Gauss

Módulo 23-1 Fluxo Elétrico mm de de lado e ·1 A superfície quadrada da Fig. 23-30 tem 3,2 mm está imersa em um campo elétrico elétric o uniform uniformee de módulo módulo E E = !00 "#$ e com lin%as lin%as de camp campo o fa&e fa&end ndo o um 'ngu 'ngulo lo de 3(

o

com a normal, como mostra mostra a figura. figura. )o )ome essa normal como apontando apontando *para fora+, como se a superfície superfíc ie fosse a tampa tampa de uma caia. $alcule o fluo elétrico atraés da superfície.

3, ? e . Figura 23-31 ro/lemas 3,

Módulo 23-2 Lei de Gauss 23-32, uma rede para pegar /or/oletas está ·4 "a Fig. 23-32, imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E = 3,0 m"#$, com o aro, um círculo de raio a =  cm, perpendicular B direC>o do campo. campo. A rede é eletricam eletricamente ente neutra. neutra. :etermine :etermine o fluo fluo elétrico atraés da rede. rede .

. Figura 23-30 ro/lema .

··2

m campo campo elétrico elétrico dado por

2,067, 2,067, em que que

2 = 1,0  3,04 y 5

está em ne8 ne8to tons ns por coul coulom om/ / e y está em

metros, metr os, atraessa um cu/o cu/o gaussiano gaussiano com 2,0 m de aresta,

1. Figura 23-32 ro/lema 1.

posicionado da for forma ma most mostrada rada na Fig. 23-9 23-9.. :e :eter termi mine ne o flu fl uo o elétrico elétrico 4a6 atra atraés és da face superior, superior, 4/6 atraés atraés da face inferior, 4c6 atraés da da face face da esquerda e 4d6 atraés da face traseira. 4e6 ;ual ;ual é o flu fluo o elétrico total total atraés atraés do cu/o<

Fig.. 23-3 23-33 3, um próton próton está um uma dist'ncia dist'ncia d #2 #2 do ·5 "a Fig cent centro ro de um quadrad quadrado o de aresta aresta d . ;ua ;uall é o módu módulo lo do flu fluo o elétrico elétrico atraés atraés do quadrado< quadrado< 4 SugestãoD Sugestão D ense no quadrado como uma das faces de um cu/o de aresta d .6 .6

(. Figura 23-33 ro/lema (.

Fig.. 23-3 23-3  tem tem ,10 ,10 m de ares aresta ta e está está ··3  cu/o da Fig orientado da forma forma mostrada na figura em um uma regi>o onde eiste um campo elétrico el étrico uniforme uniforme.. :etermine :etermine o fluo fluo elétri elétrico co atraé atraéss da face face direi direita ta do cu/o cu/o se o cam campo elétrico, em ne8tons por coulom/, é dado por 4a6 ?,00, 4/6 

aresta. "a face superior do cu/o,

2,007 e 4c6 3,00 5 1,00

inferior,

do cu/o nos tr@s casos<

. 4d6 ;ual é o fluo total atraés

23-3, ·6 Em todos os pontos da superfície do cu/o da Fig. 23-3, o campo elétrico é paralelo ao eio z .  cu/o tem 3,0m de

= 520

interior do cu/o.

= -31

"#$ na na face

"#$. :eterm :etermine ine a carga que eiste eiste no

Figura 23-34 ro/lema 0.

·7 ma carga pontual de ,! μ$ está no centro de uma superfície gaussiana cG/ica de (( cm de aresta. ;ual é o fluo elétrico atraés da superfície< ··

;uando um c%ueiro é a/erto em um /an%eiro

fec%ado, os respingos de água no piso do /oe podem enc%er o ar de íons negatios e produ&ir um campo elétrico no ar de até 000 "#$. $onsidere um /an%eiro de dimensHes 2,( m I 3,0 m I 2,0 m. Jupon%a que no teto, no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar seKa perpendicular B superfície e possua um módulo uniforme de ?00 "#$. Jupon%a tam/ém que o teto, o piso e as paredes formem

··11 A Fig. 23-3( mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cu/o de 2,00 m de aresta, com um értice no ponto x = (,00 m, y = 1,00 m.  cu/o está imerso em 2 um campo elétrico dado por =  3,00  1,00 y 7 53,00 "#$, com y em metros. ;ual é a carga total contida no cu/o<

uma superfície gaussiana que enola o ar do /an%eiro. :etermine 4a6 a densidade olumétrica de carga ρ e 4/6 o nGmero de cargas elementares e em ecesso por metro cG/ico de ar.

Figura 23-35 ro/lema .

··! A Fig. 23-3 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cu/o com ,10 m de aresta. :etermine 4a6 o fluo L atraés da superfície e 4/6 a carga qen enolida pela superfície se

= 3,00 y 7

"#$, com y em metros os

alores de 4c6 L e 4d6 qen se 3,00 y67 N "#$.

= M1,00 5 4?,00 5

··12 A Fig. 23-3? mostra duas cascas esféricas isolantes mantidas fias no lugar. A casca  possui uma densidade 2 superficial de carga uniforme de 5?,0 μ$#m na superfície eterna e um raio de 3,0 cm a casca 2 possui uma densidade 2 superficial de carga uniforme de 51,0 μ$#m na superfície eterna e um raio de 2,0 cm os centros das cascas est>o separados por uma dist'ncia L = 0 cm. ;ual é o campo elétrico no ponto x = 2,0 cm, na notaC>o dos etores

A Fig. 23-31 mostra uma superfície gaussiana com a ··10 forma de um cu/o de 2,00 m de aresta, imersa em um campo elétrico dado por

unitários<

= 43,00 x 5 1,006 5 ?,007 59,00

"#$, com x em metros. ;ual é a carga total contida no cu/o<


··13 /sera-se eperimentalmente que o campo elétrico em uma regi>o da atmosfera terrestre aponta erticalmente para /aio. A uma altitude de 300 m, o campo tem um módulo de ?0,0 "#$ a uma altitude de 200 m, o módulo é 00 "#$. :etermine a carga em ecesso contida em um cu/o com 00 m de aresta e faces %ori&ontais a 200 e 300 m de altitude.

··15 ma partícula de carga 5q é colocada em um dos értices de um cu/o gaussiano. :etermine o mGltiplo de q#ε0 que corresponde ao fluo 4a6 atraés de uma das faces do cu/o que cont@m o értice e 4/6 atraés de uma das outras faces do cu/o.

···16 A superfície gaussiana, em forma de paralelepípedo, da Fig. 23-3! enole uma carga de 521,0ε0 $ e está ··14 Fluxo e cascas isolantes . ma partícula carregada está suspensa no centro de duas cascas esféricas conc@ntricas muito finas, feitas de um material isolante. A Fig. 23-39a mostra uma seC>o reta do sistema e a Fig. 2339b mostra o fluo L atraés de uma esfera gaussiana com centro na partícula em funC>o do raio r da esfera. A escala do eio ertical é definida por L s = (,0 I 0 2 m #$.

(

imersa em um campo elétrico, que é fornecido por

M40,0 5 2,00 x6  3,007 5/& N "#$, com x e z em metros e b uma constante. A face inferior está no plano xz  a face superior está no plano %ori&ontal que passa pelo ponto y2 = ,00 m. ;ual é o alor de b para x = ,00 m, x2 = 1,00 m, z  = ,00

" O

4a6 :etermine a carga da partícula central. 4/6

:etermine a carga da casca A. 4c6 :etermine a carga da casca B.

Figura 23-3 ro/lema ?.


=

m e z 2 = 3,00 m<

conc@ntricas, cuKa seC>o reta aparece na Fig. 23-3a. A Fig. 23-3b mostra o fluo L atraés de uma esfera gaussiana com centro na partícula em funC>o do raio r da esfera. A escala do eio ertical

( é definida por L s = (,0 I 0 " O

2 m #$. :etermine 4a6 a carga da partícula central, 4/6 a carga da casca A

e 4c6 a carga da casca B.

Módulo 23-3 "# $o%dutor $arregado ·17 ma esfera condutora uniformemente carregada com ,2 m de di'metro possui uma densidade superficial de carga 2 !, μ$#m . :etermine 4a6 a carga da esfera e 4/6 o fluo elétrico atraés da superfície da esfera.

Figura 23-3! ro/lema 20.

·1  campo elétrico nas i&in%anCas da superfície lateral de um cilindro condutor tem um módulo E de 2,3 ( I 0 "#$. ;ual é a densidade superficial de carga do cilindro< ? $. "o ··21 m condutor possui uma carga de 50 I 0 interior do condutor eiste uma caidade no interior da ? caidade está uma carga pontual q = 53,0 I 0 $. :etermine a carga 4a6 da superfície da caidade e 4/6 da

·1! s eículos espaciais que atraessam os cinturHes de radiaC>o da )erra podem interceptar um nGmero significatio de elétrons.  acGmulo de carga resultante pode danificar componentes eletrPnicos e preKudicar o funcionamento de alguns circuitos. Jupon%a que um satélite esférico feito de metal, com ,3 m de di'metro, acumule 2,1 μ$ de carga. 4a6 :etermine a densidade superficial de carga do satélite. 4/6 $alcule o módulo do campo elétrico nas i&in%anCas do satélite deido B carga superficial.

superfície eterna do condutor.

Módulo 23-4 &'lica()es da Lei de Gauss* +i#etria $il,%drica ·22 m elétron é li/erado a partir do repouso a ,0 cm de dist'ncia de uma /arra isolante retilínea muito longa com uma densidade de carga uniforme de ?,0 μ$ por metro. ;ual é o módulo da aceleraC>o inicial do elétron<

·20 Fluxo e cascas condutoras. ma partícula carregada é mantida no centro de duas cascas esféricas condutoras

·23 4a6  cilindro condutor de uma máquina tem um comprimento de 12 cm e um di'metro de 2 cm.  campo elétrico nas proimidades da superfície do cilindro é 2,3 I

( 0 "#$. ;ual

é

a

carga

total

do cilindro< 4/6 

fa/ricante deseKa produ&ir uma ers>o compacta da máquina. ara isso, é necessário redu&ir o comprimento do cilindro para 2! cm e o di'metro para !,0 cm.  campo elétrico na superfície do tam/or

dee permanecer o mesmo. ;ual

dee ser a carga do noo cilindro<

·24 A Fig. 23-10 mostra uma seC>o de um tu/o longo, de metal, de parede finas, com raio R = 3,00 cm e carga por

Figura 23-41 ro/lema 2?.

! unidade de comprimento λ = 2,00 I 0 $#m. :etermine o módulo E do campo elétrico a uma dist'ncia radial 4a6 r = R#2,00 e 4/6 r = 2,00 R. 4c6 FaCa um gráfico de E em funC>o de r para 0 Q r Q

2,00 R.

··27 m fio reto longo possui cargas negatias fias com uma densidade linear de 3,? n$#m.  fio é enolido por uma casca coaial cilíndrica, isolante, de paredes finas, com ,( cm de raio. A casca possui uma carga positia na superfície eterna, com uma densidade superficial  , que anula o campo elétrico do lado de fora da casca. :etermine o alor de  .

Figura 23-40 ro/lema 21.

·25 ma lin%a infinita de carga produ& um campo de módulo 1 1,( I 0 "#$ a uma

dist'ncia de 2,0 m. $alcule a

densidade linear de carga.

··26 A Fig. 23-1a mostra um cilindro fino, maciCo, carregado, e uma casca cilíndrica coaial, tam/ém carregada. s dois o/Ketos s>o feitos de material isolante e possuem uma densidade superficial de carga uniforme na superfície eterna. A Fig. 23-1b mostra a componente radial E do campo elétrico em funC>o da dist'ncia radial r a partir do eio comum. A escala do eio ertical é definida 3 por E s = 3,0 I 0 "#$. ;ual é a densidade linear de carga da casca<

ma carga de densidade linear uniforme 2,0 n$#m ··2 está distri/uída ao longo de uma /arra longa, fina, isolante. A /arra está enolida por uma casca longa, cilíndrica, coaial, condutora 4raio internoD (,0 cm raio eternoD 0 cm6. A carga da casca é &ero. 4a6 :etermine o módulo do campo elétrico a ( cm de dist'ncia do eio da casca. 4/6 :etermine a densidade superficial de carga na superfície interna e 4c6 na superfície eterna da casca.


··2! A Fig. 23-12 é uma seC>o de uma /arra condutora de raio R = ,30 mm e comprimento L = ,00 m no interior de uma casca coaial, de paredes finas, de raio R2 = 0,0 R e mesmo comprimento L. A carga da /arra é ! 2 = 53,10 I 0 $ a carga da casca é !2 = 2,00!. :etermine 4a6 o módulo E e 4/6 a direC>o 4para dentro ou

··31 :uas cascas cilíndricas longas, carregadas, coaiais, de paredes finas, t@m 3,0 e ?,0 m de raio. A carga por ? unidade de comprimento é (,0 I 0 $#m na casca interna e

para fora6 do campo elétrico a uma dist'ncia radial r =

? 9,0 I 0 $#m na casca eterna. :etermine 4a6 o módulo

2,00 R2. :etermine 4c6 E e 4d6 a direC>o do campo elétrico

E e 4/6 o sentido 4para dentro ou para fora6 do campo

para r = (,00 R. :etermine a carga 4e6 na superfície

elétrico a uma dist'ncia radial r = 1,0 cm. :etermine 4c6 o

interna e 4f6 na superfície eterna da casca.

módulo E e 4d6 o sentido do campo elétrico para r = !,0 cm.

Figura 23-42 ro/lema 2.

···32 m cilindro maciCo, longo, isolante, com 1,0 cm de raio, possui uma densidade olumétrica de carga n>o uniforme ρ que é uma funC>o da dist'ncia radial r a partir do 2 eio do cilindroD ρ = Ar . Je A =

··30 A Fig. 23-13 mostra pequenas partes de duas lin%as de carga paralelas, muito compridas, separadas por uma dist'ncia L = !,0 cm. A densidade uniforme de carga das lin%as é 5?,0 μ$#m para a lin%a  e 2,0 μ$#m para a lin%a 2. Em que ponto do eio x o campo elétrico é &ero<

( 2,( μ$#m , determine o

módulo do campo elétrico 4a6 para r = 3,0 cm e 4/6 para r = (,0 cm.

unitários, o campo elétrico no ponto " , situado em z = 2,(? cm. 4SugestãoD se a Eq. 22-2? e o princípio de superposiC>o.6


Módulo 23-5 +i#etria la%ar

&'lica()es da Lei de Gauss*

·33 "a Fig. 23-11, duas placas finas, condutoras, de grande etens>o, s>o mantidas paralelas a uma pequena dist'ncia uma da outra. "as faces internas, as placas t@m densidades superficiais de carga de sinais opostos e alor

·35 A Fig. 23-1?a mostra tr@s placas de plástico de grande etens>o, paralelas e uniformemente carregadas. A Fig. 23-1?b mostra a componente x do campo elétrico em funC>o de x. A escala do eio ertical é definida por E s =

22 2 a/soluto 9,00 I 0 $#m . :etermine o campo elétrico, na

( ?,0 I 0 "#$. :etermine a ra&>o entre a densidade de carga na placa 3 e a densidade de carga na placa 2.

notaC>o dos etores unitários, 4a6 B esquerda das placas, 4/6 B direita das placas e 4c6 entre as placas.


·34 "a Fig. 23-1(, um pequeno furo circular de raio R = ,!0 cm foi a/erto no meio de uma placa fina, infinita, isolante, com uma densidade superficial de carga  = 1,(0 2 p$#m .  eio z , cuKa origem está no centro do furo, é perpendicular B placa. :etermine, na notaC>o dos etores

Figura 23-46 ro/lema 3(.

·36 A Fig. 23-19 mostra as seCHes retas de duas placas de grande etens>o, paralelas, isolantes, positiamente carregadas, am/as com uma distri/uiC>o superficial de carga

22 2  = ,99 I 0 $#m . :etermine o campo elétrico

, na

notaC>o dos etores unitários, 4a6 acima das placas, 4/6 entre as placas

e 4c6 a/aio das placas.

··3! "a Fig. 23-1, uma pequena esfera isolante, de massa $ = ,0 mg e carga q

= 2,0

! I 0

$ 4distri/uída

uniformemente em todo o olume6, está pendurada em um fio o isolante que fa& um 'ngulo % = 30 com uma placa ertical, isolante, uniformemente carregada 4ista em seC>o reta6. Figura 23-47 ro/lema 3?.

$onsiderando

a forCa graitacional a que a esfera está

su/metida e supondo que a placa possui uma

·37 ma placa metálica quadrada, de !,0 cm de lado e espessura insignificante, possui uma carga total de ?,0 I

grande

etens>o, calcule a densidade superficial de carga  da placa.

? 0 $. 4a6 Estime o alor do módulo E do campo elétrico perto do centro da placa 4a 0,(0 mm eemplo6

supondo

que

a

carga

do centro, por está

distri/uída

uniformemente pelas duas faces da placa. 4/6 Estime o alor de E a 30 m de dist'ncia 4uma dist'ncia grande, em comparaC>o com as dimensHes da placa6 supondo que a placa é uma carga pontual. "a Fig. 23-1!a, um elétron é arremessado ··3 erticalmente para cima, com uma elocidade # s = 2,0 I ( 0 m#s, a partir das i&in%anCas de uma placa uniformemente carregada. A placa é isolante e muito etensa. A Fig. 23-1!b mostra a elocidade escalar # em funC>o do tempo t até o elétron oltar ao ponto de partida. ;ual é a densidade superficial de carga da placa<

Figura 23-4! ro/lema 3.

··40 A Fig. 23-(0 mostra uma placa isolante, muito etensa, que possui uma densidade superficial de carga uniforme 2  = 2,00 μ$#m  a figura mostra tam/ém uma partícula de carga ! = ?,00 μ$, a uma dist'ncia d da placa. Am/as est>o fias no lugar. Je d = 0,200 m, para qual coordenada 4a6 positia e 4/6 negatia do eio x 4além do infinito6 o campo elétrico total

tot é &ero< 4c6 Je d = 0,!00 m, para qual

coordenada do eio x o campo

Figura 23-4 ro/lema 3!.


tot é &ero<

··41 m elétron é arremessado na direC>o do centro de uma placa metálica que possui uma densidade superficial de ? 2 carga de 2,0 I 0 $#m . Je a energia cinética inicial do 9 elétron é ,?0 I 0 R e o moimento do elétron muda de sentido 4deido B repuls>o eletrostática da placa6 a uma dist'ncia insignificante da placa, de que dist'ncia da placa o elétron foi arremessado<

Módulo 23-6 &'lica()es da Lei de Gauss* +i#etria Es.érica 2 ··42 :uas grandes placas de metal com ,0 m de área s>o mantidas paralelas a (,0 cm de dist'ncia e possuem cargas de mesmo alor a/soluto e sinais opostos nas superfícies internas. Je o módulo E do campo elétrico entre as placas é (( "#$, qual é o alor a/soluto da carga em cada placa< :espre&e o efeito de /orda.

·44 A Fig. 23-(2 mostra o módulo do campo elétrico do lado de dentro e do lado de fora de uma esfera com uma distri/uiC>o uniforme de carga positia em funC>o da dist'ncia do centro da esfera. A escala do eio ertical é 9 definida por E s = (,0 I 0 "#$. ;ual é a carga da esfera<

···43 A Fig. 23-( mostra uma seC>o reta de uma placa isolante, muito etensa, com uma espessura d = ,10 mm e uma densidade olumétrica de carga uniforme ρ = (,!0 3 f$#m . A origem do eio x está no centro da placa.


·45 :uas cascas esféricas conc@ntricas carregadas t@m raios de 0,0 cm e (,0 cm. A carga da casca menor é 1,00

:etermine o módulo do campo elétrico 4a6 em x = 0, 4/6 em

! ! I 0 $ e a da casca maior é 2,00 I 0 $. :etermine o

x = 2,00 mm, 4c6 em x = 1,90 mm e 4d6 em x = 2?,0 mm.

campo elétrico 4a6 em r = 2,0 cm

e 4/6 em r = 20,0 cm.

·46 ma esfera isolante, carregada, de raio R, possui uma densidade de carga negatia uniforme, eceto por um tGnel estreito que atraessa totalmente a esfera, passando pelo centro. m próton pode ser colocado em qualquer ponto do tGnel ou de um prolongamento do tGnel. JeKa F R o módulo da forCa eletrostática a que é su/metido o próton quando está na superfície da esfera. :etermine, em termos de R, a que dist'ncia da superfície fica o ponto no qual o módulo da Figura 23-51 ro/lema 13.

forCa é 0,(0 F R quando o próton se encontra 4a6 em um prolongamento do tGnel e 4/6 dentro do tGnel.

·47 ma esfera condutora com 0 cm de raio tem uma carga descon%ecida. Je o módulo do campo elétrico a ( cm do centro da esfera é 3,0 I 0

3

"#$ e o campo aponta

para o centro da esfera, qual é a carga da esfera<

··4 ma partícula carregada é mantida fia no centro de uma casca esférica. A Fig. 23-(3 mostra o módulo E do campo elétrico em funC>o da dist'ncia radial r . A escala do

Figura 23-54 ro/lema 1.

9 eio ertical é definida por E s = 0,0 I 0 "#$. Estime o alor da carga da casca.

Figura 23-53 ro/lema 1!.

A Fig. 23-(( mostra duas cascas esféricas isolantes ··50 mantidas fias no lugar no eio x. A casca  possui uma 2 densidade superficial de carga uniforme 51,0 μ$#m superfície eterna e um raio de 0,(0 possui uma densidade superficial de

na

cm, enquanto a casca 2 carga

uniforme



2 2,0 μ$#m na superfície eterna e um raio de 2,00 cm a dist'ncia entre os centros é L = ?,0 cm. :etermine o4s6 ponto4s6 do eio x 4além do infinito6 em que o campo elétrico é &ero.

··4! "a Fig. 23-(1, uma esfera maciCa, de raio a = 2,00 cm, é conc@ntrica com uma casca esférica condutora de raio interno b = 2,00a e raio eterno c = 2,10a. A esfera possui carga uniforme q = 5(,00 f$, e a casca, uma carga q2 =

Figura 23-55 ro/lema (0.

 q. :etermine o módulo do campo elétrico 4a6 em r = 0, 4/6 em r = a#2,00, 4c6 em r = a, 4d6 em r = ,(0a, 4e6 em r = 2,30a e 4f6 em r = 3,(0a. :etermine a carga 4g6 na superfície interna e 4%6 na superfície eterna da casca.

··51 "a Fig. 23-(?, uma casca esférica, isolante, com um raio interno a = 2,00 cm e um raio eterno b = 2,10 cm, possui uma densidade olumétrica uniforme de carga positia ρ = A#r , em que A é uma constante e r é a dist'ncia em relaC>o ao centro da casca. Além disso, uma pequena esfera de carga q = 1(,0 f$ está situada no

centro da casca. ;ual dee ser o alor de A para que o

campo elétrico em r = 0, 4c6 em r = R#2,00 e 4d6 em r = R.

campo elétrico no interior da

4e6 FaCa um gráfico de E em funC>o de r .

casca 4a Q r Q b6 seKa

uniforme<

Figura 23-56 ro/lema (.

··52

A Fig. 23-(9 mostra uma casca esférica com uma

3 densidade olumétrica de carga uniforme ρ = ,!1 n$#m , raio interno a = 0,0 cm e raio eterno b = 2,00a. :etermine o módulo do campo elétrico 4a6 em r = 0, 4/6 em r = a#2,00, 4c6 em r = a, 4d6 em r = ,(0a, 4e6 em r = b e 4f6 em r

···54 A Fig. 23-(! mostra, em seC>o reta, duas esferas de raio R, com distri/uiCHes olumétricas uniformes de carga.  ponto " está na reta que liga os centros das esferas, a uma dist'ncia R#2,00 do centro da esfera . Je o campo elétrico no ponto " é &ero, qual é a ra&>o q2#q entre a carga da esfera 2 e

a carga da esfera <

=

3,00b.

Figura 23-5 ro/lema (1.

Figura 23-57 ro/lema (2.

···53 ma esfera isolante, de raio R = (,?0 cm, possui uma distri/uiC>o de carga n>o uniforme ρ = 41,

···55 ma distri/uiC>o de carga n>o uniforme, de simetria

3 p$#m 6r # R, em que r é a dist'ncia do centro da esfera. 4a6

1 esférica, produ& um campo elétrico de módulo E = &r ,

:etermine a carga da esfera. 4/6 :etermine o módulo E do

em que & é uma constante e r é a dist'ncia do centro da

esfera.  campo aponta para longe do centro da esfera. ;ual é a distri/uiC>o olumétrica de carga ρ<

3 carga uniforme ρ = ,2 n$#m . :etermine o módulo do campo elétrico 4a6 no plano x = 1,0 cm 4/6 no plano x = ?,0 cm. 60

' $ist(rio do c)ocolate e$ *+. EplosHes proocadas por descargas elétricas 4centel%as6 constituem um sério perigo nas indGstrias que lidam com pós muito finos. ma dessas eplosHes aconteceu em uma fá/rica de /iscoitos na

década de 90. s

costumaam esa&iar os sacos

operários

de c%ocolate em pó que

c%egaam B fá/rica em uma /andeKa, da qual o material era transportado por canos de plástico até o silo onde era arma&enado. "o meio do percurso, duas condiCHes para que uma eplos>o ocorresse foram satisfeitasD 46 o módulo do campo elétrico ultrapassou 3,0 I 0

?

"#$, produ&indo uma

ruptura dielétrica do ar 426 a energia da centel%a resultante ultrapassou (0 mR, fa&endo

com que o pó eplodisse.

Samos discutir a primeira condiC>o. Jupon%a

que

um pó carregado negati#a$ente

esteKa

passando por um cano cilíndrico, de plástico, de raio R = (,0 cm, e que as cargas associadas ao pó esteKam distri/uídas uniformemente com uma densidade olumétrica ρ. 4a6 sando a lei de Tauss, escrea uma epress>o para o módulo do campo elétrico

ro/le#as &dicio%ais 56

 campo elétrico em uma regi>o do espaCo é dado por = 4 x 5 26 "#$, com x em metros. $onsidere uma superfície gaussiana cilíndrica, de raio 20 cm, coaial com o eio x. ma das /ases do cilindro está em x = 0. 4a6 :etermine o alor a/soluto do fluo elétrico atraés da outra /ase do cilindro, situada em x = 2,0 m. 4/6 :etermine a carga no interior do cilindro.

57

no interior do cano em funC>o

da dist'ncia r do eio do cano. 4/6  alor de E aumenta ou diminui quando r aumenta< 4c6  campo

aponta para o

eio do cilindro ou para longe do eio< 4d6 ara

ρ = , I

3 3 0 $#m 4um alor típico6, determine o alor máimo de E e a que dist'ncia do eio do cano

esse campo máimo

ocorre. 4e6  campo pode produ&ir uma centel%a< nde< 4A %istória continua no ro/lema 90 do $apítulo 21.6

ma esfera metálica, de espessura insignificante, tem um 9 raio de 2(,0 cm e uma carga de 2,00 I 0 $. :etermine o alor de E 4a6 no interior da esfera, 4/6 Kunto B superfície da esfera e 4c6 a 3,00 m de dist'ncia do centro da esfera.

5

ma placa infinita de espessura insignificante, situada no plano xy, possui uma

densidade superficial

de carga

2 uniforme ρ = !,0 n$#m . :etermine o fluo elétrico atraés de uma esfera gaussiana com centro na origem e (,0 cm de raio.

5!

ma placa infinita que ocupa o espaCo entre os planos x =  (,0 cm e x = 5(,0 cm tem uma densidade olumétrica de

ma casca esférica, metálica, de raio a e

espessura

insignificante, possui uma carga qa. ma segunda casca,

conc@ntrica com a primeira, possui um raio b U a e uma

do campo elétrico no ponto

carga qb. :etermine o campo elétrico em pontos situados a

na superfície da esfera<

uma dist'ncia r do centro das cascas 4a6 para r V a, 4/6 para a V r V b, e 4c6 para r U b. 4d6 Eplique o raciocínio que oc@ usou para determinar o modo como as cargas est>o distri/uídas nas superfícies internas e eternas das cascas.

r = R#2,00 e o campo elétrico

ma carga pontual produ& um fluo elétrico de 9(0 " O 2 m #$ atraés de uma superfície esférica gaussiana, de 0,0 cm de raio, com centro na carga. 4a6 Je o raio da superfície gaussiana for multiplicado por dois, qual será o noo alor do fluo< 4/6 ;ual é o alor da carga pontual<  campo elétrico no ponto " , a uma pequena dist'ncia da superfície eterna de uma casca esférica metálica com 0 cm de raio interno e 20 cm de raio eterno, tem um módulo de 1(0 "#$ e aponta para longe do centro. ;uando uma carga pontual descon%ecida ! é colocada no centro da casca, o sentido do campo permanece o mesmo e o módulo

2

3

9 ma carga pontual q = ,0 I 0 $ é colocada no centro de

diminui para !0 "#$. 4a6 :etermine a carga da casca. 4/6 :etermine o alor da carga !. :epois que a carga ! é

uma caidade esférica, com 3,0 cm de raio, a/erta em um /loco de metal. se a lei de Tauss para determinar o campo

colocada, determine a densidade superficial de carga 4c6 na

elétrico 4a6 a ,( cm de dist'ncia do centro da caidade e 4/6 no interior do /loco de metal.

casca.

( m próton, de elocidade # = 3,00 I 0 m#s, gira em ór/ita

3 2 alor a/soluto, em unidades de 0 " O m #$, igual ao

em torno de uma esfera carregada, de raio r = ,00 cm.

nGmero , de pontos da face 4 Q , Q ?6.  fluo é para

;ual é a carga da esfera<

dentro se , for ímpar e para fora se , for par. ;ual é a carga

superfície interna da casca e 4d6 na superfície eterna da

 fluo de campo elétrico em cada face de um dado tem um

no interior do dado< A Fig. 23-( mostra uma ista em seC>o reta de tr@s placas isolantes de grande etens>o com uma densidade uniforme de carga. As densidades superficiais de carga s>o   = 52,00 2 2 2 μ$#m ,  2 = 51,00 μ$#m e  3 = (,00 μ$#m  L = ,(0 cm. ;ual é o campo elétrico no ponto " na notaC>o dos etores unitários<

4

A Eq. 23- 4 E =  #ε06 pode ser usada para calcular o campo elétrico em pontos da i&in%anCa de

uma esfera condutora

carregada. Aplique a equaC>o a uma esfera condutora, de raio r e carga q, e mostre que o campo elétrico do lado de fora da esfera é igual ao campo produ&ido por uma carga pontual situada no centro da esfera. Figura 23-5! ro/lema ?.

5

ma carga ! está distri/uída uniformemente em uma esfera de raio R. 4a6 ;ue fraC>o da carga está contida em uma esfera de raio r = R#2,00< 4/6 ;ual é a ra&>o entre o módulo

ma esfera isolante com (,0 cm de raio tem uma densidade olumétrica uniforme de carga ρ = 3,2

3 μ$#m . :etermine o módulo do campo elétrico 4a6 a 3,( cm

1

e 4/6 a !,0 cm do centro da esfera.

ma esfera com ?,00 cm de raio possui uma densidade de

ma superfície gaussiana de forma %emisférica, com raio R =

3 carga uniforme de (00 n$#m . $onsidere uma superfície

(,?! cm, está imersa em um campo elétrico uniforme de

gaussiana cG/ica conc@ntrica com a esfera. :etermine

módulo E = 2,(0 "#$. ">o eistem cargas no interior da superfície. "a /ase 4plana6

2 3

da superfície, o campo é

o

fluo elétrico atraés da superfície cG/ica se a aresta do cu/o for 4a6 1,00 cm e 4/6

1,0 cm.

perpendicular B superfície e aponta para o interior da

A Fig. 23-? mostra um contador Teiger, aparel%o usado

superfície. :etermine o

para detectar radiaC>o ioni&ante

fluo 4a6 atraés da /ase e 4/6

4radiaC>o com energia

atraés da parte cura da superfície.

suficiente para ioni&ar átomos6.  contador é formado por um

;ual é a carga total enolida pelo cu/o gaussiano do ro/lema 2<

fio central positiamente carregado e um cilindro circular

ma esfera isolante tem uma densidade olumétrica de carga uniforme ρ. JeKa o etor que liga o centro da esfera a um ponto genérico " no interior da esfera. 4a6 Wostre que o campo elétrico no ponto " é dado por

oco, coaial, condutor, com uma carga negatia de mesmo alor a/soluto. As cargas criam um campo elétrico radial de alta intensidade entre o cilindro, que contém um

gás

inerte rarefeito, e o fio. ma partícula de radiaC>o que penetra no aparel%o atraés da parede do cilindro ioni&a

= ρ #3ε0. 4"ote que o resultado n>o depende do raio da esfera.6 4/6 ma caidade esférica é a/erta na esfera, como mostra a Fig. 23-?0. sando o princípio da superposiC>o, mostre que o campo elétrico no interior da caidade é uniforme e é dado

alguns átomos do gás, produ&indo elétrons lires, que s>o

por

se repete até os elétrons c%egarem ao fio. A *aalanc%e+ de

= ρ #3ε0, em que é o etor que liga o centro da esfera ao centro da caidade.

acelerados na direC>o do fio positio.  campo elétrico é t>o intenso que, no percurso, os elétrons adquirem energia suficiente para

ioni&ar outros átomos do gás atraés de

colisHes, criando, assim, outros elétrons lires.  processo elétrons resultante é recol%ida pelo fio, gerando um sinal que é usado para assinalar a passagem da partícula de radiaC>o. Jupon%a que o fio central ten%a um raio de 2( μm e o cilindro ten%a um raio interno de ,1 cm e um comprimento de ? cm. Je o campo elétrico na superfície interna do cilindro é 2, I 0 do fio central<


Figura 23-61 ro/lema 9(.

1

"#$, qual é a carga positia

A água em uma ala de irrigaC>o, de largura l = 3,22 m e

6

m cilindro muito longo, de raio R, possui uma distri/uiC>o

profundidade * = ,01 m, corre com uma elocidade de

olumétrica de carga uniforme. 4a6 Wostre

0,209 m#s.  -luxo $.ssico da água atraés de uma

que, a uma dist'ncia r V R do eio do cilindro,

em

superfície imaginária é o produto da massa específica da

que ρ é a densidade olumétrica de carga. 4/6 Escrea uma

3 água 4000 Xg#m 6 pelo fluo olumétrico atraés da

epress>o para E do lado de fora do cilindro.

superfície. :etermine o fluo mássico atraés das seguintes superfícies imagináriasD 4a6 uma superfície de área l*, totalmente su/mersa, perpendicular B corrente&a 4/6 uma superfície de área 3l*#2, da qual uma área l*

está

su/mersa, perpendicular B corrente&a 4c6 uma superfície de área l*#2, totalmente su/mersa, perpendicular B corrente&a 4d6 uma superfície de área l*, metade da qual está su/mersa, perpendicular B corrente&a 4e6 uma superfície de área l*, totalmente su/mersa, com a normal fa&endo um 'ngulo de o 31

7

ma casca condutora esférica tem uma carga de 1 μ$ na superfície eterna e uma partícula carregada na caidade interna. Je a carga total da casca é 0 μ$, determine a carga 4a6 da superfície interna da casca e 4/6 da partícula.



ma carga de ?,00 p$ está distri/uída uniformemente em uma esfera de raio r = 1,00 cm. :etermine

o módulo do

campo elétrico 4a6 a ?,00 cm do centro da esfera e 4/6 a 3,00 cm do centro da esfera.

com a direC>o da corrente&a.

plano z =

0

,00 e 4/6 no plano z = 3,00 m.

ma placa infinita, de espessura insignificante, situada no

ma esfera isolante tem uma densidade de carga uniforme.

plano xy, tem uma densidade superficial de carga uniforme

:etermine, em termos do raio R da esfera, a que dist'ncia

2 ρ = !,00 n$#m  uma placa semel%ante, situada no plano z =

do centro o módulo do campo elétrico é igual a #1 do alor

2,00, tem uma densidade superficial de carga uniforme ρ = 2

3,00 n$#m . :etermine o módulo do campo elétrico 4a6 no

máimo 4a6 do lado fora da esfera.

de dentro da esfera e 4/6 do lado de

Gauss

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