Página de
Una caja contiene 100 focos, 50 azules y 50 rojos; de los cuales, 10 son defectuosos: 6 azules y 4 rojos. i) ¿Cuál es la probabilidad de que un foco elegido al azar, sea defectuoso (evento D)? ii) Si seleccionamos un foco al azar y se observa que éste es azul (evento A), ¿Cuál es la probabilidad de que el foco sea defectuoso? 2. Se tienen dos cajas. La caja I contiene 3 esferas rojas y 2 azules, en tanto que la caja II contiene 2 esferas rojas y 8 azules. Se arroja una moneda. Si se obtiene águila se saca una esfera de la caja I; si se obtiene sol se saca una esfera de la caja II. R indica el evento “sacar una esfera roja” mientras que I y II indican los eventos escoger caja I y caja II, respectivamente. i) Hallar la probabilidad de sacar una esfera roja. ii) Hallar la probabilidad de que se escogiera la caja I, dado que la esfera es R. 3. En un Instituto Superior, el 25% de los hombres y el 10% de las mujeres estudian Biología. Las mujeres constituyen el 60 % del estudiantado. Si se selecciona en forma aleatoria un estudiante y resulta que está cursando Biología, determinar la probabilidad de que sea mujer. 4. La tabla a continuación nos presenta el ascenso a catedráticos de los profesores de una institución durante los últimos 5 años. Cuál es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea: Hombres Mujeres Total Ascendido 278 26 304 No Ascendido 662 194 856 Total 940 220 1160 i) Hombre (H) y fue ascendido? ii) Hombre (H) y no fue ascendido? iii) Mujer (M) fue ascendido? iv) Mujer (M) y no fue ascendido? v) Ascendido dado que es hombre (H)? 5. La probabilidad de que ocurra el evento A es 0.35, la probabilidad de que ocurra el evento B es 0.10. Si A y B son eventos independientes, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento (A ∩B)? 6. 55% de las personas de Cartagena viven en el área metropolitana además, 70% de esas personas se sienten felices y 40% de todas las personas viven en el área metropolitana y son felices. Demostrar si los eventos vivir en el área metropolitana y ser felices son eventos dependientes o independientes. 7. El 50% de las personas de una comunidad poseen una cámara digital y una computadora. Además, 30% posee una computadora y 40% una cámara digital. ¿Cuál es la probabilidad que si seleccionamos una persona al azar posea una cámara o una computadora? 8. Lanzamos una moneda hasta observar la segunda cara. ¿Cuál es la probabilidad de observar dos cruces antes de que se observe la segunda cara? 9. Un 65% de los alumnos de un centro han aprobado Matemáticas, un 70% ha aprobado Filosofía, y un 53% ha aprobado ambas materias. Si se elige al azar un estudiante, calcúlese la probabilidad de que: i) Haya aprobado al menos una de las dos materias.
Página de
ii) Haya suspendido ambas materias. iii) Si aprobó Matemáticas ¿Cuál es la probabilidad de haber aprobado filosofía? 10. Suponiendo que la riqueza es independiente del sexo, calcular: i) Las probabilidades que faltan en la tabla. ii) La probabilidad de que sabiendo que una persona no es pobre que sea hombre. iii) La probabilidad de que una persona sea rica o mujer. ? ? 0.002
? ? ?
0.607 0.393
11. Un aparato está formado por dos partes A y B. El proceso de fabricación es tal que la probabilidad de un defecto en A es 0,06 y la probabilidad de un defecto en B es 0,07. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto no sea defectuoso? 12. En una bolsa tenemos tres dados iguales salvo por el color de sus caras. El dado D1 tiene cuatro caras blancas y dos rojas, el dado D2 tiene tres blancas y tres rojas y el dado D3 tiene una cara blanca y cinco rojas. Es extraído un dado al azar y lanzado al aire. Sabiendo que la cara vuelta hacia arriba ha sido blanca: i) ¿Cuál es la probabilidad de que el dado elegido haya sido el D1? ii) ¿Y que haya sido elegido el D2? 13. En el jardinero del señor Rodríguez no se puede confiar. La probabilidad de que olvide regar el rosal durante la ausencia del señor Rodríguez es 2/3. El rosal: si se le riega tiene igual probabilidad de progresar o de secarse (0.5), pero solamente un 0.25 de de progresar si no se le riega. Después de su regreso, el señor Rodríguez se encuentra que su rosal está seco. ¿Cuál es la probabilidad de que el jardinero no lo haya regado? 14. Dos máquinas A y B han producido 100 y 200 piezas. Se sabe que A produce 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se selecciona una pieza y se pide: i) Probabilidad de que sea defectuosa. ii) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad que haya sido fabricada por la máquina A. 15. Una compañía de seguros de automóviles clasifica a los conductores en tres clases: A, alto riesgo, B, riesgo medio, y C bajo riesgo. La clase A constituye el 30% de los conductores que suscriben un seguro con la compañía; la probabilidad de que uno de esos conductores sufra un accidente en un año es 0.1. Los datos correspondientes para la clase B son 50% y 0.03 y para la clase C son 20% y 0.01. i) Un determinado cliente entre los asegurados, que probabilidad tiene de sufrir un accidente. ii) Si seleccionamos un cliente accidentado el primer año. ¿Cuál es la probabilidad de que este cliente esté en cada una de las clases A, B, C? 16. Cuatro máquinas A, B, C, D producen respectivamente el 40%, el 50%, el 20%, y el 10% del total de productos de un laboratorio farmacéutico. Estas máquinas producen artículos defectuosos en los siguientes porcentajes: 5%, 4%, 2%, 1% respectivamente. Seleccionando un artículo al azar se pide. i) Probabilidad de que haya sido seleccionado un artículo defectuoso. ii) Si el artículo es defectuoso, ¿Probabilidad que no haya sido producido por la máquina A? 17. Un banco ha estimado por experiencias anteriores que la probabilidad de que una persona falle en los
Página de
pagos de un préstamo personal es de 0.3. También ha estimado que el 40% de los préstamos no pagados a tiempo se han solicitado para financiar viajes de vacaciones y el 60% de los préstamos pagados a tiempo se han solicitado para viajes de vacaciones. Se pide calcular la probabilidad de que un préstamo que se haga para financiar un viaje de vacaciones no sea pagado a tiempo. 18. Una entidad bancaria partiendo de la información que posee sobre sus cuentas corrientes, referentes a los errores cometidos en los cheques extendidos contra ellas, ha llegado a los siguientes resultados. De 850 cuentas con fondos ha habido 25 cheques con algún error. El 98% de los clientes tienen fondos, de 50 cuentas sin fondos se han encontrado 45 cheques con errores. Obtener las probabilidades: i) Un cheque tiene errores. ii) Un cheque con errores, se refiere a una cuenta sin fondos. 19. Se sabe que el 12% de los automóviles utilizan una determinada marca de recambios. También se sabe que si utilizamos una encuesta, sólo el 80% de los propietarios que utilizan la marca lo reconocerán y que hay un 2% de los que no la utilizan que manifestarán lo contrario ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un propietario al azar, mienta al hacerle dicha pregunta? 20. Una fábrica dispone de tres máquinas A, B, C que fabrican piezas de un tipo determinado, A atiende al 25% de la producción, la B al 35%, y la C al 40%. El 5% de las piezas de A son defectuosas, el 4% de B y el 2% de C. Extraída una pieza al azar es defectuosa. Calcular la probabilidad de que haya sido fabricada por A. 21. En un laboratorio se preparan tres vacunas contra la misma enfermedad. La probabilidad de obtener en el médico cada una de ellas es P (v1) = 1/6, P (v2) = 1/3, P (v3) = 1/2. La probabilidad de inmunidad de cada una de ellas es: 0.90 para v1, 0.94 para v2 y 0.58 para v3. Calcular i) Probabilidad de que un individuo esté inmunizado y no sabemos qué vacuna ha usado. ii) Supuesto que no haya quedado inmunizado probabilidad de que haya usado la vacuna 2. 22. En gran cantidad de chequeos médicos un doctor contabilizó que: El 7% de los pacientes creen estar enfermos y lo están verdaderamente El 3% " " " " " sanos y " enfermos El 30% " " " " " " " " " El 60% " " " " " enfermos y no lo están. i) En uno de los chequeos un paciente dice que cree estar enfermo ¿Qué probabilidad hay de que esté sano? ii) Un paciente le dice que cree estar sano ¿qué probabilidad hay de que esté enfermo? 23. Una urna U1 contiene tres bolas blancas y dos rojas. Otra urna U2 contiene cinco bolas blancas, una amarilla y cuatro rojas. Eligiendo una urna al azar y extrayendo una bola de la urna elegida i) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola blanca sacada pertenezca a la urna U1 y sea blanca? ii) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sacada pertenezca a la urna U2 y sea roja? 24. Una fábrica tiene tres máquinas para producir bombillas. La máquina A produce el 35% del total de bombillas, la máquina B el 50% y la máquina C produce el 15% de las bombillas. Sin embargo, las máquinas no son perfectas, la máquina A daña el 10% de las bombillas que produce. La máquina B daña el 5% y la máquina C daña el 20%. i) Representa estos datos en un diagrama de árbol. Si la fábrica produce 10000 bombillas sin defectos en un día. i) ¿Cuántas de éstas corresponden a la máquina A? ii) ¿Cuántas daña en un día?
Página de
iii) Si seleccionamos una bombilla de la máquina C, ¿cuál es la probabilidad de que esté defectuosa? iv) Luego de fabricadas, pero antes de probarlas, las bombillas se colocan juntas en un salón. Si se selecciona una bombilla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté defectuosa? v) Si se prueba que una bombilla está defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que venga de la máquina B? 25. Un fabricante de vehículos compra cierto tipo de pieza a un proveedor A. De cada lote de piezas que recibe de ese tipo, el 5% son defectuosas (se supone que el hecho de que una pieza de un lote sea defectuosa es independiente de que el resto de piezas del lote lo sean también o no). Si cada vehículo fabricado requiere de 8 de estas piezas, se pide: a) ¿Qué probabilidad existe de que las 8 piezas del vehículo se encuentren en perfectas condiciones? El fabricante está pensando en la opción de comprar el 40% de los lotes de la pieza anterior a un 2º proveedor B, que suministra lotes con el mismo número de piezas que el proveedor A; pero cuyo porcentaje de piezas defectuosas por lote es del 4%. Si en este caso, las piezas requeridas para fabricar un vehículo fueran elegidas al azar de entre las piezas suministradas por ambos proveedores, b) ¿qué probabilidad existiría de que las 8 piezas que incorpora un vehículo se encontraran en perfectas condiciones? c) Dada la situación planteada en el apartado anterior, si seleccionamos al azar una pieza y es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que haya sido suministrada por el proveedor A? 26. En una fábrica de televisores las máquinas I,II y III producen respectivamente el 28%, el 32% y el 40% del total. En la producción de cada máquina el 3%, 4% y el 5% son televisores defectuosos. Se toma al azar un televisor de la producción total y se le encuentra defectuoso ¿Cuáles son las probabilidades que haya sido producido por: i) La máquina I ii) La máquina II iii) La máquina III 27. Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es de 0.001. En cambio, todo cliente sin fondos pone una fecha errónea en sus cheques. El 90 % de los clientes del banco tienen fondos. Se recibe hoy en caja un cheque con fecha equivocada. ¿Qué probabilidad hay de que sea de un cliente sin fondos? 28. Un examen de oposición consta de 14 temas. Se debe escoger un tema de entre dos tomados al azar. Calcular la probabilidad de que a un alumno que ha preparado 5 temas le toque al menos uno que sabe. ¿Cuál es el número mínimo de temas que debe preparar para que tenga una probabilidad superior a 1/2 de superar el examen? En una universidad se ha observado que el 60 % de los estudiantes que se matriculan lo hacen en una carrera de Ciencias, mientras que el otro 40 % lo hacen en carreras de Humanidades. Si un determinado día se realizan 20 matrículas, calcular la probabilidad de que: i) Haya igual número de matrículas en Ciencias y en Humanidades; ii) El número de matrículas en Ciencias sea menor que en Humanidades; iii) Haya al menos 8 matrículas en Ciencias. iv) No haya más de 12 matrículas en Ciencias. 29.
30. En un cierto país, el 99%
de los detenidos y sometidos a juicio son culpables del delito que se les imputa. Los jueces, al emitir veredicto, aciertan el 95% de los casos, tanto si el acusado es culpable como inocente.
Página de
Según esto, calcúlese la probabilidad de que: i) Un ciudadano inocente haya sido declarado culpable. ii) Sea culpable, si ha sido declarado inocente. 31. Un cierto artículo es manufacturado por tres fábricas, sean 1, 2 y 3. Se sabe que la primera produce el doble de artículos que la segunda y que ésta y la tercera producen el mismo número. Se sabe también que el 2% de los artículos por las dos primeras es defectuoso mientras que el 4% de los manufacturados por la tercera es defectuoso. Se colocan todos los artículos en fila y se escoge uno al azar. i) ¿Cuál es la probabilidad de que fuera producido por la fábrica uno? ii) Suponemos que del depósito se escoge un artículo y se encuentra que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que fuera producido en la primera fábrica? 32. La probabilidad de que una mujer tenga una mamografía positiva es el 10.3%. La probabilidad de que una mujer tenga cáncer de pecho y una mamografía positiva es de 0.8%. Una mujer se realiza una mamografía y resulta positiva. ¿Cuál es la probabilidad de que realmente tenga cáncer? 33. En una encuesta publicada en un periódico se informa que el 91% de los habitantes de una ciudad mienten usualmente y, de ellos, el 36% mienten sobre cosas importantes. Si elegimos al azar a una persona de esta ciudad, ¿Cuál es la probabilidad de que mienta sobre cosas importantes? 34. En una ciudad el 60 % son hombres y el 40 % mujeres. El 50 % de los hombres y el 25 % de las mujeres fuman. Si se escoge una persona al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumadora? 35. Una empresa que se dedica a al envasado de café utiliza a tal efecto tres máquinas A, B y C. De ellas sabe, por controles de calidad previos, que la primera deposita menos cantidad de la establecida en un 2% de los paquetes, la segunda en 1% y la tercera en un 3%. El 40% del envasado lo realiza la máquina A y el 35% la B. Si se selecciona al azar un paquete, determinar la probabilidad de que proceda de: i) A si tiene menos cantidad de la establecida ii) Que no proceda de A si tiene la cantidad correcta. 36. El parlamento de un determinado país está integrado por diputados de tres partidos, A, B y C. La proporción de parlamentarios de esos partidos es de un 30%, un 50% y un 20%, respectivamente. La probabilidad de que un parlamentario del parido A vote afirmativamente a una determinada propuesta es 0.80, mientras que las probabilidades de votar en contra de esa propuesta para los parlamentarios de B y C son 0.7 y 0.9, respectivamente. Determinar la probabilidad de que un voto afirmativo provenga del partido A o del C. 37. En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca una situación de peligro es 0.10. Si ésta tiene lugar, la probabilidad de que la alarma funcione es 0.95. La probabilidad de que funcione la alarma sin que haya situación de peligro es 0.03. Determinar la probabilidad de que: i) Habiendo funcionado la alarma, no ha ya situación de peligro ii) Se dé una situación de peligro y la alarma no funcione iii) No habiendo funcionado la alarma, haya peligro.
ÉXITOS!!!
