Erick Galvan Alcantara/Calculo Alcantara/Calculo vectorial. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD ZACATENCO
MATERIA: CALCULO VECTORIAL.
ALUMNO: ERICK GALVAN ALCANTARA
MAESTRO: AMRI! USTOS E"UAR"O
SAL#N:$CV%
CONCE&TO "E CAM&O Consideremos el campo gravitatorio. Un hecho fundamental de la gravitación es que dos masas ejercen fuerzas entre sí, existe una interacción entre ellas. Se
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puede considerar esta circunstancia como una interacción directa entre las dos partículas de masa, si así se desea. Este punto de vista se llama accióna distancia !tro punto de vista es el concepto de campo que considera a una partícula de masa como modificando en alguna forma el espacio que la rodea " formando un campo gravitatorio. Este campo act#a entonces so$re cualquier otra partícula de masa colocada en %l, ejerciendo la fuerza de la atracción gravitacional so$re ella. &or consiguiente, el campo juega un papel intermedio en nuestra forma de pensar acerca de las interacciones entre las partículas de masa. 'e acuerdo con este punto de vista tenemos en nuestro pro$lema dos partes separadas( En primer lugar est) el campo producido por una distri$ución dada de partículas de masa* " segundo, es necesario calcular la fuerza que ejerce este campo en otra partícula de masa colocada en %l. Se dice que en una determinada región del espacio se tiene un +campo físico+ cuando en ella se presentan u o$servan propiedades físicas. Estas propiedades pueden tener car)cter escalar, vectorial o tensorial. El campo gravitatorio es un ejemplo de campo vectorial, porque en este campo cada punto tiene un vector asociado con %l. am$i%n se puede ha$lar de un campo escalar, tal como el campo de temperatura en un sólido conductor del calor. El campo gravitatorio que resulta de una distri$ución fija de masa es tam$i%n un ejemplo de campo estacionario, porque el valor del campo en un punto dado no cam$ia con el tiempo. El concepto de campo es particularmente #til para comprender las fuerzas electromagn%ticas entre cargas el%ctricas en movimiento. iene ventajas especiales, tanto conceptualmente como en la pr)ctica, so$re el concepto de acciónadistancia. El concepto de campo no se usa$a en la %poca de -eton. /ue desarrollado m)s tarde por /arada" para el electromagnetismo " sólo entonces se aplicó a la gravitación. 0o" día se utiliza el concepto de campo en la descripción de todas las interacciones de la -aturaleza. El o$jeto principal del capítulo que sigue es la familiarización con un concepto que resulta ser importante en el desarrollo " comprensión de las teorías físicas
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CAM&O ESCALAR Si a cada punto 1x,",z2 de una región del espacio se le puede asociar un escalar 31x,",z2, hemos definido un campo escalar 3 en esta región. 4a función 3 depende, pues, del punto " por ello se llama función escalar de punto. Si el campo escalar no depende del tiempo se llama estacionario .5eci$e el nom$re de superficie equiescalar o isoescalar, el lugar geom%trico de los puntos del espacio en los que el campo escalar tiene el mismo valor. 4as superficies equiescalares vienen determinadas por la expresión( 31x, ", z2 6 7i 17i es una constante2 Estas superficies no pueden tener puntos comunes por la imposi$ilidad de que la función escalar en un mismo punto tenga diferentes valores. Como ejemplos de campos escalares podemos citar el campo de temperaturas de un sólido o el campo de presiones de un gas.
Campos escalares( 4os que proporcionan la densidad, 4os que proporcionan la temperatura, 4os que proporcionan la altura.
CAM&O VECTORIAL Si a cada punto 1x,",z2 de una región del espacio se le puede asociar un vector E1x,",z2, queda definido un campo vectorial E en esta región. 4a función E depende, pues, del punto " por ello se llama función vectorial de punto.
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Si el campo vectorial no depende del tiempo se llama estacionario. En los campos vectoriales se definen las líneas de fuerza o 4íneas de campo, como las curvas tangentes en cada punto a los vectores definidos en ellos. 'ecimos que un campo vectorial es uniforme cuando tenemos el mismo valor del vector campo " la misma dirección " sentido en todos los puntos. Un campo uniforme est) representado, evidentemente, por líneas de campo paralelas " equidistantes. Como ejemplos de campos vectoriales podemos citar el campo de velocidades en un fluido, el campo gravitatorio, el campo el%ctrico " el campo magn%tico.
Campos vectoriales( Campos de fuerzas( campos el%ctricos, campos gravitatorios. Campos de velocidades( movimiento del viento junto a una superficie aerodin)mica, Corrientes oce)nicas, velocidad de un fluido. Campos de flujo( El que descri$e un flujo de calor.
Teore'a (e Green En este teorema se necesitar) integrar un campo vectorial a lo largo de la frontera de cierta región 5 del plano x", que puede estar formada por m)s de una curva.
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'efinición. Sea 5 un conjunto conexo, cerrado " acotado de ð
R
2
cu"a frontera
5 est) formada por n curvas cerradas simples " regulares a trozos C8,C9,:.
Cn 1n;82 que no se cortan entre si.
. 9. Si todas las curvas se orientan en sentido contrario al de la orientación izquierda, entonces se dice que la frontera de 5 tiene orientación derecha 1o negativa2, " se denota =5 . eorema ? 1de @reen2 conexo " a$ierto " / 6 1 / 8 * / 9 2 9 C 8 1 < 2 . Sea 5 A < un su$conjunto conexo, cerrado " acotado cu"a frontera =5 esta formada por varias curvas cerradas simples " regulares a trozos C 8 * C 9 * ( ( ( * C n . Entonces, 1a2 si B5 6 B5 > 1orientación izquierda o positiva2, se satisface la igualdad(
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-ota( &ara entender mejor ha" videos so$re este tema de tareas plus.com en la $iografías estar) el lin7. El video para este tema es el 8D. El teorema de @reen nos a"uda en diversos temas derivantes como pueden ser.
Curva) (e *or(+n •
En lo que sigue vamos a tra$ajar con un tipo particular de caminos, que reci$en el nom$re de caminos simples. ntuitivamente un camino es simple cuando no tiene autointersecciones, es decir, un móvil que lo recorre no pasa dos veces por un mismo punto
Ca',o) irrotacionale) - con)ervativo) •
Est) $astante claro que el teorema de @reen nos va a permitir o$tener nueva información relevante so$re la relación entre campos conservativos e irrotacionales. Siempre que podamos aplicar el teorema a un campo irrotacional, la integral do$le que aparece en el segundo miem$ro de la fórmula de @reen ser) nula, luego tam$i%n ha$r) de anularse la integral de línea del primer miem$ro " esto nos acerca a la posi$ilidad de que el campo sea conservativo.
C+lculo (e +rea) 'e(iante la r'ula (e Green •
&ara un campo con rotacional escalar constantemente igual a 8, la integral do$le que aparece en la fórmula de @reen es el )rea de la región interior a una curva de Ford)n, luego podemos calcular tal )rea mediante una integral de línea. 'isponemos de varias elecciones posi$les para el campo vectorial, "a que es f)cil dar ejemplos de campos vectoriales de clase C 8 en todo el plano con rotacional escalar constantemente igual a 8.
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El teore'a (e Gau)) 0o (e la (iver1encia2 El teorema de @auss ofrece la posi$ilidad de calcular una integral de un campo vectorial so$re una superficie cerrada mediante una integral triple so$re la región del espacio formada por dicha superficie " la región que encierra. eorema G 1de @auss o de la divergencia2 Sea /( 3 A 5 ?H 5 ? de clase C 8 132, donde 3 es un conjunto conexo, cerrado " acotado, cu"a frontera =3 es una superficie cerrada, suave a trozos " orienta$le. 1a2 Si =3 se orienta hacia el exterior de 3, que se denotar) por =3 6 3 >, entonces se satisface la siguiente igualdad(
Ejemplo. Calculemos el flujo del campo vectorial / 1 x* "* z 2 1 z* "* x 2 so$re la esfera unidad orientada hacia el exterior. &rimero calculamos div / 1 x* "* z 2 6 8 ( 4a esfera unidad es la frontera de la $ola unidad I dada por x 9 > " 9 > z 9 J 8 . Entonces el teorema de @auss calcula el flujo a trav%s de una integral triple.
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El teore'a (e Stoke) El teorema de Sto7es puede considerarse como una versión del teorema de @reen para tres dimensiones. Kientras el teorema de @reen relaciona una integral do$le so$re una región plana con una integral de línea so$re la curva cerrada frontera plana, o unión de varias, el teorema de Sto7es relaciona una integral de superficie con una integral de línea so$re la curva cerrada frontera de la superficie 1que no necesariamente es una curva plana2 o unión de varias 1i.e. superficie con agujeros2
eorema L 1de Sto7es2 Sea / ( I A 5 ? H 5 ? , I conexo " a$ierto, / 9 C 8 1 I 2 . Sea una superficie S A I orienta$le, suave " simple respecto de s ( < A 5 9 H 5 ? . Supongamos < conexo, cerrado " acotado cu"a frontera B< es una curva cerrada simple " regular a trozos respecto de f ( M a* $ N H 5 9 , que la orienta en el sentido anti horario o izquierdo, B< 6 B< > . Si se parametriza BS mediante la función r 6 s O f , entonces se satisface la siguiente igualdad( P BS / dr 6 PP S rot / ds( 1?2 -ota . En general, la igualdad anterior del teorema de Sto7es se satisface siempre que las orientaciones dadas a BS " a S , respeten la regla del sacacorchos , en el caso contrario 1como la parte 1$2 de la gura G2, la integral de superficie ir) precedida de signo negativo
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Conclu)ione). 4os tres teoremas tienen en com#n que relacionan dos tipos de integrales distintas, una so$re cierto dominio " otra so$re su frontera o $orde. Se diferencian en cuanto al tipo de campos " dominios en los que se aplican( 4os teoremas de Sto7es " de @auss tratan de campos vectoriales en 5 ? , mientras que el teorema de @reen utiliza campos vectoriales en 5 9 . El dominio considerado en el teorema de @reen es un trozo del plano x" cu"o $orde consta de una o varias curvas cerradas planas. En el teorema de Sto7es, el dominio es una superficie en 5 ? cu"o $orde consta de una o varias curvas cerradas no planas en general. En el teorema de @auss, el dominio es un cuerpo o sólido cu"o $orde es una superficie cerrada
Iiografías
http(QQ.textfixer.comQtoolsQremoveline$rea7s.php http(QQ.mat.ucm.esQRdazagrarQdocenciaQcap8?.pdf http(QQ.ual.esQRplopezQdocenciaQitaQE3<trasptema.pdf https(QQaula.tareasplus.comQCamiloSernaQcalculovectorial"variasvaria$les
