SERIES INFINITAS SUCESIONES INFINITAS Una sucesión infinita arbitraria normalmente se denota por Y se puede considerar como una colección de números reales para los que hay una correspondencia univoca con los enteros positivos. Cada número número real es un término de de la sucesión. La sucesión sucesión esta ordenada ya que hay un primer termino a, un segundo segundo y para todo entero entero positivo positivo n, un n-esimo n-esimo termino .
DEFINICION: Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos.
Se utiliza la notación
o simplemente
sus términos son
Limite de una Sucesión: Se dice que la sucesión escribe
converge al numero real L o que tiene el limite L y se
Si el límite no existe o es infinito, se dice
que Diverge.
Para Calcular el limite de una sucesión, se utiliza el siguiente teorema.
TEOREMA: Sea una sucesi sucesión ón infini infinita ta y sea f(n)= f(n)= numero real
i) Si ii) Si
Ejemplo 1:
donde donde , donde donde f(x) existe para todo
Sea Determinar si
converge o diverge
Definimos
y se considera
Para todo numero real
Entonces Entonces, por el teorema anterior
Es decir, la sucesión
converge a 1
SERIES INFINITAS CONVERGENTES O DIVERGENTES DEFINICION: Sea
una sucesión infinita la expresión
Se denomina serie infinita o simplemente, serie. En la notación de una serie, se emplea el símbolo de sumatoria
Cada número
es un término de la serie y
es el n-esimo término
DEFINICION: i) la k-esima suma parcial
de la serie infinita
es:
ii) La sucesión de sumas parciales asociadas a la serie infinita
De esta definición, tenemos que:
Para calcular
hay que añadir cada vez mas términos a la serie asi,
suma de los primeros 1000 términos de
si la sucesión
es la
tiene un limite s se
denomina suma de la serie infinita
DEFINICION: Una serie infinita
es convergente (o converge) si su sucesión de sumas parciales
converge es decir
para un numero real s.
El limite s si se llama suma de la serie
La serie es divergente (o diverge) si no tiene suma.
y se escribe:
diverge una serie infinita divergente
Algunas series infinitas aparecen frecuentemente en la solución de problemas aplicados. Uno de los más importantes es la serie geométrica.
Donde a y r son números reales con es convergente y su suma es Y diverge si
, r se denomina la razón, la serie geométrica
Ejemplo 2:
La serie infinita:
Es una serie geométrica cuyo primer término es a=2 y cuya razón es
dado que
la serie converge. Otra serie es la que se denomina Serie p o Hiperarmonica de términos positivos y tiene la forma
Esta serie converge si Cuando p=1 se obtiene la serie armónica
La cual Diverge.
Ejemplo 3: La serie infinita
converge porque es la serie p con p=2>1
La serie infinita
diverge porque es la serie p con
TEOREMA: Si un serie infinita
es convergente entonces se cumple que
Este teorema afirma que para todas las series convergentes, el límite del n-esimo término tiende a cero cuando n tiende a infinito. El reciproco del teorema no es cierto, es decir, que si convergente.
no necesariamente es cierto que
La serie armónica es un ejemplo de serie divergente
para la cual
sea
por lo
tanto para concluir que una serie infinita converge, no basta demostrar porque esto puede se cierto tanto para series convergentes como divergentes.
Criterio del n-esimo termino para la divergencia si infinita
,
, entonces la serie
es divergente.
Ejemplo 4:
La serie
diverge ya que:
El criterio no es concluyente, es decir la serie puede ser convergente o divergente.
SERIES DE TERMINOS POSITIVOS Es difícil determinar si una serie infinita de sumas parciales
converge o diverge usando la sucesión
porque en la mayoría de los casos es imposible encontrar una
formula sencilla para . Sin embargo se puede pueden desarrollar criterios de convergencia o divergencia divergencia basados en un análisis análisis del del n-esimo n-esimo termino termino estos criterios se aplican solo para determinar si la serie converge o diverge, no para calcular la suma. Los criterios a desarrollar a continuación se aplican a serie de términos positivos, es decir, series en las que > 0 para toda toda n.
CRITERIOS DE LA INTEGRAL Si una función f es continua y decreciente y toma valores positivos en la serie infinita
, entonces
i) converge si la integral impropia ii) Diverge si la integral
es convergente.
es divergente.
Ejemplo 5: Determinar si la serie converge o diverge si definimos la función cual es continua y positiva para valores de
la
Para investigar si f es decreciente, se usa el criterio de la primera derivada que establece que si
para todo x en [a,b], entonces f(x) es decreciente en [a,b]
Calculando decreciente en
(para
). Por lo tanto, f(x) es
.
f Cumple las 3 condiciones del criterio de la integral, por lo tanto aplicando este criterio:
La integral impropia Converge, por lo tanto la Serie Converge
CRITERIOS DE COMPARACION DIRECTA Sea
y
dos series de términos positivos.
i) si
converge y
ii) Si
diverge y
para todo entero positivo n, entonces para todo entero positivo n, entonces
converge. diverge.
Ejemplo 6: Determinar si la serie converge o diverge
Para todo
sea
Entonces
y es una serie geométrica convergente de razón
, de acuerdo con la parte i) del criterio de comparación, la serie Converge.
Ejemplo 7: Determinar si la serie converge o diverge,
Sea
es una serie p para del criterio de comparación la serie
Nota: Si la serie entonces
por lo tanto diverge; de acuerdo con la parte ii)
Diverge.
converge (o diverge) y k es un numero real diferente de cero, converge (o diverge)
CRITERIO DE COMPARACION POR LÍMITE
Si
y
son dos series de términos positivos y
Entonces las dos series convergen o las dos divergen.
Ejemplo 8: Determinar si la serie converge o diverge.
la forma del n-esimo termino serie p diverge
No se puede usar
sugiere comparar con
que es la
, entonces:
en el criterio de comparación directa porque
en vez de
, sin embargo, aplicando el criterio de comparación por limite.
Y como
diverge, también
Diverge.
Ejemplo 9: Determinar si la serie converge o diverge
Cuando se busca una serie
adecuada para compararla con
, donde
es un
cociente de dos expresiones conviene despreciar todos los términos del numerador y del denominador excepto los que tiene mayor peso para n grande.
Como los términos de mayor peso son
en el numerador y
en el numerador y
en el denominador se toma
Aplicando el criterio de comparación por límite
como
es una serie geométrica converge (con a=3 y
) entonces:
Converge CRITERIO DE LA RAZÓN Y DE LA RAIZ Para aplicar criterios de la integral a una serie de términos positivos
donde
los términos deben decrecer y se debe poder integrar f(x) esto casi siempre excluye a las series de factoriales u otras expresiones complicadas a continuación se presentan dos criterios que se pueden emplear para determinar convergencia o divergencia cuando no es posible aplicar otros criterios.
Criterio de la Razón
Sea
una serie de términos positivos tal que
i) Si L < 1, la serie es convergente ii) Si L > 1 o bien, la serie es divergente. iii) Si L = 1 hay que aplicar otro criterio, la serie puede ser convergente o divergente. Ejemplo 10: Determinar si la serie es convergente o divergente.
Aplicando criterios de la razón
Como L = 0 < 1, la serie es Convergente
Ejemplo 11: Determinar si la serie es convergente o divergente.
Como L = 3 > 1, la serie Diverge.
El siguiente criterio es útil cuando tiene solo potencias de n.
Criterio de la Raíz Sea
una serie de términos positivos tal que
i) Si L < 1, la serie es convergente. ii) Si L > 1 o bien, la serie es divergente. iii) Si L = 1, hay que aplicar otro criterio, la serie puede ser convergente o divergente. Ejemplo 12: Determinar la convergencia o divergencia de
Aplicando el criterio de la raíz
Como L = 0 < 1 la serie Converge.
EJERCICIOS PROPUESTOS Utilice el criterio de la integral para verificar la convergencia o divergencia de la serie dada.
