Espacios y Subespacios Vectoriales

estatica calculo vectorial calidad ing de materiales no metalicos electromagnetismo contabilidad y costos

Ejercicios correspondientes correspondientes a la cuarta unidad (espacios y sub espacios vectoriales) de la materia de Algebra lineal para los alumnos del segundo semestre de la carrera de ingeniería mecánica Espacios y sub espacios espacios vectoriales

Contesta falso o verdadero ¨  x ¸ 2 1. El conjunto de vectores ©© ¹¹ en R con ª  y º

   es un espacio vectorial real (

¨  x ¸ 2 2. El conjunto de vectores ©© ¹¹ en R con ª  y º

      es un espacio vectorial real (

v

) f )

3. El conjunto de matrices invertibles de 5x5 forman un espacio vectorial ( con + definido como en la suma de matrices ordinaria)...(

f )

¨  x ¸ © ¹ 3 4. El conjunto de vectores de la forma ©  y ¹ es un subespacio de R ....( ©1¹ ª  º

f )

5. El conjunto de matrices diagonales de 3x3 es un subespacio de M33....( v ) 6. Determine si el conjunto de matrices diagonales nxn

bajo la suma de matrices y 

multiplicación por un escalar usual es un espacio vectorial. Si no lo es, enliste los axiomas

que no se cumplen. el conjunto de matrices diagonales

Combinación lineal

Contesta falso o verdadero ¨ 3 ¸ 1. ©© ¹¹ está en el espacio generado por ª 5 º

® ¨1 ¸ ¨ 2 ¸ ¾± ± ¯©© ¹¹, ©© ¹¹¿ ....( ± ª1 º ª 4 º À± °

v

)

¾± ¹¹,¿ generan a M22.( v ) 1 º ± À

 

¨1 ± 2. ¯©© ± ª0 °

0 ¸

¨0 ¹¹, ©© 0 º ª 0

1 ¸

¨0 ¹¹, ©© 0 º ª 1

0 ¸

¨0 ¹¹, ©© 0 º ª 0

0 ¸

2

3. Determine y demuestre si el conjunto de vectores generan el espacio vectorial dado en R : ¨1 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 5 ¸ ©© ¹¹, ©© ¹¹, ©© ¹¹ ª1 º ª 2 º ª 5 º Independencia lineal

Determine si el conjunto de vectores dados es linealmente dependiente independiente ¨ 2  ¸ ¨ 4  ¸ © ¹ © ¹ ©  1¹ ; ©  2 ¹ ©4¹ © 8 ¹ ª  º ª  º

a.

¨  3 ¸ ¨ 7  ¸ ¨ 1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ c. © 4 ¹ ; ©  1¹ ; © 1 ¹ © 2 ¹ © 3 ¹ ©8¹ ª  º ª  º ª  º

¨  3 ¸ ¨ 1  ¸ ¨ 4  ¸ b. ©© ¹¹, ©© ¹¹, ©© ¹¹ ª 2  º ª10 º ª  5 º

Base y dimensión

Conteste falso o verdadero 3

3

1. Cuales quiera tres vectores en R forman una base para R ....( 3

2. Cuales quiera tres vectores linealmente independientes en R

)

forman una base para R3

.....(

)

3. Una base en un espacio vectorial es única(

)

Encuentra una base para el espacio de solución del sistema homogéneo dado: 2 x  6 y  4 z  ! 0   x 

3 y  2 z  ! 0

 3 x 

9 y



6 z 

!

0

Rango y nulidad

Encuentre el rango y la nulidad de la matriz dada.

1

a.

Cambio de base

1

3

2

6

2 

4

b.

1 2

3

1

4

5

1

8

c.

1

1

2

1

1

0

1

2

1

2

5

4

2

1

1

1

¨  x ¸ © ¹ 3 Escriba ©  y ¹  R en términos de la base dada: ©  z  ¹ ª  º

a.

¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © 0 ¹ ; © 1 ¹ ; ©1¹ © 0 ¹ © 0 ¹ ©1¹ ª  º ª  º ª  º

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¨ 2 ¸ ¨  1 ¸ ¨ 3  ¸ © ¹ © ¹ © ¹ b. © 1 ¹ ; © 4 ¹ ; ©  2 ¹ © 3¹ © 5 ¹ ©  4¹ ª  º ª  º ª  º