FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL [Versi6n preliminar]
Prof. Isabel Arratia Z. C8Iculo III - Funciones vectoriales de una variable real '
Una
funci6n vectorial es cualquier funci6n que tiene como Imagen (rango) un conjunto de vectores de n r: Dc -> n t -> r(t) Es decir, para cada nOmero t de D, r(t) es un Onico vector de n que lo podemos escribir r(t) = (fl(t), f2(t), , fn(t)). Por esta raz6n, es habitual que la funci6n r se denote r = (fl, fn), donde las funciones reales fi son Ilamadas funciones componentes de r.
Ejemplos: 1. r(t) = (t, 3t), t E
se expresa iambi6n con las ecuaciones
param6tricas x = t, y = 3t. La Imagen o trayectoria de r es una 2 recta en el piano C8Iculo III - Funciones vectoriales de una variable real
2.
3.
F(t) = (cos t, sen t), t E [0, 2P]. En este caso, la trayectoria de F es la circunferencia centrada en (O, O) de radio 1? Cue| es la trayectoria de G(t) = (sen t, cos t), con t E [O, 2P] ?
C8Iculo III - Funciones vectoriales de una variable real
Ejercicio: Con la
4.
ayuda de calculadora, describe la curve en el espacio que definen las siguientes funciones vectoriales: r(t) = (1 - t, 2 + 4t, 3 + 2t)
5.
r(t) = (sen t, 3, cos t)
6.
r(t) = (2cos t, 2sen t, t)
7. Rad Real
Ejercicio: Determine el dominio de la funci6n vectorial definida por r(t) = (In(t), t2, t )
Limites y continuidad Sea r D
' n r = (fl, . . . .., fn) funci6n vectorial, to un punto
de D y L = (al, . . . .. , an) E n
lim t
lim /|r(t) - L ||
r(t) - L <=>
to
-0
t to
"e > 0, $d > 0 Omen eem
Entonces,
0
oso os
da rec
a-In. 2"'..' n_________________
Ejercicio: Calcule, si existen, los siguientes limites, 8.
lim r(t) si r(t) -__ (e-t, t , tO
9.
L
et+-
1)
L
lim r(t) si r(t) - (sen (t + p), 3t 3++ t , 5sen t ) tO
L
L
Sea r D
. n r = (fl, . . . .., fn) funci6n vectorial y
to
un
punto de D. La funci6n r es continua en to si y s6lo si lim
r(t)-r(to)
tto
Ejemplos:
"
10.
f(t) = (3t, 1/t) es continua en to,
to e - {O}
11.
r(t) = (t, et, arcsen t) es continua en [-1, 1].
12.
r(t) = (sen t, cos t, tan t) no es continua en to - .
C8Iculo III - Funciones vectoriales de una variable real
u
integrates Sea r = (fl, . . . . . , fn) funci6n vectorial. La derivada de r en t es: r,(t)
lim dt h 0 h + o r(t+h)..r(t) sjempre que este limite exista.
lnterpretaci6n
r(t
geom6trica:
Sea
C
una
curva
por
la
funci6n
en
el
vectorial
r,
espacio es
3dada
decir,
C
esta formada por la punta del vector en movimiento
r(t).
El
vector
r(t+h)-.r(t)
tiene
la misma direcci6n que (r(t + h) - r(t)) . Si
h tiende a cero, este vector se acerca a uno que esta en la recta tangente a la curva en el punto P determinado por r(t). C8Iculo III - Funciones vectoriales de una variable real '
+
h)
-
r(t)
El
vector
llama
r'(t),
vector
cuando
tangente
a
existe
y
la
curva
es C
distinto en
el
de
cero,
punto
P.
se Y
el vector T Il~,((~~II se llama tangente unitario. La recta tangente a C en P es la recta que pasa por P y es paralela al vector tangente r'(t) , su ecuacion (vectorial) es: C8Iculo III - Funciones vectoriales de una variable real
u
Ejercicio:
Encuentre las ecuaciones param6tricas y la
ecuaci6n vectorial de la recta tangente a la curva definida por r(t) = (t cos2 pt, t sen2 pt, 4t ) en el punto P(O, 1/4, 1)-
Teorema: Sean u, v funciones vectoriales derivables. 13. 14.
3
[u(t) + v(t)] = u'(t) + v'(t) [k u(t)] = k u'(t), k e )
[f (t) v(t)] = f' (t )v(t) + f (t)v' (t), f func. real
15.
[u(t) . v(t)] = u'(t) . v(t) + u(t) . v'(t)
16.
[u(t) x v(t)] = u'(t) x v(t) + u(t) x v'(t)
17.
[u(f(t))] = u'(f(t)) f'(t)
C8Iculo III - Funciones vectoriales de una variable real /
Ejercicio: Si r es una funci6n vectorial tal que r(t) . r(t) = C, COOnstante, demuestre que r(t) . r'(t) = O. lntegraci6n
|
|son co~lb~~ ~ ~ ~t)~'n .c
|
El teorema fundamental del calculo asegura que (t)dt R(b) - R(a) donde R es una antiderivada de r, es decir, R'(t) = r(t).
C8Iculo III - Funciones vectoriales de una variable real '
<
Longitud de arco Supongamos que la curva C en el espacio tiene la ecuaci6n vectorial r(t) = (f(t), g(t), h(t)), a t b , donde f', g', h' existen y son continuas en el intervalo [a, b]. La longitud de arco de C en [a, b] es: s
|ba (f '(X))2 + (t))2 + (h(t))2dt - |ba//r'(t)//dt
Por ejemplo, la longitud de arco de la h6lice dada por, r(t) = (b cos t, b sen t, 1 - b~ t) entre t = 0 y t = 2P es 2P Una curva C puede representarse mediante funciones vectoriales de diversas maneras segOn sea la elecci6n del parametro. Por ejemplo, rl(t) = (t, t2, t3 ); 1 t 2 y r2(w) = (ew, e2w , e3w ); O w In 2 representan la misma curva; los parametros se relacionan por t = ew.
Para el movimiento a lo largo de una curva, el parametro mas conveniente es el tiempo t. Sin embargo, para el estudio de las propiedades geom6tricas de las curvas, el parametro adecuado es el "parametro longitud de arco s
Definici6n: Sea C una curva suave dada por la funci6n vectorial r(t) en un intervalo [a, b]. La funci6n longitud de arco s es' s(t)
jt|a|r'(u)|du
es decir, s(t) es la longitud de la parte de C entre r(a) y r(t). La longitud de arco s se denomina par&metro longitud de arco.
Y el teorema fundamental del calculo asegura que, ds = ||r'(t)|| C8Iculo III - Funciones vectoriales de una variable real '
Reparametrizaci6n en funci6n del parSmetro "s" Consideremos la h6lice dada por r(t) = (cos t, sen t, t). Reparametricemos r(t) con respecto a la longitud de arco medida desde el punto donde t = O. En este caso, r'(t) = (-sen t, cos t, 1) y la funci6n longitud de arco s es: s(t) = f0|fir' (u)||du= sen2uos2 u+ Idu = t s =t => t=s /2 Y la reparametrizaci6n de r es r(s) cos(-1 s), sen(-1 s), s
C urvatura Sea C una curva suave. La curvatura de C mide cuan rapidamente Gambia la curva de direcci6n en un punto. Sea C una curva suave dada por la funci6n vectorial r. La curvatura de C es = dT = dt = dt = ll T (t)||?
"
ds
dt
r' (t)
||r' (t)II
donde T(t) es el vector tangente unitario. Es decir, la curvatura es la magnitud de la raz6n de cambio del vector tangente unitario con
respecto a la longitud de arco.
Ejercicio: Calcule la curvatura de la curva C definida por r(t)=(2t, t2, -.t3/3), en cualquier punto y en (O, O, O). C8Iculo III - Funciones vectoriales de una variable real ' '.'.
Ejercicio: Muestre que la curvatura de una circunferencia de radio a es 1/a.
Observaciones: El n0mero p = - es el radio de curvatura; indica que la curva, en el punto, esta curvada como un circulo de radio P centrado en el punto. 18.
Si C es la grafica de una funci6n y = f(x) (curva plana), dos veces diferenciable, podemos describir a f como r(x) = (x, f(x)) y su curvatura se expresa = f"(x) 19.
" (1+ (f'(x))2 15
Vecto r normal y binormal
Sea C una curva suave dada por la funci6n vectorial r(t), t E I. En un punto dado de C existe una infinidad de vectores ortogonales al vector tangente unitario T(t); uno de ellos es T'(t). Definimos el vector normal unitario a lo largo de C como,
N(t)
||(~~||_
El vector B(t) = T(t) binormal unitario a lo largo de C. Observe que en cada vectores T, N, B ortogonales entre si.
x punto son
N(t)
se
de C, unitarios
llama los y
Pianos normal, oscuiante y rectificante El
plano determinado por los
vectores N normal y B binormal, en el punto P sobre la curva C se llama piano normal de C en P y esta formado por todas las rectas que son ortogonales al vector tangente T.
::~
_____,""
El plano determinado por los vectores tangente T y normal N, se llama piano oscuiante de C en P. Es el plano que esta tan cerca que contiene la parte de la curva que esta cerca de P. El circulo que esta en el plano osculante de C en P (que tiene la misma tangente que C en P), esta en el lado c6ncavo de C (hacia donde apunta N) y tiene radio p= - , se llama circulo oscuiante o circuio de curvature de C en P.
mejor
describe
la
El circulo osculante es el que forma en que
C se comporta cerca de P; comparte la misma tangente, normal y curvatura en P. El plano determinado por los vectores tangente T y binormal B, se llama piano rectificante de C en P. Ejercicio: ecuaciones osculante circular
de y r(t)
=
Determine los rectificante (2cos t,
el punto P = (O, 2, ) C8Iculo III - Funciones vectoriales de una variable real '
u
las normal,
planos de 2sen
la t,
t)
he|ice en
rn . ,
I OrS|On Sea C una curva suave. La torsi6n de C mide el grado de torcedura de la curva, mide el desvio de la curva respecto del piano osculante. Ejercicio: Determine T, N, B, curvature, torsi6n y las ecuaciones
de los pianos normal, osculante y rectificante de la curva dada por r(t) = (3t- t3, 3t2, 3t+ t3) en el punto P(2, 3, 4). C8Iculo III - Funciones vectoriales de una variable real ' /
Movimiento en el espacio: Velocidad y aceleraci6n Supongamos que una particula se mueve en el espacio de manera que su vector posici6n en el tiempo t es r(t). El vector r(t+ h )-r( t)_ h proporciona la velocidad promedio, sobre un intervalo de tiempo de longitud h, de la particula.
El vector
velocidad v(t), en el
tiempo t, es
v( t )
hi O r( t +hI
- r( t )
r' ( t )
La rapidez de la particula, en el tiempo t es la magnitud del vector velocidad, es decir, || v(t) II, que es igual a || r'(t) ||. C8Iculo III - Funciones vectoriales de una variable real
<
t es velocidad v(t), es decir,
la
La aceleraci6n de la particula, en el tiempo derivada de la
a(t) = v'(t) = r"(t)
Ejercicio: Determine la velocidad, y rapidez de una particula con posici6n r(t) = ( t2 , et , t et ) Ejercicio:
Determine
los
vectores
aceleraci6n vector de
velocidad
y
de
posici6n
aceleraci6n
a(t)
de =
una (O,
particula O,
1),
v(O) = (1, -1, O) y posici6n inicial r(O) = (O, O, O). C8Iculo III - Funciones vectoriales de una variable real '
que velocidad
tiene inicial
