UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD CIENCIAS DE LA INGENIERIA ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL - HVCA
DEDICATORIA Este presente trabajo, dedicamos a nuestros padres y familiares porque nos brindan su apoyo tanto moral como económico, para seguir estudiando y lograr el objetivo trazado para un futuro mejor y ser el orgullo para ellos y de toda nuestras familias. A nuestra Universidad, alma mater de la ciencia y la tecnología porque nos está formando para un futuro como Ingenieros Civiles. De igual manera a nuestros queridos formadores, en especial al Lic. Jorge Luis, Ortega Vargas, docente de curso; pues ellos son quienes nos guían para pa ra hacer el presente trabajo.
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INDICE DEDICATORIA
01
INDICE RESUMEN
05
INTRODUCCION
06
OBJETIVOS
08
1.SUCESIONES
09
1.1. Definición
10
1.2. Límite de una Sucesión
10
1.3. Convergencia de una Sucesión
11
1.4. Propiedad de Limites de Sucesiones
12
1.5. Teorema
13
1.5.1. Teorema de la Media Aritmética
13
1.5.2. Teorema de la Media Geométrica
13
1.6.Teorema (Criterio de STOLZ-CESARO)
13
1.7.Sucesiones de Cauchy
15
2. SERIES INFINITAS
16
2.1. Definición
17
2.2. Definición
18
2.3. Propiedades
18
2.4. Teorema
19
2
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INDICE DEDICATORIA
01
INDICE RESUMEN
05
INTRODUCCION
06
OBJETIVOS
08
1.SUCESIONES
09
1.1. Definición
10
1.2. Límite de una Sucesión
10
1.3. Convergencia de una Sucesión
11
1.4. Propiedad de Limites de Sucesiones
12
1.5. Teorema
13
1.5.1. Teorema de la Media Aritmética
13
1.5.2. Teorema de la Media Geométrica
13
1.6.Teorema (Criterio de STOLZ-CESARO)
13
1.7.Sucesiones de Cauchy
15
2. SERIES INFINITAS
16
2.1. Definición
17
2.2. Definición
18
2.3. Propiedades
18
2.4. Teorema
19
2
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2.5. Series Especiales
19
2.6. Series Infinitas de Términos Positivos
21
2.7. Teorema
22
2.7.1. Teorema (Criterio de Comparación Directa)
22
2.7.2. Teorema (Criterio de Comparación por Limite)
22
2.7.3. Teorema (Criterio de la Razón o Criterio de D’ALEMBERT)
23
2.7.4. Teorema (Criterio de la Integral)
23
2.7.5. Teorema (Criterio de la Raíz o Criterio de Cauchy)
24
2.8. Series Infinitas de Términos positivos y negativos
24
2.8.1. Teorema (Criterio de Leibniz)
25
2.8.2. Teorema
25
2.8.3. Teorema (Criterio de la Razón para Series Alternativas)
27
2.8.4. Teorema (Criterio de RAABE)
28
2.8.5. Teorema
29
3.SERIES DE POTENCIA
30
3.2. Definición
31
3.3. Propiedades
32
3.4. Diferenciación de Series de Potencia
33
3.5. Integración de Series de Potencia
34
3.6. Serie de Taylor
35
3.7.Serie de Maclaurin
3
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CONCLUSION
36
RECOMENDACIONES
37
ANEXOS (EJERCICIOS RESUELTOS)
39
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RESUMEN En el presente trabajo, se expone en forma concreta y precisa los fundamentos teóricos de las Sucesiones y Series, que nos ayudará a entender los problemas y ejercicios referentes a estos temas que presentamos. En la primera parte del trabajo daremos una breve introducción, luego hablaremos sobre la importancia, objetivos y justificaciones de los temas a tratar. Para comprender los temas a tratar, se necesita un adecuado conocimiento de las propiedades de los números reales, dela calculo diferencial e inte gral y las funciones especiales. Basándonos en los diferentes libros, textos digitales y demás fuentes de información, daremos una breve definición del tema a presentar, las cuales daremos a conocer en tres capítulos: En el primer capítulo se estudiará las sucesiones, estableciendo sus propiedades y demostrando sus criterios de convergencia. En el segundo capítulo se desarrollará el concepto de series, sus propiedades, los diferentes teoremas y criterios. En el tercer capítulo trataremos sobre las series de potencia, así como las series de Taylor. En la segunda parte del trabajo explicaremos, y daremos algunas conclusiones y recomendaciones, finalizando con los ejercicios y las fotografías correspon dientes.
INTRODUCCIÓN 5
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En los módulos anteriores nos hemos concentrado en las herramientas que permiten estudiar comportamientos continuos. Por ejemplo, la distancia Que recorre un coche se puede expresar en función del tiempo, que en principio fluye de manera continua. Sin embargo, existen otros fenómenos que no fluyen de forma continua, sino que necesitan un determinado tiempo para producirse. Por ejemplo, el crecimiento de una población no se produce de manera continua, sino a intervalos regulares, y los pagos a un banco tampoco, puesto que solo se realizan una vez al mes. Las herramientas que hemos visto hasta ahora nos permiten, por ejemplo, calcular el peso de un cubo de arista x y de densidad constante k y estudiar lo que sucede cuando hacemos que la arista tienda a 0. Para resolver este problema solo hay que tener en cuenta que el peso viene determinado por el volumen del cubo multiplicado por la densidad del material: 3
P = kx
Esta relación nos indica que cuando x tiende a 0, el peso del cubo tiende a 0 de manera continua. Sin embargo, detengámonos a pensar un poco. Supongamos que inicialmente no tenemos material; si añadimos una molécula, entonces el peso aumentar a una cantidad p1. Este fenómeno no es continuo, y no hay manera de que lo sea: o bien tenemos la molécula y el peso es p tenemos la molécula y el peso es 0. Muchos de los modelos que utilizamos para explicar la realidad se basan en la idea de que podemos fraccionar la cantidad que estudiamos tantas veces como se quiera, sin que el
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comportamiento de esta cantidad varíe. Las técnicas matemáticas de funciones continuas y funciones derivables nos permiten estudiar estos tipos de modelos. En este módulo introduciremos las técnicas matemáticas para estudiar fenómenos que se producen a intervalos regulares de tiempo, en los que el concepto de continuidad no tiene sentido.
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OBJETIVOS Los objetivos que lograremos alcanzar al final de este trabajo, sobre las sucesiones y series, son los siguientes:
Objetivos específicos:
Definir el concepto de sucesión.
Definir el concepto de límite de una sucesión y sus propiedades fundamentales.
Definir el concepto de serie.
Aprender sobre la convergencia y divergencia de una sucesión.
Comprender el concepto de sucesiones equivalentes y utilizarlas para el cálculo de límites.
Comprender el concepto de serie de potencias y calcular su radio de Convergencia.
Calcular la suma de una Serie.
Objetivos generales:
Mostrar cómo se pueden usar las series y sucesiones e n cálculo integral.
Resolver problemas relacionados con sucesiones y series.
Profundizar nuestros conocimientos de cálculo.
Al finalizar con la explicación del tema no tener problemas con lo aprendido ya que son muy importantes en el campo de la ingeniería (civil).
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SUCESIONES
.1. Definición Una sucesión es un conjunto de números que están dadas de forma ordenada. Ahora vemos una sucesión:
de
modo que tiene un primer elemento, un segundo elemento y así sucesivamente. También se le denomina sucesión de números reales a toda función de por: a:
/a(n) = an
y se denota
Una sucesión se puede especificar proponiendo suficientes elementos iniciales, como por ejemplo: 3, 8, 13, 18,… O dando una formula explicita para el n-esimo elemento:
{} { }
.2. Límite de una Sucesión
{} Una sucesión ,
tal
se dice que tiene un límite L, si para todo
que:
.
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para
todo
y
, existe un número se
denota
por
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En forma simbólica se tiene:
Ejemplo:
Usando la definición del límite probar que:
* * * Solución
Si se tiene:
Y por lo tanto tenemos:
o sea:
.3. Convergencia de una Sucesión: Una sucesión es convergente siempre y cuando esta sucesión tenga un límite, en caso contrario la sucesión será divergente. Ejemplo: Determine si es convergente o divergente la sucesión:
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Para determinar la convergencia o divergencia de la sucesión solo se tendrá que aplicar el límite:
1.4. Propiedades de Límites de Sucesiones: Consideremos dos sucesiones convergentes:
* 12
{} {}
y c una constante:
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1.5. Teoremas 1.5.1. Teorema de la Media Aritmética: Consideremos
una
Entonces:
sucesión
Entonces:
y
es
convergente,
si
es
convergente,
si
*
1.5.2. Teorema de la Media Geométrica: Consideremos
{}
una
sucesión
{}
y
1.6.Criterio de Stolz Hasta el momento hemos estudiado situaciones don de era posible pasar al caso general.
El criterio de Stolz resulta útil especialmente para determinar el límite de sucesiones en las que aparecen sumas de términos que se incrementan con n. .
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Criterio de Stolz Sean
{} {} {} dos sucesiones donde
o decreciente e
n→∞
es monótona creciente
tales que:
n→∞
o bien: lim yn = ∞. n→∞
– – {}
Si existe
, entonces tenemos
n→∞
que
n→∞
Ejemplo 2.11. 2
2
2
3
3
3
Calculando lim (1 +2 +n /n ) , vemos que {n } es creciente y que lim n = ∞ y, n→∞
n→∞
por tanto, podemos aplicar el criterio de Stolz: 2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
lim (1 +2 +…..+(n+1) -(1 +2 +…+n )/(n+1) -n ) = lim ((n+1) /3n +3n+1) n→∞
.
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n→∞
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1.7. Sucesión De Cauchy a) DEFINICION.- Sea {sn}n>1 una sucesión, se dice que una sucesión de Cauchy, si para todo ε>0,3N>0/m>N, n>N entonces Ism-snI<ε
Ejemplo.1.- La sucesión {1/n}n≥1 es de Cauchy.
En efecto:
>0,3N=? / m>N,n>N Ism-snI<ε
i)
Si m=n Ism-snI=I1/m-1/nI = 0 < ε, n
ii)
Si m>n Ism-snI=I1/m-1/nI =1/n-1/m<1/n pero debe cumplir que: Ism-snI<ε n 1/n< ε
de donde: n>1/ε=N, (m>n>N).luego bastaría tomar N=1/2. iii)
Si m>n Ism-snI=I1/m-1/nI =1/m-1/n<1/m como Ism-snI<ε, entonces 1/m<ε m>1/ε=N luego bastaría tomar N=1/ε(n>m>N).
2.-
La sucesión {n+1/n}n≥1, es de Cauchy. En efecto:
ε>0,3N=?/n*m>N Ism-snI < ε
Ism-snI=Im+1/m-n+1/nI=I1/m-1/Ni, se reduce al ejemplo anterior y luego bastaría tomar N=1/ε.
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2. SERIES INFINITAS 2.1. Definición Se le llama serie infinita de números reales a l a suma de los términos de una sucesión.
A una serie infinita:
Donde
representamos por:
se denomina(o llama) términos de la serie y
ésimo término de la serie. Ejemplos:
La serie infinita
{} es representada por:
Observación: De la serie infinita de números reales
Formaremos una sucesión
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definida de la siguiente forma:
es llamado el n-
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∑ {}
A la sucesión
Siendo
, se denomina sucesión de sumas parciales de la serie infinita:
la n-ésima suma parcial de la serie.
2.2. Definición Si:
Al cual llamaremos suma de una serie infinita, por lo tanto si el: la sucesión de las sumas parciales de suma).
{}
existe, entonces
es convergente. De lo contrario es divergente (carece
2.3. Propiedades
Si
Si
∑
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Si
, entonces la serie infinita
es divergente.
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{ }
Si:
Si:
2.4. Teorema Sea
la sucesión de sumas parciales para una serie convergente
Siempre que R >N, T>N. 2.5. Series Especiales 2.5.1. Serie Armónica
La serie armónica es de la siguiente firma:
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Por lo cual hay n-términos en cada lado de la desigualdad
2.5.2. Serie Geométrica Una serie geométrica es de la siguiente forma:
La serie geométrica es convergente cuando r<1 y es divergente cuando r 1. En consecuencia: La n-ésima suma parcial de ésta serie, está dado por:
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{} divergente, cuando
.
2.6. Series Infinitas de Términos Positivos
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2.7. Teoremas 2.7.1. Teorema (Criterio de Comparación Directa)
2.7.2. Teorema (Criterio de Comparación por Límite)
Entonces:
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2.7.3. Teorema (Criterio de la Razón o Criterio de DALEMBERT)
∑ Sea
una serie infinita con
0,
n (términos positivos) y convergamos que:
=k entonces:
∑ ∑
i)
si k 1, la serie
es convergente.
ii)
si k 1, la serie
iii)
si k =1, no se puede determinar nada.
es divergente o cuando
=+
2.7.4. Teorema (Criterio de la Integral)
∑
Sea f una función definida y positiva para todo x 1 y además decreciente y que f(n)=
, entonces la serie infinita
impropia
∫
=
∑ ∑
es divergente.
2.7.5. Teorema (Criterio de la Raíz o criterio de Cauchy) Si en la serie infinita
23
n
es convergente, si y solo si la integral
f(x) dx es convergente y si la integral impropia
entonces la serie
,
, de términos positivos, se tiene que:
:
∫
f(x) dx es divergente,
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∑ ∑
i)
Si k 1, la serie
es convergente.
ii)
Si k 1, la serie
iii)
Si k =1, no se puede determinar nada.
es divergente.
2.8. Series Infinitas de Términos Positivos y Negativos Una serie infinita de la forma siguiente:
∑ =
Dónde:
+…+
+…
∑ 0, n
, se denomina serie alternada.
También las series de la forma:
=
Dónde:
+…+
+…
0, son serie alternada.
2.8.1. Teorema (criterio de Leibniz) La serie alternada de la forma:
∑ =
Es convergente si se cumple: i. ii.
0
, n
= 0.
24
.
+…+
+…
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2.8.2. Teorema
Demostración
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Absolutamente convergente
Definición
No Absolutamente Convergente
Definición
Observación: El teorema 2.8.2., establece que toda serie absolutamente convergente es convergente. Sin embargo una serie convergente puede no ser absolutamente convergente.
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Ejemplo (1):
Ejemplo (2):
2.8.3. Teorema (Criterio de la Razón para Series Alternantes)
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Demostración
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. . .
2.8.4. Teorema (Criterio de RAABE)
*
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Ejemplo (1):
Solución
Por el teorema de RAABE:
* Ejemplo (2):
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Solución
* * ∑ g
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2.8.5. Teorema
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3. SERIES DE POTENCIA 3.1. Definición
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Según el autor una serie de la forma: decir:
Dónde: a y los
Es
son constantes, es llamada serie de potencia en x – a
Cuando a = 0, se tiene la serie
Que se domina serie de potencia en x Observación. 1° cuando x toma un valor en particular, obtenemos una serie numérica de los que ya
se ha
estudiado 2° Si una serie converge para ciertos valores de x, podemos definir una función de x haciendo:
Donde el dominio de estas funciones son todos los valores de x para los cuales la serie converge.
3° Para determinar los valores de x, los cuales la serie de potencia converge, se usan los criterios anteriores, especialmente el criterio de la razón.
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3.2. Propiedades Consideremos la serie de potencia siguiente
1.- Si esta serie diverge para x - a = c entonces diverge para todo los valores de x, para los cuales de x, para los cuales
2.- si esta serie diverge para x - a = b entonces es absolutamente convergente para todo los valores de x para los cuales
3.- se cumple exactamente una de las condiciones siguientes:
i) la serie converge solamente cuando x - a = 0 ii) la serie es absolutamente convergente para todos los valores de “x”. iii) existe un número P > 0, tal que la serie es absolutamente convergente para todo los valores de “x” para los cuales
y diverge para todo los valores de “x” para los cuales
3.3. Otras Definiciones El conjunto de todos los valores de x, para los cuales una serie de potencia converge, se llama intervalo de convergencia.
Se llama radio de convergencia de la serie de potencia
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Observación Si P es radio de convergencia de la serie de potencia
, entonces el intervalo de convergencia
,[a – p, a + p] , y [a - p, a + p] 3.4. Diferenciación de series de potencia Sea
Es una serie de potencia con un radio de convergencia p > 0 y si
Entonces existe
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Además, p es también el radio de convergencia de esta serie, es decir, si p ≠ 0 es el radio de convergencia de un aserie de potencia, la cual define una función f, entonces f es diferenciable en y la derivada de f se puede obtener derivando la serie de potencia termino a término. 3.5. Integración de Series de Potencia Sea
∑
una serie de potencia con radio de convergencia: p > 0 y
∑
Entonces f es integrable en todo sub-intervalo cerrado de .
Dónde: x , además es el radio de convergencia de una serie de potencia, la cual define una función f, entonces f es integrable en todo sub-intervalo cerrado de
y
la integral de f se obtiene integrando la serie de potencia termino a término. 3.6. Serie de Taylor Una función definida por una serie de potencias posee derivadas de todas las órdenes que se puede obtener al derivar la serie de potencias: Si
∑ 37
donde r es la radio de convergencia
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La función f y sus derivadas tienen todas, el mismo radio de convergencia de acuerdo con el teorema de derivadas de series. Al evaluar la función f y sus derivadas en el número c, se obtiene:
Así
Para cada entero positivo n y la serie de potencias que representa a f está dada por
3.7. Serie de Maclaurin Del enunciado 1 si c=0 entonces:
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CONCLUCION En los libros nos hemos concentrado en las herramientas que permiten estudiar comportamientos continuos. Por ejemplo, en las sucesiones hasta el infinito aplicando tipos de sucesiones y serie, que en principio fluye de manera continua. Sin embargo, existen otros fenómenos que no fluyen de forma continua, sino que necesitan un determinada fórmula para para producirse. Por ejemplo. Las herramientas que hemos visto hasta a hora nos permiten, por ejemplo, calcular las sucesiones infinitas o sucesiones hasta n. Para resolver este problema sólo hay que tener en cuenta el enésimo termino determinado por el las ecuaciones. Esta relación nos indica que cuando hallamos el valor de n, llegamos obtener un valor de n para así calcular el enésimo dato. Las diferentes sucesiones nos da a conocer qu e no solo de una manera podemos resolver las sucesiones tenemos: sucesiones con límites que aplicado los limites podrías hallar las sucesiones, también existen las sucesiones aritméticas que se consideran un a sucesión convergente, así mismo existe las sucesiones geométricas, aquí utilizamos los convergentes. De la misma manera tenemos las series infinitas llegando a obtener diferentes teoremas (criterio de comparación directa), (criterio de comparación por limite), (criterio de la integral), (criterio de leibniz) y etc...
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RECOMENDACIONES 1. A los lectores de análisis matemático III (sucesiones y series) se les recomienda consultar en algunos temas de libros de la bibliografía de demostraciones de estos dos últimos temas y que este capítulo es un repaso de cursos previos, conceptos de sucesiones y ejemplos, límites de una sucesión. Propiedades del límite, cálculo de límites de una sucesión. 2. Las siguientes recomendaciones son indispensables por lo cual se recomienda que en los siguientes puntos debemos poner mucho énfasis.
Diseñar actividades utilizando diferentes estrategias, procedimientos y recursos, que involucren procesos avanzados como la abstracción y la generalización.
Proponer actividades de aprendizaje potencialmente significativas para el estudio de las sucesiones y progresiones para estudiantes de grado noveno.
Plantear situaciones problema para la construcción del concepto de variable desde una perspectiva histórica.
3. Para lograr un buen aprendizaje del tema se recomienda adoptar las siguientes actitudes.
Sensibilidad e interés ante las informaciones y mensajes de tipo numérico.
Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos y estimaciones numéricas.
Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento y presentación de datos y resultados relativos a trabajos de clase.
Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad de los lengu ajes numérico, gráfico y geométrico para representar, comunicar o resolver diferentes situaciones.
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Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas planteados.
4. Los ejercicios no son para complicarle la vida, por el contrario son una gran ayuda para que pueda recordar y afianzar los conceptos aprendidos. Siga un método para resolver sus ejercicios o problemas. Por ejemplo:
Analice el problema detenidamente e identifique los conceptos involucrados.
Haga gráficos y figuras que le ayuden a entender la situación planteada.
Escriba siempre las ecuaciones matemáticas que necesita pa ra resolver el problema.
Resuelva las ecuaciones que previamente ha planteado para la solución.
Verifique los resultados obtenidos y que dimensionalmente estén correctos.
5. Aclare siempre sus ideas y asegúrese que entiende muy bien los conceptos que están involucrados con el tema de series y sucesiones. 6. Al intentar resolver un problema de series y sucesiones particularmente difícil, asegúrate de basarte en las ecuaciones y estrategias que hayas aprendido en clase en lugar de lo que piensas que conoces de la vida real. A pesar de que la experiencia personal es ciertamente aplicable en algunos casos, los problemas series y sucesiones se enfocan más en la utilización de una ecuación para resolver de manera correcta un problema.
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ANEXOS EJERCICIOS DESARROLLADOS 1. Determine si las sucesiones siguientes son convergentes o divergentes, si es convergente encuentre su límite:
Aplicamos la definición:
Se tiene:
( ) ( )
⁄ ( ) * * *
Ahora hacemos cambio de variable si:
aplicamos (L Hospital) al segundo límite.
42
entonces decimos (
y
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2. Calcular el siguiente límite de:
Solución
*
Observamos que:
de donde:
3. Hallar la suma de la serie infinita (TONY)
Solución
Descomponiendo
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en fracciones parciales
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A=1, B= -1 Siendo
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Por la tanto la suma de la serie infinita
4. Estudiar la serie
√ Solución Primero integramos
√ Sea
45
√
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√ √ √ √ √ | √ √ √ √ √ √ √√ √ Calculamos la sucesión de las sumas parciales por la regla telescópica:
√ √ √ √ √ √ √ √ + [√ √] 46
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√ √
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√ √
Solución
* Solución
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∑ 7. determinar si la serie
es convergente o divergente. Solución
Sea
k=
=
=
, calculando el límite se tiene:
=
k = 1/2
1
Luego por el teorema: i) de (criterio de la razón o criterio de DALEMBERT).
8. Determinar si la serie
∑ ∑
es convergente.
, es convergente o divergente. Solución
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⟩ ∫ ∫ ∫ ∑ ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL - HVCA
Como
=
= f(n)
f(x) =
, además f(x)
Y f es decreciente en
Luego =
= =
-
-
)
=
Por tanto
Luego la serie
es convergente.
es convergente.
Solución
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1
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Solución
* * 11. Determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencia y el radio de convergencia
Solución
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Sea
Ahora aplicamos el criterio de la razón:
Como
< 1
………….- 4 < x < 2
Ahora analizaremos cuando
= 1, es decir para x = - 4, x = 2
Por lo tanto el intervalo de convergencia es [-4,2] y el radio de convergencia es p = 3 12. Obtenga una representación en serie de potencia de ln(1 + x) Solución
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Luego, por el teorema
14. Halla la serie de Taylor de la función
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15. Hallar la serie de Maclaurin de la función
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