Relaciones Escalares y Complejas (1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA LABORATORIO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II

EXPERIENCIA N°1: “RELACIONES ESCALARES Y COMPLEJAS EN CIRCUITOS LINEALES”

INFORME PREVIO DOCENTE: ÁLVARO CISNEROS, CIRO ALUMNO: SERNA TORRE, PAUL ADÁN CÓDIGO DEL ALUMNO: 20124052G CÓDIGO DE CURSO: EE132M Lima-Perú 2014

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA LABORATORIO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II (EEI32M)

CICLO 2014-II

INFORME PREVIO: RELACIONES ESCALARES Y COMPLEJAS EN CIRCUITOS LINEALES 1. FUNDAMENTO TÉÓRICO Hoy en día, resulta importante para el ingeniero electricista recordar los conceptos primordiales que rigen el campo de la electricidad, a pesar que muchas veces estos conceptos resultan “fáciles” a primera vista. A consecuencias

de esto, se plantea como fundamento teórico abordar saberes básicos acerca de los circuitos eléctricos y finalmente tratar el tema de lugares geométricos, que es la base para el desarrollo de la experiencia en el laboratorio. 1.1. CONCEPTO DE SENOIDES Y FASORES

¿ Quées u na s eno ide ? Matemáticamente, se define como una función que tiene la forma de seno o coseno, por lo tanto posee todas sus propiedades de una función sinusoidal. Para ejemplificar, si queremos representar una tensión de corriente alterna, es necesario usar una senoide de la siguiente manera: () =  sin sin 

ó

() =  cos

Donde:  :       ó. :        ó.

¿ Por q uérealmen te so n im po rtant es las s enoid es en la in geniería ? ? Primera razón: las razón: las senoides aparecen en una amplia variedad de situaciones de la naturaleza como por ejemplo: razón: las senoides son fáciles de generar y transmitir; por ejemplo: resulta las vibraciones mecánicas. Segunda razón: las más beneficioso usar altos voltajes (en AC) para transmitir energía pues así se reduce las pérdidas i 2r en los cables pero para ese proceso es necesario el uso de transformadores los cuales solo pueden operar con corriente alterna. Tercera razón: razón: se puede decir que cualquier función periódica se puede expresar en senos y cosenos (series de Fourier).

¿ Quées un fas or ? ¿ Po r q uése u san ? ¿ Có ? Cómo mo obtener un fasor a p artir d e una senoid e ? Es un número complejo (por lo tanto también un vector) que representa a una senoide con amplitud y fase, tiempo ; este es un claro motivo por qué se usan los cabe mencionar que los fasores no son variables con el tiempo; fasores para resolver circuitos eléctricos con excitación alterna en estado estacionario . Podemos ejemplificar cómo relacionamos un fasor con una senoide de la siguiente manera: EXPERIENCIA N°: “Relaciones escalares y complejas en circuitos lineales”.

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() =  cos( + ∅) − −→

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 =  

(Dominio del tiempo) -- (Dominio de la frecuencia) 1.2. RELACIONES FASORIALES CON ELEMENTOS DE CIRCUITOS a) Elemento resistivo Figu ra 1. Representac ión gráfica de los fasores de tensión y corriente en un resist or. Nótese qu e ambo s están en fase o coinciden.

Excitación (en el dominio del tiempo): Respuesta (en el dominio del tiempo):

(Ley de Ohm)

Respuesta (en el dominio de la frecuencia): b) Elemento inductivo

Figur a 2. Representaci ón en el plano com plejo de los fasores de tensión y corriente en el inducto r. Aquíel fasor d e co rrien te estáatras ado 90° resp ecto al fasor de voltaje.

Excitación (en el dominio del tiempo): Respuesta (en el dominio del tiempo):

Respuesta (en el dominio de la frecuencia):

EXPERIENCIA N°: “Relaciones escalares y complejas en circuitos lineales”.

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c) Elemento capacitivo

Figura 3. Muestra de los fasores de tensión y co rriente en un capacitor. Nótese qu e el faso r de co rrien te adelan ta 90° al fasor de tensión.

Excitación (en el dominio del tiempo): Respuesta (en el dominio de la frecuencia):

(El detalle de los pasos para pasar de la

respuesta del dominio del tiempo a la frecuencia es similar al del inductor solo que ahora se usará i=Cdv/dt, por esta razón se han obviado los pasos). 1.3. DEFINICIONES LACÓNICAS DE IMPEDANCIA Y ADMITANCIA Si analizamos en el dominio de la frecuencia (de cada elemento) nos podemos dar cuenta de la siguiente relación:

De esta manera, podemos decir que existe una ley de Ohm en el dominio fasorial, así podemos introducir el concepto de impedancia y de admitancia:

Donde Z: impedancia; Y: admitancia. Así, la impedancia se puede definir como la oposición que presenta un circuito al flujo de corriente alterna; la impedancia no es un fasor pues no representa a una senoide , pero sí es un número complejo, por lo tanto se puede expresar en modo rectangular como la suma de dos componentes:

(R: resistencia; X: reactancia) En adición, la admitancia también se puede descomponer en forma rectangular debido a que este también es un número complejo: (G: conductancia; B: susceptancia)


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1.4. LUGARES GEOMETRICOS DE UNA IMPEDANCIA Con el breve fundamento anterior, ahora sí es p osible referirnos a los lugares geométricos de una impedancia. ¿Cómo se originan los lugares geométricos en el plano de la impedancia y/o admitancia? Cuando tenemos a una determinada impedancia (sea resistiva-inductiva o resistiva-capacitiva) y variamos el valor de algún parámetro (R, L o C) obtenemos una impedancia distinta a la anterior; si seguimos variando ese mismo parámetro manteniendo algún otro constante, entonces resultará otra impedancia diferente a las dos anteriores; de esta manera, si continuamos realizando esta variación obtendremos una serie de impedancias, es decir, números complejos cuyas “puntas” de sus vectores formarán una curva a la cual denominamos “lugar geométrico”; como es obvio, esta curva generada se encuentra en el plano complejo pero específicamente en el

plano de la impedancia, luego si transformamos cada punto de la impedancia a una admitancia obtendremos otra curva la cual está en el plano de la admitancia, así este es otro lugar geométrico. ¿Para qué nos sirve el lugar geométrico de la impedancia y/o admitancia? Una vez que hemos obtenido el lugar geométrico de la admitancia (G vs B), entonces podemos emplear la relación conocida como: =

Si consideramos a la tensión como un número real, es decir un fasor con argumento cero grados, entonces al multiplicarlo a la admitancia, no se deformará el lugar geométrico de la admitancia, tan solo se “agrandará” el lugar

geométrico de la admitancia; así este curva obtenida será el lugar geométrico de la corriente como fasor. Finalmente, con este lugar geométrico podremos conocer rápidamente la variación de la corriente en magnitud y fase. Incluso, si tenemos una conexión en paralelo de elementos RLC, podremos conocer para qué valor de cierto parámetro (R, L o C) se alcanza un factor de potencia máximo; así determinaremos que en ciertos caso es posible llegar a la resonancia del circuito con variar cierto parámetro. A continuación se presenta las distintas configuraciones básicas de una impedancia, con sus respectivos lugares geométricos:


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2. MATERIALES A UTILIZAR EN LA EXPERIENCIA Instrumentos de m edición requeridos: 

2 multímetros, escalas de 0-250V A.C. (V1, V2)



Amperímetro, escalas 2-3A AC.



Voltímetro de cuadro de 0-250V A.C. (V)

Elementos p asivos para los circui to s a mo ntar: 

Potenciómetro de 320Ω (R2) Caja de condensadores (variable de 30uF)

 

Potenciómetro de 460Ω



Reactor de núcleo de hierro de 0.25Hr.



Juego de conductores

Máqu inas elé ctr icas y o tro s d isp os itivo s elé ctri cos para lo s c ircu itos a m on tar: o

Autotransformador 220V


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3. CIRCUITOS ELÉCTRICOS A UTILIZAR DURANTE LA EXPERIENCIA Ci rc u it o N° 1

El circuito a montar es básicamente un circuito R-L; básicamente utilizaremos un potenciómetro (R1) el cual variaremos su resistencia y mediremos para cada valor de resistencia con los instrumentos de medición indicados. Como se nota, se utiliza un autotransformador con el fin de regular la tensión de entrada a 220V.

Fig ur a 4. Cir cu ito elé ct ric o N° 1. Nótes e lo s med idor es qu e se us arán asícom o lo s potenciómetros R1 y la inductancia L.

Ci rc u it o N° 2

A diferencia del primero circuito, ahora montaremos un circuito R-C; a pesar que los dos elementos R y C son variables según se indica en el circuito, en realidad solo utilizaremos la resistencia variable para determinar como referencia un valor de corriente de 1.2ª; luego cambiaremos los valores de capacitancia con la caja de condensadores y utilizaremos los instrumentos de medición para registrar todas las magnitudes posibles (tensión e intensidad de corriente).

Fi g u ra 5. Ci rc u it o el é ct ri co N° 2. Nótese los m edidores que se us arán asícom o los potenciómetros R2 y el banco de condensadores.


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Luego de realizar el análisis del circuito N°1, vemos que a partir de las ecuaciones I y II es posible calcular todas las magnitudes del circuito. Con la ecuación I podremos calcular la tensión en R1 para una determinada intensidad de corriente; luego con esta tensión conocida hallaremos el valor de la R1 que cumple para la corriente que inicialmente se planificó. Cabe mencionar, que siempre se mantiene constante la tensión de alimentación.

Con la anterior, explicación solo queda realizar operaciones aritméticas; lo que realmente importa es acerca de cuántos decimales se emplean para las operaciones debido a que esto influye en la exactitud de los cálculos. Así en la siguiente tabla se usan las ecuaciones I y II, usando un redondeo de 3 decimales.

f.p)

VE (V)

A

VR (V)

VL (V)

R (Ω)

1

220

0.8

206.676

75.398

258.345

0.939

2

220

0.75

208.335

70.686

277.78

0.947

3

220

0.7

209.875

65.974

299.821

0.954

4

220

0.65

211.299

61.261

325.075

0.96

5

220

0.6

212.608

56.549

354.347

0.966

6

220

0.55

213.806

51.836

388.738

0.972

7

220

0.5

214.894

47.124

429.788

0.977

8

220

0.45

215.873

42.412

479.718

0.981

9

220

0.4

216.746

37.699

541.865

0.985

10

220

0.35

217.513

32.987

621.466

0.989

cos

Observaciones acerca de los cálculos: -A medida que la resistencia aumenta, la corriente se ve disminuida manteniendo siempre la tensión de entrada constante. -Cuando aumentamos la resistencia de la carga (RL), esto se ve reflejado directamente en un aumento del factor de potencia; esto se debe a que al aumentar la parte resistiva de la carga, mayor es el consumo de potencia activa. -Según la experiencia, solo disponemos de dos resistores uno de 320Ω y otro de 460Ω; por lo tanto según el cuadro, para seguir disminuyendo la corriente de 0.05 en 0.05A será necesario conectar las dos resistencias en serie, de esta manera dispondremos de un mayor valor de resistencia.


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Según el análisis realizado para esta carga RC, se obtuvieron dos ecuaciones I y II las cuales nos permiten calcular las magnitudes del circuito. Primeramente, se utiliza la ecuación I, así obtendremos la tensión en el capacitor para una determinada corriente que ingresa a la carga; en segundo lugar, se utiliza la ecuación II, pues así obtendremos el valor de la reactancia capacitiva; finalmente, conocido el valor de la reactancia capacitiva, podremos obtener la capacitancia para una determinada intensidad de corriente que ingresa a la carga, manteniendo siempre la tensión de alimentación constante.

Así como en los cálculos del primer circuito, aquí también redondearemos los resultados hasta tres decimales (esto influye en la exactitud de los cálculos). cos

f.p)

VE

A

VR (V)

VC (V)

Xc (Ω)

C (µF)

1

220

1.2

192.724

106.101

88.418

30.001

2

220

1.15

184.693

119.534

103.943

25.52

3

220

1.1

176.663

131.111

119.192

22.255

0.803

4

220

1.05

168.633

141.29

134.562

19.713

0.767

5

220

1

160.603

150.355

150.355

17.642

0.73

6

220

0.95

152.573

158.498

166.84

15.899

0.694

7

220

0.9

144.543

165.853

184.281

14.394

0.657

8

220

0.85

136.513

172.523

202.968

13.069

0.621

9

220

0.8

128.482

178.584

223.23

11.883

0.584

10

220

0.75

120.452

184.096

245.461

10.807

0.548

0.876 0.84

Observaciones referidas a los cálculos realizados: -A medida que disminuimos la capacitancia de la carga, la corriente que ingresa a la carga también disminuye en magnitud, siempre y cuando la tensión de entrada la mantengamos constante. -Al disminuir la capacitancia, la reactancia capacitiva aumenta; según los cálculos se puede comprobar que el factor de potencia disminuye; esto se debe que con una mayor reactancia capacitiva mayor es la potencia reactiva que se devuelve a la fuente.


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5. SIMULACIONES DE LOS CIRCUITOS A UTILIZAR 5.1. SIMULACIONES REFERIDAS AL CIRCUITO N°1 Se utilizó el simulador Multisim donde se montó hasta tres circuitos diferentes con diferente valor de resistencia cada uno; de esta manera podemos comparar los valores obtenidos por los cálculos previos y la simulación.

Simulación cuando R1=258.345Ω : Ob te nemos un a co rriente de 0.8 A que es acorde con lo planificado y cálcu los prev ios . A R1

-

+

0.800

A

258.345Ω AC 1e-009Ohm V1 U1 220 Vrms

+

60 Hz

220.000

V

Ue AC 10MOhm

206.675

-

0°

-

+

V

L1 0.25H

+

75.400

V

U2 AC 10MOhm

-

AC 10MOhm

Simulación cuando R1=277.78 Ω: Obtenemos una corriente de 0.75A que resulta igual con los cálculos previos y lo p anificado. A R1

-

+

0.750

A

277.78Ω AC 1e-009Ohm V1 U1 220 Vrms

+

60 Hz 0°

220.000 -

V

Ue AC 10MOhm

-

+

208.334

V

L1 0.25H

+

70.688

V

U2 AC 10MOhm

-

AC 10MOhm


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Simulación cuand o R1=325.075 Ω: Nuevamente o btenemo s u na co rriente de 0.650 A que es idé ntico con el valor planificado. A R1

-

+

0.650

A

325.075Ω

AC 1e-009Ohm V1 220 Vrms 60 Hz 0°

U1 +

220.000

V

-

+

Ue AC 10MOhm

211.297

-

V

L1 0.25H

U2 AC 10MOhm

+

61.263

V

-

AC 10MOhm

5.2. SIMULACIONES REFERIDAS AL CIRCUITO N°2 Nuevamente se utilizó el simulador Multisim, también se realizaron simulaciones de hasta tres circuitos con diferentes valores de capacitancia en cada uno. Estos valores de capacitancia han sido previamente cálculos para una determinada corriente; de esta manera, se intentará corroborar las mediciones de las simulaciones con los cálculos previos. Simulación cu ando C1=30uF: se obtuvo u na corriente de 1.2A q u e e s conforme co n lo p redicho con los cálcu los prev ios . A R1

-

+

1.200

A

160.603Ω

AC 1e-009Ohm V1 220 Vrms 60 Hz 0°

U1 +

220.000 -

V

Ue AC 10MOhm

-

+

192.722

V

C1 30µF

+

106.104

V

U2 AC 10MOhm

-

AC 10MOhm


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Simulación cu ando C1=10.807uF: se obtuvo una corrie nte de 0.75A que es conform e con lo predicho con los cálcu los prev ios . A R2

-

+

0.750

A

160.603Ω

AC 1e-009Ohm V1

U1

220 Vrms 60 Hz 0°

+

220.000

V

-

+

Ue AC 10MOhm

120.453

V

C 10.807µF

+

184.092

V

U2 AC 10MOhm

-

-

AC 10MOhm

Simulación cuand o C1=17.642uF: se obtu vo un a corriente de 1A que es acorde con lo predic ho co n los cálcu los prev ios . A R1

-

+

1.000

A

160.603Ω

AC 1e-009Ohm V1

U1

220 Vrms 60 Hz 0°

+

220.000 -

V

Ue AC 10MOhm

-

+

160.600

V

C1 17.642µF

+

150.356

V

U2 AC 10MOhm

-

AC 10MOhm

Observación: Acerca de todas las tensiones obtenidas por simulación en todos los circuitos, estos valores difieren ligeramente (por milésimas) respecto a los cálculos previos; esto se debe a dos razones: -Los dispositivos de medición utilizados en la simulación poseen una resistencia interna que está indicada cerca de ellas; justamente esta resistencia interna influye cuando se realizan las mediciones; en cambio cuando se hizo cálculos previos, se consideró que todos los dispositivos eran ideales. -Durante los cálculos previos, se utilizó aritmética de tres dígitos para todas las operaciones , es decir, que se redondearon todos los resultados hasta con tres dígitos decimales; por lo tanto a medida que se hacían más operaciones aritméticas se introducían más errores aunque estos son de poca consideración. EXPERIENCIA N°: “Relaciones escalares y complejas en circuitos lineales”.

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6. APLICACIONES A consecuencia de que la experiencia que se realizará está orientada a operar con los diferentes elementos básicos (R, L y C) de un circuito con corriente alterna, se desarrollarán dos aplicaciones que están relacionadas con ese enfoque.

APLICACIÓN 1: CIRCUITOS MEDIDORES DE INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA Este es una aplicación muy parecida al puente Wheatstone con corriente directa; ahora el objetivo será emplear un circuito con elementos R, L o C para calcular una inductancia de un inductor o una capacitancia de un capacitor. Seguiremos el mismo principio que se realizó en el puente Wheatstone; ahora se necesita una fuente de corriente alterna; así como un amperímetro o voltímetro pero de precisión de CA.

Figura 6. Circuito “puente de CA”. Nótese que el medidor de CA puede ser un amp erímet ro o vo ltímet ro de CA.

Figur a 7. Puentes de CA esp ecífico s para medir indu ctancias y capacitancias.

Considérese la forma general del circuito puente de ca que se presenta en la figura 6. El puente está equilibrado cuando no fluye corriente a través del medidor. Esto significa que V1=V2. Al aplicar el principio de división de corriente se tiene:


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Esta es la relación para un puente de CA equilibrado. En la figura 7 se muestran puentes de CA para medir L y C, donde Lx y Cx son las magnitudes que se desean conocer, mientras que Ls y Cs son valores conocidos con gran precisión. En cada caso, dos resistores R1 y R2 se hacen variar hasta que el medidor de CA lee cero, se dice entonces que el puente está equilibrado. De la ecuación anterior se obtiene:

APLICACIÓN 2: CIRCUITO DESFASADOR RC Un circuito desfasador suele emplearse para corregir un corrimiento de fase no deseable que se encuentra presente en un circuito. Con la finalidad d e corregir se emplea un circuito RC, debido a que la corriente en capacitor está adelantada a la tensión aplicada. Dos circuitos RC de uso común aparecen en la figura 8. En la figura 8.a se observa que la corriente del circuito I se adelanta a la tensión aplicada Vi en algún ángulo de fase  que se encuentra entre 0 y 90°, dependiendo de los valores R y C. Si Xc=-1/(wc), entonces la impendancia total es Z=R+jXc y el desplazamiento de fase está dado por:

Esto indica que el corrimiento de fase depende de los valores R, C y de la frecuencia de operación. Puesto que la tensión de salida Vo a través del resistor está en fase con la corriente, Vo se adelanta a Vi como se muestra en la figura 9.a. En la figura 8.b, la salida se ha tomado a través del capacitor. La corriente I se adelanta a l a tensión de entrada Vi en , pero la tensión de salida Vo(t) a través del capacitor se atrasa a la tensión de entrada Vi como se muestra en la figura 9.b.


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Figur a 9. Ondas Vo y Vi desfas adas según el circuito RC utilizado.

Figura 8. Circuitos desfasadores RC para adelanto y atraso.


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