Teorema de Gauss. Cilindro

Teorema de Gauss

El teorema de Gauss dice: El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga encerrada en el interior de dicha superficie dividida entre ε0. Campo eléctrico en Cilindro.

Caso 1 r > R (campo eléctrico fuera del cilindro)

ds es perpendicular a la superficie (hacia ( hacia fuera) E en la superficie lateral también es hacia fuera (es radial) En las caras superior e inferior E continúa siendo radial, pero ds será perpendicular en ambas caras

La suma de todas las líneas de campo eléctrico E será: ∫S E.dS(cara lateral) + ∫S E.dS (cara superior) + ∫S E.dS(cara inferior)

En la cara superior E es radial hacia fuera y dS es perpendicular perpendicular a la cara superior, superior, lo mismo ocurre en la cara inferior. El ángulo entre E y dS es 90º, y cos90 = 0, quedando por lo tanto el flujo de E en la cara lateral solamente.

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En la cara lateral, en cualquiera de los puntos que se considere E y dS son paralelos, entonces el ángulo entre ellos será 0, y cos0 = 1. Entonces queda: ∫S E.dS(cara lateral) E es uniforme y constante en todos los puntos, por lo tanto sale de la integral quedando: E.∫S dS La integral de dS es S, así como la integral de dx es x ∫S dS = S, entonces queda: E.S

¿Qué S es? Es la superficie lateral total. Es como si sumáramos todos los pequeños diferenciales de área dS que forman la cara lateral del cilindro gaussiano, lo cual nos da la superficie total de la cara lateral. Ahora bien, la cara lateral de un cilindro es: es: 2.π.r.h

Área del rectángulo: base por altura. El cilindro gaussiano tiene un radio r minúscula, no R mayúscula. Entonces E.S queda: E. 2.π.r.h, como el hilo tiene una longitud que no conocemos, la consideramos infinita y reemplazamos h por L, quedando por tanto: E. 2.π.r.h= E. 2.π.r.L ε

o:

permitividad dieléctrica del vacío



Ahora tenemos el problema de la carga encerrada por la superficie gaussiana. La carga encerrada por la superficie gaussiana, teniendo en cuenta que la región comprendida entre el cilindro real y el cilindro gaussiano es vacío, no hay carga, va a ser todo el cilindro real, por lo tanto la carga encerrada es la carga total del cilindro real. Por lo tanto queda: E. 2.π.r.L= Q/ εo , Q carga total del cilindro ¿Qué es Q? La obtenemos a partir de la densidad volumétrica de carga ρo. La densidad volumétrica de carga es la carga dividida por el volumen: ρo = Q/V, despejamos Q de la fórmula  Q = ρo.V, donde V es el volumen del cilindro (no el gaussiano), y el volumen del cilindro es π.r 2.L (habíamos reemplazado antes h por L),

cambiamos también r por R, quedando, entonces: Q= ρo.π.R2.L

R: radio del cilindro real

Con este dato vamos a la ecuación del campo eléctrico y reemplazamos Q por el valor obtenido en este paso, quedando: E. 2.π.r.L = (ρo .π.R2.L) / εo De aquí despejamos E  E = (ρo.π.R2.L) / (εo.2.π.r.L), simplificando queda finalmente: E= (ρo .R2) / (2.εo.r), r:

distancia al punto donde estamos estimando el campo eléctrico.

Caso 2 r < R (campo eléctrico en un punto dentro del cilindro)



Ahora la carga es la carga encerrada en el cilindro gaussiano, no la carga encerrada en cilindro real, será por tanto una carga menor. Se tendrá entonces: E. 2.π.r.L = (Qenc) / εo Teníamos que ρo = Q / V, pero ahora V no es el

volumen del cilindro real, sino uno menor, el que contiene al punto que se está considerando, por tanto: ρo = Qenc / π.r 2.L,

r: radio del cilindro en el punto considerado

Entonces: E. 2.π.r.L = ρo.π.r 2.L,

Y simplificando queda: E =

o.

se despeja  E= (ρo.π.r 2.L) / (2.π.r.L) r / 2 . εo

Si el cilindro es hueco no existe campo eléctrico, pues no hay carga en su interior

Teorema de Gauss. Cilindro

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