TEMA: Cantidades escalares y vectoriales CE 2.1: Identifica magnitudes escalares y vectoriales y el movimiento que realiza una partícula PRESENTACION Imaginemos que un amigo nos pide que le informemos sobre la temperatura del ambiente o sobre el volumen de un líquido en el interior de una probeta. Para poder hacerlo, basta leer el termómetro o el registro del volumen del líquido en la probeta. Tanto la temperatura como el volumen, sólo requerirán de un número y una unidad para tener una información completa. Ahora, si nuestro amigo nos pide que nos movamos 5 metros del lugar donde nos encon en contra tramos mos,, segur segurame ament ntee le diremo diremoss qu quee ha hacia cia dó dónd nde, e, pue puess la pe petic tició iónn no resulta completa sólo con un número y una unidad. Si te dicen dicen que una persona persona caminó 50 metros sobre una recta que forma un ángulo de 20º con la aguja de una brújula que marca la dirección norte – sur ¿podrías saber la posición dela persona? ¿Por qué? Si una persona persona se desplaza desplaza 50 metros metros desde un pun punto to de partida partida,, ¿se podrá establecer dónde está? ¿Por qué? ¿Es posible que la persona habiendo caminado los 50 metros se encuentre en la posición inicial? ¿Por qué? Para Para estab establec lecer er dó dónd ndee se en encue cuentr ntraa la pe perso rsona na de despu spués és de camina caminarr los los 50 metros, ¿Qué información se requiere?
DESARROLLO Cantidades Escalares Son aquellas magnitudes físicas que quedan totalmente determinadas cuando se conoce su valor numérico y su correspondiente unidad. Ejemplo: La temperatura, la masa, el tiempo, la distancia o longitud, etc. Cantidades Vectoriales Son aquellas cantidades que además de su valor numérico y su correspondiente unida un idadd necesi necesita ta de un unaa direcc dirección ión y un sentid sentidoo pa para ra qu quee qu qued eden en total totalme mente nte deter de termin minad adas. as. Ejemp Ejemplo: lo: La fue fuerza rza,, la veloc velocida idad, d, la aceler aceleraci ación ón,, cantid cantidad ad de movimiento, movimiento, etc. Vector
Un vector es un segmento dirigido que tiene un origen o punto de aplicación a A y punto terminal en B. Posee magnitud, dirección y sentido. Se acostumbra colocar una pequeña flecha sobre su símbolo indicador, que generalmente es una letra. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR Todo vector queda determinado por las siguientes características, Magnitud, Dirección y Sentido.
B A = 6,00 cm 1 1
a. Magnit Magnitud ud:: Está Está de deter termin minad adoo por un un número y su unidad. b. Direcc Dirección ión:: Está dete determi rmina nado do por por el ángulo que forma el vector con el eje de las X. De acuerdo a la Figura 1. ¿Cuál sería la dirección del vector A? c. Senti Sentido do:: Está Está dete determi rmina nado do por por las las coordenadas geográficas como son Norte, Sur, Este, Oeste, o combinación de éstas.
58,8 ° A Fig. 1
OPERACIONES CON VECTORES Suma de Vectores Para adicionar vectores nos podemos valer del método gráfico o del método analítico Método gráfico (Paralelogramo y Poligonal) Paralelogramo: Se toman a dos vectores y se hacen coincidir sus puntas iniciales conservando sus magnitudes, direcciones y sentido. Luego se prolongan rectas paralelas, de tal forma que se forme un paralelogramo. La diagonal del mismo, será el vector resultante final. Ejemplo: Sumar
A A+B=R
A B
Método del polígono
B
Desde el extremo final de un vector se traza el segundo vector (conservando su maggnitu ma itud, dire irecci cción y se sent ntiido do)), y de dessde el fina inal se traz azaa el otro tro y as asíí sucesivamente. Al final, el vector que une el comienzo del primero y el final del último, es el vector Resultante. Ejemplo: Sumar C
R B C A
A
B
Método Analítico (De las componentes rectangulares) Si se toma un vector dentro de un plano cartesiano, se obtendrá una proyección dell mism de mismoo sobr sobree cada cada eje, eje, en forma forma sepa separa rada da.. Esta Esta propi propied edad ad se llam llamaa COMPONENTE DEL VECTOR. Para sumar vectores por el método de descomposición rectangular, procedemos de la siguiente manera: 1- Hall Hallam amos os las las comp compon onen ente tess rect rectan angu gula lare ress de cada cada vect vector or graf grafic icaa y matemáticamente 2- Sumamos las las componentes componentes rectangulares rectangulares en cada uno de los ejes ejes teniendo teniendo en cuenta los signos. Dibujamos mos en un plano plano de coorde coordenad nadas as cartes cartesian ianas as y sobre sobre el eje eje X 3- Dibuja representamos el vector suma de las componentes V x y en el eje Y el vector suma de las componentes V y. 4- Aplic Aplicamo amoss el teorema teorema de Pitá Pitágo goras ras para para halla hallarr el vector vector suma suma en tod todas as componentes rectangulares en cada eje 5- Para hallar la dirección del vector resultante es el ángulo α = tan -1 Vy/Vx
DIFERENCIA DE VECTORES 180 Para restar vectores se procede así: Si A y B son dos vectores, entonces A – B es equivalente a decir A + ( - B), o sea, -B el vector A le sumamos el opuesto de B.
A-B A
A B
PROBLEMAS MODELOS -B
1. Hallar Hallar las component componentes es rectangul rectangulares ares del vector vector A = 5u, en la dirección dirección 30º respecto al semieje positivo de las x
Solución: Liga Ligamo moss el vect vector or A, a un sist sistem emaa de coor coorde dena nada dass cart cartes esia iana nass y lo proyectamos en cada uno de los semiejes: La componente del vector A sobre el eje x, la llamamos A x,y se obtiene al aplicar la relación trigonométrica: Cos30º = A x/A, de donde A x = A Cos30º, Ax = 5 Cos30º = 4.33. La componente del vector A sobre el eje y la llamamos A y, y se obtiene al aplicar la relación trigonométrica: Sen30º = A y/A, de donde A y = A Seno30º y Ay = 5 Sen30 = 2.5 2. Dani Daniel el va a visi visita tarr
a un unaa am amig iga, a, pa para ra lo cual cual real realiz izaa los los sigu siguie ient ntes es desplazamientos: camina 50 m hacia el norte (90º) y luego 30 m hacia el noreste (45º). Encontremos el desplazamiento total de Daniel.
Solución: De acue acuerd rdoo con con la figu figurra las las comp compon onen ente tess rect rectan angu gula lare ress de cada cada desplazamiento son: Ax = 50m Cos90º = 0m Ay = 50m Sen 90 = 50m Bx = 30 Cos45º = 21,21m By = 30m Sen45º = 21,21m La sumatoria para cada componente es Σx = Ax + Bx = 0m + 21,21m = 21,21m Σy = Ay + By = 50m + 21,21m = 71,21m La magnitud del desplazamiento de Daniel es: R = √ (21,21) 2 + (71,21) 2 = 74,30m en la dirección: α = Tan-1(71,21/21,21) = 73,41º
A
1
B 45,0 ° 1
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En un plan planoo de coor coorde dena nada dass cart cartes esia iana nass repr repres esen enta ta los los sigu siguie ient ntes es vectores: a. B = 6 u en la dirección 75º 75º Respecto al semieje negativo de las Y b. C = 3 u en la direcc dirección ión 12º 12º respecto respecto al al semieje semieje negativ negativoo de las X c. A = 4,3 u en la la dirección dirección 35º 35º respecto respecto al semieje semieje positiv positivoo de las X
1. Realiza Realiza las siguien siguientes tes operaci operaciones ones entre entre vector vectores es
A B
a. b. c. d. e. f.
C
G
F
E
D
H
A+B D+G C–D G–H E+F C–H
1. Calcula Calcula las componente componentess rectangula rectangulares res de los siguientes siguientes vectore vectoress a)
b)
c) 1
B = 15u
A = 20u
60,0 °
1
1
25,0 °
43,0 ° 1
C = 17u
1. Suma por por descomposic descomposición ión rectang rectangular ular los siguien siguientes tes vectores vectores a)
b) A = 5u
A = 5u
1 45,0 ° 60,0 °
B = 5u 1
18,0 ° C = 3u
B = 2u
RESPUESTA A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
1 80,61°
C = 4u
Ejercicio 4 (a) R = 2,32 u; Ejercicio 4 (b) R = 11,10 u;
Ɵ = -49º Ɵ = -68º
AUTOEVALUACIÓN 1. ¿Cuál ¿Cuál de los diagramas diagramas represe representa nta correctam correctamente ente la suma de los vectore vectoress mostrados a continuación?
A.
B.
C.
D.
1. Según la gráfica, ¿cuál ¿cuál de los siguientes siguientes resultados resultados de la suma es correcto? correcto? A. 5 √2N
B. 10N C. 25N D. 50N
1. a. b. c.
Dados Dados los vectore vectoress A = (4,3), (4,3), B = (5,7) (5,7) y C = (3,9) encue encuentra ntra A+ B A+C B–A
1. Si un carro es halado por una fuerza de 30 N que tiene un ángulo de
inclinación de 20º con respecto ala horizontal, hay una fuerza de 5N que hace el piso sobre el carro, en dirección opuesta al movimiento. Si el peso del carro es de 3000N, encuentra la sumatoria de todas estas fuerzas.
2. Una caja de 5kg cuelga de unas cuerdas como muestra la figura, encuentra
los valores de T 1 y T2
3. En la figura, F 1 = 13N, F 2 = 25N y F r = 5N. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza
que podría sustituir todas las anteriores, de manera que el cuerpo tenga el mismo comportamiento?
RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN 1. D 2. A 3. a. (9,1 (9,10), 0), b. b. (7,12 (7,12), ), c. (1,4 (1,4)) 4. F = 2989 89..83 83N N 5. T1 = 44.86 N T2 = 51.82N 6. F = 32,14N CONSULTAS EN INTERNET Las siguientes páginas en internet te ayudarán a reforzar el tema presentado y a realizar simulaciones de laboratorio para que ejercites y pongas en práctica lo asimilado sobre magnitudes vectoriales. http://www.walter-fendt.de/ph14s/ resultant_s.htm •
BIBLIOGRAFIA VILLEG VILLEGAS AS R., Mau Mauric ricio io – RAMÍRE RAMÍREZ Z S., Ricard Ricardo. o. Invest Investigu iguemo emoss 10 10.. Física Física.. Editorial Voluntad. Bogotá, Colombia. 1989 BARRETO, Sandra. Ciencia experimental. Física 10. Grupo editorial Educar. 2005
BARRERA SILVA, Pilar Cristina. Física 1. Grupo Editorial Norma. 2005.
