TASA EFECTIVA, TASA NOMINAL Y TASAS EQUIVALENTES
1.- Definiciones
Tasa efectiva: es la que actúa sobre el capital generando intereses. Si se
dice, por ejemplo, que a un capital se le aplica el 3% mensual, Ésta tasa
es efectiva. Hasta el momento siempre se ha trabajado con tasa efectiva.
Tasa nominal: en contraposición a efectiva, es una tasa de referencia o
base y no es la que real y directamente se aplica al capital. Por ejemplo,
si una operación se conviene al 12% capitalizable semestralmente, el 12% es
una tasa nominal porque al haber capitalizaciones dentro del año, la tasa
efectivamente ganada en el año es superior (ya que dentro del año se
ganaron intereses sobre intereses).
Entre la tasa nominal y efectiva existen relaciones que deduciremos más
adelante. Sin embargo, es necesario plantear aquí una primera relación
convencional que enunciaremos como REGLA N° 1:
"La tasa efectiva para un subperíodo del año se encuentra dividiendo la
tasa nominal (anual) por el número de capitalizaciones dentro del año".
i subperíodo =
donde: j = tasa nominal
m = N° de capitalizaciones
En la ilustración anterior: j =0,12 y m= 2. Luego:
i semestral= 0,06 = 6% semestral
Ilustremos los conceptos anteriores con un ejemplo.
Ejercicio 1:
Se depositan $ 200 al 12% con capitalización semestral.
a) Determine el monto acumulado al cabo de 1 año.
b) Determine el interés ganado
c) Determine la tasa de interés efectiva
R: a) C = 200
j = 0,12
m = 2
i = = 0,06 semestral
n = semestres
El monto retirado al cabo de 2 semestres se encuentra con la fórmula base
del interés compuesto M = C(1+i)n.
M = 200 (1+0,06 )2 = $ 224,72
b) El interés ganado en el año es M - C. Luego:
I = 224,72 – 200 = $ 24,72
d) La tasa de interés efectivamente ganada en el año es el cuociente entre
el interés ganado y el capital depositado, esto es:
C
i = = 0,1236 = 12,36%
Como se observa, la tasa efectivamente ganada: 12,36%, es superior a la
tasa nominal 12%.
Supongamos que Ud. dispone de un capital de $ 200 y se le ofrecieron las
dos alternativas ya explicadas:
a) 12% con capitalización semestral o, b) 12,36% anual (o capitalización
anual). ¿Cuál elegiría y por qué?.
Indudablemente que le daría lo mismo. Estará indiferente porque en ambos
casos obtendrá una ganancia de $ 12,36 por concepto de interés o, en ambos
casos, retirará $ 224,72 al completar un año
En suma, ambas tasas son equivalentes.
Tasas equivalentes: son aquellas que en condiciones diferentes producen un
mismo efecto o resultado (interés efectivo o monto acumulado).
En el ejemplo 1) la tasa nominal del 12% con capitalización semestral es
equivalente al 12,36% efectivo anual.
En símbolos: j2 = 0,12 es equivalente a i = 0,1236.
El monto o valor futuro se puede encontrar en función de la tasa nominal a
través de la siguiente fórmula, la cual no requiere mayor explicación.
(12)
donde
m = N° de capitalización en el año
n = N° de años
mxn= N° de períodos de capitalización.
Ejercicio 2:
Un capital de $ 300 se deposita durante 3 años al 12% con capitalización
semestral. Determine el monto acumulado.
R : C = 300
n = 3 años
m = 2
j = 0,12
M = ?
Ejercicio 3:
Encuentre el monto acumulado del capital del ejemplo 2) utilizando la tasa
efectiva.
R: C = 300
i = = 0,06 semestral
n = 6 semestres
2.- Tasa efectiva y nominal equivalentes
De acuerdo a las definiciones y a las ilustraciones anteriores, es evidente
que el monto se puede determinar indistintamente, en función de la tasa
nominal "j" o de la tasa efectiva "i". Este será el nexo que nos permitirá
encontrar la relación matemática entre ambas tasas.
Los montos respectivos en función de la tasa efectiva y de la tasa nominal,
son los siguientes:
M = C(1+I)n
Como ya vimos, cuando las tasas son equivalentes producen un mismo monto.
Por lo tanto, podemos igualar ambos montos, de la siguiente forma:
C(1+i)n =
simplificando por C y extrayendo raíz enésima, se tiene:
(1-i) = (1+)m
(13)
Esta fórmula sirve para encontrar la tasa de interés efectiva "i",
equivalente a una tasa nominal "j" con "m" capitalizaciones (jm).
Ejercicio 4:
¿Cuál es la tasa de interés efectiva equivalente al 12% con capitalización
semestral?.
R: i=
Debiera estar claro a esta altura, que cuando se habla de una tasa con
capitalización, se trata de una tasa nominal.
De la fórmula (13) se puede deducir aquélla que sirva para determinar la
tasa nominal "j" con "m" capitalizaciones equivalente a una tasa efectiva
i.
(14)
Ejercicio 5:
Encuentre la tasa nominal con capitalización semestral equivalente a la
tasa efectiva del 12,36%.
R:
La fórmula (13) se puede deducir también siguiendo el siguiente
razonamiento:
$ 1 a la tasa de interés efectiva i, se transforma en un monto igual a 1+i.
$ 1 a la tasa de interés nominal j con m capitalizaciones se transforma en
un monto igual a (1+)m
Las tasas i y j son equivalentes si igualamos los montos obtenidos al cabo
de un año.
Luego:
1+i = , expresión igual a la fórmula 13.
La deducción anterior se ilustrará con números arbitrariamente elegidos.
$ 1 al 12,36% efectivo se transforma en un monto igual a:
1+0,1236 = $ 1,1236.
$1 al 12% con capitalización semestral se transforma en un monto igual a:
En consecuencia, el 12,36% efectivo es equivalente al 12% con
capitalización semestral, porque ambas originan el mismo interés anual
($0,1236) o el mismo monto ($1,1236).
De lo expuesto anteriormente se desprende que si no se producen
capitalizaciones dentro del año, la tasa es efectiva y es equivalente a la
tasa nominal con capitalización anual
3.- Tasa nominal anual y tasa efectiva para un subperíodo del año.
La relación entre la tasa de interés nominal y la tasa de interés efectiva
para un subperíodo del año descrita al comienzo de esta sección (Regla N°
1) será ilustrada con los siguientes ejercicios:
Ejercicio 6:
Dada la tasa nominal j=0,24, determine la tasa a) efectiva mensual; b)
efectiva trimestral y c) efectiva semestral.
R: i = = 0,02 = 2% mensual
i = = 0,06 = 6% trimestral
i = = 0,12 = 12% semestral
Ejercicio 7:
a) Si la tasa efectiva mensual es 3%, encuentre la tasa nominal, b) Si la
tasa efectiva semestral es 4%, encuentre la tasa nominal.
R . a) j12 = 0,03 x 12 = 0,36 = 36%
b) j2 = 0,04 x 2 = 0,08 = 8%
4.- Tasa efectiva anual y tasa efectiva para un subperíodo del año.
Efectuando un simple cambio aritmético en la fórmula 14, se
Como tasa de interés efectiva de un subperíodo del año, de la
expresión anterior se deduce la siguiente:
Regla N° 2
"Para obtener la tasa efectiva de un subperíodo del año, a partir de la
tasa efectiva anual sume 1 a ésta, extraiga raíz enésima y al resultado
réstele 1".
Ejercicio 8:
Si la tasa efectiva es 10,25% encuentre: a) la tasa efectiva semestral, b)
la tasa efectiva trimestral y c) la tasa efectiva mensual.
R. a) = 0,05 = 5% semestral
b) = 0,0247 = 2,469% trimestral
c) = 0,0082 = 0,816% mensual
Efectuando el proceso aritmético inverso se tiene la:
Regla N° 3:
"Para obtener la tasa efectiva anual a partir de la tasa efectiva de un
subperíodo, sume 1 a ésta, eleve el resultado a m y réstele 1".
Ejercicio 9:
a) Si la tasa efectiva semestral es 5% determine la tasa efectiva anual, b)
Si la tasa efectiva trimestral es 2,469%, determine la tasa efectiva anual
y c) Si la tasa efectiva mensual es 0,816%, determine la tasa efectiva
anual.
R: a) i = (1+0,05)2 – 1 = 0,1025 = 10,25%
b) i = (1+0,0247)4 – 1 = 0,1025 = 12,25%
c) i = (1+0,00816)12 – 1= 0,1025 = 10,25%
-----------------------
M =300425,55
M= 300 (1+0,06)6 = 425,55
