11235 1 7 13. e en s forma genera' diraQ#i smas n t&rminos consectivos, partiendo de' F8&simo, ) 'e aOades F, da como res'tado e' termino Fn18&simo.Q #i smas 'os tres primeros t&rminos $e ocpan posición impar t 1 ,t 3 ,t 5 , da como res'tado e' se0to t&rmino t 6 , 125 7 L ) si smas 'os catro primeros t&rminos $e ocpan posición impar t 1 ,t 3 ,t 5 ,t ! da como res'tado e' octavo t&rmino t L , 12513 7 21. #i smas 'os tres primeros t&rminos $e ocpan posición par t 2 ,t 4 ,t 6 ) aOades 1, sa'e e' s&ptimo t&rmino t ! , 13L 1 713. #i smas 'os catro primeros t&rminos $e ocpan posición par t 2 ,t 4 ,t 6 ,t L ) aOades 1, sa'e e' noveno t&rmino t " , 13L21 1 734. e en s forma genera' diraQ#i smas n terminos impares resp. pares consectivos, partiendo de' F8 &simo, ) 'e aOades e' t&rmino F818&simo, da como res'tado e' termino F2n818&simo.Q 14
%n 'as 9a) más difci'es de imaginarR Tomemos dos t&rminos consectivos, por e+emp'o- t 4 73 ) t 5 75= e'evando a' cadrado ) smando- 32527"25734 $e es e' noveno 45 t&rmino de 'a scesión. Tomando t 6 7L ) t ! 713= e'evando a' cadrado ) smandoL213276416"7233 $e es e' 6! decimotercer t&rmino de 'a scesión. 9ora (ien, si e'evamos a' cadrado 'os cinco primeros t&rminos ) 'os smamos, sa'e e' prodcto de' $into ) e' se0to t&rmino12122232527475SL. #i 9acemos 'o mismo para 'os seis primeros t&rminos, sa'e e' prodcto de' se0to ) e' s&ptimo t&rmino-1212223252L27147LS13. /,!0s %a ms sor(re#$e#te sea %a s!*,!e#te (ro(!e$a$' Dividamos dos t&rminos consectivos de 'a scesión, siempre e' ma)or entre e' menor ) veamos 'o $e o(tenemos1 :1
=
1
2 :1 = 2 3 : 2 = 1.5 5 : 3 = 1.66 8 : 5 = 1.6 13 : 8 21 :13 34 :21 55 :34 89 :55
= = = = =
1.625 1.6153846... 1.6190476... 1.6176471... 1.6181818..
' tomar más t&rminos de 'a scesión ) 9acer s cociente nos acercamos a' n%mero de oro ver n%mero de oro. Canto ma)ores son 'os t&rminos, 'os
cocientes se acercan más a
.
n 'enga+e matemático-
fectivamente, spongamos $e entonces
sea convergente ) $e
es s 'mite,
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de donde o(tenemos $e
) como nestro 'mite de(e ser positivo o(tenemos $e
'o $e demestra $e e' 'mite de 'a scesión de F!o#a! es e' n%mero de oro, pero no só'o eso, 9emos demostrado $e e' 'mite de toda scesión, ta' $e cada t&rmino sea 'a sma de 'os dos anteriores, es efectivamente e' n%mero de oro.
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