DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA Y LA CONSTRUCCIÓN
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
ÁLGEBRA LINEAL
TEMA: ESPACIOS VECTORIALES
ING. CARLOS LEÓN
LESLY LLANOS
NRC: 3887
QUITO – ECUADOR
PROPIEDADES DE ESPACIOS VECTORIALES
DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Sea V un conjunto no vacío. Supongamos que en V hay definida una operación suma, que denotaremos por +, y una operación producto por un escalar, que denotaremos por ·. Diremos que (V, +, ·) es un espacio vectorial real (o simplemente un espacio vectorial) si se verifican las siguientes propiedades:
1. Propiedad asociativa (+): (u + v) + w = u + (v + w), 2. Propiedad conmutativa: u + v = v + u, 3. Existencia de elemento neutro: 4. Existencia de elemento opuesto:
∀ u,
∃ 0 ∈ V
v,
∀ u,
v, w ∈ V
∈ V
| 0 + v = v,
∀ v ∈ V ∃ -v ∈ V
∀ v ∈ V
| v + (-v) = 0
5. Propiedad distributiva I: a · (u + v) = a · u + a · v,
∀ a ∈ R, ∀ u,
6. Propiedad distributiva II: (a + b) · v = a · v + b · v,
∀ a,
7. Propiedad asociativa (·): a · (b · v) = (ab) · v,
b ∈ R, ∀ v ∈ V
8. Elemento unidad: 1 · v = v,
∀ a,
v ∈ V
b ∈ R, ∀ v ∈ V
∀ v ∈ V
Cabe aclarar algunos detalles de la definición anterior:
Cuando no haya lugar a confusión con respecto a las operaciones consideradas, denotaremos el espacio vectorial simplemente por V . Para evitar confusiones escribiremos los vectores en negrita. En particular, observemos que no debemos confundir el vector neutro 0 y el escalar 0. Todo espacio vectorial satisface las siguientes propiedades.
PROPOSICIÓN.- Sea V un espacio vectorial. Entonces, se tiene: 1. a · 0 = 0,
∀ a ∈ R.
2. 0 · v = 0,
∀ v ∈ V
.
3. Si a · v = 0 para a ∈ R y v
∈ V
entonces, o bien a = 0, o v = 0.
4. (−1) · v = -v, ∀ v ∈ V .
EJEMPLOS
Los ejemplos clásicos de espacios vectoriales reales son:
• Dado cualquier n ∈ N el conjunto
Rn = {(x1, ...xn) : x1, ..., xn
∈ R}
dotado de las operaciones suma y producto por escalares usuales. • El conjunto Mm×n(R) de las matrices con coeficientes reales de orden m × n dotados
de la suma y el producto por escalares usuales. • El conjunto P(R) de los polinomios de variable real con coeficientes reales con la
suma y el producto por escalares usuales. • El conjunto Pn(R) de los polinomios de grado a lo sumo n con coeficientes reales con
la suma y el producto por escalares usuales. • El conjunto Co(R) de las funciones continuas en R con la suma y el producto por
escalares usuales. • El conjunto Co([a, b]) de las funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b] con la
suma y el producto por escalares usuales. Trabajaremos siempre con los ejemplos que acabamos de introducir, por lo que mantendremos la notación siempre que sea posible.
COMBINACIÓN LINEAL DEFINICIÓN Dado un conjunto de vectores v 1 , ..., vk de un espacio vectorial V , llamaremos combinación lineal de ellos a cualquier vector de la forma a1v 1 + ... + akvk
donde los coeficientes ai, i = 1, ..., k, son escalares. El concepto de combinación lineal nos permite dar la definición de dependencia e independencia lineal que será fundamental a lo largo de toda la asignatura.
EJEMPLO:
CÁPSULA DEFINICIÓN: Es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de un espacio. También se dice que es igual al subespacio vectorial y que reúne las restricciones de dicho espacio.
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DEFINICIÓN: Se dice que un conjunto finito de vectores {v 1 , ..., vk} es linealmente dependiente si el elemento neutro se puede escribir como combinación lineal de ello s con no todos los coeficientes nulos. Es decir, si existen escalares a1 , ..., ak no todos nulos tales que a1v 1 + ... + ak vk = 0
Por el contrario, si {v 1 , ..., vk} no es linealmente dependiente, se dice que es un conjunto linealmente independiente. Es decir, si a1v + ... + ak vk = 0
⇒ a1 =
... = ak = 0
Como una consecuencia inmediata de esta definición, observemos que cualquier conjunto de vectores que contenga al elemento neutro es linealmente dependiente. Estudiar la independencia o dependencia lineal de un conjunto finito de vectores es equivalente a estudiar si un determinando sistema homogéneo es compatible determinado o indeterminado, respectivamente. Una caracterización equivalente de la dependencia lineal es la que sigue. PROPOSICIÓN: Un conjunto de vectores {v 1 , ..., vk} es linealmente dependiente si y
sólo si podemos expresar uno de los vectores del conjunto como combinación lineal del resto. NOTA: Que podamos expresar uno de los vectores como combinación lineal del resto
no significa que podamos expresar cualquier vector como combinación lineal del resto.
EJEMPLO:
Determinar si es dependiente o independientemente lineal
BIBLIOGRAFÍA:
http://www.uco.es/geometria/documentos/Tema3Biologia_EspaciosVectoriale s.pdf http://www.vitutor.com/analitica/vectores/depandencia_independencia.html http://algebralinealpolitecnica.blogspot.com/2010/06/espaciosvectoriales.html
http://es.slideshare.net/algebralineal/cpsula-lineal-ejercicios
http://2010-algebralineal.blogspot.com/
