ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES. Definición y propiedades básicas. El espacio vectorial Rn es un conjunto de elementos llamados vectores en los que se definen dos operaciones, la adición y la multiplicación por un escalar. Se sabe que el espacio vectorial Rn es cerrado bajo estas operaciones; las suma de dos vectores en Rn pertenece a Rn y la multiplicación por un escalar en Rn también pertenece a Rn. El espacio vectorial Rn también posee otras propiedades algebraicas. Por ejemplo, se sabe también que los vectores en Rn son conmutativos y asociativos bajo la adición: u+v=v+u u + (v + w) =(u + v) + w

En esta parte se analizan éstas y otras propiedades algebraicas de Rn. Se formula un conjunto de axiomas basados en las propiedades de Rn. Cualquier conjunto que satisfaga estos axiomas poseerá propiedades algebraicas similares a las del espacio vectorial Rn. A dicho conjunto se le dará el nombre de espacio vectorial y a sus elementos el nombre de vectores. La ventaja de este enfoque consiste en el hecho de que los conceptos y los resultados relacionados con el espacio vectorial Rn también se aplican a otros espacios vectoriales.

DEFINICIÓN. Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, cuyas operaciones de adición y multiplicación por un escalar se encuentran definidas en él y satisfacen las siguientes condiciones:

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL. y y Є V, entonces x + y Є V (Cerradura bajo la suma). 1. Si x Є V y y 2. Para todo  x , y, z en V, ( x  x + y) + z = x + ( y  y + z) (Ley asociativa de la suma de vectores) todo x Є V, x V, x + 0 = 0 + x = x 3. Existe un vector 0 Є V tal que para todo x  –  4. Si x Є V, existe un vector –  x en V tal que  x + ( –   x) = 0  –  ( –   x se llama inverso aditivo de  x) 5. Si x y y están en V, entonces  x + y = y + x. (Ley conmutativa de la suma de vectores).

6. Si x Є V y α es un escalar, entonces α x Є V (Cerradura bajo la multiplicación por un escalar). 7. Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α( x  x + y)  y) = α x + α y

(Primer ley distributiva) 8. Si x Є V y α y β son escalares,  x = α x + β x esca lares, entonces (α + β) x (Segunda ley distributiva) esca lares, entonces α(β x) 9. Si x Є V y α y β son escalares,  x) = (αβ) x

(Ley asociativa de la multiplicación por escalares) 10. Para cada vector  x Є V, 1 x = x.

Ejemplo 1.

Espacios vectoriales de matrices. Considere el conjunto de matrices reales de 2 x 2. Denote este conjunto como M 22. En la sección de matrices se definieron las operaciones de adición y multiplicación por un escalar en este conjunto y, de hecho, éste forma un espacio vectorial. Se analizarán algunos axiomas para comprobar esto. Utilizando la notación vectorial para indicar los elementos de M 22, sean

dos matrices de 2 x 2 cualesquiera. Se tiene entonces que:

Axioma 1:

u + v es una matriz de 2 x 2. Por consiguiente, M 22 es cerrada bajo la adición.

Axiomas 2 y 5: De acuerdo al tema anterior de matrices, se sabe que las matrices de 2 x 2 son conmutativas y asociativas bajo la adición.

Axioma 3:

La matriz cero de 2 x 2 es

, puesto que

Axioma 4:

Si

, entonces

ya que

El conjunto de matrices M 22 de 2 x 2 constituye un espacio vectorial. Las propiedades algebraicas de M 22 son similares a las de Rn. Asimismo, se puede concluir que Mmn, el conjunto de matrices de

m x n es un espacio vectorial.

Ejemplo 2.

Espacios vectoriales de funciones. Sea V el conjunto de funciones cuyo dominio está formado por los números reales. Sean f y g elementos cualesquiera de V. Se define la adición de f + g como una función tal que (f + g)( x  x) = f( x  x) + g( x  x) Esta expresión define a f + g como una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales. Para determinar el valor de f + g para cualquier número real  x, se suma el valor de f  en x y el valor de g en  x. Esta operación recibe el nombre de adición de punto por punto. En seguida se definirá la multiplicación por un escalar de los elementos de V. Sea c un escalar cualquiera. La multiplicación escalar de f , cf es la función  x)] (cf)( x) = c[f( x

Esta expresión define a cf como una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales. Para determinar el valor de cf para cualquier número real  x, se multiplica el valor de f en x por c. Esta operación recibe el nombre de multiplicación por un escalar punto por

punto. Para visualizar de forma geométrica esas dos operaciones sobre funciones, considere dos funciones específicas:  x) = x f( x

2  x) = x y g( x

Entonces, f + g es la función definida por 2 (f + g)( x  x) = x + x

La multiplicación de f por un escalar, como por ejemplo 3, es la función 3f definida por (3f)( x) = 3 x Axioma 1: f + g se encuentra encuentra definida por (f + g)( x) = f( x  x) + g( x  x). f + g es una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales. f + g es un elemento de V; por lo tanto, V es cerrada bajo la adición.

Ejemplo 3.

Un espacio vectorial trivial Sea V = {0}. Es decir, V consiste sólo en el número cero. Como 0 + 0 = 1· 0 = 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0 = 0, se ve que V es un espacio vectorial. Con frecuencia se le da el nombre de espacio vectorial trivial.

Ejemplo 4.

Un conjunto que no constituye un espacio vectorial. Sea V = {1}. Es decir, V consiste sólo en el número 1. Éste no es un espacio vectorial ya que no respeta el axioma 1 (el axioma de cerradura bajo la suma). Para visualizar esto, es suficiente con observar que

Este conjunto también viola otros axiomas, sin embargo, con sólo demostrar que viola al menos unos de los diez axiomas queda demostrado que V no es un espacio vectorial.

Ejemplo 5.

El conjunto de puntos en R2 que están en una recta que pasa por el origen constituye un espacio vectorial. Sea V={( x  x, y): y = mx, donde m es un número real fijo y  x es un número arbitrario}. Es decir, V es el conjunto de todos los puntos que están sobre la recta  y = mx que pasa por el origen y tiene pendiente m. Para demostrar que V es un espacio vectorial, es posible comprobar que cumple con cada uno de los axiomas. Axioma 1.  x1, y1) y y = ( x  x2, y2) se encuentran en V. Entonces  y1 = mx1, y2 = mx2 y Suponga que  x = ( x

Por lo tanto se cumple el axioma 1. Axioma 4. Suponga que ( x, y) Є V. Entonces y = mx y -( x  x, y) = -( x, mx) = (- x  x, m(- x  x), de manera que  –   x, y) también pertenece a V y ( x, mx) + (- x  x, m(- x  x)) = ( x  x –  x  x, m( x  x –  x  x)) = 0. ( x 2 Se puede concluir entonces que el conjunto de puntos en R que están sobre una recta que pasa por el origen constituye un espacio vectorial. Ejemplo 6. El conjunto de puntos en R2 que se encuentran sobre una recta que no pasa por el origen no constituye un espacio vectorial. Sea V = {( x, y): y = 2 x + 1, x Є R}. Es decir, V es el conjunto de puntos que están sobre la recta y = 2 x + 1. V no forma un espacio vectorial debido a que no se cumple la propiedad  x2, y2) están en V. de cerradura bajo la suma. Para observa esto, suponga que ( x1, y1) y ( x Entonces,  x1, y1) + ( x  x2, y2) = ( x  x1 + x2, y1 + y2) ( x Si el vector del lado derecho se encontrara en V, se tendría  y1+ y2 = 2( x  x1 + x2) + 1 = 2 x1 + 2 x2 + 1 Pero  y1 = 2 x1 + 1 y  y2 = 2 x2 + 1 de forma que  y1+ y2 = (2 x1 + 1) + (2 x2 + 1) = 2 x1 + 2 x2 + 2 Por lo tanto se concluye que Por ejemplo, (1, 3) y (2, 5) están en V, pero (1, 3) + (2, 5) = (3, 8) no está en V debido a que 2·3 + 1 ≠ 8.

Ejemplo 7. El espacio Rn es un espacio vectorial.

Cada vector en Rn es una matriz de n x 1. Según la definición de matrices de secciones anteriores,  x + y es una matriz de n x 1 si x y y son matrices de n x 1. Haciendo

se ve que los axiomas 2 al 10 se obtienen de la definición de suma de vectores(matrices). 

Los vectores en Rn se pueden escribir indistintamente como vectores renglón o vectores columna.

TEOREMA Sea V un espacio vectorial. Entonces 1. 2. 3. 4.

α0 = 0 para todo escalar α.  x = 0 para todo  x Є V. 0· x Si α x = 0, entonces α = 0 o x o x = 0 (o ambos). (-1) x = - x  x para todo  x Є V.

SUBESPACIO VECTORIAL. Ciertos subconjuntos de espacios espacios vectoriales forman espacios vectoriales ellos mismos. Para motivar los conceptos, observe de nuevo el espacio vectorial Rn. El espacio Rn es un conjunto de vectores en el que se han definido las operaciones de adición y multiplicación por un escalar. Rn es cerrado bajo estas operaciones. Si suma dos vectores en Rn, obtiene un

elemento de Rn. Además, si multiplica un elemento de Rn por un escalar obtiene un elemento de Rn. Por ejemplo, en R3

Considere ahora ciertos subconjuntos de Rn que tienen las mismas características de cerradura. Considere el subconjunto V de R3 que consta de los vectores de la forma (a, a, b). V consta de todos los elementos de R3 que tienen los primeros dos componente iguales. Por ejemplo, (2, 2, 3) y (-1, -, 5) se encuentran en V y (1, 2, 3) no pertenece a V. Observe que si suma dos elementos de V, obtiene un elemento de V y si multiplica un elemento de V por un escalar, obtiene un elemento de V. Sean ( a, a, b) y (c, c, d) elementos de V y sea k un escalar. Así,

en V se definen las operaciones de adición y multiplicación por un escalar. V también es cerrado bajo estas operaciones y posee las características algebraicas del espacio vectorial R3. Por lo tanto, se define como un espacio vectorial contenido en R3. Se llama a dicho espacio vectorial un subespacio del espacio mayor. Definición. Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V. Normalmente se dice que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial “padre” V.

TEOREMA Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura. Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacío es un subespacio 1. Si x Є H y y Є H, entonces x + y Є H 2. Si x Є H, entonces α x Є H para todo escalar α. Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que

 x + y y α x están en H cuando  x y y están en H y α es un escalar.

La anterior prueba contiene un hecho importante que merece la pena ser mencionado: Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0. Esto, con frecuencia, facilitará ver si un subconjunto de V en particular no, es un subespacio de V. Es decir, si un subconjunto no contiene al 0, entonces no es un subespacio. Observe que el vector cero en H, un subespacio de V, es el mismo que el vector cero en V. Ejemplo 1. Sea U el subconjunto de R3 que consta de todos los vectores de la forma ( a, 0, 0) (con ceros en el segundo y tercer componentes). Demuestre que U es un subespacio de R3. Solución: Sean (a, 0, 0) y (b, 0, 0) dos elementos de U y sea k un escalar. Se tiene

La suma y el producto de un escalar pertenecen a U. Por lo tanto, U es un subespacio de R3. Desde el punto de vista geométrico, U es el conjunto de vectores que se encuentran en el eje x. Observe que la suma de los vectores se encuentra en el eje  x y también la multiplicación por un escalar de cualquiera de estos vectores. Ejemplo 2. Sea W el conjunto de vectores de la forma ( a, a2, b). Demuestre que W no es un subespacio de R3. Solución: W consta de todos los elementos de R3 en los que la segunda componente es el cuadrado de la primera. Así, por ejemplo, el vector (2, 4, 3) se encuentra en W, mientras que el vector (2, 5, 3) no. Sean (a, a2, b) y (c, c 2, d) elementos de W. Se obtiene

Por consiguiente, ( a, a2, b) + (c, c2, d) no es un elemento de W. W no se encuentra cerrado bajo la adición. W no es un subespacio. Ejemplo 3. El subespacio trivial. Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto { 0} que consiste en el vector cero nada más, es un subespacio ya que 0 + 0 = 0 y α0 = 0 para todo número real α. Esto se conoce como el subespacio trivial.

Ejemplo 4. Un espacio vectorial es un subespacio de sí mismo. Para cada espacio vectorial V, V es un subespacio de sí mismo.

Subespacios propios. Los dos últimos ejemplos anteriores muestran que todo espacio vectorial V contiene dos subespacios, { 0} y V (que coinciden si V = { 0}). Es más atractivo y retante localizar otros subespacios diferentes. Los subespacios distintos a { 0} y V se designarán como subespacios propios. También cabe aclarar que no todo espacio vectorial tiene subespacios propios. Ejemplo 5. Demuestre que el conjunto U de matrices diagonales de 2 x 2 es un subespacio propio del espacio vectorial M 22 de matrices de 2 x 2. Solución: Se debe demostrar que U es cerrado bajo la adición y la multiplicación por un escalar. Considere los dos elementos de U siguientes.

Se tiene que

Observe que u + v es una matriz diagonal de 2 x 2 y, por lo tanto, un elemento de U. U es cerrado bajo la adición. Ahora sea c un escalar. Se tiene entonces que

cu es una matriz diagonal de 2 x 2. Así, U es cerrado bajo la multiplicación por un escalar. U es un subespacio propio de M 22. Ejemplo 6. Sea W el conjunto de vectores de la forma (a, a, a + 2).Demuestre que W no es un subespacio de R3. Solución: Verificar si (0, 0, 0) se encuentra en W. ¿Existe algún valor de a para el cual ( a, a, a + 2) sea igual a (0, 0, 0)? Se iguala ( a, a, a + 2) con (0, 0, 0) y entonces se tiene:

(a, a, a + 2) = (0, 0, 0) Al igualar los componentes correspondientes se tiene que a=2 y a+2=0 Este sistema de ecuaciones no tiene solución. De esta manera, (0, 0, 0) no es un elemento de W. W no es un subespacio.

COMBINACIÓN LINEAL. En secciones anteriores se ha probado que todo vector v = (a, b, c) en R3 se puede escribir en la forma

v = ai + b j +c k Debido a esto, se dice que el vector v es una combinación lineal de los tres vectores i, j, k. Por lo tanto, de forma más general, podemos definir lo siguiente:

DEFINICIÓN. Combinación lineal. Sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma a1v1 + a2v2 + … + anvn

donde a1, a2, …, an son escalares, se llama una combinación lineal de v1, v2, …, vn. Ejemplo 1. El vector (5, 4, 2) es una combinación lineal de los vectores (1, 2, 0), (3, 1, 4) y (1, 0, 3), ya que se puede expresar de la manera siguiente: (5, 4, 2) = (1, 2, 0) + 2(3, 1, 4) – 2(1, 0, 3) El problema de determinar si un vector es una combinación lineal de otros vectores se convierte en resolver un sistema de ecuaciones. Ejemplo 2. Exprese el vector (4, 4, 5) como una combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (  – 1, 1, 1, 4) y (3, 3, 2). Solución: Analice la siguiente identidad para los valores

a1, a2, y a3.

1, 1, 4) + a3(3, 3, 2) = (4, 5, 5) a1(1, 2, 3) + a2( –   – 1,

Se tiene que (a1, 2a1, 3a1) + ( –   – a2,a2, 4a2) + (3a3, 3a3, 2a3) = (4, 5, 5) (a1 – a2 + 3a3, 2a1 + a2 + 3a3, 3a1 + 4a2 + 2a3) = (4, 5, 5) Al igualar los componentes se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: a1 – a2 + 3a3 = 4 2a1 + a2 + 3a3 = 5 3a1 + 4a2 + 2a3 = 5

Este sistema de ecuaciones tiene muchas soluciones, 2r + 3, a2 = r – 1, a1 = – 2r

a3 = r

Por lo tanto, el vector (4, 5, 5) se puede expresar de muchas formas como una combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), ( – 1, 1, 1, 4) y (3, 3, 2),  – 2r  – 1, (4, 5, 5) = ( –  2r + 3) (1, 2, 3) + (r  – 1) ( –  1, 1, 4) + r(3, 3, 2)

Por ejemplo, si r = 3, entonces, (4, 5, 5) = – 3(1, 3(1, 2, 3) + 2( – 1, 1, 1, 4) + 3(3, 3, 2) Ejemplo 3. Determine si la matriz

2 x 2.

es una combinación lineal de las matrices en el espacio vectorial M 22 de las matrices de

Solución: Analice la siguiente identidad

¿Pueden encontrase escalares a1, a2, y a3 para los cuales se cumpla esa identidad? Al aplicar las operaciones de adición y multiplicación por un escalar de matrices, se obtiene

Al igualar los elementos correspondientes, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, a1 + 2a2 = – 1  – 3a2 + a3 = 7 2a1 + 2a3 = 8 = – 1 a1 + 2a2

Se puede demostrar que este sistema tiene una solución única, a1 = 3, a2 = – 2 y a3 = 1. La matriz dada es, por lo tanto, la siguiente combinación lineal de las otras tres matrices,

Ejemplo 4. Combinaciones lineales de polinomios. Todo polinomio de grado n se puede escribir como una combinación lineal de los 2 n “monomios” 1, x, x , …, x .

Conjunto generador. Definición. Se dice que los vectores v1, v2, …, vn en un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal ellos. Es decir, para todo v Є V, existen escalares a1, a2, …, an tales que v = a1v1 + a2v2 + … + anvn

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. Sean v1, v2, …, vn, n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c 1, c2, …, cn no todos cero tales que c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0 Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes. Teorema Dos vectores v1 y v2 en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y sólo si uno es un múltiplo escalar del otro.

Ejemplo 1. Dos vectores linealmente dependientes en R3. Combinación lineal en R3

El vector

es una combinación lineal de los vectores

puesto que

Ejemplo 2.

Determine si los vectores independientes.

son linealmente dependientes o

Solución: La ecuación

conduce al siguiente sistema homogéneo c1 + 3c2 + 11c3 = 0  – 3 c1  –  6c3 = 0 4c2 + 12c3 = 0

Escribiendo el siguiente sistema en la forma de matriz aumentada y reduciendo por renglones, se obtiene

Es evidente que esto nos conduce a deducir que dicho sistema tiene un número infinito de soluciones. Si consideramos c 3 = 1, se tiene c2 = – 3 y c1 = – 2, 2, de manera que

Los vectores son linealmente dependientes.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INDEPENDENCIA LINEAL EN R3. Suponga que se tienen tres vectores u, v y w linealmente independientes en R3, entonces existen constantes c 1, c2 y c3, no todas cero, tales que c1u + c2v + c3w = 0 Suponga ahora que c 3 ≠ 0 (un resultado similar se cumple si c 1 ≠ 0 o c2 ≠ 0). Entonces se pueden dividir ambos lados de la expresión anterior entre c 3 y reordenar los términos para obtener

donde A = – c1 /c3 y B = – c2 /c3. Ahora se calcula lo siguiente:

debido a que u y v son ambos ortogonales a u x v. Ahora sea n = u x v. Si ocurre que n = 0, entonces u y v son paralelos (y colineales). De esta forma, u, v y w están en cualquier plano que contiene tanto a u como a v y por lo tanto son coplanares. Si n ≠ 0, entonces u y v están en el plano que consiste en aquellos vectores que pasan por el origen que son ortogonales a n. Pero w está en el mismo plano porque w · n = w · (u x v) = 0. Esto muestra que u, v, y w son coplanares. Por lo que, si u, v y w son coplanares, entonces son linealmente independientes. Se concluye que Tres vectores en R3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares.

Figura 1. Estos tres vectores son independientes y no coplanares.

Figura 2. Estos tres vectores son dependientes y coplanares.

BASES Y DIMENSIÓN.

Se dice que una recta tiene una dimensión y que un plano tiene dos dimensiones. En esta sección se dará la definición matemática de dimensión a partir de los conceptos de conjunto generador e independencia lineal. BASE Un conjunto finito de vectores ( v1, v2, …, vn) es una base para un espacio vectorial V si 1. { v1, v2, …, vn } es linealmente independiente. 2. { v1, v2, …, vn } genera V. DEFINICIÓN El conjunto de n vectores e que se define como

es una base para Rn. Esta base recibe el nombre de base canónica para Rn. Ejemplo 1. Demuestre que el conjunto {(1, 0,  – 1), 1), (1, 1, 1), (1, 2, 4)} es una base para R3. Solución: 3  x1, x2, x3) un elemento cualquiera de R , se buscan escalares a1, a2 y a3, tales que Sea ( x  x1, x2, x3) = a1(1, 0, – 1) ( x 1) + a2(1, 1, 1) + a3(1, 2, 4) Esta igualdad lleva al siguiente sistema de ecuaciones a1 + a2 + a3 = x1 a2 + 2a3 = x2  – a1 + a2 + 4a3 = x3

Este sistema de ecuaciones tiene la solución a1 = 2 x1 – 3 x2 + x3, a2 = – 2 x1 + 5 x2 – 2 x3 , a3 = x1 – 2 x2 + x3

Así, el conjunto genera el espacio. Ahora se demuestra que el conjunto es linealmente independiente. Considere la siguiente

igualdad b1(1, 0, – 1) 1) + b2(1, 1, 1) + b3(1, 2, 4) = (0, 0, 0) Esto da como resultado el siguiente sistema de ecuaciones b1 + b2 + b3 = 0 b2 + 2b3 = 0  – b1 + b2 + 4b3 = 0

Este sistema tiene una solución única, b1 = 0, b2 = 0 y b3 = 0. Por lo tanto, el conjunto es linealmente independiente. Se ha demostrado que el conjunto {(1, 0,  – 1), 1), (1, 1, 1), (1, 2, 4)} genera a R3 y es linealmente independiente. Por lo tanto, es una base para R3. Teorema Si {v1, v2, …, vn} es una base para V y si v Є V, entonces existe un conjunto único de escalares c 1, c2, …, cn tales que c1v1 + c2v2 + … + cnvn Teorema Si {u1, u2, …, um} y {v1, v2, …, vn} son bases para un espacio vectorial V, entonces m = n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo número de vectores. DIMENSIÓN Definición. Si un espacio vectorial V tiene una base que consta de n vectores, entonces la dimensión de V es n, que se denota como dim(V). El conjunto de n vectores

constituye una base (la base canónica) de Rn. Por lo que la dimensión de Rn es n. dimRn = n Note que se ha definido una base para un espacio vectorial como un conjunto finito de vectores que genera el espacio y es linealmente independiente. Dicho conjunto no existe

para todos los espacios vectoriales. Cuando este conjunto finito existe, se dice que el espacio vectorial es de dimensión finita. Si el conjunto no existe, se dice que el espacio vectorial es de dimensión infinita.

Ejemplo 1.

La dimensión de Mmn En Mmn sea Aij la matriz de m x n con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es sencillo demostrar que las matrices A ij para i = 1, 2, …, m y j = 1, 2, …, n forman una base para Mmn. Así dim(Mmn) = mn. Ejemplo 2. Considere el conjunto {(1, 2, 3), ( – 2, 2, 4, 1)} de vectores en R3. Estos vectores generan un subespacio V de R3 que consta de todos los vectores de la forma  – 2, v = c1(1, 2, 3) + c2( –  2, 4, 1)

Los vectores (1, 2, 3) y ( – 2, 2, 4, 1) generan este subespacio. Además, ya que el segundo vector no es múltiplo escalar del primer, los vectores son linealmente independientes. Por consiguiente, {(1, 2, 3), ( – 2, 2, 4, 1)} constituye una base para V. Por lo tanto, dim(V) = 2 Se sabe que V es, de hecho, un plano que pasa por origen. TEOREMA 1. El origen es un subespacio de R3. La dimensión de este subespacio es cero. 2. Los subespacios de una dimensión en R3 son rectas que pasan por el origen. 3. Los subespacios de dos dimensiones de R3 son planos que pasan por el origen. TEOREMA Cualesquiera n vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V de dimensión n constituyen una base para V. Ejemplo 1. Considere el espacio vectorial M22 de matrices de 2 x 2. Las matrices

Generan M22 y son linealmente independientes. Por consiguiente, constituyen una base para M22. La dimensión del espacio vectorial M 22 es 4. Asimismo, la dimensión del espacio vectorial M mn es mn.

Ejemplo 2 2

Considere el espacio vectorial de polinomios de grado ≤ 2, P2. Las funciones  x , x y 1 generan P 2 ya que cualquier polinomio ax2 + bx + c se puede expresar de la siguiente

manera:

2

ax

2 + bx + c = a( x  x ) + b(x) + c(1)

2

 x , x y 1 son linealmente independientes ya que 2

ax

+ bx + c = 0

{ x2, x, 1} constituye, por lo tanto, una base para P 2. La dimensión del espacio vectorial P 2 x, 1} es una base para P n, cuya dimensión es 3. De la misma forma, el conjunto { xn, xn-1 es n + 1. Esta base recibe el nombre de base canónica para P n.  ,…,

Ejemplo 3 Determine (con una breve explicación) si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos. 1. Los vectores (1, 2), (1,  – 3) 3) y (5, 2) son linealmente dependientes en R2. 2. Los vectores (1, 0, 0), (0, 2, 0) y (1, 2, 0) generan a R3. 3. {(1, 0, 2), (0, 1,  – 3) 3) constituye una base para el subespacio de R3 que consta de los vectores (a, b, 2a – 3b). 4. Cualquier conjunto de dos vectores se puede utilizar para generar un subespacio de dos dimensiones de R3. Solución: 1. Verdadero: la dimensión de R2 es dos. Por consiguiente, tres vectores cualesquiera son linealmente independientes. 2. Falso: los tres vectores son linealmente dependientes. Por lo tanto, no pueden generar un espacio de tres dimensiones. 3. Verdadero: los vectores generan el subespacio, ya que (a, b, 2a – 3b) = a(1, 0, 2) + b(0, 1,  – 3) 3) Los vectores también son linealmente independientes porque no son colineales. 1. Falso: los dos vectores deben ser linealmente independientes.

Ejemplo 4.

Una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo. Encuentre una base (y la dimensión) para el espacio de solución S del sistema homogéneo x + 2y – z = 0 2x – y + 3z = 0 Solución:

Aquí . Como A es una matriz de 2 x 3, S es un subespacio de R3. Reduciendo por renglones, se encuentra, sucesivamente,

Entonces  y = z y x = –  z, de manera que todas las soluciones son de la forma

Así, es una base para S y dim (S) = 1. Observe que S es el conjunto de vectores que están en la recta  x = – t,t, y = t y z = t.

BASES ORTOGONALES Y ORTONORMALES. En Rn se vio que n vectores linealmente independientes constituyen una base. La de uso más común es la base canónica E = { e1, e2, …, en}. Estos vectores tienen dos propiedades: 1. ei · e j = 0 2. ei · ei = 1

si i ≠ j

DEFINICIÓN. Conjunto ortonormal en Rn. Se dice que un conjunto de vectores S = { u1, u2, …, uk} en Rn es un conjunto ortonormal si (1) ui · u j = 0 si i ≠ j (2) ui · ui = 1 Si sólo se satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal. Ejemplo 1. Demuestre que el conjunto conjunto ortonormal. Solución: Primero se demuestra que cada para de vectores del conjunto es ortogonal.

es un

Así, los vectores son mutuamente ortogonales. Resta mostrar que cada vector es unitario. Se tiene que

TEOREMA Si S = {v1, v2, …, vk} es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente.

TRANSFORMACIÓN LINEAL Antes de entrar a la definición de una transformación lineal se muestran el siguiente ejemplo. Ejemplo 1. Reflexión respecto al eje  x.

En R2 se define una función T mediante la fórmula toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x.

. Geométricamente, Geométricament e, T

Fig 3. El vector (x, -y) es la reflexión respecto al eje x del vector (x, y)

Definición Transformación lineal. Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v Є V un vector único Tv Є W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar α, T(u + v) = Tu + Tv y T(αv) = αTv

Notas sobre la notación. 1. Se escribe T:V→W para indicar que T toma el espacio vectorial V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen. 2. Se escriben indistintamente T v y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.

Ejemplo 1 Una transformación lineal de R2 en R3. Sea T: R2→R3 definida por

Por ejemplo

. Entonces

Pero

Así 

De manera similar

Así, T es una transformación lineal.

Ejemplo 2. Transformación de reflexión. Sea T: R2→R2 definida por

Es sencillo verificar que T es lineal. Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje y.

I.Q. MGTVE

Combinación Lineal y dependencia lineal Combinación Lineal

Un vector w se denomina combinación lineal de los vectores v1, v2,……….vn Si se puede expresar de la forma W = k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 +……………….+ kn vn donde k1 , k2 k3 ……… kn son escalares. Este conjunto de vectores se denota como gen S ó gen ={ v 1 , v2 ,v3 …. vn } Ejemplo 1.-Todo vector v={a, b, c } en R 3 se puede expresar como una combinación de los vectores estándar básicos i=(1,0,0) , j=(0,1,0) , k=(0,0,1) v= (a, b, c) = a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1) = ai + bj +ck 2.- Considerar los vectores u=(1,2,-1), y v=(6,4,2) en R 3. Demostrar que w=(9,2,7) es una combinación lineal de u y v, y que w=(4,-1,8) no lo es.

Hay que encontrar los escalares que satisfacen la ecuación siguiente: W= k1 u + k2 v

1. (9,2,7)= k 1 (1,2,-1) + k 2 (6,4,2)

(9,2,7)= (1 k1, 2 k1,-1k1) + (6 k2 ,4 k2 ,2 k2 ) Igualando

9= k1 +6k2 2= 2k1 +4k2 7 = -k1 +2k2 Resolviendo el sistema k 1 = -3 k2 = 2 La respuesta es: W= -3 u +3 v (4,-1,8)= k 1 (1,2,-1) + k 2 (6,4,2)

(4,-1,8)= (1 k 1, 2 k1,-1k1) + (6 k2 ,4 k2 ,2 k2 ) Igualando

4= k1 +6k2 -1= 2k1 +4k2 8= -k1 +2k2

1. Resolviendo el sistema se llega a la conclusión que es inconsistente, por lo tanto no es combinación lineal. Ejercicio 1.-Determinar si el vector v pertenece a gen = { v 1 v2,v3} donde V1=(1,0.0,1) v2=(1,-1,0.0) v3=(0,1,2,2)

1. 2. 3. 4.

V=(-1,4,2,2) V =(1,2,01) V=(-1,1,4,3) V=(0.1.10)

2.- Cual de los siguientes vectores son combinación lineales de

1. Resolviendo el sistema se llega a la conclusión que es inconsistente, por lo tanto no es combinación lineal. Ejercicio 1.-Determinar si el vector v pertenece a gen = { v 1 v2,v3} donde V1=(1,0.0,1) v2=(1,-1,0.0) v3=(0,1,2,2)

1. 2. 3. 4.

V=(-1,4,2,2) V =(1,2,01) V=(-1,1,4,3) V=(0.1.10)

2.- Cual de los siguientes vectores son combinación lineales de

Independencia Lineal. Los vectores v1, v2, …..vn de un espacio vectorial son linealmente dependientes si existen constantes c1, c2,……..cn no todas iguales a cero que satisfagan la siguiente expresión (son dependientes si aparte del cero hay otras respuestas, se recuerda que el sistema de ecuaciones generado en esta ocasión es homogéneo): C1 v1 + c 2v2+……cn vn =0 En caso contrario se dice que v1, v2, …..vn son linealmente independientes. Es decir que se debe cumplir la ecuación anterior y los valores de c1 = c2=…….=.cn=0 =0.. La única posibilidad de combinación lineal de ellos es que sean iguales a cero. Ejemplo: Determinar si los vectores (-1,1,0,0) y (-2,0,1,1) son linealmente independientes entre si. Formando la ecuación C1 (-1,1,0,0) + c 2 (-2,0,1,1)=(0,0,0,0) -c1 -2c2 =0 C1+ 0c2 =0 C2=0 C2=0 La única solución de este sistema es c 1 = c2=0 Otro método para resolver este tipo de ejercicios es el siguiente: Cada vector es una fila de una matriz a la cual se le escalonará por eliminación gaussiana. Retomando el ejemplo anterior

-2f 1 +f 2 → f 2

Se puede llegar a la conclusión que son linealmente independientes, ya que se pudo escalonar la matriz. De caso contrario que una de las filas de la matriz se anulara la conclusión sería dependencia lineal. 2.- Considerando los vectores p1 (t)= t2 + t + 2 p2 (t)= 2t2 + t p3 (t)= 3t2 + 2t + 2 son linealmente independientes o no

Como se anuló la tercera fila esto indica dependencia lineal entre los vectores.

Nota: este espacio vectorial se refiere a polinomios de segundo orden, donde se deben agrupar por el grado, es decir lineales con lineales, independientes con independientes y los elementos que no encuentran presentes se les deben colocar cero (0).

Problemas resueltos de vectores 1 Expresa el vector = (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: = (1, 1, 0) y = (0, 1, 1).

= (1, 0, 1),

Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuación obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.

Por sustitución:

Por reducción:

Gráficamente:

1 Por sustitución:

Por igualación:

Por reducción:

Gráficamente:

INTEGRALES POR EL METODO 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Integración por sustitución En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se conoce como integración por sustitución. Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios realice la integral que se indica:

S o l u c i o n e s 1. Solución:

2. Solución:

3. Solución:

4. Solución:

5. Solución:

6. Solución:

7. Solución:

8. Solución:

9. Solución:

10. Solución:

11. Solución:

12. Solución:

13. Solución:

14. Solución:

15. Solución:

16. Solución:

17. Solución:

18. Solución:

19. Solución: