3.1 Sistem Persamaan Linier
Di dalam matematika, matematika, system persamaan persamaan linier adalah kumpulan persamaan-persamaan linierr yang memiliki linie memiliki variabel-variab variabel-variabel el yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut:
Dengan mengunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan di atas sebagai persamaan matriks Ax = b Yang dalam hal ini,
Yaitu:
3.2 Metode Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu ara meng!perasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga men"adi matriks yang lebih sederhana. #aranya adalah dengan melakukan !perasi baris sehingga matriks tersebut men"adi matriks yang esel!n-baris. $ni dapat digunakan sebagai salah satu met!d me t!dee pen penye yele lesai saian an pe pers rsam amaan aan li line near ar den denga gan n me meng nggu gunak nakan an ma matr trik iks. s. #a #ara rany nyaa de denga ngan n mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan meng!perasikannya. %etelah men"adi matriks Esel!n-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut. &et!de ini berangkat dari kenyataan bah'a bila matriks A berbentuk segitiga atas (menggunakan )perasi Baris Elementer* seperti system persamaan berikut ini:
&aka
s!lusinya dapat substitution*:
dihitung
dengan
teknik
penyulingan
mundur
(backward
sangat penting. %ebab bila , persamaan diatas men"er"akan pembagian dengan n!l. Apabila k!ndisi tersebut tidak dipenuhi, maka %+ tidak mempunyai "a'aban.
Kondisi
#!nt!h: x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0
%!lusi system diper!leh dengan teknik penyulihan mundur sebagai berikut:
Melakukan pertukaran baris untuk menghindari pivot yang bernilai nol adalah cara pivoting yang sederhana (simple pivoting). Masalah ini dapat juga timbul bila elemen pivot sangat dekat ke nol, karena jika elemen pivot sangat kecil dibandingkan terhadap elemen lainnya, maka galat pembulatan dapat muncul. Ada dua macam tata-ancang pivoting, yaitu: a. Pivoting sebagian ( partial pivoting) Pada tata-ancang pivoting sebagian, pivot dipilih dari semua elemen pada kolom p yang mempunyai nilai mutlak terbesar,
alu pertukarkan baris k dengan baris ke p. Misalkan setelah operasi baris pertama diperoleh matriksnya seperti yang digambarkan pada matriks di ba!ah ini. "ntuk operasi baris kedua, carilah elemen # pada baris kedua, dimulai dari baris ke-$ sampai baris ke-%, yang nilai mutlaknya terbesar, lalu pertukarkan barisnya dengan baris ke-$ perhatikanlah bah!a teknik pivoting sebagian juga sekaligus menghindari pemilihan pivot & ' (sebagaimana dalam simple pivoting) karena ' tidak akan pernah menjadi elemen dengan nilai mutlak terbesar, kecuali jika seluruh elemen di kolom yang diacu adalah '. Apabila setelah melakukan pivoting sebagian ternyata elemen pivot & ', itu berarti system persamaan linier tidak dapat diselesaikan ( singular system). a. Pivoting engkap ( complete pivoting) ika disamping baris, kolom juga dikutkan dalam pencarian elemen terbesar dan kemudian dipertukarkan, maka tata-ancang ini disebut pivoting lengkap. Pivoting lengkap jarang dipakai dalam program sederhana karena pertukaran kolom mengubah urutan suku # dan akibatnya menambah kerumitan program secara berarti. ontoh:
Dengan menggunakan 4 angka ena! se"esaikan system e#ikut dengan metode e"iminasi $auss:
a. b.
*anpa tata-ancang pivoting sebagian (+auss nai) engan tata-ancang pivoting sebagian (+auss yang dimodikasi)
Penyelesaian
a.
*anpa tata-ancang pivoting sebagian
/perasi baris pertama ('.'''0 sebagai pivot)
%adi!
%!lusinya diper!leh dengan teknik penyulihan mundur:
(jauh dari solusi sejati)
%adi! x=&3'333! 1'001(' so"usi ini sangat )au* e#eda dengan so"usi se)atinya' Kegaga"an ini te#)adi ka#ena
sangat kecil bila di bandingkan dengan
, sehingga galat pembulatan yang
' Perhatikan juga bah!a 1.234 - 1.235 adalah kecil pada menghasilkan galat besar di pengurangan dua buah bilangan yang hamper sama, yang menimbulkan hilangnya angka bena pada hasil pengurangannya. a. engan tata-ancang pivoting sebagian 6aris pertama dipertukarkan dengan baris kedua sehingga '.0%2% menjadi pivot
engan teknik penyulihan mundur diperoleh:
adi, s!lusinya adalah x = (/./0, .///*, yang lebih baik daripada s!lusi a. keberhasilan ini karena
tidak sangat keil dibandingkan dengan
! sehingga
galat pembulatan yang
keil pada tidak akan menghasilkan galat yang besar pada
'
3.2 Eliminasi Gauss-Jordan
Dalam al"abar linear, eliminasi Gauss-!rdan adalah versi dari eliminasi Gauss. +ada met!de eliminasi Gauss-!rdan kita membuat n!l elemen-elemen di ba'ah maupun di atas diag!nal utama suatu matriks. 1asilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diag!nal satuan (semua elemen pada diag!nal utama bernilai , elemen-elemen lainnya n!l*.
Dalam bentuk matriks, eliminasi Gauss-!rdan ditulis sebagai berikut:
o"usinya:
-
-
%eperti pada met!de eliminasi gauss na23, met!de eliminasi Gauss-!rdan na23 tidak menerapkan tata-anang piv!ting dalam pr!ses eliminasinya. angkah-langkah !perasi baris yang dikemukakan !leh Gauss dan disempurnakan !leh !rdan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-!rdan, sebagai berikut: ika suatu baris tidak seluruhnya dari n!l, maka bilangan tak n!l pertama pada baris itu adalah . Bilangan ini disebut utama (leading *. ika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari n!l, maka baris-baris ini akan dikel!mp!kkan bersama pada bagian paling ba'ah dari matriks. ika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari n!l, maka utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada k!l!m yang lebih kanan dari utama pada baris yang lebih tinggi. %etiap k!l!m memiliki utama memiliki n!l pada tempat lain. #!nt!h: x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0
Diper!leh penyelesaian x = , y = 0, 4 = 5.
e"iminasi $auss dan e"iminasi $auss-%o#dan #!nt!h eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-!rdan %elesaikan bentuk %+ berikut: 0x 6 x0 6 7x5 = 8 5x 6 0x0 6 x5 = /
x 6 5x0 6 5x5 = 8 dalam bentuk matriks:
+enyelesaian (Eliminasi Gauss*:
"angka* &1(
"angka* &2(
"angka* &3(
"angka* &4(
"angka* &5(
"angka* &6(
"angka* &,( Dengan demikian die#o"e*:
9ntuk memper!leh x dan x0 subt pers (5* ke pers. (* dan (0*, x 5 = 5 x0 /(5* = -0; x0 5/ = -0;
x0 = 0 9ntuk memper!leh x:
adi diper!leh x = , x0 = 0 dan x 5 = 5 +enyelesaian (eliminasi Gauss-!rdan*:
9ntuk eliminasi Gauss-!rdan langkah (* langkah (5* sama dengan langkah (* ( 5* pada eliminasi Gauss,
adi Diper!leh: adi, diper!leh x = , x0 = 0 dan x 5 = 5.
Me t o d eEl i mi n a s i Ga u s sd a nGa u s sJ o r d a n
Eliminasi Gauss
7liminasi +auss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. engan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. 8ni dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. aranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. 9etelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
iri ciri Metode +auss adalah
1 . 2 . 3 . 4 .
ika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama) 6aris nol terletak paling ba!ah 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya iba!ah 1 utama harus nol
El i mi n a s i Ga us sJ or d a n
7liminasi +auss-ordan adalah pengembangan dari eliminasi +auss yang hasilnya lebih sederhana lagi. aranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi +auss sehingga menghasilkan matriks yang 7selon-baris. 8ni juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.
Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks. Prosedur umum untuk metode eliminasi +auss-ordan ini adalah 1. "bah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. $. akukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (Ab) untuk mengubah matriks
A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi
Contoh Soal Untuk Gauss dan Gauss jordan
ari ;ilai <1,<$,<0 pada persamaan diba!ah ini menggunakan eliminasi gauss dan eliminasi gauss jordan $<1 = <$ = %<0 & 5 0<1 = $<$ = <0 & 1' <1 = 0<$ = 0<0 & 5
6erikut adalah penyelesaiannya :
Eliminasi Gauss
angkah terakhir adalah substitusikan balik dari ba!ah jadi <0 & '.205 <$ - '.$2(<0) & 1.$2 <$ & 1.$2 = '.$2('.205) <$ & 1.05% <1 - $<$ = <0 & ' <1 & $<$ - <0 <1 & $(1.05%) - '.205 <1 & $.$0 adi <1 & $.$0, <$ & 1.05%, <0 & '.205
Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Jordan : 9ebenarnya hanya tinggal melanjutkan dari langkah eliminasi gauss seperti di tambahkan langkah 5 sampai langkah 1', tapi saya mengulanginya kembali dari a!al.
adi 8sinya sama seperti pada 7liminasi +auss <1 & $.$0, <$ & 1.05%, <0 & '.205
https://iragitawulandari.wordpress.com/2012/12/15/metode-gauss jordan/ Metode Gauss Jordan Eliminasi Gauss Penjelasan
7liminasi +auss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. engan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. 8ni dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. aranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. 9etelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Kelebihan dan Kekurangan
Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama eliminasi, dengan beberapa tahap >euntungan : ?
menentukan apakah sistem konsisten
?
menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka
?
ebih mudah untuk memecahkan
kelemahan : ?
memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal
Contoh Soal :
iketahui persamaan linear # = $y = @ & 3 # = 0y = $@ & 4 $# = y = $@ & 1$ *entukan ;ilai #, y dan @ a!ab: 6entuk persamaan tersebut ke dalam matriks: 1
$
1
3
1
0
$
4
$
1
$
1$
/perasikan Matriks nya:
1
$
1
3
'
1
1
0
$
1
$
1
'
4
6aris ke-$ dikurangi baris ke-1
1
$
1
3
'
1
1
0
'
-0
'
1
1
'
1
1
'
'
0
1
$
1
3
'
1
1
0
6aris ke-0 dikurangi $ kali baris ke-1
6aris ke-0 dibagi dengan 0
Maka mendapatkan 0 persamaan linier baru yaitu # = $y = @ & 3 y=@&0 @&0
>emudian lakukan substitusi balik maka didapatkan: y=@&0 y=0&0
3 0
6aris ke-0 ditambah 0 kali baris ke-$
' 0
1
'
1
y&' # = $y = @ & 3 #='=0&3 #&0 adi nilai dari # & 0 , y & ' ,dan @ & 0
Eliminasi Gauss-Jordan Penjelasan
9alah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi +auss-ordan. Metode ini diberi nama +auss-ordan untuk menghormati arlriedrich +auss dan Bilhelm ordan. Metode ini sebenarnya adalah modikasi dari metode eliminasi +auss, yang dijelaskan oleh ordan di tahun 155C. Metode +auss-ordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi(reduced ro! echelon orm), sementara eliminasi +auss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon (ro! echelon orm). 9elain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi +auss-ordan ini dapat Metode 7liminasi +auss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkanatau mengurangi jumlah variable sehingga dap at diperoleh nilai dari suatu variable yang bebas. 7liminasi +auss-ordan adalah pengembangan dari eliminasi +auss yang hasilnya lebih sederhana lagi. aranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi +auss sehingga menghasilkan matriks yang 7selon-baris. 8ni juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks. Prosedur umum untuk metode eliminasi +auss-ordan ini adalah 1. "bah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. $. akukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (Ab) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi
Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah koesienkoesien dari sistem persamaan lin ier.. 9edangkan langkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu : 1.Menukar posisi dari $ baris. Ai DA j $.Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positi. Ai & kEA j 0.Menambahkan baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya Algoritma Metode 7liminasi +auss adalah:
1. Masukkan matrik A, dan vektor 6 beserta ukurannya n $. 6uat augmented matrik FA6G namakan dengan A 0. "ntuk baris ke i dimana i&1 sHd n, perhatikan apakah nilai ai,i &' : 6ila ya : pertukarkan baris ke i dan baris ke i=kIn, dimana ai=k ,i J', bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. 6ila tidak : lanjutkan %. "ntuk baris ke j, dimana j & i=1 sHd n
Kelebihan dan Keuntungan :
Mengubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. merupakan variasi dari eliminasi gauss dengan kebutuhan dapat mgenyelesaikan matriks invers
Contoh soal:
1.
iketahui persamaan linear
# = $y = 0@ & 0 $# = 0y = $@ & 0 $# = y = $@ & 2 *entukan ;ilai #, y dan @ a!ab: 6entuk persamaan tersebut ke dalam matriks: 6aris ke $ dikurangi $ kali baris ke 1 1
$
0
0
'
-1 -% -0
'
-0 -% -1
1 '
$
0
6aris ke-0 dikurangi $ kali baris ke-1
0
-1 -% -%
'
'
5
5
6aris ke-0 dikurangi 0 kali baris ke-$
1
$
0
0
'
1
%
0
'
'
1
1
1
$
0
0
'
1
'
-1
6aris ke-0 dibagi 5 dan baris ke-$ dibagi -1
'
'
1
1
$
'
'
1
' -1
'
'
1
1
1
'
'
$
'
1
'
-1
'
1
6aris ke-$ dikurangi % kali baris ke-0
'
'
6aris ke-1 dikurangi 0 kali baris ke-0
1
1
6aris ke 1 dikurangi $ kali baris ke Maka didapatkan nilai dari # & $ , y & K 1 ,dan @ & 1 $.
A & 0 1 2 $
*entukan ;ilai dari A-1L
a!ab: A-1 &
1
$
(0)($) ? (2)(1)
&
-1 -2
1
$
-1
3?2
-2
0
& 1
$
-1
1
-2
0
0
&
$
-1
-5 3
