UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERIA CIVIL CARRERA DE INGENIERIA CIVIL Calidad, Pertinencia y Calidez
GRUPO #1
TERCERO “A” ING. CIVIL. LEYDEN
OSWALDOCARRION ROMERO, MGS.
Fernando Mendieta Gregory Yanza Alexander Garcia Walter Quinche
Luisana Rojas Basilio Lapo
EJERCICIOS DEL LIBRO RESISTENCIA DE MATERIALES PYTEL AND SINGER 4ta EDICIÓN AÑO 2008
403.- Escribir las distribuciones de momentos flexionantes y fuerza cortante en las vigas de los problemas siguientes. Trazar también sus diagramas, marcando los valores en todos los puntos de discontinuidad, y en los de fuerza cortante nula. Despreciar el peso propio de la viga.
SOLUCION:
Aplicando momentos respecto al punto A se obtiene el valor de R 2.
Realizamos sumatoria de fuerzas en Y para obtener el valor de R 1. ΣMA=0 -50KN(2m)+R2(6m)20KN(7m)=0
ΣFy=0 R1-50KN+40KN-20KN=O
R1=30KN
100KNm+140KNm= R2(6m)
240 6
R2=
R2=40KN
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. ( V=ΣFyizquierda) Tramo AB:
VAB=30KN Tramo BC: VBC=30KN-50KN
VBC=-20KN Tramo CD: VCD=30KN50KN+40KN
VCD=20KN
Aplicamos M= ΣM izquierda para cada tramo. Tramo AB:
Tramo BC:
Tramo CD:
MAB=30KN*(Xm)
MBC=30X-50(X-2)
MAB=(30X)KN.m
MBC=30X-50X+100
MBC=(-20X+100)KN.m X
MAB
0 2
0 60
MCD=30X-50(X-2)+40(X6) MCD=30X50X+100+40X-240
MCD=(20X-140)KN.m X 3
MBC 40
X
MCD
6
-20
7
0
404.- Viga cargada como se indica en la figura.
SOLUCION:
Efectuamos sumatoria de momentos en el punto D, para obtener el valor de R 1.
Realizamos sumatoria de fuerzas en Y. Y así obtenemos el valor de R 2 ΣMD=0
ΣFy=0
-40-(5R1+7(10))kN.m=0 5mR1=(70-40)kN.m
4kN.m= R2
R1=6kN.m
(-10+6+R2)kN.m=0
R2=4kN.m
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda) Tramo AB:
VAB=-10kN Tramo BC: VBC=(-10+6)Kn
VBC=-4kN Tramo CD: VCD=(-10+6)Kn
VCD=-4kN
Aplicamos M= ΣM izquierda para cada tramo.
Tramo CD:
Tramo BC: Tramo AB:
MCD= (-10X+6(X-2)+40)kN.m MBC=(-10X)kN.m+6(X-2)kN.m
MAB=(-10X)kN.m
MCD= (-10X+6X-12+40)kN.m MBC=(-10X+6X-12)kN.m
X 0 1 2
MAB 0 -10 -20
MBC=(-4X-12)kN.m X 3 4 5
MBC -24 -28 -32
MCD= (-4X+28)kN.m X 5 6 7
MCD 8 4 0
405.- Viga cargada como se indica en la figura.
SOLUCION:
Efectuamos sumatoria de momentos en el punto R 1, para obtener el valor de R 2.
Se realiza sumatoria de fuerzas en Y. Para obtener R1 ΣFy=0 ΣMR1=0 (R1-30(-30(2)100+56)Kn=0 100(5)+10(R2))kN.m=0
R1=74kN.
10(R2)=560kN
R2=56kN
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. ( V=ΣFyizquierda) Tramo AB: VAB=74kN-
VBC=(74-30-10(X))kN
10(X)Kn
VAB=(74-10X)Kn
X 2 4 6 8 10
Tramo BC:
X
VAB
0
74
1
64
2
54
VBC=(44-10X)Kn
VBC 24 4 -16 -36 -56
Aplicamos M= ΣM izquierda para cada tramo. Tramo AB: MAB=[74(X)-(10(X))(X/2)]
MAB=(74X-54X2)kN.m
Tramo BC:
2
MBC=74(X)-30(X-2)-(10X)( )
X
MAB
MBC=(74X-30X+60-5X2)kN.m
0
0
MBC=(-5x2+44x+60) kN.m
1
69
2
128
0.5
37.75
1.5
99.75
X
MBC
24 6 8 10
128 156 144 92 0
Sabemos que:
Xmax=
=0 44-10x=0
Vmax=74kN; X=0
x=4.4, siendo
Vmin=0kN; x=4.4m
MBC=156.8
407.- Viga cargada como se indica en la figura.
SOLUCION:
Realizamos momentos respecto al punto A, para obtener el valor de R 2
Efectuamos sumatoria de fuerzas en Y, para conocer el valor de R 1. ΣFY=0 R1-
ΣMA=0 60kN(3m)+5(R2)m=0
60kN+36kN=0
R2=36Kn
R1=24kN
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)(Fuerza Cortante)
VCD=24Kn-60kN
VBC=24Kn-(30kn/m)(x-2)m
VAB=24kN
X 2 3 4
VCD=-36kN
VBC=(84-30x)Kn VBC 24 -6 -36
VMAX=36K n X=4
Aplicamos M= ΣM izquierda para cada tramo. (Momentos Flexionantes). MAB=(24x)Kn
MBC=(24x)-30(X-2)(X-2)/2 MBC=24X-15X2+60X-60
X 0 1 2
MAB 0 24 48
MBC=84X-15X2-60)Kn.m X 2 3 4
MBC
48 57 36
MCD=24X-60(X-3) MCD=24X-60X+180
MCD=-36X+180)kN.m X
MCD
4
36
5
0
MMAX=57.6Kn.m X=2.8
408.- Viga cargada como se indica en la figura.
SOLUCION
Efectuamos momentos en el punto A, para conocer el valor deR 2
Realizamos sumatoria de fuerzas en Y, para obtener el valor de R 1 ΣMA=0
ΣFY=0
-60KN(1m)-60kn(4m)+6(R2)(m)=0
R1-60KN-60KN+50KN=0
R2=50KN
R1=70KN
Se
obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo.
(V=ΣFyizquierda)(Fuerza Cortante)
VAB=70KN-(30KN/m)(Xm)
VBC=70KN-60KN-(15KN/m)(x-2)
VAB=(70-30X)KN
VBC=(40-15X)KN
X 0 1 2
VMAX=70KN X=0
VAB
X
VBC
70 40 10
2 3 4 5 6
10 -5 -20 -35 -50
Aplicamos M= ΣM izquierda para cada tramo. (Momentos Flexionantes).
2)]KN.m 2
MBC=[70X-60(X-1)-15(X-2)( MAB=70X-30X(X/2)
MAB=(70X-15X2)KN.m X 0 1 2
MAB 0 55 80
MMAX=83.33KN. m X=2.66m
MBC=70X-60X+60-7.5(X2-4X+4) MBC=(10X+60-7.5X2+30x-30)
MBC=(40X-7.5X2+30)KN.m X 2 3 4 5 6
MBC 80 82.5 70 4282.5.5 0
4.11.- Ménsula con la carga triangular, la cual varía de W(N/m) el extremo libre a cero en la pared.
Rectangulo
Fuerza en el
F=XY Obtenemos la fuerza en el triángulo A 1, así como en el rectángulo. . Triángulo
Y=
) F=X( ) F= (L-X) F= (XL-X2)
F=1/2X(W-Y)
=
F=X(W-
F=1/2X(W-
=-
W+W(X/L))
Y=W-
F=
V A
L/2
-
L/2
B
X
-
VMAX
M A
B
-
MMAX
X
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)(Fuerza Cortante) VAB=-FTRIANGULO-FRECTANGULO
2-(XL-X ) 2 - +2 V = 2 V = (1-1/2) VAB=( -WX)N.m 2
VAB= AB
AB
Aplicamos M= ΣM izquierda para cada tramo. (Momentos Flexionantes).
2 2)+ X[- (XL-X )] 3 2 3 1 3 M =- 3 - 2X W + 2 MAB=( - )KN.m 2
MAB= X(AB
2
4.12.- Viga con carga indicada en la figura
SOLUCION
Realizamos sumatoria de momentos en A, para obtener el valor de R 2.
Efectuamos sumatoria de momentos en Y, para obtener el valor de R 1. ΣMA=0 -
ΣFY=0
60KN(5m)+6(R2m)=0
R1+R2-60KN=0
R2=300KN.m/6m
R1=60KN-50KN
R2=50kn
R1=10KN
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)(Fuerza Cortante)
VAB=10KN
VBC=10KN-10(KN/m)(X-2)m VBC=(10-10x+20)KN BC
V =(-10X+30)KN X
VBC
2
10
4
0
6
-30
VCD=10KN+50KN-10(KN/m)(X-2)m VCD=(60-10x+20)KN
VCD=(80-10X)KN X
VCD
6
20
7
10
8
0
Aplicamos M= ΣMizquierda para cada tramo. (Momentos Flexionantes).
MAB=10X
2) 2
MCD=10X+50(X-6)-10(X-2)(
10
2)m]KN 2
MBC=[10X- (X-2)m(
MCD=60X-5X2+20X-20-300
MCD=(80X-5X2-320)KN.m
MBC=10X-5(X2-4X+4)KN.m
MBC=(-5x2+30X-20)KN.m X
MBC
2
20
3
25
4
20
5
5
6
-20
X 6
MCD
6.5
-11.25
7
-5
7.5
-1.25
8
0
-20
4.15.- Ménsula con la viga indicada en la figura.
SOLUCION
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)(Fuerza Cortante)
VAB=-8(KN/m[X(m)]
VBC=20(KN)-[8(KN/m)(Xm)]
VAB=-8X(KN)
VBC=(20-8X)KN
X 0
VAB
VBC=
0
X 2
1
-8
3
-4
2
-16
4
-12
5
-20
4
Aplicamos M= ΣM izquierda para cada tramo. (Momentos Flexionantes).
MAB=-8X( )
MBC=[20(X-2)-8X( )]KN.m
MAB=-4X2(KN.m)
MBC=(-4X2+20X-40)KN.m
VBC=(20-8X)KN
X
MAB
X
MBC
X=20/8
0
0
-16
X=2.5
1
-4
2 3
-16
X=2.5 Es en donde se
2
-16
4
-24
encuentra VMIN
5
-40
4.16.-Viga con la carga triangular que indica la figura.
SOLUCION
Realizamos momentos en el punto A, para obtener el valor de R2.
Efectuamos sumatoria de fuerzas en Y, para conocer el valor de R 1.
FG= [N]
ΣMA=0
FG= [W( )] [L(m)]
)()+LR
ΣMA=(-
R2=
2
R2=
ΣFY=0
=0 R= R1= R1+R21
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)(Fuerza Cortante). Se realiza una relación de triángulos.
Y
X
= Y= F= X( ) F=
VAB= -
Aplicamos M= ΣM izquierda para cada tramo. (Momentos Flexionantes).
X- MAB= - MAB=
Tabla de Valores
-
VAB=0 (Cruce con X)
0
WL/6
L/2
WL/24
= X=
L
-WL/3
X=L/
VAB= X
0= VAB
-
MAB= X
MAB
0
0
L/2
WL2/16
L
0
-
2
√3
X=0.577L
- √ √ − M = = M = MAB.MAXIMO=√ MAB.MAXIMO= AB.MAXIMO
AB.MAXIMO
4.17.- Viga con la carga triangular que indica la figura
SOLUCION
Realizamos momentos en el punto A, para conocer el valor de R 2.
Efectuamos sumatoria de fuerzas para obtener el valor de R1.
Realizamos una relación de triángulos.
/= Y=
ΣFY=0
ΣMA=0 [-
(N)]x[(m)]+[L(R )]=0 R = R2= 2
2
R + - =0 1
R1=
R1=
Empleando la formula V=ΣFyizquierda.
Usamos la formula M= ΣMizquierda.
+R VAB= ( - )N VAB=-
1
X
VAB
0 L/2
WL/4 0
L
-WL/4
(X)- () MAB=[ - ]N.m MAB=
X
MAB
0
0
L/2
WL2/12
L
0
) F= F= XY=( X)(
418. Ménsula cargada como indica la figura
SOLUCIÓN
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)(Fuerza Cortante) VAB= -5 KN . Xm
VBC= -10KN
VCD=-10KN
VAB=-55X(KN)
X
VAB
0
0
1
-5
2
-10
Aplicamos M= ΣM izquierda para cada tramo. (Momentos Flexionantes).
MAB=[5(KN/m)][Xm][X/2m]
MBC=-10(X-1)
MAB=(-5/2)x2KNm
MBC=-10X+10
X
MAB
0 1
0 -2.5
2
-10
MBC=(-10X+10)KN.m X
MBC
2
-10
3
-20
4
-30
MCD=-10(X-1)+60 MCD=-10X+10+60
MCD=(70-10X)KN.m X
MCD
4
30
5
20
419.- Viga cargada como indica la figura.
SOLUCION
Realizamos una relación de triángulos.
Efectuamos momentos en el punto A, para obtener el valor de R 2.
Con sumatoria de fuerzas en Y, conocemos el valor de R1.
=
Y=
F= XY= X( F=
ΣFy=0
ΣMA=0
R1+ R2-F=0
3)+5R =0
-30KN(
R2= 12KN
2
R1=18KN
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)(Fuerza Cortante)
)KN
VAB=(18X
VAB
0
18
1 2
14.667 4.667
3
-12
Aplicamos M= ΣM izquierda para cada tramo. (Momentos Flexionantes).
MAB=(18X- )KN.m MAB=18X-
X
MAB
0
0
1 2
16.83 27.11
3
24
=0 X = =5.4 182
X=2.32379m
421.- Determine las distribuciones de fuerza cortante y momento flexionante en la barra curva de la figura P-421, en el caso: a.-) De que la fuerza P sea vertical como esta indica. b.-) En el caso de que la horizontal y la dirigida hacia la izquierda.
SOLUCION
a.)
π
=(0;900)=(0; rad)
ΣFx’=0
V=-P(Cos )
–V-P(Cos )=0
ΣM1-1=0
M+P(RxSen )=0
M=- P(RxSen )
b.)
ΣFx’=0
ΣM1-1=0
-V-P(Sen)=0
M+P(R-R(Cosθ)=0
V=-P(Sen)
M=-PR(1-COSθ)
422.- Determinar las distribuciones de V y M en el arco semicircular de la figura, si: a.)La fuerza Pes vertical como se indica. b.) Si la horizontal y hacia la izquierda, pero aplicada en el mismo punto.
a.)
Reacciones R1= R2=
Corte 2-2;
Corte 1-1;
, )Tramo BC
)Tramo AB
θ=(
θ=(0,
ΣFy=0
ΣM=0
V-R1=0
M-( )[R(1-Cosθ)]=0
V=R1
V=P/2)Sen θ
M= [R(1-Cosθ)] M= [1-Cosθ]
ΣFy=0
ΣM=0
V+ Sen(θ- )=0
V=- Senθ
( )R[1-Cos(θ - )]=0
M=( )[1+Cosθ]
b.)
Reacciones
ΣFy=0 R1-
ΣM1=0
R2=0
P(R)-R2(2R)=0
R1=R2
R2=P/2
R1=P/2 ΣFy=0 -P+r2=0
P=r2
Tramo BC: θ=( ; ΣFr=0
V= COS(θ- )- P(Sen(θ- ) V= (Senθ + P(Cos θ)) V = … θ=
V+P(Sen(θ- ) - COS(θ- )
1
V2=P … θ=
ΣM=0
PR[CosθCos -SenθCos ]- {1-[SenθCos +Cos θSen ]}-M=0 PR(Senθ- (1+Cosθ))-M=0 M= PR(Senθ+ (1+Cosθ)) M =PR(Sen90 )- (1+Cos90 ) M1= M = PR(Sen180 )- (1+Cos180 ) M2=0 P[R8Cos(θ- )- {R[1-Sen(θ- )]}
1
2
0
0
0
0
EJERCICIOS DE RESISTENCIA DE MATERIALES MOTT ROBERT L., Editorial Pearson Educación, 5ta. Edición, Año 2009.
5.99 Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexioanante. 1. DCL: W1=32
W1=3200lb w=25lb/plg L=120plg W2=? VA=? VB=?
25lb/plg
W
VA
VB 60pl
60
3.
2. DATOS:
+↻ 0 ↑ 0 120320060300060 0 12 0 37200 ∗ 3200 3000 120 0 3100 6200 6200 3100 3100 Σ
DESARROLLO:
2 ∗ 2
+ Σ
PARA CORTE1:
+↻ 1 0 ↑ 0 xM1 0 1 0 310025lb/plg 2 3100lb25lb/plgxV1 0 1 3100lb 25lb/plgx Ec.1 310025lb/plg Σ
+ Σ
Trazar el gráfico para el corte usando la Ec. 1, dando valores a x, entre 0 y Ec. .2
120pl
Trazamos la gráfica del corte, usando la Ec. 1. Y dando valores a x, entre 0 y 120
De igual manera trazamos el gráfico para el momento cortante, usando la Ec. 2
5.105 Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexioanante. 1.DCL:
2. DATOS: W1=3000N w=50000N/m L=0.8m W2=? VA=? VB=?
300
50KN/m
0.5m VA
0.3m VB
3. DESARROLLO: +↻ 0 2 ∗ +↑ 0 400000.130000.3 0 0. 12 0 86200 50000 4000 2 ∗0,8 3000 0 43000 2 40000 43000 430006200 36800 Σ
Σ
CORTES 1 Y 2
PARA EL CORTE 1
0 ˂ X ˂ 0,5
+↑ 0 1 0 6200N 50000N/m0.5 xV1 0 1 6200n50000N/m0.5 x Ec.1 Σ
↻ 1 0 200N50000N/m x2M1 0 6200N50000N/m + Σ
Ec. .2
PARA EL CORTE 2 + Σ
0 ˂ X ˂ 0,3
↑ 0 1 0 6200N 36800N50000n/m0.5mxV2
+ Σ
6200N0. ↻ 1 5mx 0 36800Nx50000N/m x2M2 0 6200N0.5mx 36800Nx50000N/m
Ec. .4
Trazamos la gráfica del corte, usando la Ec. 1. Y dando valores a x, entre 0 y 0.5
10000 5000 0 ) m -5000 / N ( -10000 V
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-15000 -20000 -25000
x(m)
De igual manera trazamos el gráfico para el momento cortante, usando la Ec. 2
5.100 Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexioanante. 1)
2)
:
150800/ 2 10600 : . 50 / 10 500 ∑ 0 20500158006 6004 0 495 ∑ 0
∑ 0 ∑ 0 X 0 5 10 9.4
X 0 2 4
V1 495 lb 245 lb -5 lb 0
M1
495 50/ /2 0 495 50/ 2 495 50/ 495 50/ 0
0 1850 lb.in 2450 lb.in 2450,25 lb.in
∑ 0 49510 5005 0 495 105005 ∑ 0 495 500 0 5 V2 M2 -5lb -5lb -5lb
2450 lb.in 2440 lb.in 2430 lb.in
X 0 2 4 6
∑ 0 49514 5004 800 0 495 14 5004 800 ∑ 0 495 500 800 0 805 V3
M3
-805 lb
2430 lb.in
-805 lb
820 lb.in
-805 lb
-790 lb.in
-805 lb
-2400 lb.in
∑ 0 49520 5004 8006 1405 0 495 14 5004 800 ∑ 0 495 500 800 600 1405 0 X 0 2 4
V4
M4
600 lb
-2400 lb.in
600 lb
-1200 lb.in
600 lb
0
EJERCICIOS DE RESISTENCIA DE MATERIALES LIBRO DE TIMOSHENKO 5ta EDICIÓN AÑO 2005
4.3-1 Calcular la fuerza de corte (V) y el momento de flexión (M) en una dirección transversal a la izquierda de la fuerza de 100 lb en la barra que es una viga simple AB mostrado en la figura. 800 lb=C1 1600 lb=C2 Datos V=? M=? C1= 800 lb C2= 1600 lb
A
B 30 in
60 in
30 in
120 1000 200
c
-1400
Grafic 8413
20000
30000
Desarrollo +)
MA=0
-800(30)-1600(90)+RB(120)=0 RB=1000lb
Grafico 1 Fy=0
V-1600+Rb=0 V=200 lb +)
Mc=0
1400(30)-M1=0 M1=42000 lb.in
42000
Diagrama de secciones para momento cortante y flexión
V D x Fy=-VA
+RA VA=1000 lb +)
MD=0
0O x
O30
-1000 lb(x)+ M1=0 M1= 1000 lb(x)
VB
E x x Fy=-VB
-800+1000=0
VB=200 lb +)
30O x
O90
ME=800(x-30)-1000(x)+M2=0
M2=200x +2400 1600
F
V
x
Fy=-800
-1600-Vc+1000
Vc= -1400 9O x O120 +) MF=-1000(x)+800(x-30)+1600(x-90)+M3 M3=-1400x+168000
Primera sección
X1=0
VA=1000 Lb
1000 Lb
X2=30 1000 Lb
M1= 1000 Lb (x)
0
30000Lb
Segunda sección
X=30
X=90
VB=200 Lb M2= 200x+2400
200 Lb 8400
200 Lb 20400
Tercera sección
X=90
X=120
Vc= -1400 M3 = 1400x +168000
-1400 Lb 42000
-1400 Lb 0
EJERCICIOS DEL LIBRO DE MECANICA DE MATERIALES RUSSELL C. HIBBELER 8va EDICION
7.24. Determine el esfuerzo cortante máximo que actúa sobre la viga T, en la sección crítica donde la fuerza cortante interna es máxima
a=. ȳ ƸƸỹ
=
...+... = 0.12m ..+..
(0.03)( + 0.15(0.03)(0.165 – + 0.150.00.310. 5 150.030.1650.0.1122 = 27.010−
ȳ′ ′
= 0.06(0.12)(0.03) = 0.216(
10− )
= = ..[..]=.()P =. Pa
7.26. Detrmine el esfuerzo cortante máximo que actúa sobre la viga de fibra de vidrio, en la sección donde la fueza cortante interna es máxima.()
a = . = (.)− .()=. a = Ƹȳ =..+..=.
=
.. = 280 psi ..
7.27. Determine el esfuerzo cortante en los puntos C y D ubicados sobre el alma de la viga.
El FBD se muestra en la Fig. A.
Usando el método de secciones, Fig. B,
↑ ∑ 0;
18 36 0 9
El momento de inercia de la sección transversal del haz sobre el eje neutro es:
121 610 121 5.258 276 QC y QD pueden calcularse haciendo referencia a la Fig. C
´ ´334.5 16240. 75 ´3̅ ´ 4.5 16 27 Esfuerzo cortante. Ya que los puntos C y D están en la web, t = 0.75 pulg
. . . .
WALTER QUINCHE
LUISANA ROJAS
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GREGORY YANZA
BASILIO LAPO
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FERNANDO MENDIETA
ALEXANDER GARCIA
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