MATEMÁTICAS APLICADAS
Bibliografía: 1. Matem Matemáti áticas cas Avan Avanzad zadas as para para Ingeni Ingenier ería ía – Kreyszig, 10ma edición, capítulo 10: 10.7-10.9 2. Cálculo – Larson, 9na edición, capítulo 15: 15.7-15.8 3. Cálculo – Stewart 7ma edición, capítulo 16: 16.8-16.9 4. Anál Anális isis is Vecto ectori rial al – Schaum, capítulo 6
Septiembre 2017 – Febrero 2018
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (GAUSS) El teorema hace referencia a la transformación de integrales de superficie en integrales triples y viceversa. Sea ℛ una región cerrada y acotada en el espacio, cuya frontera es una superficie orientable seccionalmente suave. Sea además el campo vectorial , , = ,, + ,, + ,, con componentes escalares continuas que tienen primeras derivadas parciales continuas en algún dominio que contiene a ℛ, entonces:
F ndS FdV
S
n
z
R
S
El campo vectorial se expresa:
F F 1 i
El vector normal unitario es: n cos i
R
j F 3k
F 2
y
j cos k
cos
x
F 1 F 2 F 3 dV x y z
F 1 cos F 2 cos F 3 cos dS
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (GAUSS) Para la demostración del teorema se deberá considerar las regiones de tipo 1, tipo 2 y tipo 3 en el espacio, así pues las tres ecuaciones a demostrar son:
F cos dS F dV S x R 1
n
1
F 2 cos dS
S
F 3 cos dS
S
z
F dV y R 2
S
F dV z R 3
En la demostración de estas tres ecuaciones se deberá tener claro que tipo de región se utiliza con la finalidad que las integrales tanto de superficie como triples queden perfectamente determinadas.
y
x
R
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (GAUSS) En el caso de la primera ecuación, la región será del tipo (, ) ≤ ≤ (, ), como la mostrada en la figura. z x r ( y, z )
F F dV cos dS S x R 1
1
S 2 x
s( y, z )
2
90
S 1
El resultado de la demostración es que:
n1
x F 1 r ( y, z ), y, z dydz
F cos dS F s( y, z ), y, z dydz S
1
R
*
n
1
R
R *
F 1 dV F 1 s( y, z ), y, z dydz F 1r ( y, z ), y, z dydz
S 3
n
3
y
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (GAUSS) En la segunda ecuación, la región será del tipo (, ) ≤ ≤ (, ), como la mostrada en la figura. z y
F dV S F cos dS y R
n
2
2
n
1
R
2
S 2
El resultado de la demostración es que:
90 S 3
y
p( x, z )
n
3
x
F cos dS F x, p( x, z ), z dxdz F x, q( x, z ), z dxdz 2
S
R
2
*
R
*
F 2 dV F 2 x, p ( x, z ), z dxdz F 2 x, q ( x, z ), z dxdz y R R R *
q ( x , z )
S 1
2
*
y
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (GAUSS) Y por último la tercera ecuación, en este caso la región será del tipo (, ) ≤ ≤ (, ), como la mostrada en la figura.
F S F cos dS z R
3
3
z
g ( x, y)
n
2
z
dV
S 2
El resultado de la demostración es que:
90
F cos dS F x, y, f ( x, y)dxdy F x, y, g ( x, y)dxdy 3
S
3
R
*
3
R
*
x
n
S 3
*
F 3 dV F 3 x, y, f ( x, y )dxdy F 3 x, y, g ( x, y ) dxdy z R R R *
S 1
y
z f ( x, y)
R
3
n1
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (GAUSS) Si la región se encuentra formada por un número finito de regiones con superficies suaves como límites, entonces el teorema de la divergencia también se aplica para cada región y el resultado será la suma de las integrales obtenidas por cada región. Consecuencias y aplicaciones del teorema de Gauss El teorema de Gauss tiene aplicaciones importantes, siempre y cuando las superficies cumplan con las condiciones establecidas en el teorema y sea un vector normal a la superficie . Teorema del valor medio para integrales triples:
F( x, y, z ) lím F ndS
V 0
S
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (GAUSS) Propiedad básica de las soluciones de la ecuación de Laplace En el teorema de la divergencia se hace
= Primera fórmula de Green Se hace = , o bien
=
dV S n dS R 2
g f g f g dV S f n dS R 2
f g f f g dV S g n dS R 2
Segunda fórmula de Green Se suman las dos expresiones anteriores:
f g f g g f dV S f n g n dS R 2
2
Ejemplo 1: Verificar el teorema de Gauss para el campo vectorial = + + y la región ℛ acotada por los planos cartesianos y el plano 2 + 3 + 4 = 12
TEOREMA DEL ROTACIONAL (STOKES) El teorema hace referencia a la transformación de integrales de superficie en integrales de línea y viceversa. Sea una superficie orientada y seccionalmente suave en el espacio y supóngase que la frontera de es una curva simple y cerrada , seccionalmente suave. Sea además el campo vectorial (,,) continuo, cuyas componentes , , son continuas y tiene primeras derivadas parciales continuas en algún dominio del espacio que contiene a , entonces:
F ndS F d r
S
n
z
C
S
El campo vectorial se expresa:
C
F( x, y, z ) F 1 ( x, y , z ) i F 2 ( x, y, z ) j F 3 ( x, y, z )k El vector normal unitario es:
n cos i
y R
j cos k
x
cos
Se deberán considerar para los casos que la superficie se puede representar como: x h( y z ) y g ( x z ) z f ( x y )
TEOREMA DEL ROTACIONAL (STOKES) Para demostrar el teorema de Stokes, se determina el rotacional de campo vectorial, lo que hace que se tengan las siguientes tres ecuaciones:
n
z
F F cos cos dS F dx S z y C 1
1
S
1
F S x
2
F cos z
2
cos dS F dy C 2
F F S y cos x cos dS C F dz 3
C
y
3
3
R
x
Así para la primera ecuación se tomará una superficie de la forma = (, , ) , para la segunda ecuación la superficie será = ℎ(, ) mientras que la última ecuación corresponde a la superficie de la forma = (, ).
TEOREMA DEL ROTACIONAL (STOKES) En la primera parte con = (, ) se terminará encontrando las siguientes expresiones: z
F 1dx
C
F F f R y z y dxdy 1
1
n
S C
F F F f F cos cos dS y z y dxdy S z y R 1
1
1
1
y R
x
El mismo criterio se sigue para el caso de las otras dos expresiones. Una consecuencia directa del teorema de Stokes es el teorema de Green en el plano. Ejemplo 1: Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial = + + y la superficie el plano 3 + 4 + 2 = 12 ubicado en el primer octante.
