LÓGICA MATEMÁTICA Trabajo grupal de calificación individual No.1
Tutor: JOSE MANUEL RUEDA VILLALBA
UNIVERSIDAD NACIONALABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS SOCIALES, ARTES Y HUMANIDADES – ECSAH PSICOLOGIA Marzode 2015
INTRODUCCION
Este trabajo se realizó con la responsabilidad de hacer un recuento de todo lo que se ha visto en el transcurso de nuestro diario vivir en el colegio escuela y ha hora en la universidad. Es para mí de gran satisfacción ya que la lógica matemática se utiliza todos los días. Volver a recordar estas operaciones tan sencillas como los conjuntos, unión, intersección, los conectivos, negación, tablas de verdad etc. Permitiendo así desarrollar diferentes actividades muy bien hechas. La lógica matemática es de gran importancia ya que habían cosas que realmente no sabía espero aprender mucho más en el transcurso de este modulo
Elaborar este trabajo trae consigo la posibilidad y responsabilidad de hacer planteamientos lógicos que me permiten como
estudiante retomar
conocimientos olvidados para destacarme en mejor posición ante una formación profesional, ya que en todo nuestro diario vivir hacemos uso de la lógica matemática. Recordar y reconocer operaciones tan sencillas como los conjuntos, unión, intersección,
complemento
bicondicional,
tablas
de
proposiciones
atómicas,
los
conectivos,
verdad
mediante
proposiciones
negación, ejercicios
moleculares
condicional, aplicativos,
permiten
como
estudiante un mejor desarrollo en las competencias y actividades a elaborar. El grado de dificultad es grande ya que esta clase como tal es nueva para mí, pero con esfuerzo espero haber adquirido el conocimiento que me permite cumplir con los requerimientos de la rubrica de trabajo.
En el presente trabajo, está generalizado por cuatro fases, lo cual son de mucha importancia ya que la teoría de conjuntos es la base fundamental para iniciar a complementar lainiciación del tema relacionado a la lógica
matemática. Sin comprender esta fase sería ilógico continuar con los temas relacionados. Por último los temas relacionados a las proposiciones y losrazonamientos, son procesos que nos indican a través de un enunciado en qué posición según la lógica está ubicado. Este trabajo nos sumerge en el mundo de la lógica matemática, algo de lo que a diario hacemosuso sin darnos cuenta, es interesante retomar los conceptos que nos ayudan a estructurar de una manera muy particular las proposiciones, la aplicación de los enunciados las tablas de verdad entreotros. Además presentamos ejemplos de la vida cotidiana, para que a través de la lógica matemática se pueda demostrar su validez, considerando que mediante el aprendizaje de la lógica matemática sefacilita aprender cualquier tema. Aprender el uso de dos diferentes simuladores de tablas de verdad, para comprobar las tablas resultantes.
El propósito de este trabajo tiene comoobjetivo demostrar los conocimientos aprendidos en la unidad 1 como son la teoría de conjuntos, su representación grafica por medio de diagramas de Venn y la solución de problemas con los mismos. Seplantearan y formularan expresiones del lenguaje simbólico y el lenguaje natural, haciendo un análisis en la aplicación de conectores lógicos que se dan para determinadas situaciones que seplantean en el trabajo a presentar. Elaborar tablas de verdad por medio del análisis de proposiciones lógicas para luego ser clasificadas como tautología, contradicción o contingente de acuerdo alresultado. OBJETIVO GENERAL El objetivo de la asignatura es proporcionar a nosotros los alumnos instrumentos que le permitan definir, expresar, describir y elaborar conceptos lógico matemáticos, de tal forma que
desarrolle su capacidad de poder representar problemas o fenómenos reales aplicados a la carrera y a su diario vivir. Los estudiantes con la ayuda de la “lógica matemática”, seremos capaces de relacionar los conocimientos (leyes, teoremas, fórmulas, etc.) que se proporcionan en las diferentes carreras universitarias, con los problemas que se le presentan en la vida real OBJETIVOS ESPECIFICOS • Formalizar enunciados del lenguaje natural o común, aplicar los operadores lógicos para la simbolización de nuevas proposiciones, aplicarlas tablas de verdad en la clasificación de esquemas moleculares y demostración
de
proposicionales
identidades
para
la
lógicas,
reducción
de
utilizar
las
principales
proposiciones
a
leyes
expresiones
equivalentes, representar gráficamente una proposición mediante circuitos lógicos, aplicar las reglas de inferencia en la demostración de la validez de argumentos. • Conocer los fundamentos básicos sobre la teoría de conjuntos y comprender la relación entre la lógica y los conjuntos. • Convertir números de un sistema de numeración a otro, realizar operaciones aritméticas en el sistema de numeración binario.
INTRODUCCIÓN Con la elaboración de este trabajo se pretende que el estudiante conozca de forma clara y detallada la teoría de los conjuntos, tema que es de mucha trascendencia en la adquisición de conocimientos por ser uno de los pilares de las matemática, algunas definiciones básicas y sus principales relaciones entre conjuntos; que es un conjunto, miembros del conjunto, diferentes
formas de diagramar en esquemas gráficos, las letras que los representa en mayúsculas para los conjuntos y minúsculas para sus miembros entre corchetes o llaves. OBJETIVO Conocer las diferentes formas de representar los conjuntos y durante el desarrollo del taller adquiera una lógica de conocimiento dinámico que le ayude en la adquisición de las diferentes formas de representar los conjuntos y conocer los diferentes símbolos usados en las operaciones con el tema.
TAREA 1 Aplicación de la teoría de conjuntos numéricos. “De acuerdo con una encuesta virtual realizada a cincuenta estudiantes de la UNAD, los amantes de la música de Juanes son 15; mientras que los que únicamente gustan de la música de Shakira son 20, ¿Cuántos son fanáticos de los dos artistas si 10 de los encuestados, entre los 25 que no son fanáticos de Shakira, afirman ser fanáticos de Juanes?” La solución de este problema debe contar con las siguientes etapas:
a) Describe la necesidad o problema a resolver: el problema a resolver el identificar cuantos encuestados son fanáticos de Juanes y Shakira; también mostraremos la afinidad musical que tienen los encuestados por uno de los dos artistas. b) Identifica los conjuntos presentes en el problema: Conjunto A: estudiantes que les gusta la música de Juanes Conjunto B: estudiantes que les gusta la música de Shakira Conjunto U: estudiantes que les gusta ambos artistas y/o ninguno
c) Elabora un diagrama de Venn
U A
B
10
5
20
15
d) Describe la solución del problema. Podemos identificar que de los 50 estudiantes, finalmente 10 de ellos gustan de la música únicamente de juanes, otros 5 les gustan de la música de Juanes como de Shakira, otros 20 gustan de la música solamente de Shakira y por ultimo solo 15 NO gustan de ninguno de los dos artistas.
Como realicé el proceso para solucionar el problema. 1. Identificar cada uno de los grupos; los que gustaban de la música de Juanes y Shakira. 2. Identificar cuantos de los estudiantes de la UNAD encuestados no les gusta ninguno de los dos artistas. 3. Determinar cuántos estudiantes que les gusta Juanes no les gusta Shakira y cuantos de los que están fuera del conjunto son fanáticos de Juanes.
e) Argumenta la validez de tu respuesta. Porque al representar la respuesta tanto de forma escrita como en el diagrama de Venn la respuesta da como resultado el total de los estudiantes encuestados de la UNAD, así como los que son fanáticos de Juanes, Shakira y los que no son fanáticos de ninguno de los dos artistas.
Tarea 2. Aplicación de la teoría de conjuntos: El problema a desarrollar en la tarea 2 es el siguiente: Considera el siguiente diagrama de Venn y contesta los diferentes literales:
Literales a resolver: a) Cuantos estudiantes Aristotélicos son Platónicos: 1 Silvia b) Cuales estudiantes de filosofía son Platónicos: 3 Diego, Marcela, Silvia c) Cuales estudiantes de filosofía son Aristotélicos: 2 Ana y Silvia d) Cuales estudiantes de filosofía no son Aristotélicos: 4 Diego y Marcela, Carlos y camilo e) Cuales estudiantes de filosofía no son Platónicos: 3 Ana, Carlos y camilo f) Cuales estudiantes son Platónicos ó Aristotélicos: Diego y Marcela (Platónicos) Ana (aristotélica) y silvia g) Cuales estudiantes son Platónicos y Aristotélicos: 3 Diego, Marcela y Ana h) Cuales estudiantes son Platónicos pero no son Aristotélicos: 2 Diego y Marcela i) Cuales estudiantes son Aristotélicos pero no son Platónicos: 1 Ana j) Cuales estudiantes no siguen ninguna corriente filosófica: 2 Carlos y Camilo k) Cuales estudiantes siguen al menos una corriente filosófica: 3 Diego, Marcela y Ana l) Cuales estudiantes siguen por lo menos una corriente filosófica: 4 Diego, Marcela, Silvia y Ana. m) Cuales estudiantes siguen dos corrientes filosóficas: 1 Silvia n) Cuales estudiantes siguen sólo una corriente filosófica: 3 Diego, Marcela y Ana o) Cuantos estudiantes siguen más de dos corrientes filosóficas: ninguno
Tarea 3. Proposiciones y tablas de verdad
El ejercicio consiste en transformar expresiones dadas en lenguaje natural al lenguaje simbólico, y posteriormente, construir la correspondiente tabla de verdad. Miremos el ejemplo propuesto por Alfredo De año (1974) de un fragmento de Kafka: “Ese lapso, corto quizá si se le mide por el calendario, es interminablemente largo cuando, como yo, se ha galopado a través de él” El análisis lógico de esta expresión es el siguiente: (p q) (r ~q) es decir, la expresión equivalente en la que se evidencian los conectivos lógicos es: “Si se le mide por el calendario, entonces ese lapso de tiempo es corto, y si se ha galopado, como yo, a través de él, entonces es irremediablemente largo.” Ejercicios a resolver: a) Bien pensado, no hay por qué ser bien pensante. b) En caso de que sople el viento, podremos navegar a vela. c) Si alguien escribe como Borges, entonces puede disculpársele todo. d) “La vida es larga si es plena; y se hace plena cuando el alma ha recuperado la posesión de su bien propio y ha transferido a sí el dominio de sí misma” (Séneca). La solución de esta tarea debe contar con las siguientes etapas: a) Expresión en lenguaje natural en la que se evidencien los conectivos lógicos b) Declaración de las premisas c) Expresión en lenguaje natural d) Tabla de verdad.
Respuestas a) Expresión en lenguaje natural en la que se evidencien los conectivos lógicos
a) Bien pensado, o hay que ser bien pensante b) Si en caso de que sople el viento, entonces podremos navegar a vela c) Puede disculpársele todo si y solo si alguien escribe como Borges d) La vida es larga si y solo si es plena; y se hace plena cuando el alma ha recuperado la posesión de su propio bien o ha transferido a sí el dominio de sí misma b) Declaración de las premisas
c) Expresión en lenguaje natural a) Bien pensado, no hay por qué ser bien pensante. b) En caso de que sople el viento, podremos navegar a vela. c) Si alguien escribe como Borges, entonces puede disculpársele todo. d) “La vida es larga si es plena; y se hace plena cuando el alma ha recuperado la posesión de su bien propio y ha transferido a sí el dominio de sí misma” (Séneca).
d) Tabla de verdad.
a) b) c) d)
p V V F F
p p p p
q
p
q
q V F V F
q q q
p
r
q V V V F
p p V V F F
p p V V F F
p p V V F F
q q V F V F
p
q V F V V
q q V F V F
p
q
r
q V F V F
q V F F V
r V V V F
p
q
r
V V V F
Tarea 4. Deducción e inducción
Realice la lectura “El método científico” que se encuentra en el siguiente enlace http://datateca.unad.edu.co/contenidos/551105/Modulo_exe_2013/leccin _17_el_mtodo_cientfico.html y plantee un ejemplo en el cual se identifiquen el proceso de deducción e inducción en un proceso de investigación científica. Posteriormente plantee dos ejemplos de enunciados falseables. Deducción e inducción. La deducción se emplea para mostrar que una teoría se sigue de otra. La inducción consiste en inferir una regla general a partir de algunos casos: Deducción
1. "Los ingleses son puntuales." "Por tanto, William es puntual." 2. El libro está sobre la mesa. La mesa está sobre el piso; por lo tanto, el libro está sobre el piso.
Inducción 1. Todos los primeros de Enero y por los últimos años ha llovido en Bogotá. Por lo tanto, el próximo año en ese día, lloverá también. 2. Cada libro que he observado en la biblioteca tiene más de un año de antigüedad. Todos los libros en la biblioteca tienen más de un año. Enunciados falseables 1. El 31 de agosto habrá un eclipse de sol con base a los cálculos 2. Todos los goleros son negros 3. Todos los controles del televisor son pequeños.
Tarea 5. Inferencias Lógicas. “Si la mercancía llega y la maquinaria funciona, no incumplimos. Si entregamos a tiempo conservamos el cliente y el cliente paga. Si el cliente paga todos reciben su dinero”. Incumplimos, ¿Qué puede concluirse sobre recibir el dinero? Para esta tarea el equipo debe entregar las siguientes etapas: a) Identifica las proposiciones simples y decláralas (Asigna letras como p, q,..) b) Identifica las premisas del problema. c) Utiliza las leyes de inferencia para poder concluir sobre la proposición que se pide en el problema. Para resolver este ejercicio debes estudiar las leyes de inferencia. Proposiciones simples: P: La mercancía llega, la maquinaria funciona. Q: Incumplimos R: Entregamos a tiempo y el cliente paga. S: Todos reciben su dinero. Premisas del problema 1. P q 2. Q 3. Q r
4. R
s
( p → q ) qv ( q → rvr → s )
Premisa mayor: la mercancía llega Premisa menor: entregamos a tiempo y el cliente paga Conclusión: todos reciben su dinero
CONCLUSIONES
Al leer el modulo y terminar la unidad 1 sobre esta materia de lógica matemática aprendí muchos términos. A desarrollar ejercicios lo cual creo que este módulo es un poco extenso lo cual hay que estudiarlo con paciencia y sobre todo comprender los ejercicios que se presentan en él. Aprendí todo lo referente a preposiciones conjuntos tabla de verdad etc.
Se realizó un reconocimiento de la unidad uno del módulo de Lógica matemática mediante el desarrollo de ejercicios prácticos de tal forma de lograr un aprendizaje significativo. Para mí fue retomar una materia un poco compleja, entenderla y desarrollar ejercicios de este tipo a partir de esto. Se recordó planteamientos y expresiones naturales. Se realizó la representación gráfica a través de diagramas de diversas expresiones.
He desarrollado un análisis comprensivo fortaleciendo mi lógica para que los problemas complejos me sean más fáciles de desarrollar. Logre comprender sobre la teoría de conjuntos como su creador y las ventajas que esta tiene en las matemáticas.
He alcanzado y desarrolló de manera muy válida los ejercicios propuestos sobre la teoría de conjuntos.
BIBLIOGRAFIA: Acevedo, G. (2012). Módulo Lógica Matemática. Medellín, Antioquia. Recuperado de: http://www.slideshare.net/patricialeguizamon397/modulo-logica-matematica
Rubio, G. (2014). Teoría de conjuntos. Ibagué, Colombia. Recuperado de: http://www.slideshare.net/patricialeguizamon397/teoria-deconjuntosyproposiciones
