Teorema de Green Sea C una curva simple cerrada y suave (o al menos por pedazos) que límita la región R del plano F ( x, y ) = ( p( x, y), q( x, y)); F ∈ C1 sobre la región R entonces podemos afirmar que.
∂q ( x, y)
∫
∫ [ p( x, y)dx − q( x, y) dy] = ∫∫
C
C
F i dL =
R
∂ x
−
∂p( x, y) ∂y
dA
Ejemplo. 2 2 Sea F ( x, y ) = (3 xy, 2 x ) y R la región limitada por las curvas: y = x ; y = x − 2 x verifique el teorema de Green Corolario del Teorema de Green: El área de la región R limitada limitada por la curva C cerrada simple y suave o al menos por 1 pedazos está dada por: A = − yd+ x xdy 2
∫
Teorema de la Divergencia de Gauss Sea S una superficie su perficie cerrada suave o al menos por pedazos que encierra la región T del espacio Sea F ( x, y , z ) = ( P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) F ∈ C1 sobre T Sea n el vector normal unitario exterior a S entonces:
∫∫ F idS = ∫∫ F inds = ∫∫∫ ∇ i F ( x , y, z) dV S
S
T
Ejemplo Verifique el teorema de la divergencia de Gauss para F (x , y , z ) = (x + y , y + z , x + z ) donde S es la superficie limitada en el primer octal por x + y + z = 1
Teorema de Stokes Sea S una superficie orientada, acotada y suave o al menos por pedazos en el espacio, con frontera frontera C positivamente orientada F : »3 → » 3 ; F ( x, y , z ) = ( f1 ( x, y , z ), f2 ( x, y, z ), f3 ( x, y, z)); F ∈ C1 en una región del espacio que contenga a S entonces:
∫ F idL = ∫∫ ∇ × F idS C
S
Ejemplo Ejemplo comprobar el teorema de Stokes para F ( x , y , z ) = (2 z , x, y2 ) siendo S la superficie definida por: { ( x, y, z) ∈ » 3 ; z = 4 - x2 − y2 ∧ z ≥ 0} C es la curva en el plano xy
