Omar Alvarez
Problemario Unidad 4
1 de Mayo de 2014
1.- Un automóvil que transita por una carretera escabrosa, cuya superficie es senoidal, se moldea moldea como un sistema de resorte-masa, como se muestra en la figura 8.40. La superficie senoidal tiene una longitud de onda de 5m y una amplitud de y = 1mm. Si la masa del automóvil, incluidos los pasajeros, es de 1500 kg y la rigidez del sistema de suspensión (k) es de 400 kN/m, determine el rango de velocidad (v) del automóvil en el cual los pasajeros perciben la vibración. Sugiera posibles métodos de mejorar el diseño para un viaje más confortable de los pasajeros
Diagrama de cuerpo libre
Dado que la superficie sigue una función sinusoidal con una amplitud de 1mm y una longitud de onda de 5m podemos escribir la función de desplazamiento de la altura del automóvil a nivel de la rueda como:
ℎ ∗sin2∗∗ 1∗si n 2∗∗5
Cuando es la distancia recorrida hasta el momento por el automóvil.
Dado que el automóvil se está moviendo con una velocidad constante de ahora sigue la función:
/ ℎ ∗sin2∗∗∗∗
Como resultado de la combinación de las ecuaciones anteriores:
/ℎ
,
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1∗si n 2∗∗∗ 5 ∗si n ∗ 2∗∗5 1.257∗ / 0.2 ∗
De la fórmula original de una ecuación sinusoidal puede calcular la frecuencia del movimiento armónico como:
ahora se
.Al modelar el automóvil como un sistema no amortiguado de un solo grado de libertad, podemos calcular los siguientes parámetros de nuestro sistema. Frecuencia natural:
/ 16.16.33 / / 2.2.6060 0.2.26∗0 13
Relación de frecuencia:
0
Dado que el automóvil está sujeto a una excitación armónica de base (sinusoidal) y , la amplitud de las vibraciones que sienten los pasajeros está dada por la siguiente ecuación:
1 1 113 ∙
Las amplitudes de velocidad y aceleración que sienten los pasajeros están dados por:
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1∗si n 2∗∗∗ 5 ∗si n ∗ 2∗∗5 1.257∗ / 0.2 ∗
De la fórmula original de una ecuación sinusoidal puede calcular la frecuencia del movimiento armónico como:
ahora se
.Al modelar el automóvil como un sistema no amortiguado de un solo grado de libertad, podemos calcular los siguientes parámetros de nuestro sistema. Frecuencia natural:
/ 16.16.33 / / 2.2.6060 0.2.26∗0 13
Relación de frecuencia:
0
Dado que el automóvil está sujeto a una excitación armónica de base (sinusoidal) y , la amplitud de las vibraciones que sienten los pasajeros está dada por la siguiente ecuación:
1 1 113 ∙
Las amplitudes de velocidad y aceleración que sienten los pasajeros están dados por:
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2∙∙∙1 2∙∙0. 2 ∙∙ 1 13 / ∙ 2 ∙ ∙ ∙ 1 2∙2 ∙ ∙ 0 . 2 ∙ ∙ 1 13 /
De acuerdo con el nomograma de vibración (figura 9.1) el umbral u mbral de percepción de la vibración por los pasajeros es un valor de aceleración más pequeño que el de
0.01 //
1000 ≤0.01 2∙2 ∙ ∙ 0 . 2 ∙ ∙ 1 113 ≤0.01 1000 157.13751313∙ ≤1000 157.7510001313 ∙ ≤ 13 ≤6.1099 ≤ 2.47 // 8.89 /ℎ/ℎ
Una mejor comprensión de la solución se puede lograr a través de la trama de la aceleración vertical
a la velocidad horizontal
del automóvil.
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La gama de velocidad en la que los pasajeros van a percibir la vibración es entre 0 y 8,89 km/h. Un viaje más cómodo se puede lograr para el pasajero si podemos mover el punto de resonancia a una velocidad horizontal mayor no aplicable a los movimientos normales de automóviles. automóviles.
Así que para una mucho mayor que nuestra velocidad máxima del automóvil se puede calcular la frecuencia del movimiento en esta velocidad horizontal particular como:
2∙∙5 0. 2 ∙
El punto de una vibración de resonancia es, por definición, el punto donde la frecuencia del movimiento aplicado es igual a la frecuencia natural del sistema, Así:
0. 2∙ 0. 2 ∙ ∙ 1500 1500 / /
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Así que una solución de este tipo se puede aplicar mediante el aumento de la rigidez de la suspensión en el valor adecuado calculado anteriormente.
8.3.- Dos discos idénticos se conectan por medio de cuatro birlos de diferentes tamaños y se montan en una flecha, como se muestra en la figura 8.41. Las masas y ubicación de los tres birlos son como sigue: = 35 gramos, r1 = 110 mm y = 40; = 15 gramos, r2 = 90mm y = 220; y = 25 gramos, r3 = 130 mm, = 280. Encuentre la masa y ubicación del cuarto birlo ( , el cual produce el balanceo estático de los discos.
Dos discos idénticos están conectados por cuatro pernos de diferentes tamaños y estos están montados en un soporte como se muestra en la figura. Las masas y localizaciones de los pernos son las siguientes
35 , 110 , 40° 15 , 90 , 220° 25 , 130 , 290°
Encontrar la masa y la localización del cuarto perno un balance estático en los discos.
,
el cual provoca
Para calcular el punto de balance debemos calcular primero las fuerzas de desbalance producidas por la masa adicional de los otros 3 pernos. De manera que se calcularan las respectivas fuerzas y ángulos de estos pernos.
∙ ∙ 110∙ 3 5∙
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40° ∙ ∙ 90∙ 220°1 5∙ ∙ ∙ 4∙5∙ 290° ∙ ∙
Para que durante el movimiento el soporte se encuentre en balance estático, la suma vectorial de las fuerzas de cada perno debe de ser igual a cero en cualquier dirección:
0 0 ∙cos ∙cos ∙cos ∙cos 0 3850∙ ∙0.7661350∙ ∙0.7663250∙ ∙ 0 . 3 42 ∙ ∙ ∙cos 0 ∙ ∙cos 3026.5 ……. 1 0 . . . . 0 ·sinØ ·sinØ ·sinØ ·sinØ 0 Ø0 Ø1447.032 …………2 ·· ··csosØinØ 1447. 3026.0325 Ø 3850· ·0.643-1350·
·0.643- 3250· ·0.94+ · · ·cos(
· ·sin(
Combinando ecuaciones (1) y (2)
Tan(
=-5.196
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Ø1447. 154.45° · sinØ032 3355.05 3355. 05
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Como conclusión, el cuarto perno puede estar localizado 154.45 grados de x en cualquiera con valor menor o igual al radio del disco tan largo como
, ,
8.5.-Se colocan tres masas, que pesan 0.5lb, 0.7lb y 1.2 lb alrededor de un volante de 30 pulg. De diámetro en las ubicaciones angulares respectivamente. Encuentre el peso y la ubicación angular de la cuarta masa que se colocara en el borde que conduce al balanceo dinámico del volante.
Con el fin de calcularse las propiedades de la masa de equilibrado debemos primero calcular la fuerza producida a partir de la resta masas. Por lo que para cada masa, respectivamente, la fuerza producida y el ángulo se calcula por debajo de donde Fi es la fuerza de desequilibrio creado por la masa adicional Ri, es la distancia de la masa desde el centro de gravedad de la millas cilindro es la masa añadida y es la frecuencia de la excitación: Determine la fuerza de desequilibrio para la primera masa adjunta, F1 usando la siguiente ecuación
Sustituyendo 30 pulgadas para
· · 300.5· 15 · · 300.7 y .5 libras para
= 15
Por lo tanto la fuerza de desequilibrio en la primer masa adjunta está dada por
Determine la fuerza de desequilibrio de la segunda masa adjunta, siguiente ecuación
Sustituyendo 30 pulgadas para
y 0.7 lb para
usando la
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=21
Por lo tanto la segunda masa de desequilibrio adjunta está dada por Determine la fuerza de desequilibrio de la tercera masa adjunta, siguiente ecuación:
Sustituyendo 30 pulgadas para
=36
· · 301.2
=36
Determine la fuerza de desequilibrio de la cuarta masa adjunta, siguiente ecuación:
=30·
·
usando la
y 1.2 lb para
Por lo tanto la tercer masa de desequilibrio adjunta está dada por
Sustituyendo 30 pulgadas para
=21
· · · ·
usando la
Por lo tanto la cuarta fuerza de desequilibrio adjunta está dada por la masa =30· ·
Por la dirección horizontal de la fuerza de equilibrio calculada atreves de la ecuación siguiente donde Fxi es la fuerza desbalanceada creada por la masa adicional en "i" en dirección de X:
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0 ∙ ∙ ∙ ∙ 0 ⍬ ⍬ ⍬ ⍬ 15∙ ∙0.98521∙ ∙0.174 36∙ ∙0.98530∙ ∙ ∙cos0 14.775∙ 3.654 35.46 30∙ ∙ ∙cos0 24.339 cos 0 30∙ ∙cos24.339
Donde 4 es el ángulo donde está adherida la masa, sustituyendo 15ω2 por F1, 21ω2 por F2, 36ω2 por F3 y 30·m4·ω2 por F4 Y sustituyendo también 10° por 1, 100°por 2 , 190° por 3, quedaría:
Dividido entre ω2 :
Para la dirección vertical, la fuerza de equilibrio es calculada atreves de la ecuación siguiente, donde Fy es la fuerza desbalanceada creada por la masa adicional "i" en la dirección de Y: Ω
0<> 0 ∙sin ∙sin ∙sin ∙sin0 ⍬ ⍬ ⍬ 15∙ ∙0.17421∙ ∙0.98436∙ ∙0.174430∙ ∙ ∙sin0 30∙ ∙sin 17.031 30∙30∙ ∙∙csosin 17.24.303931 tan0.6997 325° 35°
Sustituyendo 15ω2 para F1, 21ω2 para F2, 36ω2 para F3 y 30·m4·ω2 para F4 Sustituyendo también 10° por 1, 100° por 2, y 190° por 3, quedaría:
Combinando la ecuación 1 y 2, se obtiene:
Para calcular la masa del 4to:
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30∙17.sin031 0.991
8.15 Un volante, de 100 lb de peso y excentricidad 0.5 pulg, está montado en el centro de una flecha de acero. La longitud de la flecha entre los rodamientos es de 30 pulg y la velocidad de rotación del volante es de 1200 rpm. La configuración de la flecha y el volante se muestra a continuación:
207×10 / − 14. 5 04×10 207×10 1 30.023×10 1 1200 ×2 × 60 125.664 /
Se determina el módulo de Young del acero, en psi
Convertimos la velocidad angular, :
Convertimos la velocidad angular, :
y lo convertimos
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1200 ×2 × 601 125.664 / 48 64 48 64 3 4 30.023×10 1 3×30.0423×10 3 0 2620.025 / 1 386.4 2620.010025386.4 100.616 /
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Asumimos que la flecha actúa como un simple soporte. La rigidez de la flecha se puede calcular por la siguiente relación:
Con como el momento de inercia y la longitud de la flecha. El momento de inercia se determina como:
Sustituyendo en la primera ecuación nos da:
Aplicando los valores iniciales y
Calculamos la frecuencia natural con la siguiente ecuación:
Convertimos las
a
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Calcular la amplitud de movimiento circular por la siguiente relación:
Cuando e es excéntrico
100 1 25. 6 64 386.42620.025100125.6640.5 125.6640⁄ 1.382 1.382 1.382 1.9544 12 1 100 2 386.4125.6640.501 3993.6325
Sustituir m con 100 lb, w con 125.664 rad/s, e con 0.5 in y
con 2620.025 lbf / in
Calcular la desviación del centro de masa, R por la siguiente ecuación:
Sustituir A con 1.382 in
Calcular la reacción de rodamiento utilizando la siguiente ecuación:
Sustituir m con 100 lb, con 125.664 rad/s y R con 0.501 in
8.17.- Una flecha de acero de 2.5cm de diámetro y 1 m de longitud esta soportada por sus dos extremos en rodamientos. Lleva un disco de turbina, de 20kg de masa y 0.005 m de excentricidad, a la mitad y funciona a 6000 rpm. El amortiguamiento en el sistema equivale a amortiguamiento viscoso con
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..
determine la amplitud de remolineo del disco a (a) la velocidad de operación, (b) la velocidad crítica y (c) 1.5 veces la velocidad critica.
Un eje de acero opera a 6000 rpm. Se lleva un disco de turbine de 20 de masa y 0.005m de excentricidad. Se muestra el eje de la configuración y el rotor por debajo
Convertir el diámetro del eje en unidades del SI Diámetro del eje:
2.5 0.025 20710 / 6000 2 628.319 628.319 / 48 64
Determinar el módulo de Young de acero, Convertir la velocidad de rotación,
La velocidad de rotación del eje
El eje se supone que está actuando como una viga simplemente apoyada. La rigidez del eje se puede calcular mediante el uso de relación siguiente:
Con como el segundo momento de inercia y es la longitud del eje. El segundo momento de inercia del eje rígido se determina como:
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Con , diámetro del eje. Mediante la aplicación de la ecuación (2) a la ecuación (1), la rigidez del eje se puede reescribir como:
48 64 3 4 3×207×10 0 . 0 25 41 190520.4 / 190520.4 /
L Sustituya 1m, D con 0.025 m, y E con valor determinado de
El eje tiene rigidez,
de
.
Calcular la frecuencia natural por el siguiente ecuación:
Con
190520.4 / 190520.2049.814 305.758 / 305.758 / 1 2⁄
igual a la masa del rotor.
Sustituir
con 20 kg y
con
El sistema de vibración tiene una frecuencia natural,
de
.
Calcular la amplitud de giro del disco a la velocidad de funcionamiento mediante el uso de la siguiente ecuación.
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Con es la excentricidad y es la relación de amortiguamiento.
Y es relación de frecuencias, el calculado por:
628.319 / 628.305.319758 / 305.758 2.0549 0.005 2.0549 0.01 0. 0 05 2 . 0 549 1 2.0549 2×0.01× 2.0549⁄ 0.00653 6.53 12 305.758 / 0.01 12 1305.27058.01 306.370 / 306.370 / Sustituir de
con
y
con
.
Dado que la relación de frecuencia se determina, la amplitud de giro se puede calcular mediante la sustitución de con , con , y con en la ecuación (3).
La amplitud de giro del disco a la velocidad de operación, .
es
Si el eje funciona a velocidad crítica, la velocidad de funcionamiento a la velocidad crítica se determina por:
Sustituir
con
y con
La velocidad crítica del sistema,
es
La frecuencia del radio se determina de:
.
.
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Sustituyendo valores tenemos que:
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306.305.377058 1.002
La frecuencia del radio en velocidad crítica es, r es 1.002. La amplitud se determina:
1 2 0.01 1 1.0020.00521.0002.011.002 0.250013 1.5 1.5 1.001 1.50015
Sustituyendo e = 0.005m, r= 1.002 y
La frecuencia de radio puede ser calculada usando la siguiente expresion:
Sustituyendo
= 1.0001
La frecuencia del radio a 1.5 de tiempo de velocidad critica, r = 1.50015
La amplitud es determinada de
1 2 0.01
Sustituyendo e con 0.005m, r = 1.50015 y Tenemos que
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0 . 0 05 1 . 5 0015 1 1.50015 20.011.50015 0.008996 8.996
La amplitud a la velocidad crítica es 8.996mm
8.23.- la masa reciprocante, el radio del cigüeñal y la longitud de cada uno de los cilindros en un motor en línea de dos cilindros m, r y l , respectivamente. Los ángulos de los cigüeñales de los dos cilindros están separados por 180. Determine las fuerzas desbalanceadas y momentos en el motor.
Con la ecuación de la fuerza no balanceada y sus respectivas variables como masa, radio, ángulo de velocidad se define por:
∝
cos ∝ cos2∝ = =
°
∝
Donde es la orientación de cada cilindro y los angulos de separación entre los dos cilindros son de 180 podemos decir que la orientación del cilindro seria como 1. La orientación angular del cilindro se dira que es:
2∝∝180°
Analizando las variables siguientes en la ecuación 1
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∑= cos∝ ∑= cos2∝ cos ∝ cos ∝ cos ∝ = coscos∝cos ∝ 180° ∝cos∝ 0 cos2 ∝ cos2 ∝ cos2 ∝ = coscos2 ∝2∝cos cos2 ∝2360° ∝ 2cos2∝ cos∝ = y
Y
Usando los valores de las siguientes ecuaciones
Y
cos2∝ =
Las ecuaciones de fuerzas no balanceadas son:
Sustituyendo
0 2cos2 ∝ 2 cos2 ∝ 2 cos2 ∝ con m la ecuación final quedara como:
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si= n 180° 2 180° ∑=sin si= n sinsin sinsi sin 180° sin n 0 0 0
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Analizando la ecuación para el total de la fuerza desequilibrada horizontal con valor constante de masa reciprocante angular , y la longitud de biela .
, radio de manivela r, velocidad
Aquí es la orientación angular de cada cilindro. Dado que los ángulos de cigüeñal de los dos cilindros están separados por , que puede denotar la orientación angular del cilindro 1 como . Y la orientación angular del cilindro
Analizar la variable de
en la ecuación 2.
Por lo tanto, las ecuaciones del total de la fuerza desequilibrada horizontales pueden ser escritos por:
El momento no balanceado puede ser determinado por las siguientes ecuaciones: En el eje de las x
= = = sin∝ ×
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Con:
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= ×sin∝ ∙sin∝ ∙sin∝ ∙sin∝ = ∙sin∝ ∙sin∝180° 0∙ s i n ∝ ∙sin ∝ ∙sin ∝ ∙ ∙sin∝ = cos cos 2 ∗ = = ∗cos = ∗cos2
Los momentos del eje de las x pueden ser expresados por:
Los momentos alrededor del eje z
Con,
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∗cos ∗cos ∗cos = 0∗cos ∗cos 180° ∗cos ∗cos2 ∗cos2 ∗cos2 = 0∗cos2 ∗cos2 360°
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∗cos2 ∗ ∗cos ∗cos2 2 cos2 0
Los momentos sobre el eje z se pueden expresar por:
Las fuerzas desequilibradas del motor de 2 cilindros en línea son
∗ ∗sin ∗ ∗cos ∗cos2
Y en el momento sobre el eje X y Z, respectivamente
8.25- en la figura 8.47 se muestra la disposición de los cigüeñales en un motor de seis cilindros en línea. Los cilindros están separados por una distancia a en la dirección axial, y las posiciones angulares de los cigüeñales son . Si la longitud del cigüeñal, la longitud de las bielas y la masa reciprocante de cada cilindro son r, l y m, respectivamente, encuentre las fuerzas desbalanceadas primaria y secundaria y los momentos con respecto al plano de referencia indicado en la figura 8.47
,
La disposición de las manivelas en un motor de seis cilindros en línea se muestra en la siguiente figura mencionada. Los cilindros están separados por una distancia en la dirección axial. Las posiciones angulares de las manivelas están dadas por como se muestra a continuación. El motor tiene una longitud de manivela de r, la longitud de varilla de conexión de la I, y de movimiento alternativo de masa de m, para cada uno de cilindro.
0°, 120°, 240°
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El desplazamiento axial de cada cilindro se analiza de la siguiente manera, usando la línea central del cilindro uno como hace referencia en plano.
El desplazamiento axial del cilindro 1,
El desplazamiento axial del cilindro 2,
El desplazamiento axial del cilindro 3,
El desplazamiento axial del cilindro 4,
El desplazamiento axial del cilindro 5,
El desplazamiento axial del cilindro 6,
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∝∝∝∝° ° ∝ ∝°
La posición angular del cigüeñal está dada por:
La primera y la segunda fuerza desbalanceadas son obtenidas por la dirección de ‘’x’’ y ‘’y’’ usando las siguientes ecuaciones:
Con
= = . = = = = es determinada:
Y combinando las 2 últimas ecuaciones tenemos:
Usando las constantes y variables (radio del cigüeñal r, longitud de la biela I, masa m y masa rotativa el puede ser expresado:
La fuerza desbalanceada primaria y secundaria acerca de y=axis componente.
Con
es determinada:
Combinando las ecuaciones tenemos:
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= ∝ = ∝ 0∝ ∝ = = = cos°∝cos∝°cos°∝cos∝°cos∝° cos∝° ∝ 0 . ∝ 120 . ∝ 240 . ∝ 240 . ∝ 120 . ∝ 0 . ∝ = °cos240° cos240° cos120° coscos00°°cos 1 20 10 1 0. 5 0. 5 0. 5 0. 5 2 2∝ . = 2 2∝ 02∝ 2 ∝ = = = coscos22∝∝ cos2 ∝ cos2 ∝ cos2 ∝ cos2 ∝ ∝ 0°. ∝ 120°. ∝ 240°. ∝ 240°. ∝ 120° ∝ 0°. 2 2∝ = °° cos2240° cos2240° coscos221200°°cos 2 120 cos 2 0 1 0.5 0.5 0.5 0.5 10 Usando las constantes y variables (radio del cigüeñal r, longitud de la biela I, masa m y masa rotativa el puede ser expresado:
Sustituyendo
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Aplicando las ecuaciones trigonométricas en la ecuación.
Sustituyendo
= ∝ ∑= ∝ 00 0 0 con 0.
la fuerza desequilibrada sobre x y el eje y es cero.
Los momentos de desequilibrio primario y secundario se obtienen a partir de su z y la dirección x mediante el uso de las ecuaciones siguientes: Los momentos de desequilibrio primario y secundario sobre el eje z
=
Mediante la aplicación de la ecuación (2), el momento de desequilibrio puede ser reescrita como:
= cos cos2 N I= cos = Icos2 …………..7
Momento de desequilibrio primario sobre el eje x
=
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Mediante la aplicación de la ecuación (5), el momento de desequilibrio puede ser reescrita como:
= sin …………. . 8 N I= x sin
Evaluación de las variables de trigonometría se obtiene de la ecuación (7) y ecuación (8)
cos .cos2.cos2.cos2 .cos2 .cos2 .cos2 = 0° 120°, 240°, 240°, 120°, , , 2 , 3 , 4 cos1c20°os12.20° 5. cos2c40°os0° = cos 3.0.ccosos02.40° 4.
Sustituyendo
por
,
por
por
por
0°
00.51.525 0 = .cos2 ∑ .cos2 .cos2 .cos2 .cos2 .cos2.cos2.cos2 = 0° 120°, 240°, 240°, 120°, 0° , , 2 , 3 , 4 cos1c20°os12.20° 5. cos2c40°os0° = cos 3.0.ccosos0240°. 4.
Calcular la ecuación
Sustituyendo
por
,
por
por
por
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00.51.525 0 = sin ∑ sin .sin.sin.sin .sin.sin.sin = 0° 120°, 240°, 240°, 120°, 0° , , 2 , 3 , 4
Calcular la ecuación
Sustituyendo
por
,
por
por
sin [ .sin0° .sin120° 2.sin240° ] 3.sin240° 4.sin120° 5.sin0° =
012 √ 3√ 3 32 √ 32√ 30 0 N I= cos = Icos2 ∑N= I cos ∑= Icos2 O 0 N I= x sin ∑N= I x sin 00
La aplicación de la ecuación de la trigonometría en la ecuación (7)
Sustituyendo
con 0 y
con 0
Aplicación de la ecuación de la trigonometría en la ecuación (8)
Sustituyendo
por 0
por
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El motor de seis cilindros en línea que está en estado de equilibrio, ya que tiene momento de desequilibrio de cero alrededor del eje y el eje x
00
8.27.- se tiene que aislar un instrumento electrónico de un tablero que vibra a frecuencias que oscilan de 25 Hz a 35 Hz. Se estima que al menos se debe lograr 80 por ciento del aislamiento de vibración para que no se dañe el instrumento. Si el instrumento pesa 85 N, determine la deflexión estática necesaria del aislador.
Calcular la frecuencia natural inicial
= 2 f1
del sistema de la siguiente
Aquí la frecuencia de vibración inicial es f1. Sustituye 25 Hz para f1 en la ecuación anterior para obtener el valor de
= 2 (25)= 157.08 rad/s.
Calcular la frecuencia natural final ( = 2 f2
.
) del sistema de la siguiente manera:
Aquí la frecuencia de vibración final es f2. Sustituye 35 Hz para f2 en la ecuación anterior para obtener el valor de
= 2 (35)= 219.91 rad/s.
.
Calcular la fuerza de permisibilidad Tf de la siguiente manera: Tf= 1 - R
Aquí el aislamiento de las vibraciones es R. Sustituye 0.8 para R en la ecuación anterior para obtener el valor Tf de la siguiente manera: Tf= 1- 0.8= 0.2
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Calcular la proporción de la frecuencia (r) de la siguiente manera:
+
r=
Sustituye 0.2 para Tf en la ecuación anterior para obtener el valor (r) de la siguiente manera: r=
+.. √ 6 =
= 2.449
Calcular la deflexión estática (
st1=
²
.
st1) a
la frecuencia inicial de la siguiente manera:
Sustituye 2.449 para r y 157.08 rad/s para valor ( st1) de la siguiente manera:
st1=
.² ²
. .² >
st1)
a la frecuencia inicial de la siguiente manera:
Sustituye 2.449 para r y 219.912 rad/s para el valor ( st2) de la siguiente manera: st2=
en la ecuación anterior para obtener el
= 0.002385m= 2.385 mm
Calcular la deflexión estática ( st2=
en la ecuación anterior para obtener
= 0.001217m= 1.217 mm
Desde st1 st2 a continuación, la mayor es la deflexión estática requerida del sistema. La deflexión estática necesaria del aislador es 2.385 mm.
Omar Alvarez
Problemario Unidad 4
1 de Mayo de 2014
29.- un compresor de aire de 500kg de masa tiene una excentricidad de 50 kg-cm y funciona a una velocidad de 300 rpm. El compresor se tiene que montar sobre uno de los siguientes soportes de montaje: (a) un aislador compuesto de un resorte con amortiguamiento insignificante, y (b) un amortiguador con relación de amortiguamiento de 0.1 y rigidez insignificante. Seleccione un soporte de montaje adecuado y especifique los detalles de diseño considerando la deflexión estática del compresor, la relación de transmisión y la amplitud de vibración del compresor.
50 1100 50 0.5 300 300 1 2 ó 601 31.416 / Calcular la frecuencia de radio, r mediante la siguiente relación:
1 2 1 2 {1 10 0} {1 1 } 1
Buscar la frecuencia usando la siguiente relación:
Sustituir 0.1 en
:
Omar Alvarez
Problemario Unidad 4
1 de Mayo de 2014
0.0.111 11 √ 11 3.317 El sistema tiene una frecuencia radio de 3.317 Calcular la rigidez mediante la relación:
M es la masa del compresor de aire
Sustituir M con 500 kg, con 31.416 rad/s y 11 para
3 1. 4 16 11 500 44862 ⁄
El oscilador tiene una rigidez de:
44862 ⁄
Calcular la amplitud mediante la siguiente ecuación:
1 1 2 1 1 0 Siendo
la fuerza de excitación determinada por
Aplicar
a la ecuación y sustituir por 0
Omar Alvarez
Problemario Unidad 4
11
1 de Mayo de 2014
Sustituir 0.5 kg m en me, 31.416 rad/s en , 44862 N/m en k y 11 por
0. 5 3 1. 4 16 44862 1111 0.0011
Calcula la deflexión estática usando la siguiente ecuación
Con
es la fuerza que se detemrina por
Con es la fuerza desequilibrada rigidez
es la velocidad y k es una constante de
31.416 0.544862 0.011 ó á
Se sustituye 0.5 kg.m por
, 31.416 rad/s por y 44862 N/m por k
El compresor está montado en la primavera con rigidez insignificante y coeficiente de amortiguamiento de 0,1 Calcule la frecuencia del coeficiente de amortiguamiento con la siguiente relación
Se sustituye 0.1 por
/ 12ℶ 1 2ℶ ℶ y 0.1 por
Omar Alvarez
Problemario Unidad 4
1 de Mayo de 2014
/ 120. 1 1 20.1
La ecuación anterior se puede reescribir como:
0.01 -0.059 -0.99=0
Y se despejan las raíces:
√ 13.13.3366665 3.656 31.13.4163665 500 36919 / 11 2ℶ 11 2ℶ , ℶ 0. 5 3 1. 4 16 36919 1 3.6561 20.13.656 0.001079 ó
Calcula la rigidez usando la relación:
Donde M es la masa del aire compresor
Se sustituye 500 kg por M, 31.416 rad/s por y 13.3665 por
Calcula la amplitud usando la ecuación:
Donde Fo es la fuerza excitada que se determina por reescribir
Se sustituye 0.5 kg.m por 3.656 por r
, 31.416 rad/s por
. Y la ecuación se puede como:
0.1 por , 36919 N/m por k y
Omar Alvarez
Problemario Unidad 4
1 de Mayo de 2014
Calcular la deflexión estática usando:
Donde
31.416 0.013367 0.536919 0.013367
es la fuerza de excitación determinada por
Con siendo la fuerza de desbalance, de amortiguamiento. Sustituyendo 0.5 kg*m por
La deflexión estática es
.
la velocidad de operación, y la rigidez
, 31.416 rad/seg para , y 36919 N/m para :
.
El caso del montaje-resorte tiene mayor amplitud que el caso de montajeamortiguador. Pero la deflexión estática del caso montaje-resorte es menor que la del caso montaje-amortiguador. Por lo tanto, seleccionamos el montaje-amortiguador para reducir la amplitud de la vibración. Por relación de transmisión de 0,1, el amortiguador puede controlar la amplitud de la vibración a 0,001079 m y tiene una deflexión estática de 0,013367 m 8.63.- un compresor de aire con masa de 200 kg y desbalance de 0.01 kg-m experimenta una gran amplitud de vibración mientras funciona a 1200 rpm. Determine la masa y la constante de resorte del amortiguador que se tiene que agregar si las frecuencias naturales del sistema son de al menos 20 por ciento de la frecuencia impartida.
Calcular el valor de la frecuencia de excitación en rad/seg:
1200 1200 260/ 125.6 / 125.6 /
Con el fin de lograr los resultados óptimos, se toma la frecuencia del sistema con amortiguador de igual a la frecuencia de excitación.
Omar Alvarez
Problemario Unidad 4
1 de Mayo de 2014
Ω. Ω 1 2 1 2 1 Ω 1 2 1 2 1
Escribe la expresión para la frecuencia natural (
Donde, es la relación de la masa del absorbedor a la masa del sistema inicial. Dado que los valores de la frecuencia natural debe ser al menos 20% más arriba que los de la frecuencia de excitación, tenemos:
Ω Ω
Ω <0.8 1 2 1 2 1< 0.8 ….1
En este caso las ecuaciones de frecuencia natural del sistema tomaran esta forma, donde es la relación de la masa del absorbedor con la masa del sistema inicial, mientras y son las frecuencias naturales del sistema combinado. Para la primera frecuencia natural:
Ω.
Escribimos la expresión para la segunda frecuencia natural (
Ω 1 2 1 2 1 Ω 1 2 1 2 1
Dado que los valores de la frecuencia natural debe ser al menos 20% más arriba que los de la frecuencia de excitación, tenemos:
Ω < 1.2 1 2 1 2 1< 1.2 ….2
Omar Alvarez
Problemario Unidad 4
1 de Mayo de 2014
Añadimos las desigualdades 1 y 2 para obtener la siguiente relación:
1 2 1 2 11.2 <0.8 1 2 1 2 1 1 1 2000.154 30.8 30.8125.6/ 485,881 /
2
> 0.4
µ= 0.154
Use la siguiente expresión para obtener la masa de absorción ( satisfacer la condición dada:
Aquí
es la masa inicial del sistema, sustituimos 200 kg por
requerido para
y 0.154 por µ
Use la siguiente expresión para obtener K
Por lo tanto la masa de absorción es 30.8 KG y la constante es 485,881N/m 8.65.- el tubo de alimentación de agua a una caldera en una planta termoeléctrica vibra violentamente cuando la velocidad de la bomba es de 800 rpm. Para reducir las vibraciones se instala en el tubo absorbedor compuesto de un resorte de rigidez y masa de prueba de 1 kg. Esta configuración produce las frecuencias naturales del sistema de 750 rpm y 1000 rpm. Se desea mantener las frecuencias naturales del sistema fuera del rango de operación de la bomba, el cual es de 700 rpm a 1040 rpm. Determine los valores que satisfagan este requerimiento.
′
Inicialmente la frecuencia de excitación debe ser cambiada a la unidad requerida:
800
Omar Alvarez
=83.733 rad/S
Problemario Unidad 4
1 de Mayo de 2014
800∗ 1 2 ∗ 160
En este caso la ecuación del sistema natural de frecuencia toma la siguiente forma:
Ω 1 2 1 2 1
La primer frecuencia natural se puede calcular utilizando la ecuación anterior donde µ es la relación entre la masa de absorción de la masa inicial del sistema y es la frecuencia natural de absorción
Ω 1 2 1 2 1 Ω ∗1 2 1 2 1 Ω 1 2 1 2 1 Ω ∗1 2 1 2 1
La segunda frecuencia natural se puede calcular utilizando la ecuación anterior.
Las frecuencias naturales de de todo el sistema inicial que figura en las instrucciones que se transforman a las unidades apropiadas dividiendo con segundos por minuto y multiplicando a rad. La primera frecuencia natural del sistema es:
Ω 750 Ω 750 1 2 ó 601 Ω 78.5 /
Omar Alvarez
Problemario Unidad 4
1 de Mayo de 2014
La segunda frecuencia natural del sistema trial es:
Ω 1000 Ω 1000 1 2 ó 601 Ω 105 /
Reemplazamos los valores de las frecuencias naturales del sistema total para las siguientes ecuaciones:
78.5 / 1 2 1 2 1 105 / 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 0.75 1 2 1 2 1 0.56251 20.5625 1 2 1 1 2 1 2 1 1.5625 1 2 10.43751 20 1 21.042 0.084 Dividiendo las ecuaciones anteriores:
Omar Alvarez
Problemario Unidad 4
1 de Mayo de 2014
Calcula la masa del tubo usando la siguiente ecuación:
´ ´
La masa del tubo es
Se sustituye 0.084 para
0.1084 11.90
, y la masa del trial es y 1 kg para
´
´
Necesitamos las frecuencias naturales para tener una distancia del rango de la frecuencia de excitación y para obtener estas condiciones tenemos que diseñar las frecuencias naturales del sistema para estar fuera del rango de frecuencia de operación situado entre . Determine las frecuencias operacionales.
, ,
Frecuencia operacional mínima
, 700 , 700 1 2 ó 601 , 73.5 / , 1040 , 1040 1 2 ó 601 , 109.2 / Frecuencia operacional máxima
Omar Alvarez
Problemario Unidad 4
1 de Mayo de 2014
La siguiente condición se aplica para la primera frecuencia natural requerida
Sustituyendo
Ω <, 1 1 1 Ω 75.35 / , 1 2 1 2 1<75. 5 ……1 Ω <, 1 1 1 Ω 109.2/ , 1 2 1 2 1<109. 2 ….2 0. 3 1 0.23 1 0.23 1 <75.5 ( .0.53<75.5 ) .<100.96 1 0.23 1 0.23 1 >109.2 ) .(1.71>109.2 para
La siguiente condición se aplica para la segunda frecuencia natural requerida
Sustituyendo
Dado que no es sólo una solución al problema, un valor lógico de cualquiera y puede ser seleccionado y el otro se puede calcular a través de las ecuaciones. En nuestro caso vamos a tomar el caso de Sustituir 0.3 para en la ecuación (1).
Y sustituir 0.3 para
en la ecuación (2)
