UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ZONA CENTRO BOGOTA –CUNDINAMARCA CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ Taller 3 Probabilidad
1. Clasifique las siguientes variables aleator ias como discr etas o continuas. • X: • Y: • • • •
Número de parciales realizados en una mater ia en la UNAD. Número de llamadas telefónicas recibidas en el celular personal de una persona en un deter minado día. M: Tiempo de duración de una llamada telefónica. N: Núme Número ro de kilómetros que separa una ciudad de otr a. K : Número de bacter ias encontr adas en el agua de un lago. Edad cronológica de una persona. Explique su r espuesta. Z: Edad
2. En una l o t e r í a se venden 200 b oletos, de los cuales dos son ganadores de un $1000.000, ocho de $500.000, diez de $200.000, veinte de $100.000 y sesenta de $10.000. Sea X una variable aleator ia que r epr esenta la la ganancia de un jugador . a. Encuentr e la función de distribución de probabilidad de la variable aleator ia X. b. Obtenga la f u n c ió n de de di st r ib uc ió n acu acum mulad ulada a de la varia ariabl ble e X. c. Cal Calcule cule el valor alor espe espera rado do,, la varia arianz nza a y la d e s v i a c i ó n e s t á n d a r de la var iable X. d. Calcule P(X < 35.000) y P (30.000 ≤ X ≤ 145000). 3. Deter mine el valor de
c
de tal forma que cada una de las siguientes f un unciones sirva
como una distribución de probabilidad de la variable aleator ia X : a. b.
() = (14) = 1, 2 , 3.3. 2 = 0, 1, 2. () = �2 �3−
4. Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una cara, el juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe $20000, $40000 o $80000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $200000. Si X representa la ganancia del jugador: a. Encuentre la función de probabilidad f(x) b. Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x) 5. Un frasco contiene cinco pelotas: tres rojas y dos blancas. Del frasco se eligen al azar dos dos pelotas sin reemplazarlas, y se anota el numero x de pelotas rojas. Explique por qué x es una variable aleatoria binomial o no. 6. Una Una
c o m p a ñ í a de Segu Seguros ros piens piensa a ase asegu gurar rar un un carro carro en $500 $500.00 .000. 0. La co mp añ ía estima q qu ue puede ha haber ber un una p é r d i d a total del vehículo con una probabilidad de 0.008, daño s en el 50% del veh ve h í c u l o con una una probabilidad probabilidad de 0.020 0.020 y daños en un 25% con una probabilidad de 0.06. ¿Cuánto debe cobrar la compañía por una póliza de este tip o si desea obtener una ganancia promedio de $3500.
7. Sea X el número de casos de rabia registrados en un mes en una ciudad determinada. 2 Suponga que, µ(X)=1/2 y σ =1/25. ¿Podría considerarse infrecuente registrar dos casos de rabia en un mes en esa ciudad? 8. ¿Cuál es el valor mínimo de k en el teorema de Chébyshev para el cual la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor entre que, µ - kσ y µ +kσ sea:
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a. ¿Cuándo menos 0,95? b. ¿Cuándo menos 0,99? 2
9. Si X es una variable aleatoria tal que E(X) = 3 y E(X ) = 13, utilice la desigualdad de Chebyshev para determinar una cota inferior para la probabilidad P(−2 < X < 8)
10. Una pieza de equipo electrónico contiene seis chips, de los cuales dos son defectuosos. Se elige al azar tres chips para inspeccionarlos y se anota cuantos son defectuosos. Encuentre la distribución de probabilidad para x, el número de chips defectuosos. 11. Un embarque de 10 televisores contiene 3 unidades defectuosas. Un hotel realiza una compra al azar de 3 de los televisores. Si X es el número de unidades defectuosas que compra el hotel: a. Encuentre la función de probabilidad f(x) b. Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x) 12. Sea X una variable aleatoria con función de densidad f (x)
2 a (3x - x ) 0
=
0 ≤ x ≤ 3 en otro caso
a. Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función de densidad de probabilidad b. Calcule P ( 1 < X < 2) 13. Suponga que los editores de una revista desean aumentar sus suscriptores. Para ello envían un número aleatorio de cartas invitando a las personas a suscribirse. De las personas que la reciben un gran número ni siquiera la leen o la botan, pero otros la leen y responden. Si la proporción de personas que responden a la invitación (0 = 0%, 1 = 100%) es una variable aleatoria continua X, cuya función de densidad es: f (x) =
2 ( x + 2) /5 0
0 ≤ X ≤ 1 en otro caso
a. Verifique que en efecto f(x) es una función de densidad de probabilidad b. Calcule la probabilidad de que entre 30% y 60% de personas que reciben la carta, la respondan. 14. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de dólares como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de dólares como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego. 15. Verifique que la siguiente función es una función de probabilidad y calcule las probabilidades pedidas. x -2 -1 0 1 2 f(x) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8 a. b. c. d. e.
( ≤ 2) ( > 2) (1 ≤ ≤ 1) ( ) ≤ 1 ò ( 2) = 2) Determine y
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16. Al invertir en acciones financieras, una persona puede lograr una ganancia de 4000 dólares en un año con probabilidad de 0.3 o bien tener una pérdida de 1.000 dólares con probabilidad de 0,7. Cuál sería la ganancia esperada de esa persona. 17. Sea X una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a un almacén en una hora, de acuerdo a la siguiente información: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) 0,05 0,10 0,10 0,10 0,20 0,25 0,10 0,05 0,05 Encuentre E(X) y V(X) 18. La
distribución
de
3−
() = �3 14 34
probabilidad
= 0, 1, 2,3.
de
una
variable
discreta
X
es:
Encuentre la media aritmética, varianza y
desviación típica. 19. Se lleva a cabo un estudio de un fármaco destinado a mantener un ritmo cardíaco constante en pacientes que ya han sufrido un infarto. Sea X el número de latidos por minuto, registrado durante la utilización de este fármaco con la siguiente función de probabilidad. Utilizando la desigualdad de Chébyshev, ¿entre qué valores oscilará el ritmo cardíaco del 75% de los pacientes tratados?. x f(x)
40 0,01
60 0,04
68 0,05
70 0,80
72 0,05
80 0,04
100 0,01
20. Suponga que un comerciante de joyería antigua está interesado en comprar una gargantilla de oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de $ 250, $ 100, al costo, o bien con una pérdida de $150 son: respectivamente: 0.22, 0.36, 0.28, 0.14. ¿cuál es la ganancia esperada del comerciante? 21. Una estación de servicio tiene un depósito de gasolina sin plomo de 2000 litros lleno al comienzo de cada semana. La demanda semanal muestra un comportamiento creciente hasta llegar a 1000 litros, y después se mantiene entre 1000 y 2000 L. Si designamos por X la variable aleatoria que indica la demanda semanal, en miles de litros, de gasolina sin plomo, la función de densidad es:
0, x <0 x, 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = 1 2 , 1< x ≤ 2 0, x >2 Se pide: 1. Comprobar
que es una función de densidad. función de distribución. 3. Probabilidad de que la demanda sea mayor de 1500 L en una semana dada. 4. Probabilidad de que la demanda esté comprendida entre 750 1500 litros en una semana dada. 2. La
22. X: número de imperfecciones por cada 10 metros de tela sintética en rollos. Encontrar el
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número promedio de imperfecciones por cada 10 metros de tela x f(x)
0 0,41
1 0,37
2 0,16
3 0,05
4 0,01
23. Suponga que en el campeonato de futbol de primera división, en cada partido el árbitro saca un promedio de 3.5 tarjetas amarillas. Calcule la probabilidad de que en un partido cualquiera haya: a. Cuatro amonestados b. Entre cuatro y seis amonestados inclusive c. No más de tres amonestados d. Ningún amonestado e. Encuentre el número esperado y la varianza del número de tarjetas amarillas mostradas por el árbitro y utilice el Teorema de Chebyshev para interpretar el intervalo μ ± 2σ.
24. Considere el experimento aleatorio de extraer cuatro bolas de una urna que contiene cinco bolas negras, seis blancas y siete bolas rojas. Encuentre la función de densidad de probabilidad de bolas blancas y rojas extraídas. 25. El proceso de taladrar agujeros en tarjetas de circuito impreso, produce diámetros con una desviación estándar de 0.01 milímetros. ¿Cuántos diámetros es necesario medir para que la probabilidad sea al menos 8 9 de que el promedio de los diámetros medidos se encuentre a no más de 0.005 milímetros del diámetro promedio μ del proceso?
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