ÍNDICE GENERAL
INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO I. ASPECTOS GENERALES 1.1 Justificación. 1.2 Objetivos. 1. 2. 1 Objetivos Generales. 1. 2. 2 Objetivos Específicos.
CAPÍTULO II. MARCO TEÓRICO 2. 1 Antecedentes Históricos.
CAPÍTULO III. ESPACIO VECTORIALES 3. 1 Definición y Propiedades. 3.2 Subespacios. 3. 3 Dependencia e Independencia Lineal. 3.4 Bases y Dimensiones. 3.5 Sistema Generador.
CONCLUSIONES RECOMENDACIONES BIBLIOGRAFÍA ANEXOS
2
INTRODUCCIÓN .
1.1JUSTIFICACIÓN •
Obte Obtene nerr un títu título lo a nive nivell univ univers ersititari ario o es un logro logro perso personal nal que que conlleva conlleva la responsabilid responsabilidad ad de obtener obtener y adecuar conocimientos conocimientos más elevados dentro del área de especialidad y dentro de la Matemática Pura Pura.. Es neces necesari ario o para para todo todo estu estudi diant ante e y futu futuro ro Licenc Licencia iado do en Matemática conocer las estructuras de los Espacios Vectoriales.
1.2 OBJETIVO GENERAL •
Establecer y demostrar las condiciones y estructuras generales de los Espacios Vectoriales.
1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS •
Facilitar la adquisición del concepto de Espacios Vectoriales.
ESPACIOS VECTORIALES
HISTORIA: “Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Giuseppe Peano, a finales finales del siglo XIX. Los siguientes siguientes avances en la teoría de espaci espacios os vectoria vectoriales les provie provienen nen del anális análisis is funcio funcional nal,, princi principal palmen mente te de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver prob proble lema mass sobr sobre e la conv conver erge genc ncia ia.. Esto Esto se hizo hizo dota dotand ndo o a los los espa espaci cios os vectoriales vectoriales de una adecuada topología, topología, permitiendo permitiendo tener en cuenta cuestiones cuestiones de proxi proximi mida dad d y conti continu nuida idad. d. Esto Estoss espac espacio ioss vecto vectori rial ales es topo topoló lógi gicos cos,, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada. Los Los espac espacio ioss vect vectori orial ales es se deriv derivan an de la geom geomet etrí ría a afín afín,, a travé travéss de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana. [] Para lograr una solución solución geométrica geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo introdujo en 1804 ciertas ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores. Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827. El origen de la definición de los vectores es la
definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector). Son elementos de R 2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales. En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de las aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abst bstract ractos os dota dotado doss de oper operac aciiones ones.. En su traba rabajo jo,, los los conc concep epttos de inde indepe pend nden enci cia a line lineal al y dime dimens nsió ión, n, así así como como de prod produc ucto to esca escala larr está están n presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888. Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los los espa espaci cios os de func funcio ione ness por por Henr Henrii Lebe Lebesg sgue ue.. Esto Esto más más tard tarde e fue fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920 y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a inte interac ractu tuar ar,, en parti particu cula larr con conce concept ptos os clave clave tale taless como como los los espac espacios ios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los
prim primero eross estu estudio dioss sobre sobre espac espacio ioss vect vector oria iale less de infi infini nita tass dime dimensi nsion ones es se realizaron”.
3.1 ESPACIOS VECTORIALES Un espa espaci cio o vect vector oria iall es una una estruc estructu tura ra mate matemá mátitica ca cread creada a a part partir ir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de
propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares.
DEFINICIÓN. Sea ( K , +, * ) un cuerpo. Diremos Diremos que un conjunto conjunto no vacío vacío E dotado de una Ley de composición interna:
y otra externa: sobre el cuerpo IK tiene estructura de espacio vectorial si cumple las siguientes propiedades:
1. (E , +) es un grupo abeliano. a)
Propiedad asociativa
b)
Propiedad co conmutativa
c)
Propiedad del elemento neutro /
d)
Propiedad de del el elemento op opuesto
2. Propiedad asociativa
3. Propiedad del elemento neutro
4. Propiedad distributiva:
a)
Distributiva a derecha
b)
Distributiva a izquierda
PROPIEDADES. Dado Dado un espacio espacio vectori vectorial al E sobre un cuerpo IK, se verific verifican an las siguientes propiedades:
a)
u
E,
0 • u= 0E
b)
α
IK , α • u = 0E
c)
α
IK,
u
E , α • 0 E
d)
α
IK,
u
E , (- α) • u = - (α • u)
= 0E
α = 0 ó u = 0E
OTRAS PROPIEDADES. Dado un espacio vectorial E sobre un cuerpo IK, se verifican las siguientes propiedades:
Propiedad 1.3.1 El vector neutro de la definición 1.c es único. Demostración:
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean
y
dos vectores neutros, entonces:
Luego verificamos que existe un único vector neutro.
Propiedad 1.3.2 El vector opuesto de la definición 1.d es único: Demostración:
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:
Luego verificamos que existe un único vector opuesto de u.
Propiedad 1.3.3 El elemento neutro ( 1 ) en el cuerpo K es único. Demostración
supongamos que 1 no es único, es decir, decir, sean y dos unidades, entonces:
Luego verificamos que existe y es único.
Propiedad 1.3.4 El elemento inverso (
) en el cuerpo K es único.
Demostración:
supongamos que el inverso
sean sean
y
de a, no es único, es decir,
dos opuesto opuestoss de , entonce entonces, s, como como el neutro neutro
es único:
Luego verificamos que existe un único elemento inverso en el
cuerpo K Ejemplos de espacios vectoriales
•
R, la recta recta numéri numérica, ca, con con las opera operaci cion ones es habi habitu tual ales es de adic adició ión n y multiplicación.
•
Sea N el conjunto de los números naturales. Entonces , con la adición y multiplicación por escalares escalares definidas por:
•
El conjunto de las funciones reales continuas definidas sobre un intervalo [a,b] ⊂ ,que
denotamos por . Es decir , ={f|f es continua en [a,b]}. Las
operaciones son:
Este es uno de los espacios de funciones más importante en Análisis Matemático.
Espacios vectoriales con estructura adicional:
Desde el punto de vista del álgebra lineal, los espacios vectoriales se comprenden completamente en la medida en que cualquier cu alquier espacio vectorial y se caracteriza por su dimensión. Las necesidades del análisis funcional requieren considerar nuevas estructuras.
1. Espa Espaci cios os no norm rmad ados os Un espacio vectorial es normado si está dotado de una norma.
2. Espa Espaci cio o mét métri rico co Un espacio métrico es un espacio vectorial dotado de una aplicación distancia.
3. Espa Espaci cios os de de Bana Banach ch Un espacio de Banach es un espacio normado y completo.
4. Espaci Espacios os prehil prehilber bertia tianos nos Un espacio espacio prehilbertia prehilbertiano no es un par, donde
es un espacio espacio vectorial vectorial y
es un producto a escalar.
5. Espa Espaci cios os de Hilb Hilber ertt Un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano completo por la norma definida por el producto escalar.
Producto Escalar En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos.
Definición 2.1 Sea E un espacio vectorial. Un producto escalar en E es una aplicación:
Donde E es un espacio vectorial y
es el cuerpo sobre el que está definido E .
debe satisfacer las siguientes condiciones:
3.2 SUBESPACIOS VECTORIALES Dado un espacio vectorial V , podemos considerar una parte o subconjunto S de él que funcione como un espacio vectorial "más pequeño", incluido en
V .
Como V es un espacio vectorial, posee las operaciones suma y producto por un escalar, que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S.
Definición: Subespacio. Dado Dado un espacio espacio vectori vectorial al
V ,
se dice que un subconjunto S de
V
es un
subespacio vectorial si: contiene al vector 0 , y si al efectuar las operaciones de suma y producto producto por escalar escalar entre vectores vectores de S, el resultado resultado permanece en S. Se puede decir que S es "cerrado" para las operaciones suma y producto por escalar. Es decir: i)
0 ∈ S / S ≠∅ .
ii) Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S. iii) Si v ∈ S y
λ
es un escalar, entonces λ v ∈ S.
Ya no hace hace falt falta a comp compro robar bar que que se cump cumple len n las las propi propieda edade dess asoc asociat iativ iva, a, conmutativa, etc. Puesto que sabemos que se cumplen en
V ,
y por tanto
también en S se dice que S "hereda" las propiedades de las operaciones en V . Por supuesto si para para
V
V
utilizamos escalares reales, también para S; si
utilizamos complejos, también para S.
Ejemplos de subespacios.
1) La recta x=y es un subespacio de
R.
Está formado por los vectores vectores de la
forma (a, a). Contiene Contiene al vector (0,0). Además, Además, es cerrado para la suma y producto por escalar / Suma: (a, a) + (b, b) = (a + b, a + b) que también es un elemento de la recta. Producto por un escalar:
λ ∈ R
/
λ
(a, a) = ( λ a,
λ
a) que también es un
elemento de la recta. 2) El plano XY es un subespacio de R3. Está formado por los vectores de la forma (x, y, 0). -Contiene al vector (0, 0, 0). Además, es cerrado para la suma y producto por escalar: -Suma: (x, y, 0) + (x', y', 0) = (x + x', y + y', 0) que también es un elemento del plano. –
Producto por un escalar:
λ ∈ R, λ
(x, y, 0)=(λ x,
λ
y, 0) que también
es un elemento del plano. Podemos decir que este plano "es como R2 " pero incluido en R3. 3) ¿Es un subespacio de R2 el conjunto de los vectores de la forma (a, 1)? No, puesto que no contiene al (0,0). O también: porque no se puede sumar dentro de este conjunto, por ejemplo: (a, 1) + (b, 1) = (a + b, 2) que no pertenece al conjunto. 4) En el espacio P2 = {polinomios de grado ≤ 2 }, el conjunto de los polinomios de grado
≤
1 forma un subespacio. En efecto, contiene al polinomio cero, y
podemos sumar y multiplicar por un escalar sin salir del conjunto: -Suma: (a x + b) + (a 'x + b') = (a + a') x + (b + b') que también es un polinomio de grado≤ 1.
- Producto por escalar:
λ ∈ R, λ
(a x + b)=
λ
ax +
λ
b que también es un
polinomio de grado ≤ 1. 5) En M2 = {matrice {matricess 2x2}, el el conjunto conjunto de las las matrices matrices simétrica simétricass abbc es un un subespacio. - Contiene a la matriz nula, y es cerrado cerra do para las operaciones: - Suma: abbc+a'b'b'c'=a+a'b+b'b+b'c+c' que también es una matriz simétrica. - Producto por escalar: λ
∈R, λ
abbc=λ aλ bλ bλ c que también es una matriz
simétrica. 6) Geométricamente, los subespacios vectoriales de y son rectas, planos, y sólo uno de ellos es un punto, el { 0 }. 7) En todo espacio vectorial vectorial existen el subespacio subespacio cero, formado formado solamente por el vector { 0 }, y el subespacio total, formado por todos los vectores del espacio.
TEOREMA: Caracterización de un Subespacio Vectorial: Existe una caracterización que nos facilita comprobar si un subconjunto S de un espacio vectorial V es o no subespacio vectorial: Sean (V , +,∙ ) un espacio sobre R y S un subconjunto no vacio de V entonces: (aS,→ ,b+,∈ ≠∅ subesp espacio acio Sβ b, es α ∙)aS+ ∈ Sun sub Vectorial α, β ∈ R de (V, +, ∙)
⇔
La demostración del teorema en el sentido ⇒) es relativamente sencilla:
Si supo suponem nemos os que que (S, +, ∙) es subespacio vectorial, es por tanto un espacio vectorial en sí mismo, luego si los vectores a, b pertenecen a S y los números α, β∈ R, entonces entonces tanto α. a como β. b pertenecerán a S y por ello también también su suma. En sentido recíproco ( ⇐ se tiene que: Si cualesquiera que sean a, b ∈ S y α, β ∈ R, se cumple que α a + β b ∈ S, entonces la operación (+) cumple las propiedades exigidas: – Es interna en S, pues tomando α=β=1 se tendrá, si a, b ∈ S, que 1b ∈
1a+
S, es decir, a + b ∈ S.
– Es asociativa a+(b+c)=(a+b)+c), por serlo en V . – Por hipótesis el vector nulo pertenece a S. – Todo a ∈ S tiene su opuesto, - a , en S/ α=-1, β=0 – Es conmutativa a+b=b+a), por serlo en V .
Por otra parte, la segunda ley, la (∙), también cumple las condiciones requeridas: – Que se trata de una aplicación R x S → S se deduce deduce del hecho de que
tomados a, b ∈ S; α, 0∈ R, se tendrá α a + 0 b ∈ S, o sea, α a ∈ S. – Las demás propiedades se cumplen en V, luego también en S.