ECUACIONES DIOFANTICAS LINEALES Si a, b y c son enteros y
ab ≠ 0 , toda ecuación lineal de la forma
ax + by = c ,
Donde los alores de ! e y est"n restrin#idos al con$unto de los enteros, se dice una ecuación diof"ntica lineal en dos ariables% En #eneral cual&uier ecuación 'olinómica en arias ariables !, y, (,) con coeficientes enteros se dice una ecuación diof"ntica si los alores de las ariables est"n restrin#idos al con$unto de los enteros% El matem"tico #rie#o Diofanto fue el 'rimero en estudiar tales ecuaciones e!tensiamente% En esta sección ser" discutido el uso del al#oritmo de Euclides en la solución de la ecuación diof"ntica lineal en dos ariables% Consideremos la ecuación diof"ntica lineal Sea a =27 y
11 x + 27 y =4,
b =11 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides, 27 =2 × 11+ 5 11= 2 × 5+ 1.
*
5=5 × 1+ 0
+or lo tanto - y .. son relatiamente 'rimos% +or el teorema %/%. es 'osible escribir . como una función lineal 0omo#1nea de - y ..2 5=27 +(−2 ) × 11
* 1=11+ (−2 ) × 5 =( 5 ) × 11+ (− 2 ) × 27
Como 11 × ( 5 ) + 27 × (−2 ) =1, entonces 11 × ( 20 ) + 27 × (−8 )= 4.
De a&u3 &ue una solución 'articular de la ecuación diof"ntica lineal
11 x + 27 y =4,
ecuaciones x =20
y
y =−8
Notar &ue e!isten otras soluciones% +or e$em'lo, x =−34
y
y =14
x =−7
y
y =3
x =47
y
y =−19
Una solución #eneral de la ecuación diof"ntica lineal es dada 'or las ecuaciones x =20 + 27 t
Donde t es un entero, ya &ue 11.( 20 + 27 t )+ 27. (−8−11 t )= 4
y
y =−8 −11 t
est" dada 'or las
E!isten E!isten ecuaciones ecuaciones diof"nticas diof"nticas lineales lineales sin solución% solución% +or e$em'lo, e$em'lo, si no e!iste una solución entera ya &ue x e y %
2 x + 4 y
2 x + 4 y =7
, es eidente &ue
es un entero 'ar 'ara todos los alores 'osibles 'osibles de
El teore teorema ma si#ui si#uien ente te estab estable lece ce una una condi condici ción ón neces necesari aria a y sufi sufici cien ente te 'ara 'ara &ue &ue una una ecua ecuaci ción ón diof"ntica lineal ten#a solución% Teorema %4%.2 La ecuación diof"ntica lineal
ax +by = c tiene solución si y solo si
g|c , donde
g= ( a , b ) .
Demostración2 g=( a , b ) . E!isten enteros
Sea '
a ’ y
b ’ tales &ue
a =ga ’ y
b =g b ’ . As3,
'
g a x + g b y =c , g ( a x + b y ) =c . '
'
Si e!iste una solución de esta ecuación, entonces de la ecuación% 5ec3'rocamente, si
g|c ya &ue # es un factor del miembro i(&uierdo
g|c , entonces e!iste e!iste un entero
c ´ tal &ue
c = gc ’ % +or el teorema %/%.,
e!isten enteros x ´ e y ´ tales &ue '
'
a x +b y = g .
Entonces, multi'licando ambos miembros de esta ecuación 'or c6, '
'
a x c ' + b y c ' = g c ' . a ( x c ' ) + b ( y c ' ) =c . '
'
a ( x 0 ) + b ( y 0 ) =c .
Donde
x 0
e
y 0
solución 'articular
son enteros% De a&u3 &ue la ecuación diof"ntica lineal x 0
e
ax + by = c tiene una
y 0 .
El teorema %4% establece condiciones sobre la solución #eneral de una ecuación lineal diof"ntica en dos ariables% Teorema %4%%2 Si
g=( a ,b ) , g|c , y x 0 e y 0
es una solución 'articular de la ecuación diof"ntica lineal
ax + by = c , ( 2.6.1 )
Entonces toda solución x e y est" dada 'or las ecuaciones b a x = x 0+ t y y = y 0− t , ( 2.6.2) g g
Donde
t es un entero%
Demostración2
+robaremos 'rimero &ue las e!'resiones dadas 'ara ! e y en el enunciado 7%4%8 re'resentan soluciones de la ecuación diof"ntica lineal% +or sustitución,
(
) (
b a x 0 + t g
*a &ue
a g
)
+ b y 0− t =a x 0 +b y 0= c
x 0
e
y 0
es una solución 'articular de la ecuación 7%4%.8% De a&u3 &ue la ecuación
7%4%.8 es satisfec0a% Sean a0ora x e y cual&uier solución de la ecuación 7%4%.8% Entonces ax + by = c
y
a x 0+ b y 0 = c
+or sustitución
ax + by = a x 0 + b y 0 ,
ax − a x 0= b y 0−by , a ( x x − x 0 )= b ( y 0− y ) , a b x x − x 0 )= ( y 0− y ) ( g g
+or el teorema %9%, si
|
g=( a , b ) , entonces
( )= a a , g g
1.
De a&u3 &ue, 'or el teorema %9%9,
|
b a x − x 0 ) y ( y 0 − y ) ( g g
Si#ue &ue b a x − x 0= t y y 0− y = t ; g g
Esto es, b a x = x 0+ t y y = y 0− t g g
Donde t es un entero% Notar &ue una solución 'articular de la ecuación diof"ntica lineal no sólo 'uede ser obtenida 'or el al#oritmo de Euclides, sino tambi1n 'or ensayo y error% En ambos casos el teorema %4% 'uede ser usado 'ara obtener la solución #eneral% E$em'lo . Determinar la solución #eneral de la ecuación diof"ntica lineal 14 x + 22 y =50
Solución2
x 0=2 Como 28 + 22=50 , se des'rende &ue e
ecuación diof"ntica dada% A0ora,
re'resentan una solución 'articular de la
g=( 14,22 )= 2, a=14, y b=22. DE a&u3 &ue 'or el teorema %4%, la
solución #eneral de la ecuación diof"ntica lineal x =2 + 11 t y y =1 −7 t ,
y 0=1
14 x + 22 y =50
est" dada 'or las ecuaciones
Donde t es un entero% E$em'lo 2 Determinar una solución 'articular de la ecuación diof"ntica lineal 39 x + 26 y =105
Solución2
(39,26 )=13
Como
39 x + 26 y =105
y
13 ∤ 105
, 'or 'or
el teorema rema %4%.
la
ecuación
diof" of"nti ntica
lineal
no tiene solución%
E$em'lo /% Determinar las soluciones enteras y 'ositias de la ecuación 18 x + 5 y = 48
Solución2
Sean a =18 y b =5 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 18=3 × 5 + 3, 5=1 × 3 + 2,
3=1 × 2 + 1, 2=2 × 1
As3,
(18,5 )=1. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% . 'uede escribirse como función lineal
0omo#1nea de .: y 9% 3=18 +(− 3 ) × 5
2=5 + ( −1 ) × 3= ( −1 ) × 18 +( 4 ) × 5 1=3 + ( −1 ) × 2=( 2 ) × 18 +(− 7 )× 5
Como 18 × ( 2 ) + 5 × (−7 )=1, entonces 18 × ( 96 ) + 5 × ( −336 )=48
Una solución #eneral de la ecuación diof"ntica lineal
18 x + 5 y = 48
est" dada 'or las ecuaciones
x =96 +5 t e y =−336 −18 t
Donde t es un entero% Las soluciones enteras 'ositias 'ueden ser obtenidas considerando el sistema de desi#ualdades
{
96 + 5 t > 0 −336 −18 t > 0
Como 96 + 5 t > 0 si t ≥−19 ;
−336 −18 t > 0 si t ≥−19 % Se tiene &ue t =−19 y x = 96 + 5 (−19 )=1 e y =−336−18 (−19 )=6.
+or lo tanto, la ;nica solución entera 'ositia de la ecuación E$ercicios
18 x + 5 y = 48
es . y 4%
Determinar la solución #eneral de cada ecuación diof"ntica lineal .%
48 x + 7 y =5
Solución2
Sean a =48 y b=7 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 48 =6 × 7 + 6, 7= 1 × 6 + 1,
6 =6 × 1
As3,
(48,7 )= 1. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% . 'uede escribirse como función lineal
0omo#1nea de <: y -% 6 =48 +(−6) × 7
[
1=7 + (−1 ) × 6 =7 + ( −1 ) × 48 + (−6 ) × 7
]=(−1 ) × 48 +( 7 ) × 7
Como 48 × (−1 ) + 7 × ( 7 )=1, entonces 48 × (−5 ) + 7 × (35 )=5
x 0=−5 e y 0=35
La solución #eneral ser3a2 b 7 x = x 0+ t =−5 + t =7 t −5 1 g a 48 y = y 0 − t =35− t =35− 48 t g 1
Donde t es un entero% %
57 x −99 y = 77
Solución2
Sean a =57 y b =99 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 99 =1 × 57 + 42,
57=1 × 42 + 15, 42 =2 × 15 + 12
15= 1 × 12 + 3 12= 4 × 3 + 0
Como ( 57,99 )=3 y tiene solución% /%
11 x + 30 y =31
3 ∤ 77
, 'or el teorema %4%. la ecuación diof"ntica lineal
57 x −99 y =77
no
Solución2
Sean a =11 y b =30 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 30=2 × 11 + 8,
11= 1 × 8 + 3, 8 =2 × 3 + 2
3=1 × 2 + 1, 2=2 × 1 + 0
As3,
(11,30)=1. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% . 'uede escribirse como función
lineal 0omo#1nea de .. y /=% 8 =30 +(−2 ) × 11
[
]
3=11 + ( −1 ) × 8 =11+ ( −1 ) × 30 + ( −2 ) × 11 =( −1 ) × 30 + ( 3 ) × 11 2=8 + (−2 ) × 3 =30 +(−2 ) × 11+ ( −2 ) ×
[ (−1 ) × 30 +( 3 ) × 11 ]=( 3 ) × 30 + (−8 ) × 11 [
]
1=3 + ( −1 ) × 2=( −1 ) × 30 + ( 3 ) × 11+ (−1 ) ( 3 ) × 30 + ( −8 ) × 11 = (−4 ) × 30 + ( 11 ) × 11
Como 11 × ( 11) + 30 × (−4 ) =1, entonces 11 × ( 341 ) + 30 × ( −124 ) =31
x 0=341 e y 0=−124
La solución #eneral ser3a2 b 30 x = x 0+ t =341+ t =30 t + 341 g 1 a 11 y = y 0 − t =−124 − t =−124 −11 t 1 g
Otra forma de 0acerlo, +or tanteo se 'ueden 0allar los alores 'articulares de
x 0=11 e y 0 =−3
La solución #eneral ser3a2 30 b x = x 0+ t =11+ t =30 t + 11 g 1
a 11 y = y 0 − t =−3 − t =−3−11 t g 1
<%
27 x −18 y =54
Solución2
Sean a =27 y b =−18 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides
27 =1 × 18 + 9, 18=2 × 9 + 0,
As3,
(27,−18 )=9. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% > 'uede escribirse como función
lineal 0omo#1nea de - y .:% 9 = 27 +(−1 ) × 18
?ulti'licamos 'or 4, 54 =27 × ( 6 )−(6 ) × 18
Lue#o,
x 0=6 e y 0=6
La solución #eneral ser3a2 b 18 x = x 0+ t =6− t = 6−2 t 9 g 27 a y = y 0 − t =6− t =6−3 t g 9
9%
13 x −7 y =21
Solución2
Sean a =13 y b =−7 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 13= 1 × 7 + 6,
7= 1 × 6 + 1, 6 =6 × 1 + 0
As3,
(13,−7 )=1. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% . 'uede escribirse como función
lineal 0omo#1nea de ./ y -% 6 =13 +(−1 ) × 7
[
1=7 + (−1 ) × 6 =7 +( −1 ) × 13 + (−1 ) × 7
]=( 2 ) × 7 +(−1 )× 13
?ulti'licamos 'or . 21=(−21 ) × 13 + ( 42 ) × 7 21= (−21 ) × 13− (−42 ) × 7
De a&u3 obtenemos,
x 0=−21 e y 0=−42
La solución #eneral ser3a2 7 b x = x 0+ t =−21 − t =−7 t − 21 g 1
13 a y = y 0 − t =−42− t =−42 −13 t g 1
Donde t es un entero 4%
44 x + 66 y =11
Solución2 Sim'lificando la e!'resión nos &ueda2 Como
(4,6 )= 2
2∤ 1
y
4 x + 6 y =1.
, 'or el teorema %4%. la ecuación diof"ntica lineal
44 x + 66 y = 11
no
tiene solución%
-%
21 x −12 y = 72
Solución2 Sim'lificando la e!'resión nos &ueda2
7 x −4 y =24.
Sean a =7 y b =−4 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 7= 1 × 4 + 3, 4 =1 × 3 + 1,
3=3 × 1+ 0
As3,
(7,− 4 )=1. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% . 'uede escribirse como función
lineal 0omo#1nea de - y <% 3=7 +(−1 )× 4 1= 4 + (−1 ) × 3= 4 + (− 1 ) × 7 +(−1 ) × 4 = ( 2 ) × 4 +(−1 ) × 7
?ulti'licamos 'or < 24 =( 48 ) × 4 + (−24 ) × 7 24 =7 × ( −24 ) −(−48 ) × 4
De a&u3 obtenemos,
x 0=−24 e y 0 =−48
La solución #eneral ser3a2 b 4 x = x 0+ t =−24 − t =−4 t −24 1 g 7 a y = y 0 − t =−48− t =−48−7 t g 1
Donde t es un entero% :%
17 x + 54 y =8
Solución2
Sean a =17 y b =54 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 54 =3 × 17 + 3,
17=5 × 3 + 2, 3=1 × 2 + 1
2=2 × 1 + 0,
As3,
(17,54 )=1. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% . 'uede escribirse como función
lineal 0omo#1nea de .- y 9<% 3=54 +(−3 ) × 17 2=17 + ( −5 ) × 3 =17 + (−5 ) × 54 +(− 3) × 17 = ( 16 ) × 17 + (−5 ) × 54
[
1=3 + ( −1 ) × 2=54 +(−3 ) × 17 + (−1 ) × ( 16 ) × 17 + ( −5 ) × 54
]=(−19 ) × 17 + ( 6 ) × 54
Como 17 × (−19 ) + 54 × ( 6 )=1, entonces 17 × (−152 ) + 54 × ( 48 ) =8
x 0=−152 e y 0=48
La solución #eneral ser3a2 b 54 x = x 0+ t =−152 + t = 54 t −152 1 g
a 17 y = y 0 − t =48 − t =48 −17 t g 1
Donde t es un entero% En los e$ercicios > al . determinar las soluciones enteras 'ositias de cada ecuación diof"ntica lineal2 >%
5 x −11 y =29
Solución2 Sean a =5 y b =−11 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 11= 2 × 5+ 1, 5=5 × 1+ 0,
As3,
(5,−11)= 1. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% . 'uede escribirse como función
lineal 0omo#1nea de 9 y ..% 1=( 1 ) × 11+(−2) × 5
?ulti'licamos 'or >, 5 (−58 ) −11 (−29 )=29
De esta e!'resión obtenemos2 x 0=−58 e y 0=−29
La solución #eneral ser3a2 11 b x = x 0+ t =−58 − t =−11 t −58 g 1
a 5 y = y 0 − t =−29 − t =−29−5 t 1 g
Donde t es un entero%
Como −11 t −58 > 0 → t ≤ −6
−29 −5 t > 0 → t ≤ −6
*
Lue#o ! e y toma alores 'ositios 'ara
t ≤− 6
E$em'lo t =−6 → x =−11 (−6 )−58 =8 ; y =−29−5 (−6 ) =1 → 5 ( 8 )−11 ( 1)= 29 t =−7 → x =−11 (−7 )−58 =19 ; y =−29−5 (−7 )=6 → 5 ( 19 )−11( 6 )=29
t =−8 → x =−11 (−8 )−58 =30 ; y =−29−5 (−8 )=11 → 5 ( 30 )−11 ( 11)=29 …
.=% 32 x + 55 y =771 Solución2
Sean a =32 y b =55 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 55=1 × 32 + 23,
32= 1 × 23 + 9, 23=2 × 9 + 5,
9 =1 × 5 + 4 5=1 × 4 + 1,
4= 4 × 1 +0
As3,
(32,55 )=1. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% . 'uede escribirse como función
lineal 0omo#1nea de / y 99% 23= 55 +(− 1) × 32
[
9 =32+ ( −1 ) × 23 =32+ ( −1 ) 55 + ( −1 ) × 32
[
]=( 2 ) .32 +(−1 ) .55 ]
5=23 + (−2 ) .9= 55 + ( −1 ) × 32 + (− 2 ) . ( 2 ) .32 + ( −1 ) .55 =( 3 ) .55 + ( −5 ) .32
[
]
[
]=(−12 ) .32 +( 7 ) .55
4 =9 + (−1 ) .5=( 2 ) .32 + ( −1 ) .55 + ( −1 ) . ( 3 ) .55 + ( −5 ) .32 = (7 ) .32 + (−4 ) .55 1=5 + ( −1 ) .4 = ( 3 ) .55 + (−5 ) .32+ ( −1 ) . ( 7 ) .32 + (−4 ) .55
?ulti'licamos esta ;ltima e!'resión 'or --., 32 (−9252 ) + 55 ( 5397 )=771
De esta e!'resión obtenemos2 x 0=−9252 e y 0=5397
La solución #eneral ser3a2 b 55 x = x 0+ t =−9252+ t =55 t −9252 1 g
a 32 y = y 0 − t =5397− t =5397 −32 t g 1
Donde t es un entero%
Como 55 t −9252 > 0 →t ≥ 169 5397−32 t > 0 →t ≤ 168
*
No e!isten alores ambos 'ositios 'ara ! e y% ..% 58 x −87 y =290 Solución2
Sean a =58 y b =−87 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 87 =1 × 58 + 29,
58= 2 × 29 + 0,
As3,
( 58,−87 )=29 y 29|290
Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% >= 'uede escribirse
como función lineal 0omo#1nea de 9: y @:-% 29= 87 + (−1 ) .58
?ulti'licamos esta ;ltima e!'resión 'or .=, 58 ( −10 ) + 87 (10 ) =290 58 (−10 ) − 87 (−10 )= 290
De esta e!'resión obtenemos2 x 0=−10 e y 0=−10
La solución #eneral ser3a2 b 87 x = x 0+ t =−10 − t =−87 t −10 1 g a 58 y = y 0 − t =−10 − t =−10 −58 t 1 g
Donde t es un entero%
Como −87 t − 10 > 0 →t ≤ 0
−10 −58 t > 0 → t ≤− 1
*
Lue#o ! e y toma alores 'ositios 'ara
t ≤ −1
E$em'lo t =−1 → x =−87 (−1 )− 10=77 ; y =−10 −58 (−1 )= 48 → 58 ( 77 ) −87 ( 48 )=290
t =−2 → x =−87 (−2 ) −10=164 ; y =−10 −58 (−2 )=106 → 58 ( 164 )−87 ( 106 )= 290 t =−3 → x =−87 (−3 )−10 = 251 ; y =−10 −58 (−3 )=164 → 58 ( 251 ) − 87 ( 164 )= 290
…
.% 62 x + 11 y = 788 Solución2
Sean a =62 y b =11 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 62=5 × 11 + 7, 11= 1 × 7 + 4,
7= 1 × 4 + 3 4 =1 × 3 + 1
3=3 × 1+ 0
As3,
( 62,11)= 1
Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% >= 'uede escribirse como función
lineal 0omo#1nea de 4 y ..% 7= 62+(−5 ) × 11 4 = 11+ ( −1 ) × 7 =11+ (−1 ) 62 +(−5 ) × 11 = ( 6 ) .11+ ( −1 ) .62
[
3=7 + (−1 ) .4 =62 +(−5 ) × 11+ (−1 ) . ( 6 ) .11+ ( −1 ) .62
[
]=( 2 ) .62 + (−11) .11 ]
1= 4 + (−1 ) .3 =( 6 ) .11+ (−1 ) .62 + ( −1 ) . ( 2 ) .62+ (−11 ) .11 =( 17 ) .11+ (−3 ) .62
?ulti'licamos esta ;ltima e!'resión 'or -:: 62 (−2364 )+ 11 (13396 )=788
De esta e!'resión obtenemos2 x 0=−2364 e y 0 =13396
La solución #eneral ser3a2 b 11 x = x 0+ t =−2364 + t =11 t −2364 g 1 62 a y = y 0 − t =13396− t =13396 −62 t g 1
Donde t es un entero%
Como 11 t −2364 > 0 → t ≥ 215 13396− 62 t > 0 →t ≤ 216
*
Lue#o t =215 y t =216 Si t =215 , entonces
x =11 ( 215 )−2364 =1 e y =13396 − 62 ( 215 ) =66
Si t =216 , entonces
x =11 ( 216 ) −2364= 12 e y =13396 −62 ( 216 )=4
./% Una com'a3a com'ró cierto n;mero de reli&uias falsas a B.- cada una, y endió al#unas de ellas a B<> cada una% Si la cantidad com'rada ori#inalmente es mayor &ue 9= y menor &ue .==, y la com'a3a tuo una #anancia de B<9, Cu"ntas reli&uias faltan 'or ender 5 9> Solución2 Sea ! el n;mero de reli&uias com'radas, y n;mero de reli&uias endidas% +or las condiciones del 'roblema tenemos2 50 < x <100
49 y −17 x = 245 ⟹ y =5 +
17 49
x ( 1)
Las condiciones 'ara resoler esta ecuación son2 x e y son enteros 'ositios% •
•
•
50 < x < 100
x es m;lti'lo de <>%
El ;nico alor 'osible 'ara ! &ue cum'le esta condición ser3a2 x =98
Si x =98 entonces y =39 Lue#o, el n;mero de reli&uias &ue faltan 'or ender es2 98 −39=59
.<% Un 0ombre recibió un c0e&ue 'or una cierta cantidad de dinero% El 0ombre com'ró un art3culo en B=,4: y 'a#ó con el c0e&ue% El ca$ero tomó e&uiocadamente el n;mero de dólares 'or el n;mero de centaos y el n;mero de centaos 'or el n;mero de dólares, y le dio como uelta dos eces la cantidad del c0e&ue% Cu"l es el menor alor 'osible del c0e&ue 5B.=,. Solución2 Sea2 ! 'esos del c0e&ue y centaos del c0e&ue Galor del c0e&ue ser3a2
( 100 x + y ) centavos El ca$ero e en el c0e&ue un alor de2
( 100 y + x ) centavos Se#;n las condiciones del 'roblema2
( 100 y + x ) −68=2 ( 100 x + y ) ⟹ 98 y −199 x =68 (1 )
+ara resoler la ecuación se tiene en cuenta lo si#uiente2 •
•
x e y son enteros 'ositios% 0 ≤ x < 100, 0 ≤ y < 100
Utili(amos el al#oritmo de Euclides2 Sea2 a =−199, b =98 199=2 × 98 + 3,
98 =32 × 3 + 2, 3=1 × 2 + 1,
2=2 × 1 + 0
As3,
(−199,98 )=1
Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% 4: 'uede escribirse como función
lineal 0omo#1nea de @.>> y >:% 3=199 + (−2 ) .98
[
]
2=98 + ( −32 ) .3= 98 + (−32 ) . 199+ ( −2 ) .98 = (65 ) .98 + ( −32 ) .199
[
1=3 + ( −1 ) .2=199 + ( −2 ) .98 + (−1 ) . ( 65 ) .98 + (−32 ) .199
?ulti'licando esta ;ltima e!'resión 'or 4:2
(−4556 ) .98−(−2244 ) .199 =68 De esta e!'resión obtenemos2 x 0=−2244 e y 0 =−4556
La solución #eneral ser3a2 b 98 x = x 0+ t =−2244 + t =98 t −2244 g 1 199 a y = y 0 − t =−4556 + t =199 t −4556 g 1
Donde t es un entero%
0 ≤ x < 100 → 0 ≤ 98 t −2244 < 100 → 23 ≤t < 24 0 ≤ y < 100 → 0 ≤ 199 t − 4556 < 100 → 23 ≤ t < 24
De donde encontramos &ue t =23 De donde, x =98 ( 23 )− 2244=10 y =199 ( 23 )− 4556 =21
+or lo tanto el alor del c0e&ue es de2
( 100 x + y ) =100 ( 10 )+ 21=1021 centavos= $ 10,21
]=(−67 ) .98 + (33 ) .199
+roblemas &ue se resuelen con ecuaciones diof"nticas .% Sea n el n;mero de maneras en &ue .= dólares 'ueden ser cambiados en monedas de .= y 9 centaos, us"ndose 'or lo menos una de cada denominación, Lue#o n es i#ual a2 A8 <= H8 /: C8 . D8 = E8 .> Solución2 Si cambamos .= dólares en x J monedas de .= centaos e y J monedas de 9 centaos se debe cum'lir &ue2 10 100
x +
25 100
y =10 ⟹ 2 x + 5 y =200 ⟹ x =
200 −5 y 2
(1 )
Las condiciones 'ara resoler esta ecuación son2 x e y son enteros% •
x ≥ 1 e y ≥ 1 7el cambio debe contener al menos una moneda de cada ti'o8
•
200−5 y
•
debe ser m;lti'lo de %
+osibles soluciones2 x y
95 2
90 4
85 6
80 8
75 10
70 12
65 14
60 16
55 18
50 20
45 22
40 24
35 26
30 28
25 30
20 32
15 34
10 36
5 38
Kay .> combinaciones 'osibles% 5 E % or#e multi'lica la fec0a del d3a de su nacimiento 'or . y el n;mero del mes 'or /., lue#o suma estos dos 'roductos obteniendo .-=% Cu"ndo nació or#e A8 > abril H8 : febrero C8 > febrero D8 : abril E8 .= febrero Solución2 Sea F2 Fec0a del d3a del nacimiento, ?2 N;mero del mes Se#;n el enunciado 12 F + 31 M =170 ⟹ F =
170−31 M 12
(1 )
Las condiciones 'ara resoler esta ecuación son2 F
•
e M
son enteros, mayores &ue cero%
M es 'ar,
•
170−31 M
•
debe ser m;lti'lo de .%
+osibles soluciones M F
2 9
4 3.83
6 1.3
8 -6.5
10 -11.6
12 -16.8
Entonces nació el > de febrero 5 C8 /% ?anual 'a#ó una deuda de B/9= con billetes de B.=, B= y B9=% Cu"l fue la m3nima cantidad de billetes &ue utili(ó en el 'a#o de la deuda A8 > H8 : C8 .= D8 .. E8 -
Solución2 Sea2 !2 n;mero de billetes de B.= y2 n;mero de billetes de B = (2 n;mero de billetes de B9= Entonces2 10 x + 20 y + 50 z =350 ⟹ x + 2 y + 5 z =35 ( 1 )
Las condiciones 'ara resoler esta ecuación son2 x
•
y , z ,
,
son enteros 'ositios%
x , y , z ≥ 1 7se em'lea 'or lo menos un billete de cada denominación8%
•
•
El n;mero m"!imo de billetes los contiene (
(1 ≤ z ≤ 6 )
•
El n;mero m3nimo de billetes los contiene !%
( 1 ≤ x ≤ 28 )
+osibles soluciones z x y
6 1 2
6 2 1.5
5 1 4.5
5 2 4
4 1 7
4 2 6.5
El n;mero m3nimo de billetes se 'resenta 'ara z =6, x =1 e y =2, total > billetes 5 A8 <% Cada l"'i( cuesta B/= y cada la'icero B.9=% Si se com'ra al menos uno de cada clase cu"l es el m"!imo n;mero de l"'ices y la'iceros &ue se 'uede com'rar con B99= A8 :. H8 :9 C8 := D8 : E8 :/ Solución2 Sea2 !2 el n;mero de l"'ices y2 el n;mero de la'iceros Entonces2 30 x + 150 y = 2550 ⟹ x + 5 y =85 ⟹ y =
85− x 5
(1)
Las condiciones 'ara resoler esta ecuación son2 x , y son enteros 'ositios mayores &ue .% •
•
•
85− x
debe ser m;lti'lo de 9%
1 ≤ x ≤ 80,1 ≤ y ≤ 16
+osibles soluciones2 x y
5 16
10 15
15 14
20 13
25 12
30 11
35 10
40 9
45 8
50 7
55 6
60 5
65 4
70 3
La m"!ima cantidad de l"'ices y la'iceros se da 'ara x =80 e y =1, total ser3an :.% 5 A8
75 2
80 1
9% Aracely tiene = monedas en su carteraM al#unas son de .= c1ntimos, otras de = c1ntimos y el resto de 9= c1ntimos% Si el total de dinero &ue ella tiene en su cartera es B9 y tiene m"s monedas de 9= c1ntimos &ue de .= c1ntimos, cu"ntas monedas de = c1ntimos tiene A8 .. H8 .< C8 . D8 .9 E8 .= Solución2 a2 n;mero de monedas de .= c1ntimos% b2 n;mero de monedas de = c1ntimos% c2 n;mero de monedas de 9= c1ntimos% Entonces2 N;mero de monedas a + b + c =20 ( 1 )
?onto2 10 a + 20 b + 50 c = 500 ⟹ a + 2 b + 5 c =50 ( 2 )
5estamos 78 menos 7.8 y nos &ueda2 b + 4 c =30 ⟹ b =30− 4 c ( 3 )
Las condiciones 'ara resoler esta ecuación son2 a,b ,
•
c
son enteros 'ositios mayores &ue .%
1 ≤ c ≤ 7, 2 ≤ b ≤ 26
•
a< c
•
+osibles soluciones2 c b a
1 26 -7
2 22 -4
3 18 -1
4 14 2
5 10 5
6 6 8
7 2 11
Los ;nicos alores &ue cum'len con la condición anterior son2 a =2, b =14 y c = 4
El n;mero de monedas de = c1ntimos es
b =14 %
5 H8 4% Un cobrador de ta!i deb3a dar de uelto - soles con 9= c1ntimos 'ero 'ara ello cuenta ;nicamente con monedas de = c1ntimos y de 9= c1ntimos% De cuantas formas distintas 'odr" dar el uelto A8 H8 : C8 . D8 E8 .Solución2 Sea2 !2 el n;mero de monedas de 9= c1ntimos% y2 el n;mero de monedas de = c1ntimos% Lue#o2 50 x + 20 y =750 ⟹ 5 x + 2 y =75 ⟹ y =
75 −5 x 2
Las condiciones 'ara resoler esta ecuación son2 •
•
•
x, y ,
son enteros 'ositios mayores &ue =%
x es im'ar 0 ≤ x ≤ 15,0 ≤ y ≤ 35
+osibles soluciones2 x y
1 35
3 30
5 25
7 20
9 15
11 10
15 0
13 5
Kay en total : combinaciones 'osibles% 5 H8 -% A +edro re&uieren ender == animales 7'ollos, 'atos y 'aos8 al 'recio de .== soles% Si adem"s se sabe &ue un 'ollo le costar" / soles, un 'ato 9 soles, un 'ao : soles y &ue le an a ender m"s 'atos &ue 'ollos, cu"l es la suma de las cifras del m"!imo n;mero de 'ollos &ue 'uede com'rar 'edro A8 9 H8 : C8 .. D8 .< E8 .Solución2 Sea2 !2 el n;mero de 'ollos y2 el n;mero de 'atos (2 el n;mero de 'aos Del enunciado tenemos2 x + y + z =200 ⟹ 8 x + 8 y + 8 z =1600 ( 1 )
3 x + 5 y + 8 z =1200 ( 2)
5estando 7.8 menos 78 5 x +3 y =400 ⟹ x =
400−3 y 5
(3 )
Las condiciones 'ara resoler esta ecuación son2 •
•
•
•
x, y ,z
son enteros 'ositios mayores &ue .%
y es m;lti'lo de 9
y > x → y >
400−3 y 5
→ y > 50
50 < y ≤ 130,2 ≤ x < 50
+osibles soluciones2 y
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
x z
47 98
44 96
41 94
38 92
35 90
32 88
29 86
26 84
23 82
20 80
17 78
14 76
11 74
8 72
x max= 47
12 5 5 70
130 2 68
'ollos
El n;mero de cifras es
4 + 7 =11
5 C8 :% 5a;l endió al#unos libros a : soles cada uno y recibió Soles 'or la enta siendo esta suma inferior a -/= soles% Con el dinero recibido 5a;l se com'ró cierta cantidad de boletos 'ara un concierto y le sobró / soles% Si cada boleto costó 4= soles, cu"l es la suma de las cifras del n;mero A8 .H8 : C8 .. D8 .< E8 .9
Solución2 Sea2 ! n;mero de libros endidos a : soles% y el n;mero de boletos com'rados% De las condiciones del 'roblema sacamos las si#uientes ecuaciones2 28 x =k < 730 → x < 26,07
28 x −60 y =32 → 7 x −15 y = 8 → x =
15 y + 8 7
< 26,07 (1 )
Las condiciones 'ara resoler esta ecuación son2 x, y
•
son enteros 'ositios mayores &ue .%
15 y + 8
•
15 y + 8 •
7
es m;lti'lo de -
< 26,07 → y < 11.6
El ;nico alor de y &ue cum'le estas condiciones es2
y =6
Lue#o2 x =
15 ( 6 )+ 8 7
+or lo tanto
=14 k =28 (14 )= 392
Suma de cifras de
k =3 + 9 + 2 =14
5 D8 >% Lucy entra en una tienda y #asta e!actamente la mitad de su dinero, y obsera &ue le &uedan tantos centaos como 'esos ten3a y tantos 'esos como la mitad de los centaos &ue ten3a% Cu"nto dinero ten3a inicialmente, sabiendo &ue la cantidad &ue ten3a al inicio es lo m3nimo 'osible A8 >> 'esos H8 :: 'esos C8 >> 'esos y >: centaos D8 :> 'esos >> centaos E8 .== 'esos Solución2 Inicialmente ten3a !J 'esos con yJ centaos, &ue es e&uialente a .==!yJ centaos, lue#o le &uedan !J centaos y yJ 'esos ó su e&uialente &ue es !.==yJ centaos% +ero como lo &ue #asta es la mitad, entonces lo &ue le &ueda ser" la mitad de lo &ue ten3a, con o &ue debemos 'lanear2 x + 100 y =
100 x + 2 y 2
⟹ 2 x
+ 200 y =100 x + 2 y ⟹ 198 y = 98 x ⟹ 99 y =49 x ⟹
y 49
=
x 99
Lo m3nimo &ue ten3a ser" cuando2 x =99 e y =49 ; Entonces inicialmente ten3a >> 'esos con
2 ( 49 )= 98
centaos%
5 C8 .=% La red ferroiaria de una ciudad tiene a la enta boletos 'ara ia$ar de una estación a otra% Cada boleto es'ecifica la estación de ori#en y la de destino% Cuando se aadieron arias estaciones nueas a la red se tuo &ue im'rimir -4 nueas clases de boletos% Cu"ntas estaciones nueas se sumaron a la red A8 < H8 C8 .> D8 : E8 4 Solución2
Si al inicio 0ab3a nJ estaciones, el n;mero de clases de boletos era
n ( n− 1 ) %
Al aadirse !J estaciones nueas, el n;mero de clases de boletos ser" ( n + x )( n + x −1 ) % De donde2
( n + x ) ( n + x −1 )−n ( n −1 )=76 n
2
+ nx − n +nx + x2 − x −n2 +n =76 76
x ( x + 2 n−1 ) =76 ⟹ n =
x
+ 1− x 2
(1)
+ara resoler la ecuación se deben tener en cuenta las si#uientes condiciones2 •
x , n son enteros 'ositios mayores &ue .%
•
x es diisor de -4, es decir x ∈ { 2,4,19,38,76 }
+osibles soluciones2 x n
2 18.5
4 8
19 -7
38 -17.5
76 -37
Los ;nicos alores co0erentes son2 x =4, n =8 5 A8 ..% Si 'or soles dieran 4 c0irimoyas m"s de las &ue dan, la media docena costar3a <9 c1ntimos menos% Cu"nto 'a#ó 'or docena y media de c0irimoyas A8 /%4= H8 C8 %<= D8 .%4= E8 %= Solución2 Sea ! n;mero de c0irimoyas &ue se ad&uieren 'or B Normalmente
Su'osición
2
2
x
x + 6
12
12
x
x + 6
Costo de cada c0irimoya Costo de media docena Se#;n el enunciado2 12
x
−
12
x + 6
=0,45 ⟹
x + 6 − x 2
x
+ 6 x
=
0,45 12
⟹ x
2
+ 6 x −160= 0 ⟹ ( x −10 ) ( x + 16 )= 0
De donde x =10 Lue#o el costo de la docena y media de c0irimoyas ser"2 18 ×
5 A8
2 10
=3,6 Soes
.% Tres 0ermanas fueron a ender 'ollos ios al mercado, una lleó .. 'ollos, otra . y la tercera .=% Kasta el mediod3a, temiendo no ender todos los 'ollos, ba$aron en B el 'recio de cada 'ollo% Entrada la noc0e las tres re#resaron con B9 cada una Cu"nto era el 'recio de cada 'ollo 0asta el medio d3a Los 'ollos se enden enteros% A8 B/ H8 B. C8 B4 D8 B< E8 B9 Solución2 Consideremos la &ue lleo .. 'ollos, de los cuales endió x J 'ollos a n J soles cada uno, 0asta el mediod3a y des'u1s los 11− x J restantes a n −2 J solesM obteniendo en total B9, con lo &ue tenemos &ue 'lantear2 xn + ( 11− x ) ( n −2 )=52
xn + 11 n −22− xn + 2 x =52 n=
74 −2 x 11
(1 )
+ara resoler la ecuación se deben tener en cuenta las si#uientes condiciones2 x , n son enteros 'ositios mayores &ue .%
•
x ≤ 11
•
74 −2 x
•
es un m;lti'lo de .., es decir2
74 −2 x = 11, 22,33, 44, 55,66
De donde ! toma los alores de x =31.5,26,20.5, 15,9.5,4 Se descartan los n;meros decimales% +osibles soluciones2 x n
26 2
15 4
La solución del 'roblema es x =4 y
4 6 n =6 %
5 C8 ./% Un comerciante com'ró correctores, resaltadores y borradores de los si#uientes 'recios% Cada corrector 'or .= soles Cada resaltador 'or un sol : borradores 'or un sol% Si en total com'ró .== art3culos y #astó .== soles, cu"ntos resaltadores com'ró A8 . H8 .9 C8 .: D8 = E8 . Solución2 Llamemos, c, r y b a las cantidades com'radas de correctores, resaltadores y borradores res'ectiamente, 'lanteamos &ue2 • • •
c + ! + b =100 ( 1 ) 10 c + ! +
1 8
b =100 (2 )
5estamos 78 menos 7.8
9 c−
7 8
b=0 ⟹ c =
7 72
b (3)
b debe ser m;lti'lo de - y menor &ue .==, 'or lo tanto
b =72 y
c =7
5eem'la(ando en 7.8 encontramos r ! =100 −b −c =100 −72−7 =21
5 E8 .<% Kalle los alores de a y b en la si#uiente ecuación 28 x + 44 y = 824
Solución2 En un 'rimer 'aso diidimos toda la ecuación 7ambos miembros entre <8 7?CD2 :M <
x +
44 4
y =
824 4
⟹ 7 x + 11 y =206 ( 1 )
Utili(amos el al#oritmo de Euclides2 Sea2 a =7, b =11 11= 1 × 7 + 4,
7= 1 × 4 + 3, 4 =1 × 3 + 1,
3=3 × 1+ 0
As3,
( 7,11 )=1
Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% =4 'uede escribirse como función
lineal 0omo#1nea de - y ..% 4 = 11+ (−1 ) .7
[
3=7 + (−1 ) .4 =7 + ( −1 ) . 11+ ( −1 ) .7
]=( 2 ) .7 +(−1 ) .11
[
]
1= 4 + (−1 ) .3 =11+ (−1 ) .7 + ( −1 ) . ( 2 ) .7 + (−1 ) .11 =(−3 ) .7 + ( 2 ) .11
?ulti'licando esta ;ltima e!'resión 'or =42
(−618 ) .7 + ( 412 ) .11=206 De esta e!'resión obtenemos2 x 0=−618 e y 0= 412
La solución #eneral ser3a2 11 b x = x 0+ t =−618 + t =11 t −618 g 1
a 7 y = y 0 − t =402− t =412−7 t 1 g
Donde t es un entero% Otra forma de 0acerlo es2 7 x + 11 y =206
´ + ( 7 + 4 ) y = 203+ 3 7 ´ + 7 y + 4 y =7´ + 3 7
´ + 7´ + 4 y =7´ + 3 7 ´ −7´ =7´ 4 y −3=7´ −7
´ +7 4 y − 3 + 7 =7 ´ 4 y + 4 =7
´ 4 ( y + 1 ) =7 y + 1=7´ y ∈ { 6,13,20, 27, … }
5eem'la(ando en 7.8 x ∈ { 20,9, −2,−13, … }
.9% Se 'oseen : 'alitos de fósforos re'artidos en tres montoncitos% Si del 'rimero se 'asan al se#undo tantos como 0ay en este, si del 'rimero se uelen a 'asar al se#undo tantos como 0ay en el se#undo, si de se#undo se 'asan al tercero tantos como 0ay en este, resulta &ue en el se#undo 0ay el doble &ue en el 'rimero Cu"ntos 'alitos ten3a cada montoncito al inicio A8 .4M
Del 'rimer montoncito se 'asan al se#undo tantos como 0ay en este, entonces &uedar"n2 x − y ; 2 y ; z
•
Del 'rimer montoncito se uele a 'asar al se#undo tantos como 0ay en este, entonces &uedar"n2 x −3 y ; 4 y ; z
•
Del se#undo montoncito se 'asan al tercero tantos como 0ay en este, entonces &uedar"n2 x −3 y ; 4 y − z ; 2 z
De las condiciones del 'roblema obtenemos2 4 y − z =2 ( x −3 y ) ⟹ z =10 y −2 x ( 2)
De la ecuación 7.8 y 78 se obtiene2 x + y + 10 y −2 x = 28 ⟹ 11 y − x = 28 ⟹ y =
28 + x 11
(3 )
+ara resoler la ecuación se deben tener en cuenta las si#uientes condiciones2 •
•
0 ≤ x ≤ 28,0 ≤ y ≤ 28 11+ x
es un m;lti'lo de .., es decir2
28 + x =33,44,55,66,77,88,99
De donde ! toma los alores de x =5,16,27 +osibles soluciones2 x y z
5 3 20
16 4 8
27 5 -4
Los alores &ue tienen m"s co0erencia con el 'roblema son2 x =16, y =4 z =8
x =16, y =4 z =8 , se descartan ya &ue no tienen co0erencia conM
Los alores de
x −3 y ; 4 y ; z
+ues, x −3 y =5 −9 =−4 5 A8 .4% Sean x
e
y
n;meros de dos d3#itos donde
y > x , adem"s x + y menor &ue .==, el
'roducto de los n;meros tiene < cifras y em'ie(a con .% Si se borra el . lo &ue &ueda es Cu"nto ale ! Solución2 Analicemos el 'roducto xy , &ue tiene la forma
´ =1000 + mn" ´ ⟹ mn" ´ = x . y −1000 (1) x . y =1 mn" Horrar el . de 'roducto e&uiale a obtener
´ (2 ) x + y =mn"
De 7.8 y 78 obtenemos2 x . y −1000 = x + y
x . y − x − y =1000 x . y − x − y + 1 =1001 x ( y − 1 )−( y −1 ) =1001=11 × 7 × 13
( y −1 ) ( x −1 )=77 × 13 Como y > x , x + y < 100 Se#;n estas restricciones tenemos2 y −1 =77 ∧ x −1=13
´ 1 mn"
x + y %
y =78 ∧ x =14
Pue cum'len con las restricciones, lue#o 5 x =14
.-% Se tienen dos barriles 'J y &J de mermelada, tales &ue el olumen de 'J es la mitad de &J2 El 'recio de 'J es B/= y el de &J B=% Cu"l fue la me$or com'ra con .9== A8 /& H8 &<' C8 '& D8 4' E8 Nin#una Solución2 +ara 0acer la me$or com'ra se debe #astar lo menor 'osible y se debe obtener el mayor olumen% G olumen # $= 2 # " # $= 2 n #
=n
Sea2 !Q de barriles de ' yQ de barriles de & Lue#o2 230 x + 430 y ≤ 1500
23 x + 43 y ≤ 150
Lue#o las o'ciones ser3an2 p x
q y
Gasto
0
3
1290
2
2
1320
4
1
1350
6
0
1380
# !tros 0 + 6 n =6 n 2 n + 4 n= 6 n 4 n + 2 n= 6 n
6 n + 0 =6 n
La me$or o'ción es cuando se #asta B.>= 7menor #asto8% En todos los casos se com'ra el mismo olumen 74n8 Com'ra /& 5 A8 .:% En una reunión de matem"ticos, uno le di$o a otro2 Kay > menos de nosotros &ue el doble del 'roducto de dos d3#itos de nuestra cantidadJ% Cu"ntos matem"ticos, como m3nimo, deben a#re#arse a los ya reunidos 'ara tener una cantidad &ue sea un cuadrado 'erfecto A8 H8 9 C8 > D8 : E8 Solución2 Sea
´ ab el n;mero de matem"ticos, 'or la condición del 'roblema tenemos2
´ =2 ab− 9 ab 10 a + b =2 ab− 9
9 = b ( 2 a− 1 )−10 a
Cuando nos encontramos con este ti'o de ecuaciones con dos ariables, es coneniente sumar o restar a ambos lados de la ecuación cierto n;mero de tal forma &ue en uno de los lados obten#amos una e!'resión factori(able, en este caso es coneniente sumar 9, de esta forma2 9 =b ( 2 a−1 )−10 a 9 + 5 =b ( 2 a−1 ) − 10 a + 5 14 =b ( 2 a−1 ) −5 (2 a −1 ) 14 =( 2 a−1 ) ( b −5 ) ( 1)
+ara resoler esta ecuación ten#amos en cuenta lo si#uiente2 •
•
( 2 a−1 ) es un factor im'ar de .<% 0 ≤ a ≤ 9 y 0 ≤ b≤ 9
Entonces2
( 2 a− 1 ) ( b − 5 ) = 7 × 2 2 a− 1 =7 →a = 4 y b=
14 8 −1
+ 5 =7
+or lo tanto el n;mero de matem"ticos es <- y es necesario a#re#ar matem"ticos como m3nimo 'ara lle#ar al si#uiente cuadrado 'erfecto, &ue es % 5 E8 .>% Una com'a3a de aiación com'ra ./ aionetas 'or B.4,9 millones% Las aiaciones &ue com'ra son del ti'o A a un 'recio de B.,. millones, del ti'o H a un 'recio de B.,/ millones y del ti'o C a B.,: millones Cu"ntas aionetas com'ró de cada ti'o A8 M ..M = H8 /M -M / C8 9M 4M D8 -M
5estamos 7.8 menos 78 2 & + 7 =22 ⟹ =
22− 2 & 7
(3 )
+ara resoler esta ecuación ten#amos en cuenta lo si#uiente2 H y C son enteros mayores &ue . y menores &ue ./% C es un n;mero 'ar% • •
•
22−2 &
22−2 & =7,14,21
es m;lti'lo de -, lue#o
El ;nico alor 'osible 'ara H &ue cum'le con las condiciones anteriores es Lue#o
=
22 −2 & 7
=
22−2 ( 4 ) 7
&=4 %
=2
% =13 − &− =13 −4 −2 =7
5 D8 =% En la ca$a de un cine se recaudó un total de .== nueos soles 'or el in#reso de .== 'ersonas% Si el costo de las entradas es de / nueos soles 'or cada adulto, nueos soles 'or cada $oen y /= c1ntimos de nueo sol 'or cada nio, cu"l es el menor n;mero de adultos &ue 'udo 0aber in#resado al cine A8 = H8 C8 < D8 : E8 = Solución2 Kallaremos todas las 'osibles cantidades de adultos, $óenes y nios &ue resuelen el 'roblema% Sean a, " y n, las cantidades de adultos, $óenes y nios &ue entraron al cine, res'ectiamente% Se#;n las condiciones del 'roblema tenemos2 a + (+ n=100
3 a + 2 ( + 0,3 n =100
De la se#unda ecuación notamos &ue
0,3 n
es un n;mero entero, 'or lo tanto es m;lti'lo de .=,
Sea n =10 k , con esto las ecuaciones las 'odemos reescribir as32 a + ( =100− 10 k ⟹ −3 a −3 ( =−300 + 30 k ( 1 ) 3 a + 2 ( =100 −3 k ( 2)
5esoliendo el sistema2
− (=−200 + 27 k ⟹ ( = 200−27 k a =100−10 k −200 + 27 k ⟹ a =17 k −100
+ero sabemos &ue a y $ son cantidades enteras 'ositias, es decir 200−27 k ≥ 0 → k ≤ 7
17 k −100 ≥ 0 → k ≥ 6
Los ;nicos alores 'osibles de son 4 y -% Si k =6 entonces
a =2, ( =38, n= 60
Si k =7 entonces
a =19, ( =11, n =70
Lue#o el menor n;mero de adultos es % 5 H8 .% Un 0ombre a a una tienda de ro'a y com'ra . tra$es, unos ne#ros y otros #rises, 'or .== % Si los tra$es ne#ros alen /= m"s &ue los #rises y 0a com'rado el m3nimo 'osible de estos ;ltimos, cu"ntos tra$es 0a com'rado de cada color Solución2 Sea x cantidad de tra$es ne#ros%
12− x
cantidad de tra$es #rises%
y 'recio de un tra$e #ris% y + 30 'recio de un tra$e ne#ro%
La ecuación asociada al 'roblema es2 x ( y + 30 ) + y ( 12− x )=1200
Al sim'lificar la ecuación obtenemos2 30 x + 12 y =1200 → 5 x + 2 y =200 → y =
200−5 x 2
(1)
+ara resoler la ecuación ten#amos en cuenta lo si#uiente2 0 ≤ x ≤ 12 y 88 ≤ y ≤ 100
•
! e y son enteros% x es un entero 'ar%
•
•
200−5 x
•
88 ≤
200 −5 x 2
es m;lti'lo de ,
≤ 100 → 176 ≤ 200−5 x ≤ 200 ⟶−24 ≤−5 x ≤ 0
0 ≤ x ≤ 4.8
Lue#o x =2 o x =4 Se com'raron tra$es ne#ros y .= tra$es #rises o < tra$es ne#ros y : tra$es #rises% 5 Com'ró < tra$es ne#ros y : tra$es #rises% % Nos 're#untamos si ser" 'osible llenar e!actamente un de'ósito de :> litros con reci'ientes de / y : litros% Solución2 Sea2 x Q de reci'ientes de / litros% y Q de reci'ientes de : litros cantidad%
La ecuación asociada al 'roblema es2 3 x + 8 y =89 → y =
89 −3 x 8
(1 )
+ara resoler esta ecuación debemos tener en cuenta lo si#uiente2 0 ≤ x ≤ 29 y 0 ≤ y ≤ 11
•
x es un im'ar%
•
89− 3 x
•
es m;lti'lo de :, Lue#o
89− 3 x = 8,16 , 24 , 32,40 , 48 , 56,64 , 72 , 80,88
Las 'osibles soluciones ser3an2 x
27
19
11
3
De donde x =27, 19,11, 3
y
1
4
7
10
<% Kallar las soluciones enteras de la ecuación
√ ( x + y ) ( x − y ) + ( 2 x + 2 y −3 ) y −2 ( x −7 )= x + y + 3 Solución2 Eleando al cuadrado ambos miembros 2
2
2
2
2
x − y + 2 xy + 2 y −3 y −2 x + 14 = x + y + 2 xy + 6 x + 6 y + 9 8 x + 9 y =5
Utili(amos el al#oritmo de Euclides2 Sea2 a =8, b= 9 9 = 1 × 8 + 1,
8 =8 × 1 + 0,
As3,
( 8,9 )=1
Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% 9 'uede escribirse como función lineal
0omo#1nea de : y >% 1=( 1 ) .9 + (−1 ) .8
?ulti'licando esta ;ltima e!'resión 'or2
(−5 ) .8 −( 5 ) .9 =5 De esta e!'resión obtenemos2 x 0=−5 e y 0=5
La solución #eneral ser3a2 9 b x = x 0+ t =−5 + t =9 t −5 g 1
a 8 y = y 0 − t =5− t =5 −8 t g 1
Donde t es un entero% 9% Una mu$er tiene un cesto de man(anas% Kaciendo #ru'os de / sobran y 0aciendo #ru'os de < sobran /% Kallar el n;mero de man(anas &ue contiene el cesto sabiendo &ue est"n entre .== y ..=% Solución2 Sean2 ! el n;mero de #ru'os de /% y el n;mero de #ru'os de <% N el n;mero total de man(anas La ecuación asociada al 'roblema es2 ) =3 x + 2
) = 4 y + 3
5estando miembro a miembro, resulta
3 x −4 y =1 → y =
3 x −1 4
(1)
+ara resoler esta ecuación debemos tener en cuenta lo si#uiente2 33 ≤ x ≤ 37 y 25 ≤ y ≤ 27.5
•
x es un im'ar%
•
3 x −1
•
es m;lti'lo de <, Lue#o
+or lo tanto2 25 ≤
3 x −1 4
≤ 27.5 ⟹ 100 ≤ 3 x −1 ≤ 110 ⟹ 33 ≤ x ≤ 37
De donde encontramos &ue x =33, 35 y 37 Si x =33 entonces y =24.5 se descarta Si x =35 entonces y =26 Si x =37 entonces y =27.5 se descarta Lue#o2 x =35, y =26 ) =3 ( 35 ) + 2 =107 manzanas
4% Kallar el menor n;mero de cuatro cifras &ue diidido 'or <, - y .. da resto /, y &ue diidido 'or ./ da resto .% Solución2 Sea n el n;mero buscado, entonces 'or el al#oritmo de la diisión e!isten
$1 , $2 y $3
tales &ue2
n = 4 $ 1+ 3 ⟹ n − 3 = 4 $ 1
n =7 2 + 3 ⟹ n−3 =7 2 n =11 3 + 3 ⟹ n−3 =11 3
Lue#o2 4|( n−3 ) , 7|( n− 3 ) , 11|( n −3 )
Es decir
(n −3 ) es m;lti'lo com;n a <, - y .., 'or tanto 0a de ser m;lti'lo de su m3nimo com;n
m;lti'lo y al ser m . c . m . ( 4,7,11 )=4 × 7 × 11=308
Ser"
308|( n−3 )
Lue#o e!istir" un entero x tal &ue2 n −3=308 x ⟹ n =308 x + 3 ( 1)
+or otro lado y tambi1n 'or el al#oritmo de la diisión, e!istir" un entero y tal &ue2
n =13 y +1 ( 2 )
De 7.8 y 78 resulta2 308 x +3 = 13 y + 1 ⟹ 13 y − 308 x =2 ( 3 )
Sean a =−308 y b =13 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 308=23 × 13 + 9,
13=1 × 9+ 4, 9 =2 × 4 + 1,
4= 4 × 1 +0
As3,
(−308,13 )=1. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% 'uede escribirse como función
lineal 0omo#1nea de @/=: y ./% 9 =308 +(−23 ) × 13 4 = 13 +( − 1 ) × 9 =13 + (−1 ) 308 +(−23 ) × 13 = ( 24 ) .13 + ( −1 ) .308
[
1=9 + (−2 ) .4 =308 +(−23 ) × 13 + ( −2 ) . ( 24 ) .13 + (−1 ) .308
]=(−71 ) .13 +( 3 ) .308
?ulti'licamos esta ;ltima e!'resión 'or , 13 (−142 )− 308 (−6 ) =2
De esta e!'resión obtenemos2 x 0=−6 e y 0=−142
La solución #eneral ser3a2 b 13 x = x 0+ t =−6 + t =13 t − 6 g 1
a −308 y = y 0 − t =−142 − t =308 t −142 g 1
Donde t es un entero% Calculemos finalmente el n;mero 'edido% n =308 x + 3 =( 308 ) ( 13 t −6 )+ 3= 4004 t −1845 4004 t −1845 > 0 →t > 0.46
Si
t =1 , entonces
n =4004 t −1845 =4004 ( 1 ) −1845=2159 , y es el menor n;mero de < cifras &ue
cum'le con el enunciado del 'roblema% -% Un #ran$ero #astó .==%=== 'ts en .== animales entre 'ollos, cone$os y terneros% Si los 'ollos los com'ró a 9= 'ts, a .=== 'ts los cone$os y a 9=== 'ts los terneros y ad&uirió animales de las tres clases, cu"ntos animales com'ró de cada clase Solución2 Sea 'Q de 'ollos c Q de cone$os
tQ de terneras Las ecuaciones asociadas al 'roblema son2 " + c + t =100 ( 1 ) 50 " + 1000 c + 5000 t =100000 ⟹ " +20 c + 100 t =2000 ( 2 )
5estamos 78 menos 7.8 19 c + 99 t =1900
Sean a =19 y b =99 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 99 =5 × 19 + 4, 19= 4 × 4 + 3,
4 =1 × 3 + 1, 3=3 × 1+ 0
As3,
( 19,99)=1. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% .>== 'uede escribirse como función
lineal 0omo#1nea de .> y >>% 4 = 99 +(− 5 ) × 19
[
3=19 + ( −4 ) × 4 =19 + ( −4 ) 99 +(−5 ) × 19
]=( 21 ) .19 +(−4 ) .99
[
]
1= 4 + (−1 ) .3 =99 +(−5 ) × 19 +( −1 ) . ( 21 ) .19 + ( −4 ) .99 =(−26 ) .19 + ( 5 ) .99
?ulti'licamos esta ;ltima e!'resión 'or .>==, 19 ( −49400 ) + 99 ( 9500 )=1900
De esta e!'resión obtenemos2 c 0=−49400 e t 0 =9500
La solución #eneral ser3a2 b 99 c = c0 + k =−49400 + k = 99 k − 49400 g 1 a 19 t =t 0− k =9500− k =9500 −19 k g 1
Donde es un entero% Geamos finalmente, cuantos animales de cada clase com'ró% Teniendo en cuenta &ue ad&uirió animales de las tres clases, tendremos c > 0 ⟹ 99 k − 49400 > 0 ⟹ k > 498.9
t > 0 ⟹ 9500 −19 k > 0 ⟹ k < 500
* como k es un n;mero entero se si#ue &ue k =499 % As3 'ues2 c =99 k − 49400 =99 ( 499 )−49400 =1 t =9500 − 19 k =9500 −19 ( 499 ) = 19
"=100 −c −t =100 −1−19 =80
5 Com'ró . cone$o, .> terneras y := 'ollos% :% 7a8 Determinar el m3nimo alor de
c 'ara &ue la ecuación
84 x + 990 y = c
admita soluciones%
5esolerla en dic0o caso% 7b8 E!iste al#;n alor de
c 7en el ran#o es'ecificado8 'ara el &ue dic0a ecuación admita
soluciones 'ositias Solución2 7a8 El m3nimo alor de
c =m . c . * ( 84, 990)
Utili(ando el al#oritmo de Euclides tenemos2 990 =11 × 84 + 66 84 =1 × 66 + 18
66 =3 × 18 + 12 18=1 × 12 + 6
12= 3 × 6 + 0
Lue#o2 c =m . c . * ( 84,990 )=6 5esolamos2 84 x + 990 y =6 ⟹ 14 x + 165 y =1 Sean a =14 y b=165 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 165=11 × 14 + 11, 14 =1 × 11+ 3,
11= 3 × 3 + 2, 3=1 × 2 + 1
2=2 × 1 + 0
As3,
(14,165 )=1. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides%. 'uede escribirse como función
lineal 0omo#1nea de .< y .49% 11= 165+(−11) × 14 3=14 +( − 1 ) × 11=14 + ( −1 ) 165 +(−11) × 14 = ( 12 ) .14 + (−1 ) .165
[
]=(−47 ) .14 +( 4 ) .165
1=3 + ( −1 ) .2=( 12 ) .14 + ( −1 ) .165 + (−1 ) .
[ (−47 ) .14 + ( 4 ) .165 ]= (59 ) .14 + (−5 ) .165
2=11+ (−3 ) .3= 165+(− 11) × 14 + ( −3 ) . ( 12 ) .14 +( −1 ) .165
De esta e!'resión obtenemos2 x 0=59 e y 0=−5
La solución #eneral ser3a2
165 b x = x 0+ t =59 + t =165 t +59 g 1
a 14 y = y 0 − t =−5 − t =−14 t −5 1 g
Siendo t un entero 7b8 El m3nimo alor &ue 'uede tomar la e!'resión
84 x + 990 y
cuando ! e y toman alores enteros
'ositios es .=-< 7'ara x = y =1 8, 'or lo &ue el m3nimo alor &ue 'uede tomar c 'ara &ue e!istan soluciones 'ositias es .=-<, &ue se encuentra fuera del ran#o nin#;n alor de
+¿
¿
c ∈ + con
10 ≤c ≤ 1000
10 ≤c ≤ 1000.
'ara el cual la ecuación
Es decir, no e!iste
84 x + 990 y = c
admita
soluciones enteras y 'ositias% >% Eniamos 'or correo dos ti'os de 'a&uetes A y H% +or eniar los del ti'o A nos cobran .9 c1ntimos de euro m"s &ue 'or los del ti'o H% Sabiendo &ue 0emos eniado m"s 'a&uetes del ti'o H &ue del ti'o A, &ue en total 0emos eniado . 'a&uetes y &ue nos 0an cobrado un total de ./ euros con = c1ntimos, cu"ntos 0emos eniado de cada ti'o y &ue nos 0an cobrado 'or cada uno Solución2 Sea x Q de 'a&uetes del ti'o H% 12− x
Q 'a&uetes del ti'o A%
y 'recio en c1ntimos 'or el enio de cada 'a&uete H%
y + 15 'recio en c1ntimos 'or el enio de cada 'a&uete A%
La ecuación asociada al 'roblema es2 xy + ( 12− x ) ( y + 15 )=1320
xy + 12 y + 180 − xy −15 x =1320 12 y −15 x =1140 4 y −5 x =380
Sean a =−5 y b =4 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 5=1 × 4 + 1,
4 = 4 × 1 + 0,
As3,
(−5, 4 )=1. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides% /:= 'uede escribirse como función
lineal 0omo#1nea de < y @9% 1=( 1 ) .5 +(−1 ) × 4
?ulti'licamos esta ;ltima e!'resión 'or /:=,
4 (−380 ) −5 (−380 ) =380
De esta e!'resión obtenemos2 x 0=−380 e y 0=−380
La solución #eneral ser3a2 b 4 x = x 0+ t =−380 + t = 4 t −380 g 1 5 a y = y 0 − t =−380 + t =5 t −380 g 1
Siendo t un entero% Como 0 < x < 12 → 0 < 4 t −380 < 12 → 380 < 4 t < 392 → 95 < t < 98 De donde t =96 y +ara
t =96
t =97
se obtiene
x =4
, es decir se 0abr3an eniado < 'a&uetes del ti'o H y : 'a&uetes
del ti'o A, &ue contradice el 0ec0o de &ue se 0an eniado m"s 'a&uetes del ti'o H &ue del A% +ara t =97 obtenemos x =8 e
y =105 , 'or lo &ue se 0an eniado : 'a&uetes del ti'o H a .
euro con 9 c1ntimos y < del ti'o A a . euro con = c1ntimos% /=% Se considera la ecuación diof"ntica lineal
3 x +7 y =c
donde
+¿ .
¿
c ∈ +
7a8 Kallar la solución #eneral de la ecuación% 7b8 Cu"l es el m3nimo alor &ue 'uede tomar c 'ara &ue la ecuación 'osea soluciones 'ositias 7c8 A 'artir de &u1 alor de c 'odemos #aranti(ar &ue la ecuación siem're a a tener soluciones 'ositias 7Inde'endientemente de &ue 'ara al#;n alor anterior tambi1n 'uede admitirla8% 7d8 Entre &u1 dos alores debe situarse
c 'ara 'oder #aranti(ar la e!istencia de dosJ soluciones
'ositias, sin 'oder #aranti(ar la e!istencia de una tercera +odr3a darse el caso de &ue 'ara al#uno de los alores encontrados tuiese tres soluciones 'ositias 7e8 Cu"l es el m3nimo alor &ue 'uede tomar
c 'ara &ue la ecuación admita soluciones 'ares
7tanto !J como yJ deben ser 'ares8 Kallar, 'ara dic0o alor de
c todas las soluciones 'ares de
la ecuación% Solución2
7a8 Sean a =3 y b =7 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 7= 2 × 3 + 1,
3=3 × 1+ 0,
As3,
(3,7 )= 1. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides, c 'uede escribirse como función lineal
0omo#1nea de / y -% 1=( 1 ) .7 +(−2 ) × 3
?ulti'licamos esta ;ltima e!'resión 'or c,
3 (−2 c ) + 7 ( c )=c
De esta e!'resión obtenemos2 x 0=−2 c e y 0 =c
La solución #eneral ser3a2 7 b x = x 0+ t =−2 c + t =7 t −2 c g 1 3 a y = y 0 − t =c − t =c − 3 t g 1
Donde t es un entero% 7b8 La solución 'ositia m"s 'e&uea se obtiene cuando
x = y =1 ,
en cuyo caso
c =3 ( 1)+ 7 ( 1)=10.
7c8 +ara &ue la ecuación ten#a soluciones 'ositias 0a de erificarse &ue2 x =7 t −2 c > 0 →t > y = c −3 t > 0 → t <
2c 7
c 3
De donde 2c 7
< t <
c 3
Teniendo en cuenta &ue el interalo es abierto, la am'litud m3nima &ue debe tener 'ara #aranti(ar la e!istencia de soluciones 'ositias es un n;mero mayor &ue, 'or lo &ue c 3
−
2c 7
=
c 21
> 1 →c > 21
As3 'ues solo 'ara #aranti(ar &ue la ecuación siem're a a tener soluciones 'ositias 'ara alores de c mayores o i#uales a % 2c
7d8 Si &ueremos &ue la ecuación admita dos soluciones 'ositias, el interalo
7
< t <
c 3
debe tener
una am'litud su'erior a 'ero no su'erior a tres, ya &ue entonces se #aranti(ar3an tres soluciones 'ositias, es decirM 2<
c 3
−
2c 7
≤ 3 →2<
c 21
≤ 3 → 42 < c ≤ 63
+or lo &ue el m3nimo alor &ue 'uede tomar c es y el m"!imo 4/% Es eidente &ue en un interalo de am'litud mayor &ue y menor &ue tres, e!isten, al menos, dos alores enteros, 'ero no &uiere decir &ue no 'ueda 0aber tres, 'or lo &ue 'odr3a darse el caos de tres soluciones 'ositias%
c =52 el interalo
As3, 'or e$em'lo, 'ara
(
2c c 7
,
3
) =(
14.8571,17.3333 )
tiene am'litud %<-4, 'ero
en dic0o interalo 0ay tres alores enteros, el .9, el .4 y el .-% 7e8 Hasta con 0acer x =2 x ’ e
y =2 y ’ 'ara &ue el 'roblema se redu(ca a buscar cu"ndo a 0a
tener solución la ecuación
( 2 x ’ )+7 ( 2 y ’) =c 6 x ' +14 y ' = c Dado &ue m . c . * .( 6,14 )=2 , 'ara &ue la ecuación admita solución, c 0a de ser 'ar, 'or lo &ue el m3nimo alor &ue 'uede tomar es % En este caso, la ecuación se conierte en
'
6 x + 14 y
'
= 2 e&uialente a
'
3 x + 7 y
'
=1 cuya solución
#eneral 71ase el 'rimer a'artado 'ara c =1 8 es '
x =−2 + 7 t '
y =1−3 t
+or lo &ue las soluciones 'ares de la ecuación
3 x + 7 y =2
iene dadas 'or
x =2 x ’ =−4 + 14 t y =2 y ’ =2−6 t
Donde t es un entero% 2
2
/.% La ecuación diof"ntica x − y =nconn > 0 , tiene solución si y solo si n se 'uede factori(ar como 'roducto de dos n;meros de la misma 'aridad, es decir 'ares o im'ares% Si e!isten, las soluciones son de la forma2 x =
a+b 2
, y=
a− b 2
Donde a y b recorren todos los 'ares de n;meros de la misma 'aridad y tales &ue Solución2 x
2
− y 2=n =a . b
( x − y ) ( x + y ) =a . b x − y = a ∧ x + y =b
5esoliendo tenemos2 2 x =a + b ⟹ x =
y = x − a=
a +b 2
a +b 2
−a =
,
b −a 2
+ara &ue ! e y sean enteros a y b deben ser 'ares o a y b deben ser im'ares%
n =ab %
2
2
/% Encontrar todas las soluciones 'ositias de x − y = 40 % Solución2 3
40 =2 .5,
Como
se tiene &ue <= 'uede e!'resarse como el 'roducto de dos n;meros de la misma
'aridad como 40 =10 × 4 =20 × 2. +or tanto, si x =
* si x =
10+ 4 2
=7, y =
a =20 y 20 +2 2
10 −4 2
a =10 y
b =4 se tiene
=3
b =2 se tiene
=11, y =
20−2 2
=9
+or lo tanto las soluciones buscadas son2
{ 7,3 } y { 11,9 }
//% Se desea construir una sala con un "rea e!acta% +ara ello, un in#eniero determinó &ue los costos ser"n menores si la diferencia entre el cuadrado del lar#o y el cuadrado del anc0o es de /4 metros cuadrados% A 'artir de esto, determine el lar#o y el anc0o de la sala% Solución2 Sea x lar#o de la sala% y anc0o de la sala%
El 'roblema dado se traduce en resoler la ecuación2 x
2
− y 2=36
* encontrar los alores enteros 'ositios asociados% Como
2
2
36= 2 . 3
, se tiene &ue /4 'uede
e!'resarse como el 'roducto de dos n;meros de la misma 'aridad como a =18 y
tanto, si x =
* si x =
18+ 2 2
=10, y =
a =6 y 6+6 2
36= 18 × 2=6 × 6.
b =2 se tiene
18 − 2 2
=8
b =6 se tiene
=6, y =
6 −6 2
=0
Esta solución se descarta, 'or lo tanto los ;nicos alores &ue satisfacen el 'roblema son2 x =10 me y =8 m
/<% 7a8 ?ide 4 litros con un #rifo y dos $arras de - y 9 litros% 7b8 Ser" 'osible medir cual&uier cantidad con las dos $arras - y 9 litros 7c8 ?ide un litro con un #rifo y dos $arras de > y 4 litros% 7d8 Cu"ndo ser" 'osible obtener una cantidad con dos $arras dadas 7e8 ?ide . litro con un #rifo y dos $arras de > y - litros% Solución2
+or
7a8 Sea x Q de $arras de - litros e
y Q de $arras de 9 litros
La ecuación asociada al 'roblema es2 7 x + 5 y =6
7a8 Sean a =7 y b =5 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 7= 1 × 5 + 2,
5=2 × 2 + 1, 2=2 × 1 + 0
As3,
(7,5 )= 1. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides, . 'uede escribirse como función lineal
0omo#1nea de - y 9% 2=7 +(−1) × 5
[
1=5 + ( −2 ) × 2=5 + ( −2 ) 7 + ( −1 ) × 5
]=(−2 ) .7 + ( 3 ) 5
?ulti'licamos esta ;ltima e!'resión 'or 4, 7 (−12 ) + 5 ( 18 )= 6
De esta e!'resión obtenemos2 x 0=−12 e y 0=18
La solución #eneral ser3a2 5 b x = x 0+ t =−12 + t =5 t −12 g 1
a 7 y = y 0 − t =18− t =18 −7 t g 1
Donde t es un entero%
Si t =3 entonces x =3 e y =3 Este &uiere decir &ue se introducen / $arras de - litros y se sacan / $arras de 9 litros, 'ara &ue &ueden 4 litros% 7b8 Si es 'osible ya &ue - y 9%
m . c . * . ( 7,3 )=1 , y . 'uede escribirse como función lineal 0omo#1nea de
7c8 No es 'osible ya &ue
m . c . * . ( 9,6)= 3
7d8 Cuando el m3nimo com;n m;lti'lo de los dos n;meros sea i#ual a .% 7e8 Sea x Q de $arras de > litros e
y Q de $arras de - litros
La ecuación asociada al 'roblema es2 9 x + 7 y =1
7a8 Sean a =9 y b=7 % Entonces, 'or el al#oritmo de Euclides 9 =1 × 7 + 2, 7= 3 × 2 + 1,
2=2 × 1 + 0
As3,
( 9, 7 )=1. Usando los 'asos del al#oritmo de Euclides, . 'uede escribirse como función lineal
0omo#1nea de > y -% 2=9 +(−1) × 7 1=7 + (−3 ) × 2 =7 +( − 3 ) 9 +(−1 ) × 7 = (−3 ) .9 + ( 4 ) 7
De esta e!'resión obtenemos2 x 0=−3 e y 0= 4
La solución #eneral ser3a2 b 7 x = x 0+ t =−3 + t =7 t −3 g 1 9 a y = y 0 − t =4 − t = 4 −9 t g 1
Donde t es un entero%
Si t =0 entonces x =−3 e y = 4 Este &uiere decir &ue se introducen < $arras de - litros y se sacan / $arras de > litros, 'ara &ue &uede . litro% /9% Encuentra las cinco formas diferentes de sumar B<%>> con .== monedas de ., .= y 9 centaos% Solución2 Sean x Q de monedas de . centao% y Q de mondas de .= centaos%
z Q de monedas de 9 centaos%
Las ecuaciones asociadas al 'roblema son2 x + y + z =100 ( 1 )
x + 10 y + 25 z = 499 ( 2 )
5estamos 78 menos 7.8 9 y + 24 z =399
3 y + 8 z =133 → z =
133−3 y 8
(1 )
+ara resoler esta ecuación ten#amos en cuenta lo si#uiente2 •
x , y , z son enteros mayores &ue .
•
y es un n;mero im'ar% 0 < y < 50
•
133−3 y
•
es un m;lti'lo de :
Lue#o,
133−3 y =8 , 16,24 , 32 , 40,48 , 56 , 64,72 , 80 , 88,96 , 104 , 112, 120 , 128
Los 'osibles alores son2 y z x
39 2 59
31 5 64
23 8 69
15 11 74
7 14 79
/4% Un 0ombre com'ró doce 'ie(as de fruta 7man(anas y naran$as8 'or >> centaos% Si una man(ana cuesta / c1ntimos m"s &ue una naran$a, y com'ró m"s man(anas &ue naran$as, cu"ntas de cada uno com'ró Solución2 Sea x Q de man(anas% 12− x
Q de naran$as%
y 'recio de una naran$a en c1ntimos% y + 3 'recio de una man(ana en c1ntimos%
Las ecuaciones asociadas al 'roblema son2 x ( y + 3 ) + ( 12 − x ) . y =99 xy + 3 x + 12 y − xy =99 3 x + 12 y = 99
x + 4 y =33 ⟹ y =
33 − x 4
(1 )
+ara resoler esta ecuación ten#amos en cuenta lo si#uiente2 x es un entero menor &ue . •
•
•
Lue#o,
x es un n;mero im'ar% 33− x
es un m;lti'lo de <
33− x = 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24,28
Lue#o x =5 y x =9 Como se com'raron m"s man(anas &ue naran$as, entonces x =9 y
12− x =3
Se com'raron > man(anas y / naran$as% /-% En una clase de teor3a de n;meros 0ay estudiantes de se#undo, tercero y cuarto curso% Si cada estudiante de se#undo curso contribuye con B.%9, cada uno de tercero con B=%>= y cada uno de cuarto con B=%9=, el instructor recibir" una 'a#a de B9% Kay 4 estudiantesM cu"ntos 0ay de cada #ru'o Solución2 Sea !, y, ( al n;mero de alumnos de se#undo, tercer y cuarto curso, res'ectiamente, 'lanteamos el sistema
{
{
{
x + y + z =26 x + y + z = 26 ⟹ ⟹ 10 x + 10 y + 10 z = 260( 1) 125 x + 90 y + 50 z =2500 25 x + 18 y + 10 z =500 25 x + 18 y + 10 z = 500 ( 2 )
5estamos la ecuación 78 menos 7.8 15 x + 8 y =240
Teniendo en cuenta &ue
8 × 15 =120
, 0allamos &ue x =8 ,
y =15 es una solución entera de
esta ;ltima ecuación, 'or lo &ue todas las otras ser"n de la forma
{=
x =8 + 8 t
y 15−15 t
* entonces z =26 − x − y =26 −( 8 + 8 t )− (15 −15 t ) =3 + 7 t +ara 0allar !, y, ( tenemos2
x =8 + 8 t > 0 → t >−1
y =15 −15 t > 0 → t < 1
−1 < t < 1, como t es un entero, entonces t =0 , lue#o2 x =8, y =15, z =3
+or lo tanto,
/:% El si#uiente 'roblema a'areció 'or 'rimera e( en un libro indio escrito sobre el ao :9=% Tres mercaderes encontraron una bolsa en el camino% Uno de ellos di$o2 Si yo consi#o esta bolsa, ser1 el doble de rico &ue osotros dos $untosJ% Entonces el se#undo di$o2 *o ser1 el tri'le de rico &ue osotros $untosJ% El tercer 0ombre di$o2 *o ser1 tan rico como cinco eces osotros dos $untosJ% Cu"nto ten3a cada mercader y cu"nto 0ab3a en la bolsa Solución2 Sean x , y , z la cantidad 'ose3da 'or los tres mercaderes y b la cantidad &ue contiene la bolsa% Entonces
{
{
x + b =2 ( y + z ) x =2 y + 2 z −b y + b =6 y + 9 z −3 b ⟹ 5 y + 9 z =4 b ⟹ y + b=3 ( x + z ) y + b =3 x +3 z ⟹ z + b=15 y + 10 z −5 b 15 y +9 z =6 b z + b=5 x + 5 y z + b =5 ( x + y )
{
{
⟹ 10 y
=2 b ⟹ y =
⟹ 9 z =3 b ⟹ z =
b 5
b 3
Finalmente2 x =2.
b 5
b
b
3
15
+ 2. −b ⟹ x =
/>% Un hombre cobra un cheque por d dólares y c centavos en un banco. El cajero, por error, le da c dólares y d centavos. El hombre no se da cuenta hasta que gasta 23 centavos y además se da cuenta que en ese momento tiene 2 d dólares y 2c centavos. ¿uál era el valor del cheque! "olución#
$lanteemos la ecuación
( 100 c + * )− 23=200 * + 2 c y obtenemos
98 c −199 * = 23
. Usemos
el algoritmo de Euclides para encontrar una solución de esta ecuación# 199=2 × 98 + 3 → 3 =( −2 ) .98 + 1 × 199 98 =32 × 3 + 2 → 2=(−32 ) .3+ 98= ( 65 ) .98 + (−32 ) .199 3=1 × 2 + 1 → 1 =3 + ( −1 ) .2= (−67 ) .98 + ( 33 ) .199
Entonces
c =−67, * =−33
es una solución de
c =−1541, * =−759 es una solución de#
98 c −199 * =1
98 c −199 * = 23.
y, multiplicando por 23,
%as demás soluciones serán de
la &orma
{
c =−1541+ 199 t * =−759 + 98 t
$ara
t≥8
es cuando se obtienen valores positivos de c y d# $ara
t =8 ,
c =51 ,
* =25 . $ara valores mayores de t, ser'a mayor que ()), que es imposible. $or tanto, el
valor del cheque era de 2* dólares y *( centavos.