BAB VI TEOREMA GREEN, STOKES DAN GAUSS
6.1 Teorema Green
Teori ini adalah teori yang sangat penting jika dihubungkan dengan integrasi garis pada kurva tertutup bidang. Teori ini menjelaskan hubungan antara integral garis di sepanjang kurva (atau kurva-kurva) yang membentuk atau membangun sebuah daerah/domain/region dan integral ganda ( double integral ) atau integral integral integral permukaan yang di ambil di daerah tersebut. tersebut. Dengan kata lain teori ini menjelaskan bahwa permasalahan integral garis dapat di selesaikan dengan integral permukaan dan demikian sebaliknya. Hal ini diungkapkan oleh G. Green, seorang matematikawan Inggris di awal abad 19.
Teorema: Misal D suatu domain dari bidang xy dan C adaalah lengkung (kurva)
tertutup yang licin (smooth) di D, dengan interior juga di D. Misalkan P(x,y), Q(x,y) adalah fungsi-fungsi yang ditentukan, kontinu dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D, maka :
∫
Pdx + Qdy =
C
∂Q ∂ P − dxdy , R daerah tertutup yang dibatasi C. ∫∫ ∂ x ∂ y R
Bukti :
Teori ini akan akan dibuktikan dengan menampilkan menampilkan R dalam bentuk :
a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d ; dimana f 1 ( x ) ≤ y ≤ f 2 ( x ) dan g 1 ( y ) ≤ x ≤ g 2 ( y ) seperti terlihat dalam gambar di bawah ini :
y d y = f 2 ( x)
R
y = f 1( x)
c
b
a
Integral lipat dua
x
∂ P
∫∫ ∂ y dxdy dapat ditulis dalam bentuk integral iterasi R
b f ( x ) ∂ P ∂ p = dxdy ∫ R∫ ∂ y ∫a ∫ f ( x ) ∂ y dydx . Sekarang dapat kita integrasikan : 2
1
b ∂ P dxdy = ∫ { P [ x, f 2 ( x )] − P [ x, f 1 ( x )]}dx ∫∫ ∂ y R a b
b
a
a
= − ∫ P [ x, f 2 ( x )]dx − ∫ P [ x, f 1 ( x )]dx = − ∫ P ( x, y )dx C
Dengan jalan yang sama maka
∫
Q( x, y )dy sehingga
C
∂Q dxdy dapat ditulis dalam integrasi ∫∫ ∂ y R
∫
Pdx + Qdy =
C
∂Q ∂ P − dxdy . Dengan ini teorema ∫∫ ∂ x ∂ y R
GREEN telah terbukti kebenarannya. Domain D atau daerah D dalam Teorema ini harus mememnuhi sifat-sifat sebagai berikut : 1. merupakan domain / daerah yang tertutup dan terbatas. 2. memuat sejumlah sejumlah terhingga kurva kurva tertutup sederhana yang tidak saling saling berpotongan satu sama lain. 3. setiap kurva kurva tertutup sederhana tersebut harus harus licin ( smooth).
Domain/daerah yang memenuhi sifat-sifat di atas disebut daerah reguler ( reguler
region)
Contoh soal : (π , 2 )
1. Hitung
(6 xy − y )dx + (3 x ∫ ( ) 2
2
− 2 xy )dy sepanjang cycloid
0, 0
x = θ
→
∂M = 6 x − 2 y ∂ y
− 2 xy →
∂ N = 6 x − 2 y ∂ x
Penyelesaian : M = 6 xy − y N = 3 x 2 Jadi
− sin θ ; y = 1 − cos θ . 2
∂M ∂ N = , maka integral di atas tidak tergantung lintasan. ∂ y ∂ x
Dengan lintasan garis lurus dari y
(0,0)
ke
(π ,2)
persamaan garisnya adalah
π π 2 = x atau x = y ; dx = dy π 2 2 (π , 2 )
∫( ) (6 xy − y )dx + (3 x 2
0, 0
π 3 − 2 xy )dy = ∫ (3π y 2 − y 2 ) dy + π 2 y 2 − π y 2 dy 2 4 0 2
2
2
2 3 2 π 3 2 9 3 1 9 3 2 = ∫ π − + π − π y dy = ∫ π 2 − π y 2 dy = π 2 − π y 3 2 2 4 4 2 3 4 2 0 0 0 2
8 9 2 3 = π − π = 6π 2 − 4π 3 4 2 2. Ujilah Teorema Teorema GREEN dalam dalam bidang bidang untuk
∫ (3 x
2
− 8 y 2 )dx + (4 y − 6 xy )dy ,
C
dimana C adalah batas daerah yang di di definisikan oleh x Penyelesaian :
= 0, y = 0, x + y = 1 .
y 1
1
x
Dengan Integral Garis :
• dari (0,1) ke (1,0) ;y = 0 ; dy = 0
∫ (3 x
1
2
C
1
− 8 y )dx + (4 y − 6 xy )dy = ∫ 3 x 2 dx = x 3 0 = 1 2
0
• dari (1,0) ke (0,1) Persamaan garisnya x + y
∫ (3 x
= 1 → y = 1 − x ;
dy
= − dx
0
2
C
− 8 y )dx + (4 y − 6 xy )dy = ∫ (3 x 2 − 8(1 − x )2 dx + (4(1 − x ) − 6 x (1 − x ))(− dx )) 2
1
0
0
(3 x − 8 x − 8 + 16 x − 4 + 10 x − 6 x )dx = − 11 x 3 3 1
= ∫ =
2
11
2
+ 12 − 13 =
3
2
− 12 x + 13 x
1
8 3
• dari (0,1) ke (0,0); lintasan x = 0 ; dx = 0
∫ (3 x
0
2
C
Jadi :
0
− 8 y )dx + (4 y − 6 xy )dy = ∫ 4 ydy = 2 y 2 1 = −2 2
1
∫ (3 x
2
C
∫ (3 x
C
5
3
3
∂ N ∂M − = 10 y ∂ x ∂ y
Dengan Teorema GREEN di bidang 1
2
8
− 8 y 2 )dx + (4 y − 6 xy )dy = 1 + − 2 =
1− x
− 8 y )dx + (4 y − 6 xy )dy = ∫ ∫ 0 (10 y )dydx 2
0
1
1
2
1− x
= ∫ 0 5 y 2 0 dx
1 5 1 = ∫ 0 5(1 − 2 x + x )dx = 5 x − x 2 + x 3 = 51 − 1 + = 3 3 3 0 1
2
6.2 Teorema Stokes
Rumusan dari teorema Stokes’s adalah :
∂ R ∂Q
∂Q ∂ P
∂ P ∂ R
∫∫ ∂ y − ∂ z cosα + ∂ z − ∂ x cos β + ∂ x − ∂ y cosγ S
dA = ∫ Pdx + Qdy + Rdz C
Teorema Stokes memainkan peranan di dalam dimensi-3 seperti halnya Teorema Green di bidang. Teori ini memiliki andil besar dalam ilmu fisika matematika. Dalam perumusan di atas, S adalah sebuah permukaan yang dibatasi oleh sebuah kurva C ; P,Q dan R adalah fungsi-fungsi dalam x,y dan z . Sudut-sudut
α,β dan γ adalah sudut-sudut yang
dibentuk oleh normal n terhadap sumbu-sumbu x,y
dan z . Dalam kasus S adalah sebuah daerah di bidang xy, Teorema Stokes’s identik dengan Toeorema Green di bidang, dalam kasus ini jika kita pilih arah z yang positif maka cos dan cos
α = 0, cos β = 0
γ = 1. Sehingga selama dz = 0 sepanjang
kurva C dalam kasus ini maka :
∂Q ∂ P
∫∫ ∂ x − ∂ y dA = ∫ Pdx + Qdy S
C
Rumusan ini adalah merupakan Teorema Green di bidang. Teorema Stokes dapat diberikan dalam bentuk vektor sebagai berikut : Misalkan S suatu permukaan terbuka, bermuka dua dan dibatasi oleh lengkung C yang sederhana. Garis normal pada S mempunyai arah positif disatu pihak dan arah negatif dipuhak lain. Arah dari lengkung C disebut positif jika seorang berjalan
menyusur kelilingC senantiasa mempunyai luas disebelah kirinya.
Dengan kata lain berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. Normal pada S disebarang titik adalah dapat diberikan sebagai berikut: n = cos α i + cos β j + cos γ k Suatu vektor A = A 1 i + A2 j + A3 k bersifat bahwa A1, A2 dan A3 kontinu, bernilai tunggal dan mempunyai turunan parsial yang kontinu di S .
Teorema Stokes menyatakan bahwa tangensial komponen dari vektor A sekeliling lengkung tertutup C sama dengan integral luas dari komponen normal dari rotasi A jika dikenakan pada permukaan S yang dibatasi oleh C . Secara Rumus dapat dituliskan sebagai
∫ A • dr = ∫∫ (∇ × A ) • n ds
C
S
Pembuktiannya diberikan sebagai berikut: Misalkan S adalah permukaan dengan proyeksi pada bidang-bidang xy, yz dan xz merupakan daerah yang dibatasi oleh lengkung tertutup sederhana. Persamaan untuk S dapat dituliskan dalam bentuk z = ƒ (x,y), x = g(y,z), y = h(x,z) dengan ƒ ,g,h bernilai tunggal, kontinu dan merupakan fungsi yang dapat diturunkan. Yang harus ditunjukkan adalah:
∫∫ (∇ × A ) • n ds = ∫∫ [∇ × ( A i + A j + A k )] • n ds = ∫ A • d r 1
S
2
3
S
C
z
C ds
S
o y
R dx dy
x
Mula-mula pertimbangkan: pertimbangkan:
∫∫ [∇ × ( A i )] • n ds 1
S
∇×( A A1 i) =
i
j
k
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂ A1 ∂ A1 = j − ∂ y ∂z ∂ z
A1
0
0
k
∂ A1 ∂ A j • n − 1 k • n dS ………………………..(1) ∂ y ∂ z
[∇ × ( A1i )] • n dS =
Jika persamaan untuk S dipilih z = ƒ (x,y) maka vektor posisi untuk setiap titik dari
S adalah r = xi + y j +ƒ (x,y)k sehingga
∂r ∂ z ∂ f ∂r = j + k = j + k tetapi adalah ∂ y ∂ y ∂ y ∂ y
vektor yang menyinggung permukaan S , maka vektor tersebut tegak lurus dengan n, sehingga: n•
∂r ∂ z = n • j + n • k = 0 atau ∂ y ∂ y
n • j = -
∂z n • k ∂y
Subtitusikan dalam persamaan (1)
∂ A1 ∂ A ∂ A ∂ z ∂ A n • j + 1 n • k dS = − 1 n • k − 1 n • k dS ∂ y ∂ y ∂ z ∂ z ∂ y Atau
∂ A1 ∂ A1 ∂ z n • k dS ………………………(2) + ∂ ∂ ∂ y z y
[∇ × ( A1i )] • n dS =
pada permukaan S : A1(x,y,z) = A1{ x,y,f(x,y)} = F(x,y) maka
dan
persamaan
(2)
menjadi
[ ∇×( A A1i)] • n dS = −
∂ A1 ∂ A1 ∂ z ∂ F + = ∂ y ∂ z ∂ y ∂ y
∂ F ∂ F n • k dS = − dxdy , ∂ y ∂ y
sehingga
∫∫ [∇ × ( A1i )] • n ds
=
S
∫∫ − R
∂ F tanda/simbol Γ adalah dxdy = ∫ Fdx = ∫ A1dx dengan tanda/simbol ∂ y C Γ
keliling dari R. Di setiap titik ( x,y) dari Γ nilai dari F sama dengan nilai dari A1 di tiap-tiap titik ( x,y,z x,y,z ) dari C , dan karena dx sama untuk kedua lengkung maka kita peroleh
∫ Fdx = ∫ A dx 1
Γ
atau
C
∫∫ [∇ × ( A i )] • n ds = ∫ A dx 1
1
S
kalau S diproyeksikan pada
C
bidang koordinat lainnya, diperoleh:
∫∫ [∇ × ( A j)] • n ds = ∫ A dy 2
2
S
C
∫∫ [∇ × ( A k )] • n ds = ∫ A dz 3
3
S
C
Kalau ketiga persamaan ini kita jumlahkan diperoleh:
∫∫ (∇ × A ) • n ds = ∫∫ [∇ × ( A i + A j + A k )] • n ds = ∫ A • d r 1
S
S
2
3
C
Contoh Soal : Hitung :
∫∫ (∇ xA) . n
2
2
dS, dimana dimana A = (x + y - 4)i + 3xy j + (2xz +n )k dan S
S
adalah permukaan dari : a) Setengah bola x2 + y2 + z2 = 16 di atau bidang xy. 2
2
b) Paraboloida z = 4 – (x + y ) di atas bidang xy. Penyelesaian :
∫∫ (∇ xA) . n dS = ∫ A . dv = ∫ ( x S
C
S
+ y − 4 )dx + (3 xy )dy + (2 xz + z 2 )dz
C
a) c adalah sebuah lingkaran x 2
∫∫ (∇ xA) . n dS = ∫ ( x
2
2
+ y 2 = 16;
z=0
+ y − 4 )dx + (3 xy )dy + (2 xz + z 2 )dz
C
∂ ∂ = ∫∫ 3 xy − ( x 2 + y − 4 )dxdy ∂ y ∂ x
4
=
16− x 2
∫ ∫ (3 y − 1)dydx
− 4 − 16− x 2
4
4
4
=
3
∫ 2 y
−4
16− x 2 2
− y
dx − 16− x
x x = ∫ − 2 16 − x dx = − 2 16 − x 2 + 8 sin −1 = −2{0 + 8π } = −16π 2 −4 2 −4 2
2
b) c adalah lingkaran x 2
2
∫∫ (∇ xA) . n dS 3 = ∫ − 2 2
2
−y y −
4− x 2
= ∫ (3 y − 1) dy dx = ∫− 2 ∫ − 4− x (3 y − 1) dy dx 2
S
2
+ y2 = 4
C
4− x 2
dx 4− x
2
2
2
= ∫ − 2− 2 4 − x dx 2
= −2{0 + 2π } = −4π
x x = − 2 4 − x 2 + 2 sin −1 2 −2 2
6.3 Teorema Gauss
Teorema divergensi Gauss adalah analog tiga dimensi dari teorema Green di bidang. Isi dasar dari Teorema Divergensi adalah:
∂ A1 ∂ A2 ∂ A3 ∫V∫∫ ∂ x + ∂ y + ∂ z dV = ∫S ∫ ( A1 cosα + A2 cos β + A3 cos γ )dA dimana, V adalah sebuah daerah diruang dimensi 3; SAW adalah permukaan yang dibatasi oleh T ; A1 , A2 , dan A3 adalah fungsi-fungsi dari x,y dan z yang kontinu dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di V . Dan cos
α, cos β dan
cos γ adalah cosinus dari garis normal terhadap SAW ditarik keluar dari T . Secara vektorial teorema di atas dapat dirumuskan sebagai berikut: Ambillah S suatu luas tertutup dan menuntupi volumeV . Normal dari SAW diambil normal pada permukaan yang mengarah keluar; ditentukan sebagai normal positif dan dimisalkan bahwa normal positif ini membentuk sudut
α β dan γ dengan
su,bu-sumbu su,bu-sumbu positif x, x, yang dan z . Normal jika ditulis dalam vector adalah: n = cos α i + cos β j + cos γ k
Suatu vektor A = A1 i + A2 j + A3 k bersifat bahwa A1, A2 dan A3 kontinu, bernilai tunggal dan mempunyai turunan parsial yang kontinu di daerah tersebut Teorema Divergensi manyatakan bahwa integral luas dari komponen normal suatu vector A meliputi suatu luas tertutup sama dengan integral dari divergensi A terhadap volume yang ditutupi oleh luas tersebut. Teori Divergensi disebut pula Teori Green dalam ruang. Dalam bentuk rumusan matematis teorema Divergensi diberikan sebagai
∫∫∫∇ • A dV = ∫∫ A • n dS . V
S
Pembuktian Teorema tersebut diberukan sebagai berikut: Ambilah S suatu luas tertutup yang sedemikian rupa sehingga sebarang garis sejajar sumbu koordinat akan memotong S paling
banyak pada dua titik.
Misalakan persamaan permukaan bagian bawah dan atas, S 1 dan S 2 masingmasing adalah z = f 1( x,y x,y) dan z =f 2( x,y) x,y). Proyeksi dari S pada bidang xy adalah R
γ 2 z
S 2 ;z=f 2 (x,y)
n2 ds2
γ 2
S 1;z=f 1(f,y)
ds1
n1
o y R
x
∂ A3 ∂ A3 = dV ∫V∫∫ ∂ z ∫V ∫∫ ∂ z dz dy dx = =
z = f ∂ A3 ∫∫ R ∫ z = f ∂ z dy dx =
3
2
3
3
1
∫∫ [ A ( x, y, f ) − A ( x, y, f )]dydx untuk
z = f 2 z = f 1
∫∫ A ( x, y, z ) ]
2
R
bagian atas S 2 dxdy = cos
1
dydx
γ2 dS 2 = k •
R
n2 dS 2, karena normal n2 pada S 2 membentuk sudut lancip
γ2 dengan k . Bagian
bawah S 1, dxdy = - cos γ1 dS 1 = - k • n1 dS 1, karena normal n1 pada S 1 membentuk sudut tumpul dengan k yang merupakan normal dari R. Maka :
∫∫ [ A ( x, y, f )]dydx = ∫∫ A k • n dS 3
2
3
R
2
2
S 2
∫∫ [ A ( x, y, f )]dydx = ∫∫ A k • n dS 3
1
3
R
1
1
S 1
dan
∫∫ A ( x, y, f )dydx − ∫∫ A ( x, y, f )dydx = ∫∫ A k • n dS + ∫∫ A k • n dS 3
2
3
R
=
1
R
∫∫
A3k • n dS , sehingga
S
3
2
S
2
2
3
1
S
1
1
∂ A3 ∫V∫∫ ∂ z dV = ∫S ∫ A 3k • n dS ……..(1)
Dengan analog yang sama dan dengan memproyeksikan S pada bidang-bidang koordinat lainnya akab diperoleh:
∂ A1
∫∫∫ ∂ x dV = ∫∫ A k • n dS ………………………………………..(2) 1
V
S
∂ A2 ∫V∫∫ ∂ y dV = ∫S ∫ A 2k • n dS ………………………………………..(3) dan kalau (1), (2) dan (3) dijumlahkan akan dihasilkan/diperoleh hasil akhir yaitu
∫∫∫ ∇ • A dV = ∫∫ A • n dS V
S
Contoh Soal : Hitunglah
∫∫ F . n dS, dimana F = 2xy i + yz
2
j + xz k dan S adalah
S
permukaan parellelepipedum x = 0; y = 0; z = 0; x = 2; y = 1; z = 3. Penyelesaian : Dari Teorema DIVERGENSI,
∫∫ F . n dS S
= ∫∫∫ ∇ . F dv V
∂ ∂ ∂ ∇ . F = i + j + k (2 xyi + yz 2 j + xzk ) = 2 y + z 2 + x ∂ y ∂ z ∂ x
∫∫ F . n dS S
2
1
= ∫∫∫ ∇ . F dv V
3
3
= ∫ x=0 ∫ y=0 ∫ z=0 ( x + 2 y + z ) dz dy dx 2
2 1
= ∫0 ∫ 0 (3 x + 6 y + 9 ) dy dx 3
2
= x + 12 x = 6 + 24 = 30 2
2
0
2
1 = ∫0 ∫ 0 xz + 2 yz + z 3 dydx 3 0 2 1
1
= ∫ 0 (3 xy + 3 y 2 + 9 y ) 0 dx
2
= ∫ 0 (3 x + 12) dx
