Teorema de Gauss. Si V es un sólido en R3 limitado por una superficie S, donde n es la normal exterior a S. F es un campo vectorial de Clase C1 (v) , entonces
∭ = ∙ Demostración: Si F= (P, Q, R), entonces analizamos ambos miembros de la igualdad, donde descomponiendo “divF” se tiene.
+ ∭ + ∭ ∭ = ∭
Mientras que el segundo miembro se descompondría así: a sí:
∙ = ++ ++ ∙ + ∙ + ∙ + ∙
Ahora supongamos que:
= {,{, ,, ∈ 3: .. ≤ ≤ ,, ∈ }}
Donde: T es la proyección de sólido V en el plano XY, de tal forma que el sólido V está encerrado por la superficie S formada por 3 superficies como se muestra en la imagen.
, ∭ = ,∫ = [ (,,;)(,,;)] Mientras que para:
∬ ∙ = ∬ ∙ + ∬ ∙ + ∬ ∙ ∙ = 0
Sobre S 3 , n es paralela al plano XY, de modo que parametrizan de forma que:
, = ,,,
Y
...(α)
. Sobre S 1 y S 2 se
, = , ,,
En S 1 , la normal tiene el sentido del producto vectorial fundamental de la derivada de r respecto de x por la derivada de r respecto de y
× = , , 1 × 2 = , , 1
En S 2 , se realiza lo mismo análogamente:
De cada una de las partes de la superficie se tiene
) ∙ = ( , , ; ) ∙ = ( , , ; Reemplazando en α:
) ) ∙ = ( , , ; ( , , ;
Como se ve el segundo miembro de la ecuación es igual a:
∭
Por lo tanto si realizamos el mismo procedimiento análogamente para el resto de partes de la integral triple, entonces se tendrá el teorema:
∭ = ∙
Ejemplo:
∬ ∙
Evaluar , donde F(x, y z)=xy 2 i+x 2 yj+yk. Y S es la superficie del cilindro x 2 +y 2 =1, acotado por los planos z = ±1 e incluyendo las porciones x 2 +y 2 ≤ 1 cuando z = ±1. RESOLUCIÓN. Aplicaremos el teorema de la divergencia. Ahora, S es la front era de la región V descrita por las condiciones x 2 +y 2 ≤ 1, −1 ≤ z ≤ 1, de modo que
∙ = ∭
Con
2 + 2 = ∫2 + 2 ∭ = ∭ − + = 2
Donde T ={ (x,y) ∈ R 2 : x 2 +y 2 ≤ 1 }. Esta integral doble se evalúa fácilmente usando coordenadas polares, obteniéndose:
Consecuentemente,
2 + 2 = ∫ ∫ 3 = 2
es el valor de la integral pedida.
∭ =
