INTRODUCCIÓN El presente trabajo corresponde a la etapa 2 de la segunda unidad del curso de Matemáticas Discretas mediante el cual se da a conocer el desarrollo de los ejer ejerci cici cios os prop propue uest stos os en la gu!a gu!a "und "undam amen enta tale less para para la ad#u ad#uis isic ici$ i$n n de aprendi%ajes signi"icati&os como resultado de un proceso de discusi$n análisis ' "undamentac "undamentaci$n i$n sobre el tema de la Teor!a Teor!a Combinatoria Combinatoria ' el de Recurrencia Recurrencia ' Rela Relaci cione ones s sien siendo do este este el produc producto to el resu resultltado ado de las las partic particip ipaci acion ones es indi&i indi&idua duales les ' debate debatess entre entre los miemb miembros ros del del grupo grupo para la la modi"ic modi"icaci aci$n $n ' a&ances del proceso de ense(an%a) aprendi%aje*
Objetivo general
Desarrollar los puntos #ue se encuentran dentro de la gu!a general ' reali%ar los respecti&os aportes acerca de cada uno de los puntos*
Objetivos específicos
Desarrollar los ejercicios e+puestos por la gu!a de acti&idades para entender las los conceptos estudiados en la unidad* ,d#uirir las destre%as procedimentales ' comprensi$n te$rica de los conceptos estudiados* Estimular el pensamiento cr!tico anal!tico para abordar las di"erentes operaciones o ejercicios propuestos* Conocer cada &e% más a "ondo sobre la terminolog!a matemática* Re&isar los aportes de los demás compa(eros ' retro alimentar*
EJERCICIOS UNIDAD 2
TEOR-, COM.IN,TORI, /* a* 0Cuántos n1meros de cuatro ci"ras se pueden obtener si no debe empe%ar por cero ' no se puede repetir ning1n d!gito b* 3e tiene tres cajas en una 4a' pelotas &erdes en otra amarillas ' en la 1ltima naranjas* 3i cada caja contiene al menos 5 pelotas* 0De cuantas maneras se pueden determinar 5 pelotas SOLUCION
a! En este caso 4a' /6 d!gitos 76/289:;<5=> de los cuales debo tomar 9 es decir cuantos n1meros de cuatro ci"ras es probable "ormar sin #ue las ci"ras sean repetidas ' #ue los n1meros san di"erentes es decir importa el orden? este n1mero está dado por@ N ! ( N −k ) !
Donde N es el n1mero total de d!gitos ' A la cantidad de d!gitos #ue debe contener cada n1mero as! NB/6 ' AB9 luego N ! 10 ! 10 ! 10∗ 9∗ 8∗7∗6 ! = = = =10∗9∗8∗7 =5040 6! ( N −k ) ! ( 10− 4 ) ! 6 !
,4ora debemos a&eriguar cuántos de estos n1meros empie%an por cero? como todos los n1meros son igualmente probables #ue &a'an al inicio entonces la cantidad de n1mero #ue empiecen en un digito especi"ico es una dcima parte del total de combinaciones posibles pues son /6 d!gitos luego basta restar a la cantidad total de n1meros "ormados una dcima parte de ellos para saber cuántos de ellos no empie%an en un numero especi"ico en este caso #uiero #uitar los #ue empie%an por el cero luego@ 5040−
1 10
5040 =5040−504 = 4536
uego la cantidad de n1meros de 9 ci"ras #ue se pueden "ormar sin repetir d!gitos ni #ue empiecen por cero es 9:8;* b> En este caso se está 4ablando de una combinaci$n con repetici$n ' no importa el orden 4a' 8 tipos de pelotas 1nicamente ' se #uieren sacar 5 el n1mero de posibles combinaciones estará dado por@
( N + n−1 ) ! n ! ( N −1 ) ! Donde NB8 el n1mero de tipos de pelotas #ue 4a' ' nB5 la cantidad de pelotas #ue sacare como se pueden sacar 5 pelotas del mismo color no importa si 4a' más de 5 pelotas del mismo color* ,s!@ ( 3 + 8−1 ) ! 10 ! 10∗9∗8 ! 10∗9 = = = =45 8 !∗2 2 8 ! ( 3−1 ) ! 8 !∗2 ! ,s! la cantidad de maneras de determinar las 5 pelotas es de 9: RECURRENCI, RE,CIONE3 /* El n1mero de bacterias de una colonia se duplica cada 4ora* 3i an es el n1mero total de bacterias en FnG 4oras* Halle una relaci$n de recurrencia para encontrar el &alor de an Sol"ci#n 3ea an el n1mero total de bacterias a las
n 4oras supongamos #ue
inicialmente es decir cuando no 4an pasado 4oras7nB6> 4a' a0 bacterias luego se tendrá #ue@ a1= 2 a 0 2
a2= 2 a 1=2∗2 a 0=2 a0 3
a3 =2 a2=2∗2∗2 a0= 2 a 0
* * * n
an =2 a0
Como era de esperar la relaci$n de recurrencia es una e+ponencial pues esa es la "unci$n #ue caracteri%a la multiplicaci$n de bacterias en general entonces se tenga #ue el n1mero de bacterias en n 4oras depende de con cuantas bacterias se empiece ' de una e+ponencial del n1mero 2 as! en general@ n
an =2 a0
3i suponemos #ue en las cero 4oras 4a' 1nicamente / bacteria@
n
an =2
TEOR-, COM.IN,TORI, 2* a. ¿Cuántas placas se pueden obtener si deben utilizar cuatro letras distintas de 26 posibles y al fnal debe tener un número de tres dígitos sin repetir número? En este caso hay 26 letras de las cuales debo tomar ! es decir! cuantas placas de letras es probable "ormar.
26
C 4 =
26 ! 4!
26 ! 4 ! 22 !
=
=
26 !
(
4 ! 26
−4 ) !
=¿
26∗25∗24∗23 4
=89700
#onde hay $%&'' "ormas distintas de combinar letras para obtener una placa. ( cuantos números de tres dígitos se pueden "ormar sin repetir numero
9
C 3 =
9! 3!
9! 3!6!
=
=
9!
( −3 ) !
3! 9
9∗8∗7 3
=¿
=168
Entonces podemos obtener )6$ placas de letras con números de tres dígitos sin repetir número. *. +e tiene tres ca,as en una hay pelotas -erdes! en otra amarillas y en la última naran,as. +i cada ca,a contiene al menos $ pelotas. ¿#e cuantas maneras se pueden determinar $ pelotas si se debe tener al menos una de cada color?
3!
3
P8,8,8 =
8 !8!8 !
= 241920 formas
$eoría co%binatoria
8* a* 0De cuantas maneras se pueden pintar /2 puertas de tal manera #ue 8 de ellas sean &erdes 2 rosas 2 amarillas ' las restantes blancas Sol"ci#n
El n1mero de permutaciones de n objetos en el #ue se repiten alguno de ellos esta denotado por@
En este caso los &alores de A son 8 2 2 ' :* or lo tanto 12
P 3,2,2,5
=
12! 3!2!2!5!
=
166320 formas.
b* 0De cuantas "ormas pueden distribuirse /2 libros idnticos de matemáticas entre cuatro estudiantes Sol"ci#n
ara combinaciones generali%adas con repeticiones si & es un conjunto #ue contiene n elementos entonces el n1mero de selecciones de K elementos no ordenadas con repeticiones permitidas ' tomados del conjunto & &iene dado por la "$rmula*
n + k − 1 (n + k − 1)! k ÷ = k !(n − 1)! En nuestro caso
n =4 y k =12
por tanto se pueden distribuir de
4 + 12 − 1 4 −1 ÷
15 15! = ÷ = = 455 formas distintas 3 3!12!
Rec"rrencia ' relaciones
8* Dada la relaci$n de recurrencia lineal con coe"icientes constantes@ 8a n J :an)/ K 2an)2 B n2 K :* Encuentre la ecuaci$n caracter!stica asociada a la relaci$n de recurrencia* 3oluci$n Reali%amos los pasos para encontrar la ecuaci$n caracter!stica@ /* Hacemos f ( n )=0 es decir 8an J :an)/ K 2an)2 B6 2* Obtenemos el orden de ecuaci$n resultante #ue en este caso es 2 7segundo orden>* 8* 3ustituimos an por λ conser&ando los signos ' coe"icientes@ 3λ − 5λ + 2λ = 0
9* Construimos el polinomio caracter!stico de igual grado #ue el orden de la ecuaci$n@ 3λ
2
−
5λ + 2 = 0
Esta es la ecuaci$n caracter!stica asociada a la relaci$n de recurrencia* $eoría co%binatoria () a.) 0De cuantas maneras se pueden asignar < 4abitaciones si se #uiere #ue 9 de
ellas sean para un programador ' las tres restantes para terminales de computadora *er%"taciones con repetici#n
3ea un conjunto de n elementos de entre los cuales tenemos a elementos indistinguibles entre s! b elementos indistinguibles entre s! c elementos indistinguibles entre s! etc* Cada ordenaci$n de estos elementos se denominará permutación con repetición* El n1mero de permutaciones con repetici$n es@
Lormula@ Donde n es el n1mero de permutaciones de los elementos* Donde a , b , c … son el n1mero de &eces #ue se repite cada elemento* Sol"ci#n 7
P4,3 =
7! 4!3!
=
5040 144
=
35 Maneras
b.) Una dulcer!a o"rece 26 tipos di"erentes de dulces* .ajo el supuesto de #ue 4a'
al menos una docena de cada tipo al ingresar a la dulcer!a* 0De cuantas "ormas se puede elegir una docena de dulces Sol"ci#n
Este es un caso de combinaci$n con repeticiones* or ejemplo supongamos #ue 4a' dulces de@ ca" menta "resa mora pi(a lim$n lulo mango u&a etc* Entonces la persona podr!a pedir /2 dulces de pi(a? o 8 de pi(a : de ca" ' 9 de mango* Tambin podrá pedir los /2 dulces cada uno de un sabor di"erente* a "$rmula para las combinaciones con repetici$n es@ CRn ,k
n + k − 1 (n + k − 1)! = = ÷ k k !(n − 1)!
Donde n es el n1mero de elementos totales ' A el n1mero de elementos en cada grupo* or lo tanto nB26 AB/2 ' tenemos CR20,12
20 + 12 − 1 31 (31)! = ÷ = 12÷ = 12!19! = 141120525 12
Rec"rrencia ' relaciones
:*
Dada la relaci$n de recurrencia lineal con coe"icientes constantes@ :n J 9n)/ K an)2 B n2 K <* Encuentre la ecuaci$n caracter!stica asociada a la relaci$n de recurrencia* Sol"ci#n
Reali%amos los pasos para encontrar la ecuaci$n caracter!stica@ /* Hacemos f ( n )=0 es decir :an J 9an)/ K an)2 B6 2* Obtenemos el orden de ecuaci$n resultante #ue en este caso es 2 7segundo orden>* 8* 3ustituimos an por λ conser&ando los signos ' coe"icientes@ 5λ − 4λ + λ = 0
9* Construimos el polinomio caracter!stico de igual grado #ue el orden de la ecuaci$n@ 5λ
2
−
4λ + 1 = 0
Esta es la ecuaci$n caracter!stica asociada a la relaci$n de recurrencia*
CONCLUSIONES
Este ejercicio acadmico permiti$ ad#uirir destre%as en la resoluci$n de problemas propios de la Matemáticas Discretas por medio de la utili%aci$n de los mtodos estudiados* Durante el desarrollo de esta acti&idad aprendimos muc4as cosas nue&as en relaci$n con las tcnicas de resoluci$n as! como tambin del compromiso ' entrega #ue se debe tener cuando se tiene #ue trabajar de manera grupal 'a #ue los aportes de cada uno de los compa(eros son la base "undamental para el +ito del trabajo* En el desarrollo de ste trabajo pudimos pro"undi%ar en el conocimiento ' aplicaci$n de los conceptos estudiados para resol&er di&ersos problemas lo #ue enri#ueci$ no solo nuestro conocimiento en el tema sino el desarrollo del pensamiento matemático "undamental e imprescindible para el desarrollo de un pro"esional*
RE+ERENCIAS
illalpando .* * L* 726/9>* Combinatoria* Matemáticas Discretas Aplicaciones y ejercicios* 7pp* /98)/5/> M+ico@ arousse ) Prupo Editorial atria* Recuperado de4ttp@QQbiblioteca&irtual*unad*edu*co@26<* Relaciones de recurrencia* Matemáticas discretas@ aplicaciones y ejercicios* M+ico D*L* M@ arousse ) Prupo Editorial atria* * 7pp* =2)/92> Recuperado de4ttp@QQbiblioteca&irtual*unad*edu*co@26<
