Matemáticas
MATEMÁTICAS
“No me gusta estudiar. De hecho, me carga. Me gusta aprender. Aprender es bello”.
INTRODUCCION
MATEMÁTICAS
INTRODUCCION › Poseemos mentalidad lógica o no › Como llegar a ser mas lógicos Lógica aristotelica lógica base Lógica
Lógica Simbolica. Lenguaje Formal
MATEMÁTICAS
› Un reo está encerrado en una celda con dos puertas: una conduce a la libertad, la otra a la muerte. Cada una de ellas está custodiada por un guardián. El reo sabe que uno de los guardianes siempre dice la verdad, y que el otro siempre miente. Pero no sabe quién es quién. Para elegir la puerta por la que pasará, sólo puede hacer una pregunta a uno solo de los guardianes. ¿Cuál es esa pregunta, y a quién debe hacérsela? › A un palto subí, donde paltas había, paltas no comí ni paltas deje ¿Cuántas paltas dejé en el palto?.
› Daniel y su amigo Andres se han apostado una cena, y la ganará el que consiga dejar cuatro cuadrados perfectos eliminando sólo dos x. ¿Se atreve Ud. a apostar también?... (respuesta creativa)
Lógica y Conjuntos › La lógica es un método de razonamiento que no acepta conclusiones erróneas.
– Esto se puede lograr definiendo en forma estricta cada uno de los conceptos. – Todo debe definirse de tal forma que no dé lugar a dudas o imprecisiones en la veracidad de su significado. Nada puede darse por supuesto
Lógicas del Pensamiento
Lógica y Conjuntos – Estructuras Semánticas
› Oracíon “una palabra o grupo de palabras que declara, pregunta, ordena, solicita o exclama algo; unidad convencional del habla o escritura coherente, que normalmente contiene un sujeto y un predicado, que empieza con letra mayúscula y termina con un punto”. › lógica simbólica una oración tiene un significado mucho más específico y se llama proposición.
Lógica y Conjuntos › Una proposición es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o sólo es falsa. – oraciones que no son falsas ni verdaderas, las que son falsas y verdaderas al mismo tiempo, o las que demuestran algún tipo de imprecisión carecen desentido , no son objeto de estudio de la lógica.
)
• Hola, ¿cómo estás? • ¡Apúrate! • La conceptualización cambia lo absurdo en azul. • x + 5= 9. • ¡Mañana se acabará el mundo!
(
• 5 es un número primo. • - 17 + 38 = 21. • Todos los números enteros son positivos. • Vicente Rocafuerte fue Presidente del Ecuador.
Lógica y Conjuntos › Cuando deseamos establecer una verdad › Cuando queremos convencer a alguien de que nuestra posición o nuestras ideas son las correctas, recurrimos a un razonamiento o presentamos evidencia que respalda nuestras opiniones.
Lógica y Conjuntos › Un argumento es un conjunto de una o mas oraciones. La última de ellas se denomina conclusión, las anteriores se llaman premisas. › Verdadero se lo asocia con: 1, V, T, True; mientras que falso se lo asocia con: 0, F, False. › Verdad y falsedad pueden considerarse simplemente como los valores lógicos
Lógica y Conjuntos
Lógica y Conjuntos
Tablas de Verdad › Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición. › Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas.
Tablas de Verdad › La cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresión lógica.
Recordemos › Proposición(oración):
– Es un enunciado que puede ser Verdadero o Falso
› Proposicion Atomica o Simple – Forma mas simple, – Siempre afirmativas
› Proposicion Molecular o compuesta
– Varias Proposiciones simples – Enlazadas por medio de conectores (palabras o expresiones)
"Enseñar no es llenar un cántaro sino encender un fuego". William Yeats
Recordemos › Que es proposición?
– Es un enunciado que puede ser Verdadero o Falso – Cualquier afirmación que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez
› Identifique, son proposiciones? • • • •
Gabriel García Márquez escribió Cien años de soledad. ¿Te vas? 6 es un número primo. 1 es un número entero, pero 2 no lo es.
Si No Si Si
• • • •
x+y> 5 No Compra cinco azules y No cuatro rojas. x=2 No 3+2=6 Si
Recordemos › Desde el punto de vista lógico carece de importancia cual sea el contenido material de los enunciados, solamente interesa su valor de verdad.
Valor de Verdad › Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad.
Notación › Las proposiciones se notan con letras minúsculas: p,q,r….
› Existen simples y compuestas – Mínima Expresión, Afirmativas – Compuestas combinación de varias simples
Recordemos Son proposiciones y cual es su valor de verdad? › p: Existe Premio Nobel de informática. › q: La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida. › r: Teclee Escape para salir de la aplicación. › s: Cinco más siete es grande.
“El es inteligente o estudia todos los días”
Conectores › Negacion › Conjuncion › Disyuncion
› Condicional
Negación › Si p es una proposición, entonces “no p” es la negación de p y se denota por: ~p Ejemplo: p: Hoy es martes ~ p: Hoy no es martes
› ¿Qué sucede con la negación de p, siendo p verdadero? › ¿Qué sucede con la negación de p, siendo p falso?
Negación › Esto lo podemos escribir de una manera “compacta”, utilizando una tabla › A esta tabla se le llama “tabla de certeza de la negación”
Posibilidades para la proposición p
p
~p
V
F
F
V
Negación Como sinónimos de no, se utilizan las siguientes expresiones: › No es cierto que …….. › No es el caso que……… › Es falso que………… › No sucede que…………….
LA NEGACIÓN.Es un tipo de proposición compuesta símbolo es “” ó ¬ , y se llama negador.
Nota: Cuando se niega una proposición compuesta, se niega al operador de mayor jerarquía en dicha proposición. Ejemplo: No es cierto que Pablo fue al banco y retiró el dinero q r Simbología: ( q r ) Ejemplo: “Todo número elevado al cuadrado es positivo”
p Negación: “No todo número elevado al cuadrado es positivo”
p
Conjunción › Si p y q son proposiciones, se llama conjunción de p y q a la proposición compuesta “p y q “ y se denota por: pq
› Ejemplos: p: Hoy es martes q: La luna es cuadrada r: mañana es miércoles p q :Hoy es martes y la luna es cuadrada p r :Hoy es martes y mañana es miércoles
Conjunción › Para construir la tabla de p q, debemos considerar las diferentes alternativas de valores de verdad para p y para q: › ¿Cuáles son ? – Ambas verdaderas – una V y la otra F – ambas falsas
pq
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Conjunción SE TOMAN COMO “SINÓNIMOS” DE LA CONJUNCIÓN:
› Además
› También
› Pero
› Aún
› Sin embargo
› A la vez
› Aunque
› No obstante
Conjunción: p ^ q › › › › › › › › ›
Miguel estudia ,además de trabajar Miguel estudió pero no aprobó Miguel canta, sin embargo no baila Miguel jugó futbol aunque estaba lesionado Miguel juega futbol , también José Miguel salió, aún no llega Miguel cocina a la vez que canta Miguel viajará no obstante esté sin visa Miguel canta , no baila.
LA CONJUNCIÓN Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ y “, cuyo símbolo es “” y se llama conjuntor. Ejemplo: “Jorge viajó a Madrid y Luis viajó a Quito” p p : Jorge viajó a Madrid q : Luis viajó a Quito
q Simbología: “p q”
Conjunción: p ^ q No siempre “y” denota una conjunción……… Ejemplo: › Jenny y Sandra son hermanas
Esta es una proposición (simple), en donde el “y” permite establecer la relación entre los sujetos.
Disyunción › Si p y q son proposiciones, se llama disyunción de p y q a la proposición compuesta “p o q” y se denota por: p q
p
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Disyunción
› Seré chef o doctor
p
q
pq
› p: Seré chef
V
V
V
› q: Seré doctor
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Simbolización:
p q
LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA Enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “O…..o……. “, cuyo símbolo es “” y se llama disyuntor fuerte. Ejemplo: “O Ricardo radica en Cuenca p p : Ricardo radica en Cuenca q : Ricardo radica en Machala
o en Machala” q
Simbología: “p q ”
DISYUNCIÓN FUERTEE
p
q
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
La disyunción fuerte es verdadera, sólo si ambas proposiciones tienen diferentes valores de verdad La disyunción fuerte es falsa, sólo si ambas proposiciones tienen idénticos valores de verdad
Condicional › Si p y q son › Ejemplos: proposiciones, se llama › Si no llueve (entonces) condicional de p y q a la iremos a la playa proposición compuesta “si p, entonces q” y se › Si me gano la lotería (entonces) me voy de denota por: viaje pq › Si no estudio (entonces) no aprobaré Lógica
Condicional › Veamos la tabla del condicional:
p
q
pq
pq
V
V
V
› Conviene pensar en una “promesa” ..... Si no llueve (entonces) iremos a la playa
V
F
F
F
V
V
F
F
V
“El aprendizaje y el propósito deben pedalear al mismo tiempo”.
Condicional › El condicional es falso, sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; es decir, cuando la “promesa” no se cumple.
p V V F F
q V F V F
pq V F V V
Condicional - Implicador Ejemplo: “Si 12 es un número par entonces es divisible entre 2” q p p : 12 es un número par ……………….… (antecedente) q : 12 es un número divisible entre 2 ……(consecuente) La suma de las cifras de 426 es múltiplo de 3, por consiguiente es divisible entre 3
(antecedente) p
(consecuente) q
426 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3
(consecuente) q
(antecedente) p Simbología: “p → q ”
Condicional › El condicional es muy importante en matemáticas, porque los Teoremas se expresan en forma condicional. › Un Teorema será un condicional verdadero con hipótesis verdadera
p V
q V
pq V
Condicional Algunas expresiones del lenguaje que indican la presencia de un condicional (p → q), son las siguientes: › p es condición suficiente para q › Si p, q
› q si p › Que p supone que q › Cuando p, q
› q es condición necesaria para p › En caso de que p entonces q › q sólo si p
Formas de expresar un condicional…….
› › › ›
Si es Cuencano, es Morlaco (p q) Es Morlaco, siempre que sea Cuencano Es Morlaco si es Cuencano Es suficiente que sea Cuencano para que sea Morlaco › Siempre y cuando sea Cuencano, será Morlaco. › Es necesario que sea Morlaco para ser Cuencano TODAS ESTAS EXPRESIONES SE SIMBOLIZAN COMO: p q
Partes de un condicional
p q antecedente Condición suficiente
consecuente Condición necesaria
Formas derivadas del condicional
› Dado el condicional directo: p q, el condicional ~ p ~q se llama contrario y lo expresaríamos: “ si no p, entonces no q”
› Directo: p q Si repruebo el examen, entonces me enojaré bastante › Contrario: ~ p ~q Si no repruebo el examen, entonces no me enojaré bastante
Formas derivadas del condicional
› Dado el condicional directo: p q, el condicional q p se llama recíproco y lo expresaríamos: “ si q, entonces p” › Directo: p q Si repruebo el examen, entonces me enojaré bastante › Recíproco: q p Si me enojo bastante , entonces reprobaré el examen
Formas derivadas del condicional
› Dado el condicional directo: p q, el condicional ~ q ~p se llama contrarrecíproco y lo expresaríamos: “ si no q, entonces no p” › Directo: p q Si repruebo el examen, entonces me enojaré bastante › Contrarrecíproco: ~ q ~p Si no me enojo bastante, entonces no repruebo el examen
Formas derivadas Directo
Recíproco
p
q
~p
~q
q
~q
Contrario
p
~p
Contrarrecíproco recíprocos contrarrecíprocos
contrarios
Condicional y Teoremas › En los Teoremas, al antecedente del condicional (p) se le llama Hipótesis y al consecuente (q) se le llama Tesis o Conclusión › Los Teoremas requieren de una demostración; es decir, partiendo de una hipótesis verdadera, hay que demostrar que la Conclusión es verdadera.
El Bicondicional Enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “…..…si y sólo si……….”, cuyo símbolo es “↔” llamado doble implicador.
Ejemplo: “Baltra es una isla si y sólo si está rodeada de agua” p p : Baltra es una isla q : Baltra está rodeada de agua
q Simbología: “p ↔ q ”
Bicondicional p
q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
El bicondicional es verdadero, sólo si ambas proposiciones poseen idénticos valores de verdad
El bicondicional es falso, sólo si ambas proposiciones poseen diferentes valores de verdad
Tablas de verdad › Recordemos que el valor de certeza de una proposición compuesta depende de los valores de certeza de las proposiciones simples que la componen › Para analizar los valores de certeza de una proposición compuesta, representamos todas las posibilidades de valores de verdad de las proposiciones simples, en un arreglo de tabla
Ejemplo con 2 proposiciones simples › Construyamos la tabla de verdad para la siguiente proposición :(pq)(p~q) › 4 filas de posibilidades
p V V F F
q V F V F
~q F V F V
pq V F F F
p~q F V V V
(pq)(p~q)
F F
F F
En resumen › Una tabla de verdad para proposiciones compuestas que contienen: › 1 proposición simple… tendrá 2 filas › 2 proposiciones simples › 3 proposiciones simples › 4 proposiciones simples
4 = 22 filas 8 = 23 filas 16= 24 filas
……razonando inductivamente…….. › n proposiciones simples
2n filas
Evaluación Tabla de Verdad ›
La característica tabular de una fórmula lógica es la columna de valores de verdad debajo del operador de mayor jerarquía. Esta columna puede presentar los siguientes casos:
1.
Cuando todos los valores de verdad son verdaderos, el esquema es una TAUTOLOGÍA.
2.
Cuando todos los valores de verdad son falsos, el esquema es una CONTRADICCIÓN.
3.
Cuando algunos valores de verdad son verdaderos y otros falsos el esquema es una CONTINGENCIA.
Ejemplo con 3 proposiciones simples Hacer la tabla de certeza para: (rp) ~(qp) p
q
r
rp
qp
~(qp)
(r p) ~(qp)
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
Ejemplo › Hallar las formas derivadas del siguiente condicional: › Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. ……………………………. ¿V o F? Falso (contraejemplo: 2) Recíproco: › Si un número es múltiplo de 4, entonces es par. ………………………….. ¿V o F? Verdadero!
Ejemplo › Directo: p q Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. Contrario: ~ p ~ q
› Si un número no es par, entonces no es múltiplo de 4 Verdadero!
Ejemplo › Directo: p q Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. Contrarrecíproco: ~ q ~ p
› Si un número no es múltiplo de 4, entonces no es par › Falso….. 2 no es múltiplo de cuatro y es par (antecedente verdadero, consecuente falso)
Ejercicios 1. Escribir las formas derivadas para: a) (r ~q) p. b) Si yo digo sí, ella dice no.
2. Construye una proposición verdadera que incluya un condicional, una conjunción, una disyunción y una negación (no necesariamente en ese orden), que conste de las componentes p, q y r con todas ellas falsas.
Ejercicios › – – – – –
Escribe el recíproco, el inverso y el contrarrecíproco de cada una de las proposiciones siguientes: Si q, entonces r ~ p (~ q ) ~p~ (r q ) El sol brilla si estás feliz. Si tu automóvil no tiene aire acondicionado, no tendrás amigos.
Siempre tener encuenta › Identificar proposiciones simples › Existen proposiciones que son verdaderas (falsas) simplemente por su forma logica y no por su contenido. › Niveles o prioridad de conectores
"Al estudiante que nunca se le pide que haga lo que no puede, nunca hace lo que puede." John Stuart Mill
Ejemplo Si llegas después de las ocho y media, entonces encontrarás la puerta cerrada y no podrás entrar al teatro.
Ejercicios › Usando Tablas demostrar 1. 2.
3.
Tabla Resumen Conector
Valor de verdad
Condición
V
Si ambos tienen igual valor de verdad.
V
Si tienen valores diferentes de verdad.
F
Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso
F
Si ambos son falsos
V
Si ambos son verdaderos
~
V
Si la proposición es falsa.
Proposiciones simbólicas
Tautología, contradicción y contingencia
Signos de puntuación, agrupación y orden de los operadores o conectivos lógicos
› Los signos de agrupación más conocidos tenemos: el paréntesis, corchete y llaves – ( ); [ ] ;
› Reemplazan a los signos gramaticales: punto (.), la coma (,), el punto y como (;), y los dos puntos (:). › Se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos con el fin de evitar la ambigüedad de las fórmulas:
Signos de puntuación, agrupación y orden de los operadores o conectivos lógicos
› Proposiciones con el mismo tipo de operador o conectivo lógico, se debe colocar los paréntesis de izquierda a derecha así: – p q r = (p q) r – p q r s = [(p q) r ] s – p q r s = [(p q) r] s
› Si no hay signos de puntuación ni paréntesis se debe considerar el siguiente orden de menor a mayor jerarquía de los operadores y de izquierda a derecha, para ubicar los paréntesis
, , , ,
Formas Proposicionales › Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por variables proposicionales y los operadores lógicos que las relacionan. › Su representacion letras mayusculas
Implicación › Se lo representa por el símbolo “”, no es un conectivo lógico, es un signo de relación › Un esquema A implica a otro esquema B, cuando al unirlos por la condicional nos da una tautología. Simbólicamente se lo representa así: A B. › Si la proposición compuesta A implica a la proposición compuesta B, entonces B se deduce necesariamente de A, o también se dice que B se infiere lógicamente de A.
Implicación › La implicación no es lo mismo que la condicional. Aunque en el lenguaje ordinario no suele tener importancia esta distinción, en su sentido lógico y científico las diferencias pueden tener un sentido importante. › Dos interpretaciones: Simboliza Condicional
Implicación
Se lee
Ejemplo
Si A entonces B
Si hoy es Lunes entonces mañana es Martes
A implica B
Hoy es Lunes, por tanto mañana es Martes
Implicación › La primera: forma lógica donde lo que queremos conocer es el valor de la condicional y para lo cual lo único que importa es el valor de verdad de A › La segunda buscamos el valor de B que depende del valor de A, de otra manera, la afirmación de B depende de la validez de A.
Implicación › Ejemplo: Demostrar que el esquema A implica a B – A: p q – B: p q
› Luego unimos con la condicional y construimos la tabla: – pq pq p
q
V V F F
V F V F
p
V F F F
q
V V V V
p
V V V F
q
Implicación › Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A implica lógicamente a B, denotado por A⇒B, si y sólo si A→B es una tautología.
Equivalencia Lógica › Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A es equivalente lógicamente a B, denotado por A⇔B, si y sólo si A↔B es una tautología. › Cuando se requiere sustituir una estructura por otra que sea equivalente, al símbolo ⇔ se lo reemplaza por Ξ
"El primer paso para lograr es estudiar"
Brian G.
Valores de Verdad Proposiciones Compuesta
› 1. Por medio de las tablas de verdad › Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una proposición compuesta y depende de las proposiciones simples y de los operadores que contengan. › 2.- Por medio del diagrama de árbol.› Es un procedimiento corto y fácil, se necesita conocer los valores de verdad de cada variable y aplicar las tablas de certeza lógica:
Segun su resultado › CONTINGENTES › Cuando en su resultado hay por lo menos una verdad y una falsedad Ejemplo: dado el siguiente esquema
› TAUTOLOGÍA › Es una proposición que siempre es verdadera, independientemente del valor lógico de las proposiciones simples que la componen.
› CONTRADICCIÓN › Es cuando en el resultado todos los valores de verdad son falsos o Un esquema A es una contradicción si “no A” ( A)
Ejemplos › Sabiendo que p es falsa, q es verdadera y r es verdadera. Cuál es el valor de verdad de la proposición q (p r).
Ejercicio de Practica Si se conoce que: (q r) p es FALSA Determinar el valor de verdad de:
(r p) (p r)
Ejemplos › Resolver por tabla de verdad y diagrama de árbol : › ( p q) ↔ (p r)
› Determinar – ( p q ) ( q r )] ( p r) – ( p q) ↔ ( q p)
Formulacion logica › Implicacion o inferencia Lógica › Se lo representa por el símbolo “, ”, no es un conectivo lógico, es un signo de relación
› Se dice que un proposocion A implica a otro esquema B, cuando al unirlos por la condicional nos da una tautología. › Nota: la relación de implicación no es recíproca.
Implicación Lógica › Que es argumento? › Que es proposición ? Premisa 1 :Si llego a tiempo entonces participo en el juego Premisa 2 : Llego a tiempo Conclusión: Participo en el juego podemos simbolizar como sigue: p1: p r p2: p r El símbolo se lee por tanto y se ubica antes de la conclusión.
Implicación Lógica › Analicemos si ((p r) p) r es una tautología con la tabla de certeza:
Implicación Lógica Sean p, q y r tres proposiciones simples dadas como sigue: p: Iván estudia q: Iván juega fútbol r: Iván aprueba el semestre Tomemos p1, p2 y p3 como premisas y q como conclusión: P1: Si Iván estudia, entonces aprobará el semestre P2: Si Iván no juega fútbol, entonces estudiará P3: Iván no aprobó el semestre Conclusión: Iván juega fútbol
"Mientras vivas, sigue aprendiendo a vivir." Séneca
› ¿Es válido el siguiente argumento?: › P1: Si usted invierte en bolsa, entonces se hará rico.
› P2: Si se hace usted rico, entonces será feliz. › ……………………. › Q: Si usted invierte en bolsa, entonces será feliz.
› Analizar el siguiente argumento: “Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro”. › Solución
› EQUIVALENCIAS LÓGICAS
– Dos proposiciones compuestas P y Q son equivalente, sí al unir las dos con la bicondicional nos da una tautología, es decir que P y Q tienen los mismos valores de verdad en su operador principal – Se lo representa por “” pero no es un operador lógico. – P Q ó P Q Se lee P es equivalente a Q ó Q es equivalente a P – A los proposiciones compuestos se los representa con las letras mayúsculas A, B, C,.. etc. ó con P, Q, R, etc.
Ejemplo › Determinar si es equivalente A : Si Pedro aprobó el curso preuniversitario, entonces ingresó a la UNL.
B: No es el caso que: Pedro apruebe el curso preuniversitario y no ingrese a la UNL › Determinar si es equivalente
P: q p ; Q: ( q p )
Propiedades de los operadores logicos › En lógica, las tautologías son conocidas con el nombre de leyes o principios lógicos. › Leyes de Idempotencia para ˄ y para ˅ › Si p es una proposición simple o compuesta, entonces: › a. (p ˅ p) p › b. (p ˅ p) p › las proporciones ( p ˄ p) o (p ˅ p) pueden sustituirse por p.
Leyes del cálculo proposicional ›
Las siguientes son las leyes de la lógica. Se caracterizan porque todas son tautologías: –
Ley del tercio excluido: ›
–
Ley de separación: ›
–
(pΛ(pq))q
Ley de simplificación: ›
–
p v ~p
(pΛq)p
Ley de la adición: ›
p(pVq)
Leyes del cálculo proposicional –
Ley de la disyunción por casos: ›
–
Ley de separación: ›
–
(pΛ(pq))q
Ley de simplificación: ›
–
(pq)
(pΛq)p
Ley de la adición: ›
p(pVq)
Algebra Propocicional › Investigar
›
› 5. DISTRIBUTIVAS
1.EQUIVALENCIA
› P∨ (Q∧R)⇔(P∧Q) ∧(P∨R) ,
› P⇔P ›
›
2. INDEPOTENCIA
› 6. IDENTIDAD
› P∧P ⇔P , P∨ P ⇔P
› P∨F⇔ P , P∧V⇔ P
› ›
› P∨V⇔V , P∧F ⇔ F 3. ASOCIATIVA
› (P∨Q) ∨R ⇔ P∨(Q ∨R ) , (P∧Q) ∧R ⇔ P∧(Q ∧R)
› 7.DOBLE NEGACIÓN › ¬¬P⇔P › 8.COMPLEMENTO
›
›
P∧(Q∨R)⇔ (P∧Q)∨(P∧R)
4.
CONMUTATIVA
› P∨Q⇔ Q∨P , P∧Q⇔ Q∧P
› P∨¬P⇔V , P∧¬P⇔F › ¬V⇔F
› 8. DE MORGAN ›
¬(P∨Q)⇔¬P∧¬Q
, ¬(P∧Q)⇔ ¬P∨¬Q
, ¬F⇔V
Ejercicios › Escribamos sin condicional las proposiciones siguientes: › ( p q) r
› p ( q r) › pq › Ejemplo: › Probemos que ( p q ) p q )] › Probemos que la proposición ( p q) p es una tautología.
Ejercicios › [ ( p q ) q ] ( p ) › [(p(qr)][(pq)r] › Simplificar las siguientes proposición utilizando leyes: › [t(mt) › (pq)(pq)]
› Determinar si es T, C, Co › (p q) ^ (q r) (p r) › [(p q) ^ (q r)] ^ ¬(p r)
› p ^ [(¬p) ^(¬q) ]
Ejercicios › 1. Vicente viajará al norte del país o se quedará en la capital. Por lo tanto, Si Vicente viaja al norte del país entonces no se quedará en la capital. › 2. Si Juan gana el concurso de poesía entonces obtendrá una beca. Juan ganó el concurso de poesía. Luego Juan obtendrá una beca.
Algebra Proposicional › Demostrar que nuestra proposición es una tautología con cualquier valor.
