Teorema Divergensi Gauss

TEOREMA DIVERGENSI GAUSS

Definisi Teorema Gauss Jika V adalah volume yang di batasi oleh suatu permukaan tertutup S dan A sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan yang kontinu maka

       ∯ ∯ 





Dari rumus tersebut, integral permukaan dari sebuah vektor A yang mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan integral dari divergensi A dalam volume yang di selubungi oleh permukaan di atas. Jadi, dalam mencari integral permukaan dapat juga di gunakan teorema Gauss. Andaikan S suatu benda pejal tertutup dan terbatas dalam ruang dimensi-3, yang secara lengkap dicakup oleh suatu permukaan mulus sepotong-sepotong S (gambar 12)

Andaikan F= Mi +Nj +Pk suatu medan vektor sedemikian sehingga M, N dan P mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu pada S dan batasnya menyatakan normal satuan terluar terhadap

, maka

. Jika n

∬    ∭    atau   )            (     Bukti : Pertama lihat kasus dimana S adalah x sederhana, y sederhana dan z sederhana, cukup menunjukkan bahwa

       



       



       



Cukup membuktikan yang ketiga, karena yang lain serupa.

    . S  terdiri dari tiga bagian;  yang berpadanan dengan     ;  yang berpadanan dengan    ; dan permukaan  samping yang boleh kosong; pada     , sehingga dapat diabaikan. Karena S  adalah  z sederhana, maka S  dapat dijelaskan oleh

 

Contoh 1

i + 2 xz j +  yk melewati permukaan benda pejal persegi panjang S yang ditentukan oleh ; 0    1, 0            Hitung fluks medan vektor F =

Jawab :  M =

 , maka  = 2x

 = 0   = 3 x  P = y  , maka 

 N = 2xz, maka

Menurut Teorema Gauss, di dapat



   ∫∫∫ 





1.2 Perluasan dan Penerapan Benda pejal S dapat diperluas untuk benda pejal berlubang seperti keju swiss, asal saja mensyaratkan n menunjuk menjauhi bagian dalam benda pejal tersebut. Andaikan

 adalah kulit benda pejal antara dua bola sepusat yang berpusat dititik asal. Teorema Gauss berlaku asal saja  terdiri atas dua permukaan (permukaan luar dengan n menunjuk menjauhi titik asal dan permukaan dalam dengan n menunjuk ke arah titik  asal). Contoh 2

  +  +    dan

Andaikan S  benda pejal yang ditentukan oleh 1

)k. Hitung ∬    ∭       [   ]    F = xi + (2y + z ) j + ( z +

Contoh 3

Menurut teorema divergensi:

Maka