toma desiciones 1 a 8

MODELO PARA LA TOMA DE DECISIONES : Gabriel Mauricio Yañez Barreto

ÍNDICE 

Recomendaciones académicas



Desarrollo de cada una de las unidades temáticas

1. Redes para la administración de proyectos CPM. 1.1. Representación como red 1.2. Ruta crítica 

Referencias



Referencias bibliográficas

INTRODUCCIÓN

Dentro de esta cartilla, cada uno de los estudiantes revisará la teoría básica de las redes para la administración de proyectos, que son usadas para determinar el tiempo de un proyecto y cuáles son las actividades más importantes dentro del mismo. Para poder comprender mejor el tema se brindarán algunos “tips” o anotaciones con puntos claves de la teoría. Ahora, teniendo en cuenta que esto se utiliza es para la planeación de los proyectos en general, pueden revisar infinidad de aplicativos de las teorías para casos prácticos. Logran verlos aplicados desde el momento de planear un día a día hasta el desarrollo de cualquier proyecto en una empresa.

RECOMENDACIONES ACADÉMICAS

Estimados estudiantes, a lo largo de la cartilla encontrarán la fundamentación y desarrollo de la teoría básica de redes para la administración de proyectos, recuerden que deben realizar un resumen de las nociones más importantes para su estudio autónomo. Desarrollen de manera individual cada uno de los ejercicios que se les presentan como ejemplo. Para profundizar un poco más en el te ma, no olviden que dentro de los recursos virtuales de la institución pueden encontrar varios tipos de documentos que les serán útiles, como lo son libros de investigación de operaciones o de administración científica, también encontrarán artículos y documentos investigativos de aplicación.

DESARROLLO DE CADA UNA DE LAS UNIDADES TEMÁTICAS

1. Redes para la administración de proyectos CPM Dentro de la planeación de un proyecto debemos tener en cuenta que existen ex isten varios factores que afectan su desarrollo:

2

POLIT POL IT CNI CNICO CO GRA GRANCO NCOLOM LOMBIA BIANO NO

ÍNDICE 





1. Redes para la administración de proyectos CPM. 1.1. Representación como red 1.2. Ruta crítica 

Referencias




INTRODUCCIÓN

Dentro de esta cartilla, cada uno de los estudiantes revisará la teoría básica de las redes para la administración de proyectos, que son usadas para determinar el tiempo de un proyecto y cuáles son las actividades más importantes dentro del mismo. Para poder comprender mejor el tema se brindarán algunos “tips” o anotaciones con puntos claves de la teoría. Ahora, teniendo en cuenta que esto se utiliza es para la planeación de los proyectos en general, pueden revisar infinidad de aplicativos de las teorías para casos prácticos. Logran verlos aplicados desde el momento de planear un día a día hasta el desarrollo de cualquier proyecto en una empresa.


Estimados estudiantes, a lo largo de la cartilla encontrarán la fundamentación y desarrollo de la teoría básica de redes para la administración de proyectos, recuerden que deben realizar un resumen de las nociones más importantes para su estudio autónomo. Desarrollen de manera individual cada uno de los ejercicios que se les presentan como ejemplo. Para profundizar un poco más en el te ma, no olviden que dentro de los recursos virtuales de la institución pueden encontrar varios tipos de documentos que les serán útiles, como lo son libros de investigación de operaciones o de administración científica, también encontrarán artículos y documentos investigativos de aplicación.


1. Redes para la administración de proyectos CPM Dentro de la planeación de un proyecto debemos tener en cuenta que existen ex isten varios factores que afectan su desarrollo:

2




Tiempo



Costo



Disponibilidad de recursos.

Estos factores son los que definen si un proyecto se realiza o no, ya que entre ellos se encuentran relacionados. Por ejemplo, sabemos que si aumentamos el tiempo de un proyecto aumentan los costos, para disminuir los costos de un proyecto debemos tener en cuenta que también se deben buscar alternativas de tiempo y recursos. Lo que se busca con esta teoría es determinar un tiempo de desarrollo y unas actividades que son las más importantes, lo cual nos define que esas actividades importantes son las que no debemos permitir que se retrasen. Por lo tanto el método CPM,“ critical path method ” en sus siglas en inglés, que traduce al español el método de la ruta crítica , es utilizado para la planeación de cada una de las actividades de un proyecto, definiendo cuál será su predecesor y cuáles actividades dependerán de la terminación de la misma. Este método es utilizado para relacionar el tiempo de inicio y finalización de cada una de las actividades, generando así el tiempo de desarrollo de un proyecto de manera secuencial. Así, con la suma de los tiempos de cada una de las actividades, podemos relacionar el tiempo de duración de todo un proyecto. Durante el desarrollo de la cartilla encontraremos cómo se realizan y definen las actividades más importantes. 1.1.

Representación Representaci ón como red

Se realiza una representación como red para tener un gráfico que defina cuáles son las precedencias de cada una de las actividades y lograr definir de manera más didáctica cuáles son las más importantes y cuáles pueden generar una demora. Por lo tanto, vamos a definir qué es un nodo y qué e s un arco: Nodo: es la representación de cada una de las actividades del proyecto. Arco: es el que refleja las relaciones de precedencia de cada una de las actividades.

Para entender esto de manera correcta tenemos el siguiente ejemplo: Un proyecto con 5 actividades debe cumplir las siguientes restricc iones: Tabla 1. Restricciones iniciales de una red Actividad

Predecesor

A

-

B

-

C

A

D

A,B

E

C,D

MODELO PARA LA TOMAS DE DECISIONES

3

Fuente: Elaboración propia (2016)

Según lo que dice la tabla 1, la actividad A y B no tiene predecesor, por tanto son las iniciales del proyecto; la actividad C depende de la finalización de A, la actividad D depende de la finalización de C y D, por ultimo tenemos que la actividad E depende de la finalización de C y D. El tiempo en el que terminará la actividad E será el tiempo total de duración del proyecto. Ahora realizaremos la construcción de la red según las restricciones de la tabla 1.

Figura 1. Representación como red del ejemplo


Así como se muestra en la figura 1, quedaría la representación como red del ejemplo que venimos desarrollando, todo teniendo en cuenta las precedencias y dependencias de cada una de las actividades. Si revisamos bien la figura 1 nos encontramos con 3 rutas que cumplen las relaciones de precedencia desde el inicio hasta el final, estas son A-C-E, B-D-E y por ultimo A-D-E. Para definir el tiempo total del proyecto, es la suma de los tiempos de todas las actividades de una de las rutas siendo el mayor de los tiempos en cualquiera de las rutas. Una ruta crítica para una red es aquella que es mayor o igual que cualquiera de las rutas de la red. También debemos tener en cuenta la definición de u na holgura, la cual es la que nos indica si es o no una actividad crítica o de las importantes del proyecto, ya que la ruta crítica solo tie ne actividades con holgura cero y que cumplan un camino desde el inicio del proyecto hasta el final del mismo. Ahora revisemos el mismo ejemplo pero con tiempos para hacer más practico el trabajo del mismo. Tabla 2. Ejemplo con tiempos

4

Actividad

Predecesor

Tiempo

A

-

1.5

B

-

1

C

A

2

D

A,B

1.5

POLIT CNICO GRANCOLOMBIANO

E

C,D

1


Empecemos con mirar las rutas que existen desde el inicio hasta el final del proyecto, también analizaremos de una vez cual es el tiempo que se demora cada una de ellas, por lo tanto tenemos: A - C - E = 1.5 + 2 + 1 = 4.5 A – D – E = 1.5 + 1.5 + 1 = 4 B – D – E = 1 + 1.5 + 1 = 3.5

Si nos fijamos en lo que acabamos de escribir sobre los tiempos de cada una de las rutas del proyecto y retomamos las definición de la ruta crítica “ que es aquella ruta que sea mayor o igual a cualquiera de los tiempos de las rutas del proyecto ” como lo mencionamos anteriormente, tenemos que la ruta crítica del ejemplo que estamos realizando es la primera o A – C – E que es la que se demora 4.5 unidades de tiempo. Para entrar al detalle cómo se realiza todo el proceso con la teoría de CPM debemos definir los siguientes tiempos por cada una de las actividades del proyecto, los cuales son: 

Earlist start (ES): es el tiempo más temprano de iniciación de una tarea



Earlist Finished (EF): es tiempo más temprano de finalización de una tarea



Latest Start (LS): es el tiempo más tardío de iniciación de la actividad



Latest Finished (LF): el tiempo más tardío de la finalización de una actividad.

Para ilustrar de manera gráfica cada uno de los tiempos en una actividad tenemos la siguiente imagen.

Figura 2. Estructura de una actividad en una red


Ahora tenemos que para hallar cada uno de estos tiempos las siguientes instrucciones;: 1. El ES será el máximo de los tiempos de finalización de las actividades que preceden a la actividad que estamos analizando, si esta es un inicio el valor para este tiempo será cero. 2. El EF será la suma entre el inicio temprano (ES) y el tiempo de que se demora cada actividad.


5

3. El LF será el mínimo de las actividades que se encuentran delante de la actividad que estamos analizando, si esta actividad es un final es el tiempo total del proyecto. 4. El LS es una resta entre el tiempo de finalización tardío (LF) y el tiempo de la actividad. Una holgura, matemáticamente hablando, es una diferencia entre dos de los 4 tiempos con los que se cuenta en una actividad, como lo demuestran las siguientes ecuaciones; S=LF-EF S= LS – ES

Si el resultado de las holguras es cero, es muy probable que esta actividad sea parte de la ruta crítica. Definamos de una manera más corta y concisa cada uno de los pasos para realizar el desarrollo de un proyecto por el método de CPM: 1. Calcular los tiempos más tempranos de iniciación (ES) para cada una de las actividades desde el inicio hasta el final. 2. Tenga en cuenta que el tiempo más temprano de iniciación de una actividad es el máximo de los tiempos de finalización temprana (EF) de las actividades predecesoras. 3. Calcular los tiempos más tempranos de finalización de cada una de las actividades. 4. En las actividades finales del proyecto se toma el mayor de los tiempos tempranos de finalización (EF) como el tiempo total del proyecto. 5. Calcular los tiempos más tardíos de finalización de cada una de las act ividades desde el fin hasta el inicio. 6. Tenga en cuenta el tiempo más tardío de terminación de una actividad (LF) es el mínimo de los tiempos más tardío de iniciación de las actividades futuras. 7. Calcular los tiempos más tardíos de iniciación de cada una de las actividades. 8. Determinar las holguras de cada una de las actividades y definir la ruta crítica.

Ya teniendo definidos cada uno de los pasos que se deben realizar vamos a continuar con el ejemplo que veníamos trabajando para esclarecer cada una de las dudas y demostrar cómo es la fase operativa de esta teoría. Tomamos la tabla 2 de nuevo de referencia del trabajo. La red queda de la siguiente manera:

6


Figura 3. Representación de la red con los tiempos de cada una de las actividades


Después de construir la red debemos empezar a encontrar los tiempos de inicio de cada una de las actividades, como se muestra en la figura 2 los tiempos de inicio temprano de la actividad A y B son cero por ser actividades iniciales de un proyecto. Pasamos a hallar los tiempos de finalización temprana (ES) que son la suma del tiempo inicialización temprana (ES) con el tiempo de la actividad por lo tanto queda como se muestra en la figura 3.

Figura 4. Primer paso del desarrollo de una red


Empezamos a encontrar el tiempo de inicialización temprana de las actividades C y D. Entonces, para el caso de C tenemos que solo tiene una actividad antecesora, por lo tanto el tiempo de finalización temprana de la actividad anterior será el tiempo inicialización temprana de C. Para el caso de la actividad D, tenemos dos actividades antecesoras por lo tanto el tiempo de inicialización temprana será el máximo de los tiempos de finalización temprana de las dos antecesoras ósea A y B. Por lo tanto, el ES en c será 1.5 (el final de A), y el de D es 1.5 también por ser el tiempo mayor. Después hallamos el EF de C y D, que es simplemente la suma del tiempo de la actividad con el ES de cada una de ellas, todo quedaría como se muestra en la Figura 4.


7

Figura 5. Como hallar el EF de las actividades C y D


Para hallar el valor del ES de la actividad es básicamente el máximo de los EF de la actividad C y D, lo cual sería el mayor entre 3.5 y 3, que sería 3.5 por lo tanto se vería algo así.

Figura 6. Hallar el valor de ES de E


Hallamos el valor de EF de la actividad E, que es básicamente sumar el Es hallado anteriormente más el valor del tiempo de la actividad, queda como se muestra en la figura 6.

Figura 7. Hallar el EF de E


Teniendo en cuenta que E es la última actividad el tiempo del proyecto es de 4.5 unidades de tiempo, por lo tanto ahora empezamos a devolvernos y hallar los LF y LS de cada una de las actividades para terminar el ejemplo. El LF de la actividad E es básicamente el valor de tiempo total del proyecto y a ese LF se le deben restar el valor del tiempo de la actividad E para encontrar LS, lo cual queda como se muestra en la figura 7.

8


Figura 8. Hallar el valor LS en la actividad E


Ahora el tiempo LF o de terminación tardía de las actividades C y D es básicamente el tiempo de inicialización tardía de E lo cual se muestra en la figura 8.

Figura 9. Hallar el LF de C y D


Ahora hallamos el valor de LS de la actividad C y D que es restar el valor de LF de cada una de las actividades por el valor del tiempo de cada una de las actividades. Ya en la figura 9 se muestra que después de hallar los LS de la actividad C y D hallaremos el LF de la actividad que es el menor de los números de los tiempos LS de C y D, como se muestra en la figura 9.

Figura 10. Como hallar el LF de la actividad A


Ahora ya para finalizar la red quedará como se muestra en la figura 10.

Figura 11. Red completa


9


Nos falta hallar las holguras de cada una de las actividades, como se muestra en la figura 11, y luego ya tenemos las holguras como se muestra en la figura 12.

Figura 12. Holguras de cada una de las actividades


1.2. 

Ruta crítica Con estos elementos podemos definir la ruta crítica, ya que esta es la secuencia de actividades desde el inicio hasta el final, donde cada una de las actividades tiene holgura c ero, por lo tanto la ruta crítica es A – C – E, con un tiempo de duración del proyecto de 4.5 unidades de tiempo.

Teniendo en cuenta este ejercicio desarrollaremos otro ejercicio más como ejemplo del tema. Tabla 3. Ejemplo 2

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Actividad

Predecesores

Tiempo

A

-

6

B

-

4

C

A

3

D

A

5

E

A

1

F

B,C

4

G

B,C

2

H

E,F

6

I

E,F

5


J

D,H

3

K

G,I

5

Figura 13. Red del ejemplo 2


Ahora en el siguiente paso colocaremos lo tiempos de cada una de las actividades y hallaremos lo tiempos de inicialización temprana y de finalización temprana de cada una de las actividades. Como se muestra en la figura 13, así quedaría la red con los ES y EF de cada una de las actividades.

Figura 14. Tiempos de iniciación temprana y de finalización temprana de cada una de las actividades


Ahora realizaremos el procedimiento para hallar los LS y LF de cada una de las actividades y sus respectivas holguras.


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Figura 15. Ejercicio completo son holguras


Ahora como podemos ver en la figura 14 ya tenemos cada una de las holguras de las actividades por lo tanto podemos definir cuál es la ruta crítica, que sería A – C – F – I – K, teniendo un tiempo de terminación del proyecto de 23 unidades de tiempo.

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REFERENCIAS

Referencias bibliográficas Anderson, D. S. (2005). Métodos Cuantitativos Para Los Negocios (Novena Edición ed.). Mexico: Cengage Learning Editores. Bazaraa, M. J. (1996). Programación Lineal y Flujo en Redes (Segunda edición ed.). México: Limusa. Bazarra, M., & Jarvis, J. J. (2005). Programación lineal y flujo en redes. (Segunda Edición. ed.). México: Limusa Editores. . Castillo. (20 de Noviembre de 2007). Departamento Unican. Recuperado de Unican: http://departamentos.unican.es/macc/personal/profesores/castillo/libro.htm Hillier, F. &. (2006). Texto principal: Introducción a la Investigación de Operaciones. (6ª Edición. ed.). N/A: McGraw Hill. . Hillier, F. &. (2006). Investigación De Operaciones (Octava Edición ed.). México: McGraw -Hill. Hillier, F. &. (2008). Métodos Cuantitativos Para Administración (Tercera Edición ed.). México: McGrawHill. Hopp, W. &. (2008). M. Factory Physics. NY: McGraw Hill. Taha, H. (1997). Investigación de Operaciones: Una Introducción (Sexta edición ed.). NY: Prentice Hall. Winston, W. (2005). Investigación De Operaciones Aplicaciones Y Algoritmos (Cuarta Edición ed.). México: Thomson.


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MODELOS PARA LA TOMA DE DECISIONES : Gabriel Mauricio Yañez Barreto

INICIO 

Introducción







1. Inventarios EOQ 2. Modelo EPL 3. Modelo EOQ Con faltantes 4. Modelo de inventarios EOQ con descuentos 

Referencias




INTRODUCCIÓN En esta cartilla se revisarán las teorías sobre el manejo de los inventarios y las bases teóricas de la programación lineal. Para el caso de los inventarios se entrarán a revisar los costos de cada uno de los objetos que tenemos dentro del inventario de un almacén y cómo tenerlos puede incurrir en unos costos que se ven reflejados en el desarrollo del año de servicio. También se estudiará el desarrollo de la programación lineal, sus diferentes aplicaciones y aparte sus ventajas de uso. Teniendo en cuenta el cómo se realiza la formulación y cómo generar una solución. Sabiendo que cada solución puede tener un rango en cual se desplazara para dar una solución acorde al problema que se está trabajando.

RECOMENDACIONES ACADÉMICAS Estimados estudiantes a lo largo de la cartilla encontrarán la fundamentación y desarrollo de la teoría básica de manejo de inventarios, recuerde que debe realizar un resumen de las nociones más importantes dentro de la cartilla para su estudio autónomo. Desarrolle de manera individual cada uno de los ejercicios que se le presentan como ejemplo dentro de esta cartilla. Para profundizar un poco más en el tema no olvide que dentro de los recursos virtuales de la institución puede encontrar varios tipos de documentos que pueden ser útiles, como lo son libros de investigación de operación o de administración científica, también puede encontrar artículos y documentos investigativos de aplicación de las mismas.

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POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO


Inventarios EOQ El gran creador del modelo de inventarios fue Ford W. Harris “how many parts at once” donde él nos dice que “Intereses sobre el capital invertido en salarios, materiales y gastos generales establece un límite

máximo para la cantidad de piezas que se puede fabricar de manera rentable a la vez; costos "set-up " en el trabajo de fijar el mínimo. La experiencia ha demostrado un gestor de una forma de determinar el tamaño económica de lotes” (Hillier, 2006). Esta fue una de las primeras aplicaciones de la administración científica. Para el modelo EOQ se deben realizar varios supuestos para poderlo aplicar, en total son 7 supuestos de los cuales debemos tener en cuenta; 

La producción es instantánea: no se tienen restricciones de capacidad y el lote completo es producido en un instante de tiempo (cuando se necesita).



La entrega es inmediata: no existen retrasos entre la producción y la entrega de los productos.



La demanda es determinística: no existe una variación en la demanda, se dice que la demanda es conocida para todo el año.



La demanda es constante en el tiempo: esta puede ser representada por una línea recta.



Cada corrida de producción incurre en un costo fijo de alistamiento: no importa el tamaño del lote a producir el costo siempre será el mismo.



Los productos pueden ser analizados individualmente: existe un único tipo de producto.

Para el modelo EOQ tenemos una notación especifica con la finalidad de definir cada una de las ecuaciones necesarias para halla los costos de inventario según sea el caso;

=    ñ. =   ó,     .  =       . ℎ =    ñ.            ℎ =∗        . =ñ   . =  . =    .

MODELOS PARA LA TOMA DE DECISIONES

3

Debemos tener en cuenta que nuestras variables de decisión o los datos más importantes son el tamaño de la corrida y el punto de reorden, ya que éstas son las que definen completamente el modelo que se debe seguir. Según lo dicho anteriormente, la gráfica del modelo EOQ es la que se presenta en la figura # 1

Figura 1. Inventario EOQ.


Para definir cada una de las ecuaciones necesarias para el modelo EOQ Cantidad óptima para ordenar será:

=√ 2∗ℎ ∗ El número de órdenes por año que se deberán solicitar son:



Para hallar el tiempo entre pedidos será:

EL punto de reorden del inventario será:

 =∗

Para hallar cada uno de los costos en los que se incurre durante el año en un inventario tenemos las siguientes ecuaciones;

4




Costo de inventario :

Costo anual de inventario Costo unitario de inventario 

 ∗ ∗

Inventario promedio

Costo de alistamiento: se toma como los costos unitario de alistamiento por lote por lo tanto quedaría de la siguiente manera:





La función de costos totales anuales está definida como la suma del costo anual de inventario más el costo anual de alistamientos.

 = ℎ2∗ + ∗  Para aplicar lo dicho anteriormente sobre inventarios mostraremos el siguiente eje mplo: Bart's Barometer Business (BBB) es una pequeña tienda especializada en implementos para la medición del clima. Actualmente BBB quiere decidir la política óptima de inventarios para sus barómetros. Cada uno cuesta US$50 y la demanda se ha estimado en 500 por año. Los costos de ordenar son de US$80 por pedido (un pedido tarda en ser entregado aproximadamente 60 días) y el costo de inventario es del 20% del costo del producto. BBB abre 300 días por año. Después de haber leído el problema debemos realizar el listado de los datos que nos dan para de esta manera empezar a solucionar el problema.

=500 =50  =80


5

ℎ =0.2∗50 =60 =0.2 ñ

Empezamos a aplicar cada una de las ecuaciones del modelo descritas anteriormente. Por lo tanto debemos iniciar con la cantidad óptima a pedir o Q

= √ 2 ∗80∗500 10 =89.44    90   . 50090 =5.56        ñ 90500 =0.18 ñ∗300=54      . =500∗0.2=100 . 500∗80  = 10∗90 + 2 90 =894 2. Modelo EPL En el modelo EPL se deben realizar varios supuestos para poderlo aplicar, tal cual como en el modelo EOQ pero que sólo se cambie uno de los supuestos, miremos los 7 supuestos los cuales debemos tener en cuenta: 

La tasa de producción es finita y constante en el tiempo.



La entrega es inmediata: no existen retrasos entre la producción y la entrega de los productos.









La demanda es determinística: no existe una variación en la demanda, se dice que la demanda es conocida para todo el año. La demanda es constante en el tiempo: ésta puede ser representada por una línea recta. Cada corrida de producción incurre en un costo fijo de alistamiento: no importa el tamaño del lote a producir el costo siempre será el mismo. Los productos pueden ser analizados individualmente: existe un único tipo de producto.

Para el modelo EPL tenemos una notación especifica con la finalidad de definir cada una de las ecuaciones necesarias para halla los costos de inventario según sea el caso:

=    ñ. =   ó,     .

6


 =       . ℎ =    ñ.            ℎ =∗        . =ó  . =ñ   . =    .

Figura 2. Modelo EPL Fuente: Elaboración propia (2016)

Ahora veremos la definición de cada una de las ecuaciones necesarias para el modelo EPL: Cantidad óptima para ordenar será:

 ∗ = √ ℎ 2∗ ∗1 ⁄ 

El número de órdenes por año que se deberán solicitar son:


 MODELOS PARA LA TOMA DE DECISIONES

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EL inventario máximo será:

=(1 ⁄) ∗ 

Ahora para la utilización de maquina tenemos la siguiente expresión

=/

Para definir los costos del modelo EPL tenemos las siguientes expresiones: 


Costo anual de inventario Costo unitario de inventario 

(−⁄)∗ ∗(−⁄)∗  ∗(−⁄)∗ 

Inventario promedio


 


  ∗(1 ℎ  = 2 ⁄)∗ + ∗  Ejemplo ilustrativo del modelo EPL: La compañía Non-Slip Tile (NST) debe satisfacer una demanda de 1000000 de baldosas al año. El costo de alistamiento por corrida de producción es de US$5000 y se ha estimado un costo de inventario de US$ 0.1 por baldosa por año. La fábrica puede producir 500000 baldosas por mes y opera 365 días al año. Si actualmente produce corridas de 100000 baldosas 10 veces por año ¿Cuánto le cuesta su política de producción al año? Calcule la política óptima de producción para la compañía y compárela con la política actual.

8


Solución del problema:

=1000000 =6000000  =5000 ℎ =0.1

= √ 2∗5000∗1000000 0. 1 ∗(1 1⁄6) =346410  1000000 346410 =2.89   ñ 346410 1000000 =0.346 ñ=126.4 í 1 = 1000000 = 6000000 6 1 0. 1 ∗(1 ⁄26)∗346410 + 1000000∗5000  = 346410 =28867.51 3. Modelo EOQ Con faltantes Este es una variación del modelo EOQ que hemos revisado anteriormente, con la gran diferencia que en este modelo si se aceptan unidades faltantes, lo que genera que dentro de los costos asociados también tengamos unos costos por las unidades que no tenemos en el inventario. También se debe tener en cuenta que el pedido se realiza en el momento en el que se cumple un número máximo de faltantes. La notación para este caso cambia un poco con relación a los modelos anteriores. Notación para el modelo EOQ con Faltantes;

=    ñ. =   ó,     .  =       . ℎ =    ñ.            ℎ =∗        . MODELOS PARA LA TOMA DE DECISIONES

9

 =   .  =  ññ   ..  =    , ,               ..  =        ..

Figura 3. Modelo EOQ con Faltantes


Por lo tanto cada una de las ecuaciones e cuaciones que definen el modelo de EOQ con Faltantes es; Cantidad óptima para ordenar será:

 = √ 2 ∗ ℎ ∗  ∗ √ ℎ +  El número de órdenes por año que se deberán solicitar son:


10


 

El número de faltantes será:

=∗ ℎ +ℎ  =∗ =∗

Ahora para el punto de re orden tenemos la siguiente expresión

Para definir los costos del modelo EOQ con Faltantes tenemos las siguientes expresiones: 


Costo anual de inventario 

− −    ∗− − 

Inventario promedio


 ∗ 

Costo por las unidades faltantes: Faltantes promedio

Costo Anual de faltantes 

∗

∗∗


     ∗     ∗   ∗  ℎ    = 2 +  + 2 ∗  Ejemplo Ilustrativo del modelo EOQ con Faltantes: Hervis Rent-a-Car tiene una flota de 2500 autos atendiendo Los Angeles. Todos los autos son administrados desde un garaje central. En promedio, 8 autos por mes necesitan cambio de motor, cada motor cuesta US$850. Hay un costo de US$120 por pedido (toma 2 semanas hacer la entrega) y el costo anual de inventario equivale al 30% del costo del motor. Finalmente cada semana que un auto esté fuera de servicio Hervis pierde US$40.


11

Solución del problema:

=96 =850  =120 ℎ = 0.3 ∗ 850850 =255  = 52 ∗ 40 =2080  = 2   = 0.038 ñ ñ

2 ∗96∗120 2 255+2080 55+2080 √  = √ 2∗96∗120 ∗ 255 2080 = 1010..07 = 10  9610 = 9.6    ñ 1096 = 0.104104 ñ ñ = 38 í 255  = 1  1010255+2080  9696∗∗ 0.03838  1 = 3                255∗ 255∗ 101 101 96∗120 2080∗ 2080∗ 1  = 2 + 10 + 2 ∗ 1010 =11687.5 4. Modelo de inventarios EOQ con descuentos El modelo EOQ con descuentos, es donde el proveedor cuenta con descuentos a partir de la cantidad de unidades que se pidan de un producto, dando de esta manera un costo unitario más bajo, por lo tanto se basa en el modelo básico del EOQ en donde no se aceptan faltantes ni tampoco se consideran tiempos de entrega. La notación del modelo es básicamente la misma que en el modelo EOQ básico pero con una variación en el costo unitario lo que podemos ver en la notación que presentamos a continuación:

 =       ñ. ñ.  =     ó, ,        ..            .

12


 =       . ℎ =    ñ.            ℎ =∗        . =ñ   . =  . =    . Para definir cada una de las ecuaciones necesarias para el modelo EOQ con descuentos es básicamente las mismas del modelo EOQ básico. Cantidad óptima para ordenar será:

=√ 2∗ℎ ∗ Para que sea factible la cantidad óptima debe estar en el rango que se tome para calcular el modelo. El número de ordenes por año que se deberán solicitar son:


El punto de reorden del inventario será:

 

=∗

Ahora para halla cada uno de los costos en los que se incurre durante el año en un inventario tenemos las siguientes ecuaciones: 

Costo de inventario : Inventario promedio

Costo anual de inventario

 ∗ ∗

Costo unitario de inventario


13




 


 = ℎ2∗ + ∗  + ∗ Nick's Camera Shop vende película fílmica instantánea Zodiac. La película tiene un costo, normalmente, de US$3.20 por rollo y Nick vende cada uno en US$5.20. La película Zodiac tiene una vida útil de 18 meses. El promedio de ventas semanales es de 21 rollos de película. Su costo de inventario anual está representado por un 20% del costo del rollo y a Nick le cuesta US$20 cada pedido que haga, independiente de la cantidad ordenada. Si Zodiac ofrece un descuento del 7% si se ordena 400 rollos o más, del 10% si se ordena 900 rollos o más y del 15% si se ordena 2000 rollos o más, ¿Cuál es la cantidad óptima a ordenar?

= 21 ∗ 52 =1092  =20  =3.2 ;  =2.976 ;  =2.88 ;  =2.72 ℎ =0.2∗3.2=0.64 ℎ = 0.2 ∗ 2.976 =0.595 ℎ = 0.2 ∗ 2.88 =0.576 ℎ = 0.2 ∗ 2.72 =0.544 =0 ñ

Para el primer rango 0 < Q < 400

= √ 2 ∗1092∗20 0.64 =261.24=261  1092 261 =4.18   ñ 14


261 1092 =0.24 ñ=87.6 í 1092∗0=0       1092∗20  = 0.64∗261 + 2 261 +1092∗3.2=3661.6 = √ 2 ∗1092∗20 0.595 =270.94          

Para el rango de 400<= Q < 900

Para el rango 900<= Q < 2000

= √ 2 ∗1092∗20 0.576 =275.38           Para el rango Q > 2000

= √ 2 ∗1092∗20 0.544 =283.36           Al analizar los costos óptimos por cada rango, se obtiene un menor valor en el segundo rango, un descuento del 7%, ordenado una cantidad de 400 rollos por pedido. El costo anual en que se incurre es de

US$3423.4


15

REFERENCIAS

Referencias bibliográficas Anderson, D. S. (2005). Métodos Cuantitativos para los negocios (Novena Edición ed.). México: Cengage Learning Editores. Bazaraa, M. J. (1996). Programación Lineal y Flujo en Redes (Segunda edición ed.). México: Limusa. Bazarra, M., & Jarvis, J. J. (2005). Programación lineal y flujo en redes. (Segunda Edición. ed.). México: Limusa Editores. . Castillo. (20 de Noviembre de 2007). Departamento Unican. Recuperado de Unican: http://departamentos.unican.es/macc/personal/profesores/castillo/libro.htm Hillier, F. &. (2006). Texto principal: Introducción a la Investigación de Operaciones. (6ª Edición. ed.). N/A: McGraw Hill. . Hillier, F. &. (2006). Investigación de Operaciones (Octava Edición ed.). México: McGraw-Hill. Hillier, F. &. (2008). Métodos Cuantitativos para Administración (Tercera Edición ed.). México: McGrawHill. Hopp, W. &. (2008). M. Factory Physics. NY: McGraw Hill. Taha, H. (1997). Investigación de Operaciones: Una Introducción (Sexta edición ed.). NY: Prentice Hall. Winston, W. (2005). Investigación de Operaciones Aplicaciones y Algoritmos (Cuarta Edición ed.). México: Thomson.

16


REDES DE ADMINISTRACIÓN MODELO PARA LA TOMA DE DECISIONES AUTOR: Gabriel Mauricio Yañez Barreto

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PROGRAMACIÓN LINEAL MODELOS PARA LA TOMA DE DECISIONES AUTOR: Gabriel Mauricio Yañez Barreto

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TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN MODELOS PARA LA TOMA DE DECISIONES AUTOR: Gabriel Mauricio Yañez Barreto

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MODELO DE TRANSBORDO Y ANALISIS DE SENSIBILIDAD MODELOS PARA LA TOMA DE DECISIONES AUTOR:Gabriel Mauricio Yañez Barreto

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14


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17

MODELO PARA LA TOMAS DE DECISIONES : Gabriel Mauricio Yañez Barreto

ÍNDICE

a.



Introducción







Teoría de colas

b. Ley de Little c.

Colas Markovianas

d. Ejemplo



Referencias




INTRODUCCIÓN

En esta cartilla se revisarán los temas relacionados con la toma de decisiones por medio del uso de la distribución de tareas y asignaciones para un sistema completo de colas, donde se encuentran relacionadas la cantidad de servidores y de colas según sea necesario, con la finalidad de evitar que el usuario demore mucho dentro del sistema logrando un tiempo acorde entre el momento que entra al sistema y el momento en el que sale. Tenga en cuenta que es importante que tome nota de lo que está realizando y que realice los ejercicios desarrollados para un mayor entendimiento de los mismos.


Estimados estudiantes a lo largo de la cartilla encontrarán las aplicaciones de la programación lineal, recuerden que deben realizar un resumen de las nociones más importantes dentro de la cartilla para su estudio autónomo. Desarrolle de manera individual cada uno de los ejercicios que se le presentan como ejemplo dentro de esta cartilla. Para profundizar un poco más en el tema no olviden que dentro de los recursos virtuales de la institución puede encontrar varios tipos de documentos que pueden ser útiles, como lo son libros de investigación

2


de operaciones o de administración científica, también puede encontrar artículos y documentos investigativos de aplicación.

DESARROLLO DE CADA UNA DE LAS UNIDADES TEMÁTICAS a.

Teoría de colas

El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) (Anderson, 2005) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría llamada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que muchos de sus problemas pueden caracterizarse como problemas de congestión llegada - partida.

Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes.

Cabe notar que el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

Los problemas de colas se presentan permanentemente la vida diaria: un estudio de EE.UU. concluyó que un ciudadano medio pasa 5 años de su vida esperando en distintas colas, y de ellos casi 6 meses parado en los semáforos.

Tabla 1. Casos de colas en la vida diaria

Situación

Llegadas

Cola

Mecanismo servicio

Aeropuerto

Pasajeros

Salas de espera

Avión

de

MODELOS DE TOMA DE DECISIONES

3

Compañía celular

Números marcados

Llamadas

Conmutador

Panadería

Clientes

Clientes con número

Vendedor

Carga de camiones

Camiones

Camiones en espera

Muelle de carga


Entonces por definición, la teoría de Colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor" el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en e n la línea de espera.

Figura 1. Esquema de un sistema de colas


A continuación realizaremos el estudio de los conceptos básicos necesarios para el caso de las teorías de colas.

Clientes: término usado en un sistema de colas para referirse a:

4



Gente esperando líneas telefónicas desocupadas



Máquinas que esperan ser reparadas



Aviones esperando aterrizar.


 Instalaciones de Servicio : este término se usa para referirse a:



Líneas telefónicas



Talleres de reparación



Pistas de aeropuerto

Llegadas: es el número de clientes que llegan a las instalaciones de servicio. Tasa de Servicio : este término se usa para designar la capacidad de servicio, por ejemplo:



Un sistema telefónico entre dos ciudades puede manejar 90 llamadas por minuto



Una instalación de reparación puede de media, reparar máquinas a razón una cada 8 horas.



Una pista de aeropuerto en la que ate rrizan dos aviones por minuto.

 Número de servidores de servicio: Es la cantidad de servidores de que disponemos:



Número de conmutadores telefónicos



Número de puestos de reparación.



Número de pistas de aterrizaje de un aeropuerto.

El número de servidores no tiene porqué ser siempre en paralelo, es decir, puede que un sistema de colas tenga varias fases. Tabla 2. Tipos de colas dependiendo de la cantidad de servidores y fases


5

Servidores

Fases

Ejemplo

Uno

Una

Tienda con un solo empleado.

Uno

Varias

Varios

Una

Varios

Varias

Línea

de

producción

secuencial. Funcionamiento

de

operaciones bancarias. Centros

de

exámenes

médicos.


Ahora revisaremos los costes que van asociados a las teorías de las colas.

¿Por qué es necesario contar con herramientas de optimización para los problemas de colas? Normalmente en cualquiera de estos sistemas existen dos tipos de costes:

a.

Los costes asociados a la espera de los c lientes

Por ejemplo, el valor del tiempo perdido o la gasolina malgastada en los atascos o los semáforos.

Lo normal es pensar que estos costes de espera decrecen conforme aumenta la capacidad de servicio del sistema. b. Los costes asociados a la expansión de la capacidad de servicio

 Contra la reducción anterior de costes de espera, es también normal que el coste asociado a incrementar la capacidad de servicio crezca con alguna proporcionalidad en relación a esta capacidad.

6


c.

Los costes totales del sistema de servicio

La suma de los dos costes anteriores da una función de costes totales del sistema en función de la capacidad, que tendrá una forma similar a la siguiente:


7

Figura 2. Costos de las colas


¿Cuál será el objetivo de la teoría de colas? Dada la función de costes anterior, los objetivos de la Teoría de Colas consisten en:



Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo



Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo



Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y

las cualitativas de servicio.

8


Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sis tema o en la Cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado, eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

Según el tipo de sistema de colas, tenemos varios tipos de éstas, las cuales son:



Una línea, un servidor



El primer sistema que se muestra se llama un sistema de un servidor y una cola o puede describir una consulta de un médico.



Una línea, múltiples servidores



El segundo, una línea con múltiples servidores, es típico de una peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando les llega el turno.



Varias líneas, múltiples servidores



El tercer sistema, en que cada servidor tiene una línea separada, es característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas independientes de un servidor y una cola. Esto sería válido sólo si hubiera muy pocos intercambios entre las colas.


9

Figura 3. Tipos de colas


Notación de Kendall (Anderson, 2005)

David G. Kendall introdujo una notación de colas A/B/C en 1953 para describir las colas y sus características. Esta ha sido desde entonces extendida a 1/2/3/ (4/5/6) donde los números se reemplazan con :

Un código que describe el proceso de llegada. Los códigos usados son:

a.

10

M para "Markoviano" (la tasa de llegadas sigue una distribución de Poisson), significando una distribución exponencial para los tiempos entre llegadas.


b. D para unos tiempos entre llegadas "determinísticas". c.

G para una "distribución general" de los tiempos entre llegadas o del régimen de llegadas.

1. Un código similar que representa el proceso de servicio (tiempo de servicio). Se usan los mismos símbolos. 2. El número de canales de servicio (o servidores). 3. La capacidad del sistema o el número máximo de clientes permitidos en el sistema incluyendo esos en servicio. 4. El orden de prioridad en la que los trabajos e n la cola son servidos:



First Come First Served (FCFS) ó First In First Out (FIFO)



Last Come First Served (LCFS) o Last In First Out (LIFO), 6. El tamaño de la población desde donde los clientes vienen.

Figura 4. Distribución de las colas según la notación de Kendall


Según la Figura 4, las colas pueden tomar la distribución de tiempo de arribos y tiempo de servicio como exponenciales, constantes o determinísticas según sea el caso, por ejemplo, nombrar una cola M/M/1, sería una cola con tiempo de arribo exponencial, con un tiempo de servicio exponencial y con solo un servidor.


11

Ahora para definir de manera correcta cada una de las ecuaciones, debemos tener en cuenta la siguiente notación básica:

       1     .    ó     .      . 1     .    ó     .   ó  .   ú     .   ú     .   ú      .      .      .      .        .         .         . b. Ley de Little

La ley de Little establece las ecuaciones o formas de encontrar los datos más importantes dentro de un problema de colas, para establecer de manera concreta cuales serán la cantidad de clientes dentro de una cola, el tiempo que se demora un cliente en una cola, la cantidad de clientes que están siendo

12


atendidos o la probabilidad que un servidor se encuentre ocupado, por lo tanto tendremos las siguientes expresiones;

Si se desea calcular el número medio de clientes en el sistema y en la cola se pueden calcular de la siguiente manera:

∞

    ∑  ∗  = ∞

 [ ]  ∑   ∗ =+

También se debe tener que el tiempo de estancia de un cliente en el sistema va directamente relacionado con el tiempo de un cliente en la cola, por lo tanto, tendremos la siguiente ecuación:

    1 El número promedio de clientes que se estarán atendiendo será:

     ∗ (    )   Ahora para la probabilidad que un servidor (un servidor de c servidores en paralelo) esté ocupado tenemos la siguiente expresión:

     ∗  c. Colas Markovianas

Las colas markovianas son básicamente aquellas con distribuciones exponenciales, ya sean en el tiempo de arribo como en el tiempo de servicio. Por lo tanto, debemos tener en cuenta las colas M/M/1 o las M/M/c, que son las que veremos a continuación;


13

M/M/1: Son colas con tiempo de arribo exponencial y con tiempo de servicio exponencial, que cuentan con un solo servidor. Por lo tanto, de la ley de Little se derivan las siguientes ecuaciones que son las que definen el modelo.

  −    ∗−      −    ∗−   

      ∗1

Ahora debemos tener en cuenta que para poder utilizar este modelo se debe tener una condición de estabilidad la cual está definida de la siguiente manera:

< Ahora, para estandarizar los modelos tenemos las siguientes ecuaciones que definen el modelo independientemente de la cantidad de servidores con los que se cuente, por lo tanto; Para la probabilidad que el sistema cuente con n unidades en el sistema

14


Las principales medidas de desempeño tenemos

d. Ejemplo


15

A una caseta de peaje, en donde sólo hay una ventanilla de atención, llegan 10 vehículos aproximadamente cada hora. El cajero tarda en promedio 4 minutos en atender cada vehículo. Asumiendo que tanto los tiempos entre arribos como los tiempos de servicio se distribuyen exponenciales, calcule:

a.

La probabilidad de que el sistema este desocupado

b. El tiempo promedio que un vehículo tardará desde que llega al peaje hasta que lo cruza c.

El número promedio de vehículos en el peaje

d. El número promedio de vehículos en la fila del peaje e. El tiempo promedio que tarda un vehículo en la fila, antes de ser atendido.

La caseta de peaje se puede modelar como un sistema M/M/1, con tasa de arribos =10 v/h y tasa de servicio =15 v/h. Note que se cumple la condición de estabilidad (10 < 15).

a.

Probabilidad que el sistema este desocupado se halla de la siguiente manera

2   10  15 3  2   3 ∗ 1  23  13

b. Tiempo promedio desde que un vehículo llega al peaje hasta que lo cruza.

1  1 ℎ  12    1510 5 c.

16

El numero promedio de vehículos en el peaje


10 2 ℎí   1510 d. El numero promedio de vehículos en la cola

 10   15∗1510  43 ℎí. e. El tiempo promedio en la fila antes de ser atendido es



     8 .   ∗− 

 f.

La proporción del tiempo que el cajero debe trabajar.



    

REFERENCIAS


Anderson, D. S. (2005). Métodos Cuantitativos para los Negocios (Novena ed.). México: Cengage Learning Editores.


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Bazaraa, M. J. (1996). Programación Lineal y Flujo en Redes (Segunda ed.). México: Limusa. Bazarra, M., & Jarvis, J. J. (2005). Programación lineal y flujo en redes. (Segunda ed.). México: Limusa Editores. .

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Hillier, F. &. (2006). Investigación de Operaciones (Octava Edición ed.). México: McGraw-Hill.

Hillier, F. &. (2008). Métodos Cuantitativos para Administración (Tercera ed.). México: McGraw-Hill.

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FORMULACIÓN DE PROBLEMAS MODELO PARA LA TOMAS DE DECISIONES AUTOR: Gabriel Mauricio Yañez Barreto

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MODELOS PARA LA TOMA DECISIONES

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toma desiciones 1 a 8

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