UNIDAD I. CONECTIVOS LÓGICOS Y TEORÍA DE CONJUNTOS TRABAJO COLABORATIVO
JHOANATAN ALEXANDER ANTURY DUVAN FERNANDO CLAVIJO JOCER STIVEN SANCHEZ OSCAR FARID GOMEZ CERON Grupo: 90004_150
TUTOR: JUAN MANUEL CORTES
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – “UNAD” LOGICA MATEMATICA 2017
INTRODUCCIÓN
Con el desarrollo del presente trabajo estudiaremos la Teoría entre conjuntos y Principios de Lógica, donde nos formaremos en la comprensión de las definiciones de la lógica formal; uso de conectores lógicos y las leyes de las proposiciones, las cuales nos darán las bases para formalizar nuestros conocimientos; todas estas herramientas nos ayudaran a desempeñarnos en nuestro campo profesional.
OBJETIVOS
Desarrollar las temáticas de proposiciones, tablas de verdad, conjuntos y sus operaciones
Específicos
Utilizar estrategias basadas en problemas Interactuar con los diferentes compañeros Adquirir herramientas útiles para nuestra vida profesional
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
Aportes de OSCAR FARID GOMEZ TAREA 1 PUNTO A p: la UNAD es una universidad. q: Las materias de la UNAD se cursan de manera virtual. ¬ (p Λ q) ↔ (¬p V q) SOLUCION DE LA ACTIVIDAD: p: la UNAD es una universidad.: V q: Las materias de la UNAD se cursan de manera virtual. V No es verdad que la UNAD es una universidad y las materias de la UNAD se cursan de manera virtual entonces la UNAD no es una universidad o las materias de la UNAD se cursan de manera virtual. ¬ (p Λ q) ↔ (¬p V q) ¬ (V Λ V) ↔ (¬V V V) ¬ V ↔V F
p
q
¬(p Λ q) ↔ (¬p V q)
T T F F
T F T F
F F T T
TAREA 2 PUNTO B Si no es cierto que la luna no tiene atmosfera y tiene vida, entonces la luna no tiene atmosfera o no tiene vida.
SOLUCION DE LA ACTIVIDAD: Si no es cierto que la luna no tiene atmosfera y tiene vida, entonces la luna no tiene ¬p y q entonces p Atmosfera o no tiene vida. ¬q ¬ q: la luna no tiene atmosfera q: tiene vida (¬ q: no tiene vida ¬ ( p Λ q) → (¬ p ∨ (¬ q)) p v v f f
q v f v f
¬p f f v v
¬q f v f v
Es una tautología p
q
¬( pΛq) → ( ¬ p V ( ¬ q))
T T F F
T F T F
T T T T
expression is a t au t o l o g y
¬( p Λ q) f f f v
(¬ p ∨ (¬ q)) v v v v
¬( p Λ q) → (¬ p ∨ (¬ q)) v v v v
TAREA 3 PUNTO A A partir del ejemplo anterior representar cada una de las siguientes situaciones en un diagrama de Venn y con las operaciones entre conjuntos, desde la siguiente situación: Los estudiantes que realizaron los tres problemas (problema de conjuntos, problema de tablas de verdad, problema de la validez de un razonamiento) Consideremos eventos que se pueden representar por medio de un conjunto: 𝑈={𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝐿𝑜𝑔𝑖𝑐𝑎 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 } 𝐶 = { 𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠} 𝑇={ 𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑} 𝑉 ={ 𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜} SOLUCION DE LA ACTIVIDAD: Los estudiantes que realizaron los tres problemas (problema de conjuntos, problema de tablas de verdad, problema de la validez de un razonamiento)
𝑈= {𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝐿𝑜𝑔𝑖𝑐𝑎 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖 } 𝐶 = {𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠} 𝑇= {𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑} 𝑉 = {𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜}
V ∩ (C ∩ T)
TAREA 4 PUNTO B Se realizó una encuesta a 100 estudiantes que estudian ingenierías en la UNAD, se les pregunto qué curso preferían; la encuesta arrojo los siguientes resultados: A 45 de ellos les gusta el curso de Algebra, a 40 les gusta el curso de Cálculo Diferencial, a 48 les gusta el curso de Física; a 15 les gusta el curso de Algebra y el curso de Cálculo Diferencial, a 13 el de Algebra y Física, a 10 el de Cálculo Diferencial y el de Física, a 5 les gusta los tres cursos. ¿Cuántos estudiantes prefieren solo el curso de cálculo diferencial? ¿A cuántos estudiantes solo prefieren el curso de Física? ¿Cuántos estudiantes prefieren únicamente los cursos de Algebra y Física? ¿Cuántos estudiantes prefieren solamente los cursos de Cálculo Diferencial y Física?
SOLUCION DE LA ACTIVIDAD: Algebra = {45} Calculo = {40} Física = {48} Algebra y calculo = {15} Algebra y física = {13} Calculo y física = {10} Los tres = {5}
¿Cuántos estudiantes prefieren solo el curso de cálculo diferencial? RESPUESTA: los estudiantes que prefieren solo el curso de cálculo diferencial son 20 estudiantes. ¿A cuántos estudiantes solo prefieren el curso de Física? RESPUESTA: los estudiantes que prefiere solo el curso de Física son 30 estudiantes.
¿Cuántos estudiantes prefieren únicamente los cursos de Algebra y Física? RESPUESTA: los estudiantes que prefiere los cursos de algebra y física son 8 estudiantes. ¿Cuántos estudiantes prefieren solamente los cursos de Cálculo Diferencial y Física? RESPUESTA: los estudiantes que prefieren los cursos Cálculo Diferencial y Física son 5 estudiantes.
JOCER STIVEN SANCHEZ B. 𝑝: 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑈𝑁𝐴𝐷 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜. 𝑞: 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠. [(𝒑 → 𝒒) ∧ ¬𝒒] → ¬𝒑 𝑝: 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑈𝑁𝐴𝐷 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜. (v) 𝑞: 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠. (v)
Los estudiantes de la UNAD estudian los contenidos del entorno de conocimiento entonces los estudiantes aprenden a desarrollar los ejercicios y los estudiantes de la UNAD que no estudian los contenidos del entorno de conocimiento entonces no aprender a desarrollar los ejercicios. [(𝒑 → 𝒒) ∧ ¬𝒒] → ¬𝒑 (V →V) ∧ (V→V) V∧V V [(𝒑 → 𝒒) ∧ ¬𝒒] → ¬𝒑 (p → q) ∧(¬𝒒 → ¬𝒑) p
Q
p&q
V
V
V
v
F
F
F
V
F
F
F
f
TAREA 3 PUNTO D A partir del ejemplo anterior representar cada una de las siguientes situaciones en un diagrama de Venn y con las operaciones entre conjuntos, desde la siguiente situación: Consideremos eventos que se pueden representar por medio de un conjunto: 𝑈 = {𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝐿𝑜𝑔𝑖𝑐𝑎 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎} 𝐶 = {𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠} 𝑇 = {𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑} 𝑉 = {𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜} Estos conjuntos se representan en un diagrama: a. Los estudiantes que solo resolvieron la tabla de verdad y la validez de un razonamiento
(V U T) U C = {estudiantes que solo resolvieron la tabla de verdad y la validez de un razonamiento}
Tarea 4: Aplicación de la Teoría de Conjuntos De las siguientes situaciones representarlas en un diagrama de Venn y solucionar los interrogantes planteados (Solo selecciona uno de los 5 ejercicios e informa en el foro cual escogió, para que no sea escogido por otro integrante) a. Una firma planea un proyecto de construcción de 140 viviendas teniendo en cuenta las especificaciones requeridas por cada cliente, por lo que se han determinado las siguientes cantidades de casas a construir: 55 casas con sótano,
82 casas resultan de la unión del conjunto de casas con sótano con el de casas con terraza, las casas con terraza y jardín son 21, las casas con terraza son 40 y 23 son las casas que no requieren ninguna especificación de las mencionadas. Para terminar la planeación, los ingenieros deben determinar las siguientes cantidades: R casa a construir A casas con sótano B casas con terraza C casas con jardín D casas con jardín y terrazas E casas con sótano y terrazas
R
23 ninguna especificación E
A
23
A
B A
D 4
C
A
3 52
30
6
15
7
R= A(A∩E)+B(B∩E)+B(B∩D)+C(C∩D)
DUVAN FERNANDO CLAVIJO
TAREA 1 p: Una semana dura 9 días. F q: El curso de Lógica Matemática tiene 5 actividades. F r: Euclides escribió el tratado matemático y geométrico Los Elementos. V
[(p→q)∧(q→r)]↔(p→r) F
F
F
V
V V
F
V
V
V V
Si una semana dura 9 días entonces el curso de lógica matemática tiene 5 actividades y si el curso de lógica matemática tiene 5 actividades entonces Euclides escribió el tratado matemático y geométrico los elementos si y solo si una semana dura 9 días entonces Euclides escribió el tratado matemático y geométrico los elementos.
TAREA 2 Si Carlos no trabaja en el día y se dedica al estudio en la noche, se matricula en la universidad.
Si Carlos no trabaja en el día y se dedica al estudio en la noche, se matricula en la universidad ¬p q r y entonces ¬p
Λ
q (¬ p Λ q) →
P: Carlos no trabaja en el día ¬ p
→ r
r
Q: Carlos se dedica al estudio en la noche q R: Carlos si se matricula en la universidad r
(¬ p Λ q) → r p q v v v v f f f f
v v f f v v f f
r
¬p
(¬ p Λ q)
(¬ p Λ q) → r
v f v f v f v f
f f f f v v v v
f f f f v v f f
v v v v v f v v
TAREA 3
U-estudiantes que no hicieron nada C-Estudiantes que desarrollaron el problema de conjuntos T-Estudiantes que desarrollaron el problema tablas de verdad V-Estudiantes que realizaron el problema valides de un razonamiento Estudiantes de lógica matemática: 5 Estudiantes que desarrollaron el problema de conjuntos: 4 Estudiantes que desarrollaron el problema tablas de verdad: 4 Estudiantes que desarrollaron el problema Conjuntos y tablas de verdad: 2 Estudiantes que desarrollaron el problema valides de un razonamiento: 2
Estudiantes que realizaron los tres problemas: 1
E. estudiantes que no realizaron nada U C
T 3
1
2
1
1
1 V
U-C-T-V = {x ∉ C,/ x ∉ T, Λ, x ∉ V }
e. De 180 maestros de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD 135 tienen doctorado, 146 son investigadores de tiempo completo. De los doctores 114 son investigadores de tiempo completo. Indicar cuántos de estos maestros: U-Maestros que no tienen su Doctorado ni se dedican a investigar de tiempo completo C- maestros que tienen doctorado T- maestros que trabajan tiempo completo U C
T
21
114
32
13
Tienen su Doctorado o se dedican a investigar de tiempo completo: es un total de 167 maestros. C ∪ T = {21, 114, 32}
No tienen su Doctorado ni se dedican a investigar de tiempo completo: es un total de 13 maestros. U = {13} A`, B`={x ∉ A / x ∉ B, Λ, x ∉ A ∪ B}
JHOANATAN ALEXANDER ANTURY
SOLUCION del ejercicio c.
p. Tres colombianos han ganado el premio nobel
(F)
q. Gabriel García Márquez gano un nobel de paz
(F)
(¬𝒑) → (¬ 𝒒)
Tres colombianos no han ganado el premio nobel y Gabriel García Márquez no gano un nobel de paz (¬𝒑) → (¬ 𝒒)
V
V V
TAREA 2 Si estamos en el año 2017 o faltan dos años para el mundial y no faltan dos años para el mundial de fútbol, entonces estamos en el año 2017 𝒑 = Si estamos en el año 2017
(V)
𝒒 = faltan 2 años para el mundial
(F)
¬𝒒 = no faltan 2 años para el mundial (V) (𝒑 ∧ ¬𝒒) V
V V
Estamos en el año 2017 y no faltan 2 años para el mundial
SOLUCION TAREA 3 C. demostración grafica con conjuntos A. Estudiantes que hicieron el problema de conjuntos
5
B. Estudiantes que hicieron el problema de tablas de verdad
5
C. Estudiantes que hicieron el problema de la validez de un razonamiento
5
P. Estudiantes que no hicieron ningún ejercicio
5
Los estudiantes que solo hicieron los problemas de validez de un razonamiento
A
B 2
3 2 1
5
2
C
C – A− B = {x, tales que x ∈ C y x ∉ A y x ∉ B} Tarea 4
Se realizó en una empresa de telecomunicaciones una verificación del estado de un lote de 130 equipos celulares que presentaban fallas técnicas, encontrando los siguiente: A equipos con defecto en la pantalla, B equipos con defectos en el pin de carga, Se observó que los equipos con mal funcionamiento de pantalla y pin de carga, son el doble de los que sólo tienen pantalla dañada; mientras que los que sólo tienen defecto en pin de carga son 70 equipos.
A. Equipos con defecto en la pantalla B. Equipos con defectos en el pin de carga
𝑋 + 2𝑋 + 70 = 130 𝑋 + 2𝑋 = 130 − 70 3𝑋 = 60
60 3 𝑋 = 20
𝑋 =
20 + 2(20) + 70 = 130 20 + 40 + 70 = 130
A
B
20
40
70
CONCLUSIONES
Desarrollamos las temáticas de proposiciones, tablas de verdad, conjuntos y sus operaciones
Utilizamos estrategias basadas en problemas
Interactuamos con los diferentes compañeros
Adquirimos herramientas útiles para nuestra vida profesional
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Villalpando, B. J. F. (2000). Matemáticas discretas: aplicaciones y ejercicios. : Larousse - Grupo Editorial Patria. Páginas 19 - 29. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/6551
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Gonzáles, T. L., & Saavedra, M. (2009). Aciertos matemáticos 11: serie para la educación media. Bogotá, CO: Educar Editores S.A. Páginas 20 -24 Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/6550
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Héctor Fabio Amaya Díaz. [hector fabio amaya diaz]. (2016, Abril 10). [Tablas de verdad colaborativo 2]. Recuperado de:http://hdl.handle.net/10596/6547
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Manuel Enrique Wagner Mendivelso. [Manuel wagner]. (2016, marzo 9). [Lógica conjuntos 1]. Recuperado: http://hdl.handle.net/10596/6558
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