SUCESIONES En matemáticas la palabra sucesión se emplea casi en igual sentido que en el idioma ordinario. Cuando decimos que una colección de objetos o sucesos está en sucesión queremos decir que la sucesión está ordenada de modo que tiene un primer elemento, un segundo elemento, etc. Definimos una sucesión matemática como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Aunque una sucesión es una función usualmente representamos las sucesiones con notación de subíndices en vez de notación funcional. Por ejemplo, en la sucesión: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …………..…,n
Llamaremos a el n-ésimo término de la sucesión y denotamos a ésta por . DEFINICIÓN DE SUCESIÓN
es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Los valores se llaman los términos de la sucesión. sucesión.
Una sucesión funcionales Nota:
A veces conviene empezar una sucesión con de modo que los términos de la sucesión serían Una sucesión se dice que es creciente si , para todo n. Una sucesión se dice que es decreciente si , para todo n. Una sucesión se dice que es constante si , donde , para todo n. Si una sucesión es creciente o decreciente , se llama monótona. m onótona.
Ejemplo: Dada la sucesión cuyo término general es
a) Determina los 5 primeros términos de de la sucesión. sucesión. b) Realizar la gráfica de la sucesión. c) Determina si la sucesión es creciente, decreciente, constante o ninguna de éstas. Solución: a)
b) Gráfica
, notamos que el siguiente término siempre es mayor que el anterior, por lo tanto se tiene que ,
c) Al observar los términos de la sucesión
para todo n, luego se dice que la sucesión es decreciente. Nota:
El proceso de determinar a partir de la observación de los primeros términos de una sucesión es un ejemplo de razonamiento inductivo. Ejercicios: 1. Escribe los cinco primeros términos de cada sucesión a) b)
2.
c) d) e) f) Escribe el término general de las siguientes sucesiones. sucesiones. a) b) c) d) e) f) g) h)
SUCESIONES CONVERGENTES
Una sucesión se dice convergente si sus términos tienden a un límite. En ese caso decimos que converge a ese límite. Si la sucesión no es convergente, se dice divergente. Por ejemplo
La sucesión
converge a cero.
Gráficamente,
LÍMITE DE SUCESIONES Si los términos de una sucesión se acercan a un número L, se dice que la sucesión tiende al límite L y se denota:
Si se hace grande conforme n crece, entonces . En este caso la sucesión es divergente, pero de una forma especial decimos que diverge al Ejemplo:
converge a 0, por lo tanto Nota: En forma similar, se cumple que a) Como la sucesión
b) Determinar el límite de Solución: La evaluación del
.
da el valor al cual converge la sucesión y la no
existencia de él indica que la sucesión es divergente. Para encontrar el límite se divide cada término de la expresión por la mayor potencia del denominador.
Como , entonces la sucesión dada converge a 1. 1.
Ejercicios: Determina si las siguientes sucesiones convergen o no. a) b) c) d) e) f) g) h) i)
Escribe una sucesión cuyo límite sea: a) b) c) d)
1 2 10 No exista.
LEYES DE LOS LÍMITES PARA SUCESIONES CONVERGENTES Si
son sucesiones convergentes y c es una constante, entonces: a) b) c) d) e) si f)
Ejemplo: Calcule
TEOREMA Si
Ejemplo: Calcule
en caso de que exista.
DEFINICIÓN:
es acotada por arriba si existe un M tal que para todo y
Una sucesión
está acotada por abajo si hay un número m tal que
para todo , entonces es una sucesión acotada. Por ejemplo, la sucesión está ( o es) acotada por abajo ( pero no está
Si está acotada por arriba y por debajo debajo (
acotada por arriba, luego no es acotada.
para toda n. satisface Sabemos que no toda sucesión acotada es convergente, c onvergente, por ejemplo , pero es divergente y por otro lado no toda sucesión monótona monótona es convergente ( ). Pero si una sucesión es acotada y monótona a la vez luego ha de ser convergente.
La sucesión
está acotada porque
TEOREMA Toda sucesión acotada y monótona es convergente.
SERIES Si intentamos sumar los términos de una sucesión expresión de la forma:
obtenemos una
La cual es llamada serie infinita o tan sólo serie y se representa con el símbolo
Para algunas sucesiones calcular la suma de una cantidad infinita de términos sería imposible, por ejemplo para la sucesión si comenzáramos a sumar todos sus
términos (1+2+3+4+………) obtendríamos las sumas parciales:
Y de este modo la n-èsima suma crecería más conforme n aumenta. Ahora sumemos los términos de la sucesión:
Obtenemos las siguientes sumas parciales:
Cuantos más términos se sumen, dichas sumas parciales se acercan cada vez más a 1. 1 . Por consiguiente sería razonable decir que la suma de esta serie es 1 y con ello escribir.
Consideremos ahora las sumas parciales
En general
que puede o no tener límite. Si es decir existe, entonces decimos que el límite es la suma de la serie infinita .
Estas sumas parciales forman una nueva sucesión
En el ejemplo anterior como
Es decir que 1 es la suma de la serie infinita
entonces:
.
DEFINICIÓN DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA PARA SERIES Para la serie infinita
la n-ésima suma parcial viene dada por:
Si la sucesión
converge a S, diremos que la serie converge a S y se escribe.
El número S se denomina suma de la serie. Si
diverge, diremos que la serie diverge.
Ejemplo 1) La serie
Es decir la serie converge y su suma es 1.
2) La serie
Diverge ya que
y
1) Determinar si la serie
Es convergente o no. Solución:
Este es un ejemplo de serie telescópica, es decir de la forma:
Nótese que
se cancela con el segundo término, con el tercero y así sucesivamente.
La n-ésima suma parcial de la serie esta dada por:
Luego la serie telescópica telescópica converge sí y sólo sí existe el
Entonces su suma es
SERIES GEOMÉTRICAS La serie del ejemplo 1
Es una serie geométrica. Ésta se define a continuación. En matemáticas , una serie geométrica es una serie con una relación constante entre los sucesivos términos . Por ejemplo, la serie
es geométrica, porque cada término, excepto el primero se puede obtener multiplicando la expresión anterior por
.
DEFINICIÓN DE SERIE GEOMÉTRICA La serie dada por
Se llama serie geométrica de razón r. Teorema Convergencia de una serie geométrica
, entonces la serie converge y su suma es: Si la serie geométrica es divergente. Si
Ejemplo La serie geométrica
. Al ser la serie converge. Su suma es tiene razón
Ejemplo: La serie geométrica
tiene razón
. Como la serie diverge.
La fórmula para la suma de una serie geométrica se puede utilizar para escribir un decimal periódico como cociente de dos enteros, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Expresar
como cociente de dos enteros, usando una serie geométrica.
Demuestre que la serie
Es convergente y determine su suma.( Descomponer en fracciones parciales)
PROPIEDADES DE LAS SERIES INFINITAS
Si indicadas.
y c es un número real, las series que siguen convergen a las sumas
Ejemplo: Determine la suma de la serie
El próximo teorema nos dice que que si una serie converge, converge, el límite de su término n-ésimo (o término general) es necesariamente cero.
TEOREMA: LÍMITE DEL TÉRMINO GENERAL DE UNA SERIE CONVERGENTE Si la serie
es convergente, la sucesión tiene límite cero, es decir .
El contrarrecíproco del teorema anterior proporciona un criterio eficaz de divergencia. Este criterio del término n-ésimo para la divergencia afirma que si el límite del término general g eneral de una serie no es cero, entonces la serie diverge.
TEOREMA: CRITERIO DEL TERMINO GENERAL PAR LA DIVERGENCIA Si
no existe o si , en tal caso la serie diverge.
Ejemplo: a) Para la serie
Se tiene
Así pues, el límite del término general no es cero y , en consecuencia, la serie diverge. b) Para la serie
Se tiene
Por consiguiente, el límite del término n-ésimo no no es cero y concluimos concluimos que la serie diverge. c) En la serie
Se tiene
Como el término n-ésimo es cero, el criterio del término general para la divergencia no es aplicable y no podemos sacar conclusión alguna acerca de la posible convergencia o divergencia de la serie dada. d) Demuestre que la serie
TEOREMA: CRITERIO INTEGRAL
, entonces
S f es positiva, continua y decreciente para
O convergen ambas o divergen ambas. En otras palabras
Ejemplo Aplica el criterio integral a la serie
Solución
Como
satisface las condiciones del criterio integral, obtenemos por integración
Luego la serie diverge.
Ejemplo Aplica el criterio integral a la serie
Solución
DEFINICIÓN DE p-SERIES Una serie de la forma
Se llama una p-serie, con p>0. Para p=1, la serie
Se conoce como serie armónica.
TEOREMA: CONVERGENCIA DE p-SERIES La p-serie
1. Converge si 2. Diverge si Ejemplo
Para la serie armónica
Por lo tanto aplicando el teorema teorema anterior la serie diverge. Ejemplo Por el teorema anterior deducimos también que la serie
Converge.
CRITERIO DE COMPARACIÓN DIRECTA
son series contérminos positivos y para todo n. converge, entonces converge. diverge, entonces diverge.
Suponga que 1. Si 2. Si Ejemplo:
Analizar la convergencia o divergencia de la serie
Ejemplo:
Usar el criterio de comparación comparación directa para analizar la serie
CRITERIO DE COMPARACIÓN EN EL LÍMITE
Supongamos que
Donde L es filito y positivo. Entonces, las dos series divergentes.
son ambas convergentes o ambas
Ejemplo: Probar que la serie armónica siguiente es divergente.
Solución Comparando con
Tenemos que
Como este límite es mayor que 0, concluimos del criterio de comparación en el límite que la serie dada es divergente. Ejemplo Usando el criterio de comparación en el límite analizar si es convergente o divergente la serie
Ejemplo: Usar el criterio de comparación en el límite para analizar si es convergente la serie
SERIES ALTERNADAS La mayor parte de los resultados estudiados hasta el momento sólo se aplican a series de términos positivos. Consideraremos ahora series que contienen términos positivos y términos negativos. Las más sencillas son las series alternadas, cuyos términos alternan en signo. Así, la serie geométrica
Es una serie geométrica alternada, con CRITERIO DE SERIES ALTERNADAS Si
las series alternadas
Convergen, supuesto que que se verifique estas dos condiciones: condiciones: 1) 2) 3)
Ejemplo: Usando el criterio de series alternadas estudiar la convergencia de la serie
Solución
Para aplicar el criterio de las series alternadas hagamos notar que, si
Lo cual implica que
Por tanto,
para toda n. Además, por la regla regla de L´Hopital,
En consecuencia la serie converge, según el criterio de las series alternadas.
Ejemplo: Usando el criterio de las series alternadas estudiar la convergencia de las siguientes series
CONVERGENCIA ABSOLUTA Si la serie
converge, la serie también converge.
Nota: El inverso del teorema no es cierto. Por ejemplo, la serie arm´nica alternada
Converge, por el criterio de series alternadas. Sin embargo, la serie armónica diverge. Llamamos convergencia condicional a este tipo de convergencia.
DEFINICIÓN DE CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL 1.
es absolutamente convergente si
Converge. 2.
es condicionalmente convergente si converge, pero diverge.
Ejemplos: Determinar si convergen las series y, en caso afirmativo, si lo hacen absoluta o condicionalmente.
TEOREMA: PRUEBA DE LA RAZÓN
una serie con términos no nulos. Sea
Ejemplo Aplicar el criterio del cociente a
Ejemplo Analizar si las siguientes series son convergentes o divergentes.
TEOREMA: CRITERIO DE LA RAIZ
Ejemplo Analizar si es convergente la serie
Ejemplo Determinar la convergencia o divergencia de
