Demostración del teorema Gauss-Markov
Gauss indudablemente fue uno de los mas grandes matemáticos de la historia, hizo contribuciones enormes en el campo de la estadística como lo es la distribución normal, asimismo, fue el primero en introducir el método de los mínimos cuadrados ordinarios MCO 1 en 1821 antes que el estimador de varianza mínima de Markov, estos dos grandes se unieron creando el teorema Gauss-Markov donde exponen las propiedades de los estimadores denominados MELI, Mejores Estimadores Lineales Insesgados o que en sus siglas en ingles BLUE también considerados como ELIO. Los parámetros son MELI si se cumplen las siguientes propiedades expuestas a continuación, se sugiere al lector revise algunos conceptos de algebra matricial como lo son, Inversa de la matriz, transpuestas y sus propiedades, cálculo del determinante, clases de matrices, matrices escalares, simétricas, singulares entre otras; Sin embargo, para el lector que no se encuentra familiarizado se expondrá paso a paso la resolución de dichos enunciados sin dejar el rigor matemático que se encuentra implícito de tal forma que la resolución sea fácil de seguir incluso para quienes no manejen el algebra matricial. Cabe recalcar que las demostraciones también se las puede realizar mediante manipulación algebraica, la cual no se realizará en este trabajo puesto que considero una forma mas sencilla y menos complicada que el algebra matricial la cual estoy seguro que se complica mas al estudiante. Por otro lado, se debe considerar que incluso siendo los parámetros MELI como bien lo propone el teorema, no toma en consideración las propiedades de consistencia, que para muchos econometristas es la más importante dentro de las herramientas econométricas
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OLS: Ordinary less Square
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1) El estimador
es
lineal:
Puesto que los parámetros son una función lineal de la variable aleatoria, como también, los parámetros se consideran como un promedio ponderado de las observaciones individuales en la variable dependiente, según este preámbulo tenemos: Partiendo del modelo lineal en su forma básica,
En su forma matricial tenemos,
Donde por manipulación matricial obtenemos el estimador,
Puesto que
se sustituye en dicho
termino,
Donde se puede observar la propiedad de la matriz inversa por original es igual a la identidad
Por tanto,
Donde
,
Se puede observar claramente que el parámetro B es una combinación lineal de las perturbaciones aleatorias y que si estas siguen la distribución normal entonces e ~ NID
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fundamental al estadísticas.
2) El parámetro
momento
es
de
realizar
las
pruebas
insesgado:
Esto quiere decir que su valor promedio o esperado es igual al valor verdadero, pero se debe considerar también que esto no garantiza de que tan próximo o lejano se encuentre de los valores reales debido a que según la teoría la muestra de las variables X es fija en el muestreo repetitivo por que así es en Economía, por tanto se debe hacer mas énfasis en la matriz varianza covarianza, mientras tanto, la demostración:
Puesto que
se sustituye en dicho
termino,
Donde se puede observar la propiedad de la matriz inversa por original es igual a la identidad
Por tanto,
Aplicando el operador de la Esperanza E y tomando en consideración que las “x” Son fijas en el muestreo repetitivo y que B por ser un parámetro es una constante de tal forma que su esperanza es igual a si mismo.
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Donde E(e) = 0 por que según las propiedades de los MCO, los errores suman cero, siempre que haya una constante en el modelo, si no existe constante, este principio deja de ser cierto; Entonces, se anula la matriz y el resultado queda de la siguiente manera:
Otra de las consideraciones que se debe tener es que el criterio del menor Error Cuadrático Medio se ajusta mejor a las exigencias al momento de modelar debido a que este toma en consideración la varianza del parámetro.
3) El parámetro
es
el mejor (optimo)
Se entiende por mejor dado que tiene varianza mínima y garantiza que es menor que cualquier otro estimador con diferente varianza, se hace énfasis en el modelo que tiene menor varianza por tanto desviación estándar, puesto que al ser una medida de variabilidad en estadística, esta se ajusta también para los parámetros por lo que es optimo tener una matriz varianza-covarianza pequeña. En su forma matricial tenemos,
Donde por manipulación matricial obtenemos el estimador,
Puesto que
se sustituye en dicho
termino,
Donde se puede observar la propiedad de la matriz inversa por original es igual a la identidad
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Por tanto,
Por definición tenemos que
Transponiendo,
Ordenando los términos, y aplicando el operador que
E tenemos
Donde,
Por lo que se anula dicha matriz y donde ee´=
Donde se debe considerar lo siguiente:
Es simétrica y positiva porque lo es Debe ser pequeña puesto que si entonces, el determinante de dicha matriz será mayor por lo que se incrementará la VAR-COV y la precisión de la estimación o pronostico disminuye
• •
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Pero hay que comparar si es cierto que es la menor varianza para lo cual hay que calcular la varianza de otro estimador adicionando una matriz no nula P.
se sustituye en dicho termino,
Puesto que
Donde PX=O (condición de insesgamiento),
E(e) =0
Se procede a calcular la matriz VAR-COV del estimador de acuerdo a la condición de insesgamiento
nuevo
Desarrollando las operaciones tenemos,
Puesto que PX=0,
donde ee´=
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Claramente se puede observar que la matriz VAR-COV de este estimador es mayor que el primero por lo que se comprueba mediante el teorema Gauss Markov que los MCO son estimadores MELI
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Bibliografía:
Análisis Econométrico por Greene, 3ra edición
•
Econometría cap.3
•
por
Damodar
Gujarati
5ta
Edición
Modelos y Pronósticos por Pindyk y Rubenfeld 4ta edición cap.3 y 4
•
100 Ejercicios de Econometría Autores varios
•
www.uam.es facultad Autónoma de Madrid
•
de
Economía
Universidad
Probabilidad y Estadística era edición editorial Shawm
•
Estadística y Econometría por Salvatore Domenick 2da edición
•
Introducción a la Econometría moderno por Wooldridge
•
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,un
enfoque
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